bai giang khao sat do thi ham so hay chi tiet

Khảo sát đồ thị hàm số, ôn luyện thi đại học. các bài tập từ cơ bản đến nâng cao kèm theo hướng dẫn giải chi tiết giúp học sinh hiểu rõ được cách làm bài và đạt điểm tối đa câu khảo sát đồ thị. các bài tập bao gồm khảo sát đồ thị hàm nhất biến, hàm trùng phương và hàm bậc ba.

KHẢO SÁT HÀM SỐ

VÀ HÀM SỐ LÔGARÍT

Chuyên đề

ĐỖ TẤN LỘC THPT Chu Văn An

1 KHẢO SÁT HÀM BẬC BA: y = ax 3 +bx 2 +cx+d

Ví dụ 1: Khảo sát hàm số y = x3 + 3x2 – 4

Ví dụ 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

3 2

1 3

x

y  x  x

Ví dụ 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 3 2

y   x x  x 

Giải Ví dụ 1:

Tập xác định D = Bước 1: Tìm tập xác định của hàm

số y’ = 3x2 + 6x

y’ = 0  3x2 + 6x = 0  x(3x + 6) = 0

 x = 0; x = - 2

Bước 2:Tìm y’ và lập phương trình

y’ = 0 tìm nghiệm ( nếu có thì ghi ra nếu vô nghiệm thì nêu vô nghiệm –

vì chủ yếu là để Tìm dấu của y’ sử dụng trong bảng biến thiên

Giới hạn: lim

  ; lim

hạng có mũ cao nhất, ở đây là tìm

3

  hoặc 3

lim ( ) ??

  

Bảng biến thiên: x -∞ -2 0 +∞

y' + 0 - 0 +

y 0 +∞

-∞ - 4

Bước 4:BBT luôn gồm có “ 3

dòng”: dành cho x, y’ và y

Điểm cực đại: x = - 2 ; y = 0

Điểm cực tiểu: x = 0; y = -4

y’’ = 6x + 6

y’’ = 0  6x + 6 = 0  x = 1 ( điểm uốn I(1;-2))

Bước 5:Phải nêu điểm cực đại;

điểm cực tiểu (nếu không có thì không nêu ra) (Điểm uốn cần thiết

khi giúp vẽ đồ thị của hàm số không

cực trị)

Đồ thị hàm số:

Giao điểm với Ox:

y = 0  x = -2; x = 1

Giao điểm với Oy:

x = 0  y = - 4

Bước 6:Vẽ đồ thị cần thực hiện theo

thứ tự gợi ý sau:

 Vẽ hệ trục tọa độ Oxy

 Xác định các điểm cực đại, cực tiểu, điểm uốn, giao điểm với Ox,Oy

 Nhận xét hàm số có bao nhiêu dạng đồ thị và áp dụng dạng đồ thị phù hợp cho bài toán của mình

(tham khảo các dạng đồ thị ở sau mỗi dạng hàm số)

Bốn dạng đồ thị hàm số bậc 3

2 KHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNG : y = ax 4 +bx 2 +c

Ví dụ 4: Khảo sát hàm số y = x4

- 2x2 – 3

Ví dụ 5: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

4

x

y  x 

Ví dụ 6: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 4 2

y  x x 

Giải Ví dụ 4:

Tập xác định D = Bước 1:Tìm tập xác định của

hàm số y’ = 4x3 - 4x

y’ = 0  4x3 - 4x = 0  x(4x2 – 4) = 0

 x = 0; x = 1; x = - 1

Bước 2: tính y’ và xét dấu ý

Giới hạn: lim

  ; lim

   Bước 3: Chỉ cần tìm giới hạn

của số hạng có mũ cao nhất,

ở đây là tìm 4

 

x

y

O

I

x

y

O

 I

a < 0

a > 0

Dạng 1: hàm số có 2 cực trị  ?

x

y

O



I

x

y

O



I

a < 0

a > 0

Dạng 2: hàm số không có cực trị  ?

Bảng biến thiên:

x -∞ -1 0 1 +∞

y' - 0 + 0 - 0 +

y +∞ -3 +∞

-4 -4

Bước 4: BBT luôn gồm có “

3 dòng”: dành cho x, y’ và y

Điểm cực đại: x = 0 ; y = -3

Điểm cực tiểu: x = -1; y = -4

x = 1; y = -4

Bước 5: Phải nêu các điểm

cực đại; các điểm cực tiểu

Đồ thị hàm số:

Giao điểm với Ox:

x = ; y = 0

x = - ; y = 0

Giao điểm với Oy:

x = 0 ; y = - 3

Bước 6:Vẽ đồ thị cần thực

hiện theo thứ tự gợi ý sau:

 Vẽ hệ trục tọa độ Oxy

 Xác định các điểm cực đại, cực tiểu, điểm uốn, giao điểm với Ox,Oy

 Dựa vào BBT và dạng đồ thị để vẽ đúng dạng

(tham khảo các dạng đồ thị

ở sau đây) Học sinh giải ví dụ 5 và ví dụ 6- Bốn dạng đồ thị hàm số trùng phương

3 KHẢO SÁT HÀM NHẤT BIẾN: y ax b

cx d





 ( tử và mẫu không có nghiệm chung)

Ví dụ 7: Khảo sát hàm số 2

1

x y x

 





Ví dụ 8: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2

2 1

x y x







CĐ

x

y

y

O

a < 0

a > 0

Dạng 1: hàm số có 1 cực trị  pt y’ = 0 có 1 nghiệm

duy nhất x = 0

x

y

y

O

a < 0

a > 0

Dạng 1: hàm số có 3 cực trị  pt y’ = 0 có 3 nghiệm phân

biệt

Ví dụ 9: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 1 2

x y

x







Giải Ví dụ 7:

Tập xác định D = \{-1} Bước 1: Tìm tập xác định của

hàm số

y’ = 3 2

(x 1)



 < 0 xD

Hàm số luôn luôn giảm trên mỗi khoảng xác định

Bước 2:Tìm y’ và dựa vào tử số

để khẳng định luôn luôn âm (hay luôn luôn dương) từ đó suy ra: Hàm số luôn luôn giảm ( hay

luôn luôn tăng )

Giới hạn và tiệm cận:

Tiệm cận đứng x = - 1 vì

1

lim

x

y



  ;

1

lim

x

y



  

Tiệm cận ngang: y = - 1 vì lim 1

   lim 1

  

Bước 3: Hàm số luôn có 2 tiêm

cận là tiệm cân đứng và tiệm cận

ngang

Bảng biến thiên: x -∞ -1 +∞

y' - -

y -1 +∞

-∞ -1

Bước 4: BBT luôn gồm có “ 3 dòng”: Hàm số không có cực trị Bước 5:luôn không có cực trị Đồ thị hàm số: Giao điểm với Ox: y = 0  x = 2 Giao điểm với Oy: x = 0  y = 2 Bước 6:Vẽ đồ thị cần thực hiện theo thứ tự gợi ý sau:  Vẽ hệ trục tọa độ Oxy và xác định giao điểm với Ox,Oy  Vẽ 2 đường tiệm cận đứng và ngang  Nhận xét hàm số có bao nhiêu dạng đồ thị và áp dụng dạng đồ thị phù hợp cho bài toán của mình (tham khảo các dạng đồ thị ở sau mỗi dạng hàm số) Học sinh giải ví dụ 8 và ví dụ 9

Hai dạng đồ thị hàm số nhất biến

BÀI TẬP

y ax bx  cx d a0

Bài 1 Cho hàm số y  x3 3x 2 (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm thực của phương

3

x    x m

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M 2;4

d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ 1

2

x

e) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm có tung độ y0

Bài 2 Cho hàm số 3 2

3 4

y  x x  (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm thực của phương x33x2 m 0

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ là 1

2

x

d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến 9

4

k

e) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

 d y:  3x 2012

Bài 3 Cho hàm số y4x3 3x 1 (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm thực phương rình: 3 3 0

4

x  x m 

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường

thẳng 1

15

9

d y  x

y

I

x

y

O

Dạng 2: hsố nghịch biến Dạng 1: hsố đồng biến

x

O

I

d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường

thẳng 2 : 2012

72

x

d y  

e) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung

Bài 4 Cho hàm số y2x33x21 (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường

thẳng 1

2 : 2012 3

d y x

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua M 2;3 và tiếp xúc với đồ thị (C)

d) Tìm m để đường thẳng  d2 :y mx 1 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt

e) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C) Bài 5 Cho hàm số 3   2

y  x m x  x

a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số khi m1

b) Biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình: x36x2  3x 2k 0

c) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu

d) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x2

e) Tìm m để hàm số luôn giảm trên tập xác định

y x  m x  C m

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C0) của hàm số khi m0

b) Dựa vào đồ thị (C0) biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình:

3

4x   3x k 0

c) Tìm m để họ đồ thị (Cm) có hai cực trị

d) Tìm m để họ đồ thị (Cm) đạt cực tiểu tại x1

e) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của họ đồ thị (Cm)

Bài 7 Cho hàm số yx3–mx m 2 có đồ thị là  C m

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3

b) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3–3 –x k 1 0

c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng (D):y3

d) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x 2

Bài 8 Xác định tham số m để hàm số y = x3

– 3x2 + 3mx + 1 – m có cực đại và cực tiểu Giả

sử M1(x1;y1), M2(x2;y2) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số

Chứng minh rằng : 1 2

1 2 1 2

x x x x



  = 2 Kết quả : m < 1

Bài 9 Tìm tham số m để hàm số y = 2x3

– 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1

Kết quả : m và x2 – x1 = 1

Bài 10 Biện luận số giao điểm của đồ thị (C):

2

x x

y    x và đường thẳng (d):

y   m x 

KQ: 1 giao điểm ( m  27

12

 ), 3 giao điểm ( m > 27

12

2 Hàm số trùng phương : y ax 4bx2c, a0

Bài 1 Cho hàm số 4 2

2

yx  x (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình x42x2m

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x2

d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ y8

e) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 24 Bài 2 Cho hàm số 4 2

2 1

y  x x  (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình x42x2m

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x2

d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ y 9

e) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 24 Bài 3 Cho hàm số yx4 x2 1 (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình x42x2m

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ 21

16

y

d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường

thẳng  d1 :y6x2012

e) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường

thẳng  2

1 : 2012 6

d y x

Bài 4 Cho hàm số 1 4 2

2 1 4

y  x  x  (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Tìm m để phương trình x48x2 4 m có 2 nghiệm thực phân biệt

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x1

d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường

thẳng d :8x231y 1 0

e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục Ox và các đường thẳng

1; 1

x  x

Bài 5 Cho hàm số 4 2

2 3

yx  x  (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Dựa vào đồ thị (C) , hãy giải bất phương trình  x4 2x2 8

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung

d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 3

e) Tìm m để đường thẳng  d y mx:  3 cắt đồ thị (C) tại 4 điểm phân biệt

3

x

y  mx  m (1)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m1

b) Biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình x46x2 k 0

c) Dựa vào đồ thị (C) , hãy giải bất phương trình

4 2

2

x x

  

d) Tìm m để hàm số (1) đạt cực tiểu tại x 3

e) Tìm m để hàm số (1) có 3 cực trị

Bài 7 Cho hàm số 4  2  2

9 10

y mx  m  x  (1)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m1

b) Tìm k để phương trình x48x210k0có hai nghiệm thực phân biệt

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường

thẳng  d :2x45y 1 0

d) Tìm m để hàm số có một điểm cực trị

e) Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị

3 Hàm số hữu tỉ : y ax b

cx d







Bài 1 Cho hàm số 2 1

1

x y x





 (C)

a) Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ 1

2

x

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ 1

2

y 

d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến k 3

e) Tìm m để đường thẳng   5

3

d y mx   m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

Bài 2 Cho hàm số 1

1

x y x





 (C)

a) Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ 1

2

y

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đường

thẳng 1

9

2

d y  x

d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường

thẳng 2

1

8

d y x

e) Tìm m để đường thẳng 3

1

3

d y mx  m  cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ âm

Bài 3 Cho hàm số 1

1

x y x





 (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục hoành

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục tung

d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường

thẳng 1

8 1 :

9 3

d y  x

e) Tìm m để đường thẳng 2

1

3

d y mx  m  cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương

Bài 4 Cho hàm số 2

2

x y

x





 (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường phân

giác của góc phần tư thứ hai (y x)

c) Tìm m để đường thẳng d1 :y mx  3 m đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt

d) Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số nguyên e) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành Bài 5 Cho hàm số 2

1

x y x





 có đồ thị (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Tìm tọa độ giao điểm của (C) và đường thẳng (d) có phương trình y x 1

c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độx2

d) Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [2;3]

e) Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số nguyên Bài 6 Cho hàm số 3

2 1

x y x

 



 có đồ thị (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục tung

c) CMR đường thẳng d: y x m  luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt

d) Tìm giao điểm của (C) và đường thẳng (d) có phương trình y  2x 1

Bài 7 Cho hàm số y (m 1)x m

x m

 



 (m 0) và có đồ thị là (Cm )

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C2)

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C2), tiệm cận ngang của nó và các đường thẳng x3,x4

c) Tìmm để hàm số đồng biến trên tập xác định của nó