Nhóm con hữu hạn của nhóm tuyến tính đặc biệt hai chiều

Miller III xuất bản 2004, chúng tôi tìm hiểu cấu trúc các nhóm con hữu hạn của nhóm tuyến tính đặc biệt hai chiều trên trờng đóng đại số nói chung và trờng hữu hạn nói riêng.. Trong chơn

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh

Nguyễn Thị Nga

Nhóm con hữu hạn của nhóm tuyến tính đặc biệt hai chiều

Luận văn thạc sĩ toán học

Vinh 2010

Mục lục

Trang

Lời nói đầu 2

Chơng I Nhóm tuyến tính tổng quát và nhóm tuyến tính đặc biệt 4

1.1 Tập sinh của nhóm tuyến tính tổng quát và nhóm tuyến tính đặc biệt 4

1.2 Nhóm con chuẩn tắc của nhóm tuyến tính tổng quát và nhóm tuyến tính đặc biệt 10

Chơng II: Nhóm con hữu hạn của nhóm tuyến tính đặc biệt hai chiều.19 2.1 Một số tính chất của nhóm tuyến tính đặc biệt hai chiều trên trờng đóng đại số 19

2.2 Nhóm con hữu hạn của nhóm tuyến tính đặc biệt hai chiều 23

Kết luận 33

Tài liệu tham khảo 34

Lời nói đầu

Nhóm tuyến tính tổng quát và nhóm tuyến tính đặc biệt là những lớp nhóm

đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết nhóm nói riêng và trong Đại số hiện đại nói chung Chúng đã đợc nhiều tác giả nghiên cứu và đạt đợc nhiều thành tựu sâu sắc trong trờng hợp tổng quát

Tuy nhiên bài toán tìm các nhóm con của các lớp đó trong trờng hợp cụ thể vẫn luôn là bài toán hấp dẫn và đợc nhiều tác giả quan tâm

Dựa trên các tài liệu “Group Theory” của M.Suzuki xuất bản năm 1982 và

“Combinatorial Group Theory” của C.F Miller III xuất bản 2004, chúng tôi tìm hiểu cấu trúc các nhóm con hữu hạn của nhóm tuyến tính đặc biệt hai chiều trên trờng đóng đại số nói chung và trờng hữu hạn nói riêng

Luận văn đợc chia làm hai chơng:

Chơng 1 Nhóm tuyến tính tổng quát và nhóm tuyến tính đặc biệt.

Trong chơng này, dựa trên kết quả bài toán tìm tập sinh của các nhóm tuyến tính tổng quát và nhóm tuyến tính đặc biệt, chúng tôi đã chứng minh đợc một số tính chất của nhóm con chuẩn tắc của các lớp nhóm này

Chơng 2 Nhóm con hữu hạn của nhóm tuyến tính đặc biệt hai chiều.

Trong chơng này, sau khi tìm hiểu một số tính chất của nhóm tuyến tính

đặc biệt hai chiều, chúng tôi trình bày các kết quả mô tả các nhóm con hữu hạn của nhóm tuyến tính đặc biệt hai chiều trên trờng hữu hạn

Luận văn đợc thực hiện dới sự hớng dẫn của PGS TS Lê Quốc Hán Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy đã tận tình chỉ dẫn chúng tôi trong học tập và tập dợt nghiên cứu khoa học Thầy đã đặt vấn đề và trực tiếp h-ớng dẫn chúng tôi hoàn thành Luận văn

Tác giả xin chân thành biết ơn ban chủ nhiệm Khoa Toán, Khoa Sau Đại học, Tổ Đại số và PGS TS Ngô Sỹ Tùng; PGS TS Nguyễn Thành Quang; PGS TS Lê Quốc Hán; TS Nguyễn Thị Hồng Loan cùng quý thầy cô trong khoa toán của Đại học Vinh đã nhiệt tình chỉ dẫn và giúp đỡ để tôi hoàn thành Luận văn này.

Mặc dù đã rất cố gắng, song Luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả mong nhận đợc sự đóng góp quý báu từ thầy cô giáo cùng các bạn trong lớp

Vinh, tháng 10 năm 2010.

Tác giả

1.1.1 Định nghĩa Giả sử F là một trờng tùy ý và n là một số tự nhiên cố định

Nhóm đợc tạo thành từ tập hợp tất cả các ma trận không suy biến cỡ nxn với phép toán ma trận đợc gọi là nhóm tuyến tính tổng quát cấp n trên trờng F; nó

đợc ký hiệu là GL(n, F) Tập hợp các ma trận có định thức bằng 1 tạo thành một nhóm con đợc gọi là nhóm tuyến tính đặc biệt và đợc ký hiệu là SL (n, F).

Nếu F là trờng hữu hạn gồm q phần , chúng ta sử dụng một số ký hiệu đặc biệt và viết GL (n, q) thay cho G (n, F), SL (n, q) thay cho SL (n, F) với F =

Fq Chúng ta sẽ giải quyết 2 bài toán sau:

(I) Tìm một tập hợp các phần tử sinh thích hợp

(II) Xác định tất cả các nhóm con chuẩn tắc của nhóm tuyến tính tổng quát

và nhóm tuyến tính đặc biệt trên trờng F

Bài toán (I) có thể đợc giải quyết bằng cách sử dụng kết quả sơ cấp trong

đại số tuyến tính Chúng ta sẽ cố định trờng cơ sở F và một số tự nhiên n Giả sử

I là ma trận đơn vị, Eij là ma trận cỡ n x n sao cho thành phần (i, j) là 1 còn tất cả các thành phần khác đều bằng 0 và đối với phần tử λ của F và i ≠ j

Giả sử βij (λ) = I + λEij

Giả sử A là ma trận cỡ n x n với các thành phần trong F, phép nhân trái của

βij (λ) với A cho ta một phép toán cộng λ lần dòng thứ j của A vào dòng thứ i của A Tơng tự phép nhân phải của βij tạo thành một phép toán cộng thêm λ

lần cột thứ j của A Đó là phép toán sơ cấp trên các dòng và cột Một định lý trong đại số tuyến tính khẳng định rằng ma trận vuông không suy biến có thể đ-

ợc đa về một ma trận đờng chéo

đẳng cấu với nhóm nhân F * của trờng cơ sở F.

Sẽ thuận lợi hơn nếu chúng ta dùng hình học để nghiên cứu nhóm GL(n,F) Giả sử V là không gian véc tơ n – chiều trên trờng F, chúng ta sẽ viết tập hợp

tất cả các phép biển đổi tuyến tính từ V lên V là GL (V) Các phần tử của GL (V) thực tế là các đẳng cấu từ V lên V, do đó hợp thành của hai phần tử f và g của GL (V) cũng là một phần tử của GL (V) Với phép hợp thành nh là một phép toán, GL (V) tạo thành một nhóm.

Nh đã học trong đại số tuyến tính sơ cấp, tác động của một phần tử tùy ý thuộc GL (V) có thể đợc biểu diễn bởi một ma trận với thành phần trong F.Chúng ta sẽ tóm tắt sơ bộ liên kết này giữa các phép biến đổi tuyến tính và các ma trận

Giả sử { v1, vn } là một cơ sở của không gian véc tơ V Đối với phần tử tùy ý f ∈ GL (V), đặt:

sao cho: M = Mf (nếu chúng ta xác định f bởi công thức trên f(vi) =

1

.

n

ij j f

Một trong các đẳng cấu đợc cho bởi tơng ứng f → Mf Đẳng cấu đó không phải là duy nhất vì nó phụ thuộc vào cách chọn cơ sở của V Thực ra, nếu {v1,

v2, vn} là một cơ sở khác của không gian vectơ V, chúng ta có: v’i=

1

.

n

ij j f

v

α

=

∑ thì f  M’f = (α’ij) là một đẳng cấu từ GL (V) lên GL (n, F), và ta có: M’f = T-1MfT Công thức này chứng tỏ rằng: det Mf = M’f

Nh vậy, định thức của ma trận tơng ứng không phụ thuộc vào cách chọn cơ

sở của V Do đó ta có thể định nghĩa nhóm tuyến tính đặc biệt nh một nhóm con của nhóm GL (V) chứa các phép biến đổi tuyến tính tơng ứng với ma trận

có định thức bằng 1

Chúng ta xét một siêu phẳng của V Đó là một không gian con với đối chiều bằng 1, đợc sinh bởi n – 1 véc tơ độc lập tuyến tính Một phép biến đổi tuyến tính thuộc SL (V) đợc gọi là phép co rút nếu nó khác đơn vị, nhng cố

định tất cả các véc tơ của một siêu phẳng của V Giả sử {v1, v2, , vn} là 1 cơ sở của V Thế thì phép biến đổi tuyến tính t đợc biểu diễn bởi Bij(λ), với cơ sở đó là một phép co rút Thực ra, nếu H là ký hiệu siêu phẳng đợc sinh bởi v1, vi-1,

vi+1, , vn (tất cả các thành phần của cơ sở trừ vi) thì t cố định tất cả các phần tử của H và t là một phép co rút, cho bởi λ≠ 0 Nh vậy ta có thể phát biểu

cơ sở của V sao cho v1∉ H và v2 ∈ V – {0} và các phần tử còn lại v3, ,vn nằm trong H, thế thì phép biến đổi tuyến tính đợc biểu diễn bởi ma trận B12(λ) là một phép co rút với các tính chất đòi hỏi.

Ngợc lại, giả sử t là một phép co rút Chúng ta chứng tỏ rằng tồn tại một cơ

sở {vi} của V sao cho t đợc biểu diễn bởi ma trận B12 (λ) theo cơ sở của {vi} Theo định nghĩa t cố định mỗi phần tử của siêu phẳng H Hơn nữa, tồn tại một phần tử u thuộc V sao cho t(u) ≠ u, nh vậy V = H + Fu

Vì t ∈ SL (V) nên t(u) – u ∈ H

Do đó ta có thể chọn một cơ sở của V sao cho:

V1 = u, v2 = t(u) – u và v3, , vn∈ H

Với cơ sở {vi} này, t đợc biểu diễn bởi B12 (λ)

Tổng quát, giả sử f và g là hai phần tử của GL (V) sao cho ma trận Mf biểu diễn f với cơ sở {vi} của V đồng nhất với ma trận M’g biểu diễn g với cơ sở {v’i} khác Giả sử T là ma trận chuyển cơ sở {v’i} thành cơ sở {vi} Với cơ sở {vi}, phần tử g đợc biểu diễn bởi ma trận Mg sao cho M’g = T-1MgT Vì Mg đồng nhất với Mf nên T-1 MgT = Mf Thế thì tất cả các ma trận không suy biến có thể

đợc viết dới dạng Mx (x ∈ GL (V))

Do đó giả sử T = Mx và x-1gx = h

Ta có: Mf = T-1 Mg T = Mx-1 Mg Mx = Mh

Từ đó ta nhận đợc: f = h = x-1 g x

Nh vậy, chúng ta đã chứng minh đợc phần đầu mệnh đề sau:

1.1.6 Mệnh đề Hai cái co rút liên hợp với nhau trong GL (V) Nếu

n=dim V ≥ 3, thì các co rút liên hợp trong SL (n, V).

Chứng minh Nếu f và g là hai co rút, thế thì tồn tại một phần tử k thuộc GL(V)

sao cho f=x-1gx Chọn một cơ sở {vi} của V sao cho f đợc biểu diễn bởi B12 (i)

theo cở sở đó Giả sử y là một phần tử đợc biểu diễn bởi ma trận Dδ với δ = det x.

Vì n ≥ 3; y giữ v1 và v2 bất biến

Do đó y giao hoán với f và ta có: y-1 f y = f = x-1 f x

Chứng minh Theo định nghĩa một phần tử H thuộc SL (V) là một phép co rút

nếu và chỉ nếu hạt nhân H của phép biến đổi t – 1 là một siêu phẳng Giả thiết rằng t là một phép co rút Thế thì đối với liên hợp tx tùy ý, hạt nhân của

tx – 1 là siêu phẳng x (H) Theo Mệnh đề 1.1.3, tx nằm trong SL (V), do đó tx

Chúng ta chú ý rằng một cái co rút t có thể đợc đặc trng nh một phần tử của SL (V) sao cho dim (t - 1) = 1

Do đó, đối với t và x tùy ý ta có: (tx - 1) V = x ((t - 1) V)

Tiếp theo, chúng ta sẽ xác định cái tâm hóa của SL (V) trong GL (V)

1.1.8 Mệnh đề Các điều kiện sau đây đối với một phần tử z của GL (V) là

tơng đơng.

1) Phần tử z giao hoán đợc với mọi cái co rút.

2) Phần tử z cố định mỗi không gian con một chiều của V.

3) Tồn tại một phần tử λ của F sao cho z (V) = λV, với mọi v ∈ V.

4) Phần tử z nằm trong tâm của GL (V).

Chøng minh (1) ⇒ (2) Gi¶ sö V lµ kh«ng gian con mét chiÒu Tån t¹i c¸i co rót t sao cho U = (t – 1) V V× z giao ho¸n víi t nªn:

(3) ⇒ (4).Gi¶ sö z cã d¹ng (3).§èi víi f ∈ GL(V) tïy ý ta cã

1.2.1 Định lý Nhóm con chuẩn tắc của GL(V) hoặc chứa nhóm tuyến tính

đặc biệt hoặc đợc chứa trong tâm của GL(V), trừ trờng hợp dimV = 2 và trờng cơ sở F chứa không quá 3 phần tử Đảo lại, nhóm con của GL(V) hoặc chứa SL(V) hoặc đợc chứa trong tâm là nhóm con chuẩn tắc của GL(V).

Trớc hết mệnh đề đảo là hiển nhiên Nhóm con bất kỳ của tâm luôn luôn chuẩn tắc Vì các nhóm con chứa SL(V), chúng ta chú ý rằng SL(V) GL(V)

và nhóm thơng GL(V) / SL(V) là nhóm Aben, đẳng cấu với nhóm nhân F* Vì nhóm con tùy ý của nhóm Aben F* là chuẩn tắc, nên mỗi nhóm con chứa SL(V) chuẩn tắc trong GL(V) theo Định lý đồng cấu

Khảo sát nhóm con đợc chứa trong F* là một bài toán phụ thuộc vào đặc

tr-ng tự nhiên của trờtr-ng cơ sở F và tơtr-ng đối phức tạp trotr-ng trờtr-ng hợp tổtr-ng quát; hơn nữa, nếu trờng F hữu hạn, thì nhóm F* xyclic và tất cả các nhóm con của nó

có thể tìm đợc theo [2] hoặc theo [8]

1.2.2 Mệnh đề Giả sử H là một nhóm con của GL(V) Giả thiết rằng H

không đợc chứa trong tâm của GL(V), nhng H đợc chuẩn hóa bởi SL(V) Thế thì H chứa SL(V) trừ khi F≤ 3 và dimV = 2.

Chứng minh (a) Giả thiết rằng dimV ≥ 3 Vì H chứa một phần tử h không nằm trong tâm của GL(V), tồn tại một cái co rút t không giao hoán với h Giả sử

G = t-1h-1tg = (h-1)h = t-1th.Vì t không giao hoán với h nên g ≠ 1 Theo giả thiết, SL(V) chuẩn hóa H,

Nếu dim W = 1, g là một cái co rút Nếu f là một cái co rút tùy ý, f liên hợp với g , thực ra, tồn tại một phần tử x ∈ SL(V) sao cho f = gx Vì H chứa g và H

đợc chuẩn hóa bởi SL(V), nên f là một phần tử thuộc H, do đó, mỗi co rút nằm trong H, từ đó ta có SL(V) ⊂ H

Giả thiết rằng dim W = 2 Trong trờng hợp này, tồn tại một siêu phẳng P chứa W (vì dim V ≥ 3) Vì g(P) ⊂ P + W nên g giữ P bất biến Nhng g không phải là cái co rút, nên có một phần tử u thuộc P sao cho g(u) ≠ u Chọn một phần tử v thuộc P sao cho g(u) ≠ u Chọn một phần tử v thuộc V – P Thế thì

có một cái co rút s cố định tất cả các phần tử của P và chuyển v thành v + u Đặt

Với cách chọn đó của u, cái co rút s đợc xác định trên chắc chắn khác với

sg, do đó g = s-gs là cái co rút trong H ∩ SL(V) Nh vậy, chúng ta đa trờng hợp khi dim W = 2 về trờng hợp đã chứng minh trớc khi g là một cái co rút

(b) Giả sử rằng dim V = 2 Trong trờng hợp này, chúng ta có phần tử v thuộc V sao cho v và h(v) thuộc cơ sở của V Với cơ sở {v, h(v)}, phần tử h đ-

ợc biểu diễn bởi ma trận:

1 0

(α≠ 0)Chúng ta xét H nh nhóm con của nhóm ma trận GL(2;F) và tính toán các hoán tử của h và các ma trận thích hợp khác để thay thế lập luận tơng tự cho một trờng hợp (a)

1 1

1

0

1 0 0

0 1

0 0

0

λ

γ

λ β α λ

λ β λ λ

) 1 ( 1 0

1 0

1 0

1 0

2

2 1

2

2 1

λ à λ

γ λ à λ

γ λ à

cũng nằm trong H ∩ SL(V) Nếu trờng cơ sở chứa một phần tử khác không λ

sao cho λ4≠ 1, thế thì H chứa B12(ξ) với ξ∈ F Do đó ta có:

1

1 0 1 0

1 0 1

1

ξ ξ

B12 (ξ) thuộc H với mỗi ξ ∈ F Do đó, SL (2, F) ⊂ H

Chúng ta giả thiết rằng mỗi phần tử khác không của F thỏa mãn λ4 = 1 Vì

ta có thể giả thiết F≥ 4, nên F = 5 Trong trờng hợp này, nếu λ = 2 thì

2 1 0

1 2

λ

γ λ

∈ H ∩ SL(V)

Bình phơng của phần tử này là B12(-α-1β) và nằm trong H ∩ SL(V) Nh vậy,

β≠0 nên H chứa ít nhất một B12(λ)≠0 (λ≠0) Vì F = 5, H chứa tất cả B12(ξ) và

1 0

2 1

1 1

1 0 0

0

1 0 0

β α δ

β

δ β α αβ

δ α

δ β

β α

δ β β

nằm trong H ∩ SL(V) nhng không nằm trong tâm của GL(V) đợc cho với δ≠0 Phần tử này đợc biểu diễn trong dạng trên với β’ bằng vết δ2 - ε - ε-1 Trong tr-ờng F5 có 5 phần tử, ta có δ2 = ±1 và ε + ε-1 = 0 hoặc ±2 Do đó β’≠0 và chúng

ta có thể thay thế h bởi h’ để kết thúc chứng minh 

1.2.3 Hệ quả Nếu hoặc dim V≥3 hoặc F > 3, nhóm con chuẩn tắc thực

sự của SL(V) đợc chứa trong tâm Z 0 Do đó, nhóm thơng SL(V) / Z 0 đơn.

Chúng ta viết nhóm đơn đó là PSL(V) và nó sẽ đợc nghiên cứu sau này.Nếu F là một trờng hữu hạn, thì nhóm GL(n, F) là nhóm hữu hạn Chúng ta

sẽ tìm cấp của nhóm này

1.2.4 Mệnh đề Giả sử p là đặc số của trờng F và F = q = p m Khi đó cấp của nhóm GL(n,F) cho bởi.

n n i

n q q q q

1 1 1

0

2 / ) 1

)

Hơn nữa, ta có GL(n,F)= (q - 1) SL(n,F) 

Chứng minh Giả sử V là một không gian vectơ n- chiều trên F Chúng ta

sẽ tính tiếp cấp GL(n,F) Rõ ràng V = qn Giả sử {v1, v2, , vn} là một cơ sở

cố định của V trên F Đối với phần tử tùy ý f thuộc GL(n,F), {f(v1), ,f(vn)} là một cơ sở của V Do đó, đối với một cơ sở tùy ý {u1, un} của V, tồn tại duy nhất một phần tử f ∈ GL(V) sao cho f(vi) = ui, với mọi i = 1, 2, , n Nh vậy,

GL(V) bằng số cơ sở phân biệt của V trên F Phần tử thứ nhất v1 có thể là một phần tử tùy ý từ qn – 1 phần tử khác không của V Nếu i phần tử đầu tiên đã đ-

ợc chọn (i < n) là v1, , vi thì phần tử tiếp theo vi+1 có thể là phần tử tùy ý của V

và không đợc viết nh là một tổ hợp tuyến tính của v1, , vi-1 Nh vậy, có qn– qi

khả năng có thể chọn đối với vi+1 Nh vậy, có qn - qi khả năng có thể chọn đối với vi+1 Theo [2] ta có GF(V) ≅ G(F,n), từ đó mệnh đề đợc chứng minh



1.2.5 Mệnh đề Giả sử F là một trờng hữu hạn đặc số p và  F = q Lũy thừa lớn nhất của p chia hết cấp GL(V) là qr, trong đó r = n(n-1)/2 Nhóm GL(V) chứa đúng một nhóm con cấp q r.

Chứng minh Phần đầu là rõ ràng từ (1.2.4) khi chúng ta chú ý rằng tất cả

các nhân tử có dạng qi-1 nguyên tố với p Để chứng minh khẳng định sau, giả sử

U là tập hợp các ma trận “tam giác dới” với 1 trên đờng chéo chính.

, 1 0

1.2.6 Mệnh đề Giả sử F là một trờng cố định Đối với nhóm hữu hạn G đã

cho tùy ý, nhóm GL(n,F) chứa một nhóm con đẳng cấu với G, với n đủ lớn Chứng minh Giả sử Γ là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính

∑

∈

=

G g

g g

λ

α ta định nghĩa =∑∈

G g

g)g

( λλ λα

Khi đó Γ cùng với hai phép toán đó tạo thành một không gian vectơ trên F Một phần tử h thuộc G xác định một ánh xạ ρh( α ) =∑λg g (λg∈ F)

Từ các định nghĩa trên suy ra:

) ( ) ( ),

( ) ( )

Do đó, hàm ρh là một phép biến đổi tuyến tính trên V.

Vì ρ =hk ρhρk và ρ1 là hàm đồng nhất nên ρh là một phép biến đổi tuyến tính khả nghịch; và ρ là một đồng cấu từ G vào nhóm tuyến tính tổng quát GL(Γ).Nếu g ∈ Ker(ρ) thì ρh (α ) = α với mọi α ∈Γ, nên gh = g và h = 1 Do đó,

ρ là một đẳng cấu từ G vào GL(Γ) Nếu đặt dim Γ = n thì GL(Γ) ≅ G(n,F) và 1.2.6 đợc thỏa mãn

1.2.7 Mệnh đề Giả sử p là một số nguyên tố cố định và E là một nhóm

aben thỏa mãn tính chất x p = 1 với mọi phần tử x ∈ E Khi đó có thể xem E là

Z p - modun thế thì E đẳng cấu với một không gian vectơ trên trờng F p với p phần tử Do đó, E có một cơ sở B Nói riêng, nếu E hữu hạn thì cấp E của

nó là một lũy thừa của p Nếu E = p d thì

Aut E ≅ GL (d; p) Chứng minh Chúng ta sẽ xét E nh là một nhóm cộng tính, và sử dụng kí

hiệu cộng tính Theo giả thiết, có px = 0 với mọi x ∈ E Với mọi m, n ∈ Z tùy

ý, ta có

(m + n)x = mx + nx, (mn)x = m(nx)

Điều này chứng minh nhóm Z các số nguyên tác động trên E Vì px = 0 với mọi x∈E, tác động của Z cảm sinh một tác động của vành thơng Z/(p) trong đó (p) là iđêan sinh bởi p Chúng ta đồng nhất Z/(p) với Fp- trờng gồm p phần tử Theo cách đó Fp tác động trên E, và dễ dàng kiểm tra đợc rằng E là không gian vectơ trên Fp Một tự đẳng f của E thỏa mãn f(nx)=nf(x), (n∈Z), do đó f là phép biến đổi tuyến tính trên Fp Nếu dim E=d thì E=Pd và

Aut E ≅ GF(d,p) 

1.2.8 Chú ý Các trờng hợp ngoại lệ của Định lí 1.2.1.