Phức đơn hình có các nhóm đồng điều đẳng cấu với các nhóm abel hữu hạn sinh cho trước

SỰ TỒN TẠI CỦA PHỨC ĐƠN HÌNH CÓ CÁC NHÓM ĐỒNG ĐIỀU ĐẲNG CẤU VỚI CÁC NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH CHO TRƯỚC 27 2.1.. SỰ TỒN TẠI CỦA MỘT PHỨC ĐƠN HÌNH CÓ NHÓM ĐỒNG ĐIỀU 1 - CHIỀU ĐẲNG CẤU VỚI MỘ

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN



KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

ĐỀ TÀI: PHỨC ĐƠN HÌNH CÓ CÁC NHÓM ĐỒNG ĐIỀU ĐẲNG CẤU VỚI CÁC NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH CHO TRƯỚC

Giáo viên hướng dẫn : TS Lương Quốc Tuyển

Sinh viên thực hiện : Lê Thị Thu Nguyệt

Lớp : 13ST

Đà Nẵng, 05/2017

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 2

CHƯƠNG 1 ĐỒNG ĐIỀU ĐƠN HÌNH 4

1.1 CÁC PHỨC ĐƠN HÌNH VÀ CÁC ÁNH XẠ ĐƠN HÌNH 4

1.2 CÁC NHÓM ĐỒNG ĐIỀU VÀ ĐỒNG ĐIỀU RÚT GỌN 15

CHƯƠNG 2 SỰ TỒN TẠI CỦA PHỨC ĐƠN HÌNH CÓ CÁC NHÓM ĐỒNG ĐIỀU ĐẲNG CẤU VỚI CÁC NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH CHO TRƯỚC 27 2.1 SỰ TỒN TẠI CỦA MỘT PHỨC ĐƠN HÌNH CÓ NHÓM ĐỒNG ĐIỀU 1 - CHIỀU ĐẲNG CẤU VỚI MỘT NHÓM CYCLIC HỮU HẠN CHO TRƯỚC 27 2.2 SỰ TỒN TẠI CỦA MỘT PHỨC ĐƠN HÌNH CÓ NHÓM ĐỒNG ĐIỀU p - CHIỀU ĐẲNG CẤU VỚI MỘT NHÓM CYCLIC HỮU HẠN CHO TRƯỚC 30 2.3 SỰ TỒN TẠI CỦA PHỨC ĐƠN HÌNH CÓ CÁC NHÓM ĐỒNG ĐIỀU ĐẲNG CẤU VỚI CÁC NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH CHO TRƯỚC 31 KẾT LUẬN 39

TÀI LIỆU THAM KHẢO 40

MỞ ĐẦU

Bài toán phân loại topo là bài toán cơ bản nhất của ngành Topo :

“Tìm các điều kiện để hai không gian topo là đồng phôi hoặc không đồngphôi với nhau”

Để giải quyết một phần vấn đề này người ta đặt tương ứng mỗi khônggian topo, mỗi số nguyên p với một nhóm Abel (được gọi là nhóm đồngđiều p - chiều của không gian này) và mỗi ánh xạ liên tục giữa hai khônggian topo với một đồng cấu nhóm giữa các nhóm đồng điều p - chiều giữachúng Khi hai không gian topo đồng phôi thì các nhóm đồng điều p -chiều của chúng đẳng cấu, do đó để phân loại topo người ta thường tínhcác nhóm đồng điều của nó và nếu các nhóm đồng điều của chúng khôngđẳng cấu thì các không gian topo này không đồng phôi với nhau Có hailoại lý thuyết Đồng điều cơ bản là Đồng điều đơn hình và Đồng điều Kỳ

dị, ở đây chúng tôi chỉ xét đến Đồng điều đơn hình

Ta biết rằng các nhóm đồng điều kỳ dị p - chiều (p ∈ Z) của mộtkhông gian topo là một nhóm Abel; Như vậy phát sinh một vấn đề là liệuđối với một nhóm Abel cho trước có tồn tại một không gian topo có nhómđồng điều kỳ dị p - chiều đẳng cấu với nhóm này không?

Vấn đề này được trả lời khẳng định bởi Moore (xem [5]): Với mỗi

p ≥ 1, với mỗi nhóm Abel G, tồn tại một CW - phức X có nhóm đồngđiều kỳ dị p- chiều đẳng cấu với nhóm G, người ta đã không nói rằng CW

- phức X có là một phức đơn hình hay không (lớp tất cả các phức đơnhình được chứa trong lớp tất cả các CW - phức) và để tính nhóm đồngđiều kỳ dị của CW - phức người ta phải sử dụng đến lý thuyết đồng điềucủa các CW - phức và bậc của các ánh xạ liên tục từ mặt cầu vào chínhnó

Tương tự như vậy, ta biết rằng các nhóm đồng điều đơn hình p- chiều(p ≥ 1) của một phức đơn hình hữu hạn là một nhóm Abel hữu hạn sinh;

Như vậy cũng phát sinh một câu hỏi là liệu đối với một nhóm Abel hữuhạn sinh cho trước có tồn tại một phức đơn hình hữu hạn có nhóm đồngđiều đơn hình p - chiều đẳng cấu với nhóm này không? Nội dung chínhcủa Khóa Luận này là trả lời khẳng định cho câu hỏi trên; Ở đây ta giảiquyết Bài toán tổng quát hơn:

cho trước mà G0 tự do và tồn tại p0 ≥ 0: Gp = 0, ∀p > p0 thì tồn tại một phức đơn hình hữu hạn K có nhóm đồng điều p - chiều đẳng cấu với G p, với mỗi p ≥ 0

(Sở dĩ ta giả thiết G0 là nhóm Abel tự do vì nhóm đồng điều 0- chiềucủa mỗi phức đơn hình là một nhóm Abel tự do)

Trong khóa luận này, chúng tôi sử dụng kỹ thuật trong [7] tính toántrực tiếp các nhóm đồng điều chiều thấp của các đơn hình; Đối với việctính toán các nhóm đồng điều chiều cao hơn chúng tôi sử dụng đến cácdãy khớp của Mayer - Vietoris

Tác giả xin chân thành cám ơn các Thầy Giáo, Cô Giáo ở Khoa Toáncủa Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà nẵng đã giúp đỡ Tác giả trongcác năm qua, đặc biệt là các Thầy Giáo Lương Quốc Tuyển, Đặng VănRiền, Phan Đức Tuấn Tác giả cũng cám ơn các bạn bè trong lớp đã độngviên trong suốt quá trình làm Khóa Luận này

CHƯƠNG1 ĐỒNG ĐIỀU ĐƠN HÌNH

Trong Chương này ta sẽ trình bày các khái niệm cơ bản về các đơnhình, phức đơn hình, đồng điều đơn hình và nêu một vài kết quả liên quanđến chúng, phần lớn được trình bày theo [6]

1.1 CÁC PHỨC ĐƠN HÌNH VÀ CÁC ÁNH XẠ ĐƠN HÌNH

Cho trước một không gian EuclideRN, hệ các phần tử{a0, a1, , a n }

của RN được gọi là độc lập affine (hay còn gọi là độc lập hình học) nếu

độc lập affine khi và chỉ khi hệ {a1 − a0, , a n − a0} độc lập tuyến tính;

Từ nhận xét này ta suy ra được rằng tính độc lập affine không phụ thuộcvào việc thay đổi thứ tự các phần tử trong một hệ Ta cũng thấy rằng hệgồm 2 điểm phân biệt là độc lập affine, hệ gồm 3 điểm không cùng nằmtrên một đường thẳng là độc lập affine .

Cho hệ {a0, a1, , a n } của RN độc lập affine, tập

được gọi là n - phẳng (hay không gian con affine) được xác định bởi hệ

P cũng được gọi là ”phẳng qua a0 song song với các vector a i − a0“.

Ta có thể kiểm tra được rằng: Đối với một hệ độc lập affine {a0, a1, , an }

của RN và w ∈ RN thì hệ {a0, a1, , a n , w } độc lập affine khi và chỉ khi

w / ∈ P (ở đây P là n - phẳng được xác định bởi hệ {a0, a1, , a n } ).

Một phép biến đổi affine trong RN được định nghĩa là một hợp củacác phép tịnh tiến và của các phép biến đổi tuyến tính không suy biếntrong RN

Nếu T là phép biến đổi affine, {a0, a1, , a n} là một hệ các phần

tử của RN; Khi đó {T (a0), T (a1), , T (a n)} độc lập affine khi và chỉ

là không gian tuyến tính conn chiều của RN; Hơn nữa nếu T ′ :RN →RN

là phép tịnh tiến mà P có ảnh qua T ′ cũng là một không gian tuyến tínhcon của RN thì T (P ) = T ′ (P ) (ta kiểm tra điều này như sau: Ta đặt

T ′ (x) = x + a, ∀x ∈ RN, thì T ′ (P ) = T (P ) + a + a0 ⇒ a + a0 ∈ T ′ (P ) (do

T ′ (P ) là một không gian tuyến tính con củaRN)∀w ∈ T (P ), w +a+a0 ∈

thích tại sao ta có thể gọi P là n - phẳng

Định nghĩa 1.1.1 Cho hệ {a0, a1, , a n } độc lập affine trong RN,

Bộ số (t0, t1, , t n)trong Định nghĩa trên được xác định duy nhất từ

x vàt i được gọi là tọa độ trọng tâm thứi của xđối với hệ {a0, a1, , a n }

{a0, a1, , a m }tương tự{a0, a1, , a m } ⊂ {b0, b1, , b n }và{a0, a1, , a m } = {b0, b1, , b n}).

Cho σ là n - đơn hình được sinh bởi hệ độc lập affine {a0, a1, , a n }

thì các điểm a0, a1, , a n được gọi là các đỉnh của đơn hình σ, số n được

gọi là chiều của σ Một đơn hình τ bất kỳ được sinh bởi một hệ con của

được sinh bởi hệ {a0, a1, , ai −1 , ai+1, , an } được gọi là mặt đối diện

với đỉnh a i Mỗi mặt τ của σ mà khác σ được gọi là mặt riêng hay mặt

thực sự của σ (ta ký hiệu τ ≺ σ) Hợp tất cả các mặt riêng của σ được

gọi là biên của σ và được ký hiệu là Bdσ (chú ý rằng biên theo nghĩa này

có thể khác biên theo nghĩa topo và biên của 0 - đơn hình là tập rỗng)

Phần trong của σ được định nghĩa bởi đẳng thức Intσ = σ \Bdσ (cũng

chú ý rằng phần trong này khác với phần trong theo nghĩa topo và phần

trong của một 0 - đơn hình là trùng với 0 - đơn hình này), tập Intσ đôi

khi được gọi là một đơn hình mở (mặc dù nó cũng có thể không mở)

Từ Bdσ là tập tất cả các điểm x mà có ít nhất một tọa độ trọng tâm

bằng 0 nên Intσ là tập tất cả các điểm x mà tất cả các tọa độ trọng tâm

của nó đều khác 0 (hay dương) Ta có

(5) Intσ là tập lồi và là một tập con mở của P (ở đây P là n

-phẳng được xác định bởi hệ {a0, a1, , an } và σ là đơn hình được sinh

P hay trong không gian topo RN cũng như thế); Hơn nữa Intσ bằng hợp

của tất cả các khoảng mở mà một đầu là a0 còn đầu khác thuộc Ints, với

s là mặt của σ đối diện với a0

Cho n ∈ N, trang bị chuẩn Euclide ||.|| trên Rn; Quả cầu đơn vị

đóng n - chiều B n là tập tất cả các điểm x = (x1, , x n) ∈ Rn mà

n ≥ 0, Nửa dưới mặt cầu E n − −1 của S n −1 làtập tất cả các điểm x = (x1, , x n) ∈ Sn −1 mà x

n ≤ 0

Với các định nghĩa này, B0 là không gian một điểm, B1 là đoạn

S1 là đường tròn đơn vị đóng

(6) Tồn tại một đồng phôi từ σ lên quả cầu đơn vị đóng B n mà ảnhcủa Bdσ là S n −1

Thật ra (6) là hệ quả của bổ đề sau

Bổ đề 1.1.2 Cho U là một tập mở, lồi, giới nội của không gian Rn

và w ∈ U ; Khi đó

(1) Mỗi tia phát xuất từ w giao với BdU = ¯ U \U đúng một điểm (2) Tồn tại một đồng phôi từ U¯ lên quả cầu đơn vị đóng B n mà ảnh của BdU là S n −1 2

Bây giờ ta định nghĩa các phức đơn hình

Định nghĩa 1.1.3 Một phức đơn hình K trong RN là một họ cácđơn hình trong RN thỏa mãn các điều kiện:

ta ký hiệu K (p) là phức con của K gồm tất cả các đơn hình thuộc K cóchiều nhỏ hơn hay bằng p, phức con này được gọi là p - khung của K Với

Định nghĩa 1.1.6 Cho K là một phức đơn hình với các đơn hìnhnằm trong không gian RN, |K| là hợp của tất cả các đơn hình thuộc K,mỗi đơn hình có topo tự nhiên với topo cảm sinh từ không gian RN, trên

|K| ta trang bị một topo như sau: ”Một tập con A của |K| được gọi làđóng trong |K| khi và chỉ khi A ∩ σ đóng trong σ, với mỗi σ ∈ K“

Rõ ràng cách xác định trên là đúng đắn và |K| được gọi là giá haykhông gian trải của K; Topo này trên |K| được gọi là topo coherent Mộtkhông gian topo mà là không gian trải của một phức đơn hình được gọi làmột đa diện

Ta cũng nhận thấy rằng trên |K|cũng có topo cảm sinh từ không gian

RN; Topo này được gọi là topo cảm sinh Nói chung hai topo này khácnhau, topo coherent mạnh hơn topo cảm sinh (xem [7], trang 9) nhưng nếu

K là phức đơn hình hữu hạn (K là họ hữu hạn) thì hai topo này trùngnhau Nếu không có chú thích ngược lại thì topo được xét trên giá của mộtphức đơn hình luôn luôn được hiểu là topo coherent

Ta có các bổ đề sau

Bổ đề 1.1.7 Nếu L là một phức con của một phức đơn hình K thì

|L| đóng trong |K| ; Trường hợp riêng ∀σ ∈ K thì σ đóng trong |K| 2

Bổ đề 1.1.8 Cho phức đơn hình K , X là một không gian topo, ánh

với mỗi σ ∈ K 2

Định nghĩa 1.1.9 Cho X là một không gian topo, C là một họ cáckhông gian con củaX mà có hợp bằng X Topo củaX được gọi là coherentđối với họ C nếu mỗi tập con A của X là đóng trong X khi và chỉ khi

A ∩ C đóng trong C, với mỗi C ∈ C; Điều này tương đương với mỗi tậpcon A của X là mở trong X khi và chỉ khi A ∩ C mở trong C, với mỗi

không gian con của X mà có hợp bằng X và topo trên X coherent đối với họ này Cho ánh xạ f : X → Y ; Khi đó f liên tục khi và chỉ khi

f | C : C → Y liên tục, với mỗi C ∈ C 2

Định nghĩa 1.1.11 Cho v là một đỉnh bất kỳ của một phức đơnhình K, cho x là một phần tử của đa diện |K| thì x thuộc phần trongđúng một đơn hình của K, mà các đỉnh được gọi là a0, a1, , a n, khi đó

trọng tâm của x đối với đỉnh v và hàm t v này được gọi là hàm tọa độtrọng tâm đối với đỉnh v, hàm này liên tục do Bổ đề 1.1.8)

Ta cũng có

Bổ đề 1.1.12 Với mỗi phức đơn hình K , |K| là không gian topo Hausdorff.

Chứng minh Cho x1, x2 là hai phần tử phân biệt của |K| thì tồn tại một

các tập mở {x ∈ |K|/t v (x) < r }, {x ∈ |K|/t v (x) > r } của |K| rời nhau

mà mỗi tập chứa một trong hai điểm x1, x2 Từ đó |K| là không gian topoHausdorff

Bổ đề 1.1.13 Nếu phức đơn hình K hữu hạn thì |K| là không gian topo compact Ngược lại, nếu A là một tập compact trong |K| (ở đây K

là một phức đơn hình) thì tồn tại một phức con hữu hạn K0 của phức đơn hình K sao cho A ⊂ |K0|

Chứng minh Nếu K hữu hạn thì |K| là hợp hữu hạn các không gian concompact σ của nó nên |K| compact

Bây giờ cho A là một tập compact trong |K|, giả sử ngược lại rằng A

không được chứa trong giá của một phức con nào của K Với mỗi s ∈ K

Xét B = {x s /s ∈ K ′ } là tập con vô hạn của A (vì nếu ngược lại thì A

được chứa trong giá của một phức con của K) Sử dụng topo coherent tathấy mỗi tập con của B đều đóng (do giao với mỗi đơn hình thuộc K làtập không quá hữu hạn) Ta thấy rằng không gian topo con B của |K|

compact (do B đóng trong A và A compact), không gian topo con B làkhông gian rời rạc, vô hạn nên mâu thuẫn

Bây giờ ta nêu định nghĩa về hình sao của một đỉnh trong một phứcđơn hình

Định nghĩa 1.1.14 Cho K là một phức đơn hình, v là một đỉnhcủa K, hình sao của v trong K, ký hiệu Stv hay St(v, K), là hợp của tất

cả các phần trong của các đơn hình mà nhận v làm đỉnh Hình sao đóngcủa v trong K, ký hiệu Stv¯ hay St(v, K)¯ , là hợp của tất cả các đơn hình

mà nhận v làm đỉnh (Stv¯ là giá của một phức con của K) Tập Stv¯ \Stv

được gọi là khoen (link) của v trong K và được ký hiệu là Lkv

Bao đóng của Stv chính là Stv¯ Tập Stv là mở trong |K|, do nó làtập tất cả các điểm x của |K| mà t v (x) > 0 Stv có phần bù là hợp củatất cả các đơn hình mà không nhận v làm đỉnh Do đó phần bù này là giácủa một phức con của K Lkv cũng là giá của một phức con của K do nó

là giao của phần bù này và Stv¯ Ta thấy rằng các tập Stv, Stv¯ liên thôngđường và Lkv có thể không liên thông

Định nghĩa 1.1.15 Một phức đơn hình K được gọi là hữu hạn địaphương nếu mỗi đỉnh của K chỉ có hữu hạn các đơn hình thuộc K chứanó; Nói cách khác phức đơn hình K là hữu hạn địa phương nếu và chỉ nếuvới mỗi đỉnh v của K, Stv¯ là giá của một phức con hữu hạn của K

Ta có

Bổ đề 1.1.16 Một phức đơn hình K là hữu hạn địa phương khi và chỉ khi |K| là không gian compact địa phương.

Chứng minh Cho K hữu hạn địa phương, ∀x ∈ |K|, chọn một đỉnh v

Stv là giá của một phức con hữu hạn của K nên Stv¯ compact, từ đó |K|

là không gian compact địa phương

Cho |K| là không gian compact địa phương, với mỗi đỉnh v của K,

trong A˙ của A chứa v; Sử dụng Bổ đề 1.1.13, ta tìm được một phức conhữu hạn K0 của phức đơn hình K mà A ⊂ |K0| Cho σ là một đơn hìnhbất kỳ thuộc K nhận v làm đỉnh, do A˙ mở trong |K| nên A˙ ∩ σ mở trong

tồn tại τ ∈ K0 mà x ∈ τ ⇒ σ ⊂ τ, do đó Stv¯ là giá của một phức conhữu hạn của phức đơn hình K; Từ đó K hữu hạn địa phương

Bây giờ ta định nghĩa các ánh xạ đỉnh đơn hình và ánh xạ đơn hình

Định nghĩa 1.1.17 Cho các phức đơn hình K, L một ánh xạ f :

K(0) → L(0) được gọi là ánh xạ đỉnh đơn hình nếu thỏa mãn điều kiện:

điểm f (v0), f (v1), , f (v n) làm đỉnh (các điểm f (v0), f (v1), , f (v n) cóthể không phân biệt)

Định nghĩa 1.1.19 Cho các phức đơn hình K, L một ánh xạ g :

xạ đỉnh đơn hình.

Hiển nhiên mỗi ánh xạ đơn hình đều liên tục do Bổ đề 1.1.18

Ta nhận xét rằng hợp của hai ánh xạ đơn hình là ánh xạ đơn hình

Ta cũng có

Bổ đề 1.1.20 Cho các phức đơn hình K, L và f : K(0) → L(0) là một song ánh mà với mỗi {v0, v1, , v n } là một tập con hữu hạn các đỉnh của

L ; Khi đó ánh xạ đơn hình cảm sinh bởi f là một đồng phôi.

Chứng minh Ta gọi f ′ : L(0) → K(0) là ánh xạ ngược của f, g là ánh xạđơn hình được cảm sinh bởi ánh xạ đỉnh đơn hình f,g ′ là ánh xạ đơn hìnhđược cảm sinh bởi ánh xạ đỉnh đơn hìnhf ′ Khi đóg ′ ◦g = 1|K| , g ◦g ′ = 1

|L|;

Như vậy g : |K| → |L| là phép đồng phôi

Ánh xạ g trong chứng minh Bổ đề trên được gọi là đồng phôi đơnhình hay đẳng cấu của K với L

Với mỗi N ∈ N∗, cho ∆N là một phức đơn hình gồm một N - đơnhình và tất cả các mặt của nó Ta có Hệ quả sau

Hệ quả 1.1.21 Cho K là một phức đơn hình hữu hạn thì tồn tại một phức đơn hình ∆N mà có một phức con đẳng cấu với K.

Chứng minh Cho {v0, v1, , v N } là tập tất cả các đỉnh của K, chọn

hình gồm đơn hình < a0, a1, , a N > và tất cả các mặt của nó Cho

là một phức con của ∆N và đẳng cấu với K.

Các phức đơn hình ta xét từ trước đến nay đều có các đơn hình nằmtrong một không gian Euclide hữu hạn chiều, bây giờ ta định nghĩa cácphức đơn hình tổng quát hơn Cho J là tập chỉ số khác rỗng (có thể vô

hạn), RJ được định nghĩa là tập {x = (x α)α ∈J /x α ∈ R, ∀α ∈ J} thì RJ làmột không gian tuyến tính: Ta đặt

thì E J là một không gian tuyến tính con của RJ Với mỗi x =

(x α)α ∈J ∈ E J, ta đặt ||x|| = maxα ∈J |xα| thì ||.|| là một chuẩn trên E J

và các phức đơn hình ”tổng quát“ có các đơn hình ở trong các không gian

E J này Do trên một không gian tuyến tính hữu hạn chiều, các chuẩn đềutương đương (cùng sinh ra một topo) nên thay vì chuẩn Euclide ta lấy mộtchuẩn khác topo coherent trên giá của một phức đơn hình cũng không đổi;Như vậy mỗi phức đơn hình cũng là một phức đơn hình tổng quát Cũng

vì lý do này, nếu lấy một chuẩn khác trên E J topo trên giá của phức đơnhình cũng không thay đổi

Định nghĩa 1.1.22 Một phức đơn hình trừu tượng là một họ S gồmcác tập hữu hạn khác rỗng thỏa mãn điều kiện nếu A ∈ S thì mỗi tập conkhác rỗng của A cũng thuộc S

Mỗi phần tử A của S được gọi là một đơn hình của S, chiều của A là

số phần tử của A trừ đi 1, mỗi tập con khác rỗng của A được gọi là mộtmặt của A Chiều của S là số lớn nhất trong các chiều của các đơn hìnhthuộc S nếu số này tồn tại, trong trường hợp ngược lại Chiều của S đượcgọi là bằng vô cùng Tập đỉnh V của S là hợp tất cả các phần tử của S,

ta cũng đồng nhất đỉnh v ∈ V và 0 - đơn hình {v}inS Một họ con của S

mà cũng là một phức đơn hình trừu tượng cũng được gọi là một phức concủa S

Hai phức trừu tượng S, T được gọi là đẳng cấu nếu tồn tại một songánhf từ tập đỉnhS vào tập đỉnh T thỏa mãn điều kiện{a0, a1, , a n } ∈ Skhi và chỉ khi {f(a0), f (a1), , f (a n)} ∈ T

Định nghĩa 1.1.23 Cho K là một phức đơn hình, V là tập đỉnhcủa K; cho K là họ tất cả các tập con hữu hạn khác rỗng {a0, a1, , an }

Họ K là một phức đơn hình trừu tượng, sau đây là sự liên hệ giữa các

phức đơn hình và các phức đơn hình trừu tượng.

Định lý 1.1.24 (1) Mỗi phức đơn hình trừu tượng S đẳng cấu với

sơ đồ đỉnh của một phức đơn hình K nào đó.

(2) Hai phức đơn hình là đẳng cấu khi và chỉ khi các sơ đồ đỉnh của chúng là các phức đơn hình trừu tượng đẳng cấu.

Nếu một phức đơn hình trừu tượng S đẳng cấu với sơ đồ đỉnh củamột phức đơn hình K thì K được gọi là một thực thể hóa của S Các thựcthể hóa cho cùng một phức đơn hình trừu tượng là đẳng cấu với nhau

(ở đâyN (α), N (β) lần lượt là số nghịch thế của các hoán vị α, β) Ta thấyđịnh nghĩa này không phụ thuộc vào chọn thứ tự các đỉnh trong đơn hìnhđầu tiên < a0, a1, , a n >, và hai đơn hình thứ tự (a α(0) , a α(1) , , a α(n)),

là (a0) và một đơn hình định hướng [a0] tương ứng Đơn hình định hướng

[a0] cũng còn được ký hiệu là a0

Ví dụ 1.2.1 (1) Đối với 1 - đơn hình < a0, a1 > có hai đơn hìnhđịnh hướng là [a0, a1] [a1, a0]

(2) Đối với 2 - đơn hình < a0, a1, a2 > có hai đơn hình định hướng là

[a0, a1, a2]=[a1, a2, a0]=[a2, a0, a1]và[a0, a2, a1]=[a2, a1, a0]=[a1, a0, a2]

Định nghĩa 1.2.2 Cho K là một phức đơn hình, nếu A p là tập tất

cả các p - đơn hình định hướng trên K khác rỗng, mỗi p - xích trên K làmột hàm c từ tập A p vào Z thỏa mãn các điều kiện:

(2) Tồn tại tập A ′ p hữu hạn là tập con của tập Ap mà c(σ) = 0, ∀σ ∈

p

Ta ký hiệu C p (K) là tập tất cả các p - xích Khi đó C p (K) là mộtnhóm Abel và được gọi là nhóm các p - xích (định hướng của K) Nếu tập

A p bằng rỗng thì C p (K) được định nghĩa là nhóm tầm thường Như vậy

C p (K) = 0 khi p < 0 và C p (K) = 0 khi p > dimK

Với mỗi σ ∈ Ap, một xích sơ cấp c tương ứng với σ là hàm được xácđịnh như sau:

c(σ ′) =−1, ở đây σ ′ là p - đơn hình định hướng đối diện với σ,

Ta cũng ký hiệu xích sơ cấp này là σ; như vậy σ ′ = −σ Ta có

Bổ đề 1.2.3 Cho phức đơn hình K và A p là tập tất cả các p - đơn hình định hướng trên K ;

Nếu p ≥ 1 và A p ̸= ∅ , thì C p (K) là nhóm Abel tự do, cho B p là một tập con của A p mà ∀σ ∈ A p có đúng một trong hai phần tử σ; σ ′ thuộc B p , thì Bp là một cơ sở của nhóm Abel tự do Cp (K)

Nếu p ≥ 0 thì C p (K) là nhóm Abel tự do và A0 là một cơ sở của nhóm Abel tự do C0(K) 2

Từ đây ta có

Hệ quả 1.2.4 Nếu p ≥ 1 và A p ̸= ∅ , cho ánh xạ f : A p → G (với

G là một nhóm Abel tùy ý) thỏa mãn điều kiện f (σ ′) = −f(σ), ∀σ ∈ A p

thì f có thể thác triển thành một đồng cấu duy nhất F : C p (K) → G , hơn

nữa f ( −c) = −f(c), ∀c ∈ C p (K)

Nếu p = 0 , cho ánh xạ f : A0 → G (với G là một nhóm Abel tùy ý) thì f có thể thác triển thành một đồng cấu duy nhất F : C p (K) → G

Bây giờ ta xác định một đồng cấu ∂ p : C p (K) → C p −1 (K), được gọi

là đồng cấu biên như sau:

Nếu C p (K) = 0 hoặc C p −1 (K) = 0 thì ∂ p là đồng cấu tầm thường

và thỏa mãn điều kiện ∂ p(−σ) = −∂ p (σ), ∀σ ∈ A p

Như vậy theo Hệ quả trên ∂ p được thác triển thành một đồng cấu mà

Định nghĩa 1.2.7 Hạt nhân của đồng cấu ∂ p : C p (K) → C p −1 (K)

được gọi là nhóm các p - chu trình và được ký hiệu là Zp (K), ảnh củađồng cấu ∂ p+1 : C p+1 (K) → C p (K) được gọi là nhóm các p - biên vàđược ký hiệu là B p (K) Do Bổ đề trên B p (K) ⊂ Z p (K) và ta định nghĩa

H p (K) = Z p (K)/B p (K), nhóm Abel này được gọi là nhóm đồng điều p chiều của K

-Ta cũng cần vài thuật ngữ: Cho K là một phức đơn hình và L làmột phức con của K, một p - xích c của K được gọi là có giá trên L nếu

Hai p - xích c, c ′ trong K được gọi là đồng điều nếu c − c ′ ∈ B p (K).Trường hợp riêng nếu c ∈ Bp (K) thì c được gọi là đồng điều không Ta có

Định lý 1.2.8 Cho K là một phức đơn hình thì H0(K) là nhóm Abel

tự do, nếu {v α } là một tập con của tập đỉnh của K mà mỗi thành phần liên thông của |K| chứa đúng một phần tử của tập {vα} thì họ {vα + B0(K) }

là một cở sở của nhóm H0(K) 2

Bây giờ ta định nghĩa các nhóm đồng điều rút gọn

Định nghĩa 1.2.9 Giả sử K là một phức đơn hình với tập đỉnh V,

có nghĩa làϵ(∑

v ∈V t v v) = ∑

v ∈V t v , ∀∑v ∈V t v v ∈ C0(K).Đồng cấuϵđượcgọi là đồng cấu Augmentation cho C0(K) Ta cũng có ϵ ◦ ∂1 = 0 và nhómđồng điều rút gọn 0 - chiều của K được định nghĩa là

Bây giờ ta tính các nhóm đồng điều của n - đơn hình và biên của nó,trước hết ta tính các nhóm đồng điều của một nón (cone) và của một tíchtreo (suspension)

Định nghĩa 1.2.11 Cho X là một không gian topo, ta định nghĩanón trên X là không gian thương có được từX ×I mà đồng nhất X ×{1}

thành một điểm Điểm này được gọi là đỉnh của nón; Ta ký hiệu nón này

là C(X)

Cho X là một không gian topo, ta định nghĩa tích treo trên X làkhông gian thương có được từ X × [−1, 1] mà đồng nhất X × {−1} thànhmột điểm và X × {1} thành một điểm khác; Ta ký hiệu tích treo này là

S(X)

(về không gian topo thương có thể xem trong [6] hoặc [7])

Cho K là một phức đơn hình trong E J, và w là một phần tử của

E J \|K| mà mỗi tia phát xuất từ w giao với |K| không quá một điểm Ta

sẽ định nghĩa một phức đơn hình mà gọi là nón trên K với đỉnh w:

Trước hết ta chứng minh nhận xét sau

Nhận xét 1.2.12 Cho < a0, a1, , a p > là một đơn hình thuộc K

thì hệ {w, a0, a1, , a p } độc lập affine

Chứng minh Giả sử ngược lại rằng hệ {w, a0, a1, , a p } không độc lậpaffine; Khi đó tồn tại các số thực t, t0, t1, , tp không đồng thời bằngkhông mà t + ∑p

t) + (1 − α) 1

v ̸= w nên tia phát xuất từ w qua v giao với |K| có vô số điểm; Đây làđiều mâu thuẫn

Cho w ∗K là họ gồm tất cả các đơn hình có dạng < w, a0, a1, , a p >

kiểm tra rằng w ∗ K là một phức đơn hình và K là một phức con của nó

Ta có định nghĩa sau

Định nghĩa 1.2.13 Phức đơn hình w ∗ K được gọi là nón trên K

với đỉnh w