Dãy chính qui i lọc và tính hữu hạn sinh của môđun đối đồng điều địa phương

Dãy chính qui I - lọc và tính hữu hạn sinh của môđun đối đồng điều địa phơng………..... Lý thuyết đối đồng điều địa phơng của Grothendiek [6] đóng vai trò quantrọng trong Hình học đại số v

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh

Mục lục

Mở đầu……… …

Chơng 1 Kiến thức chuẩn bị……… ………

1.1 Môđun hữu hạn sinh………

1.2 Phổ và giá của môđun………

1.3 Độ cao của iđêan………

1.4 Chiều Krull của vành và môđun………

1.5 Tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun………

1.6 Dãy chính qui và độ sâu………

1.7 Môđun Cohen-Macaulay và Môđun Cohen-Macaulay suy rộng 1.8 Dãy chính qui lọc………

1.9 Môđun đồng điều Koszul………

1.10 Môđun đối đồng điều địa phơng………

Chơng 2 Dãy chính qui I-lọc và tính hữu hạn sinh của môđun đối đồng điều địa phơng………

2.1.Tính hữu hạn sinh của môđun đối đồng điều địa phơng………

2.2 Dãy chính qui I - lọc………

2.3 Dãy chính qui I - lọc và tính hữu hạn sinh của môđun đối đồng điều địa phơng………

Kết luận……… ………

Tài liệu tham khảo……….……

Trang 1 3 3 3 4 4 5 5 6 7 7 8

10

10

19

22

28

29

Mở đầu

d và I là một iđêan của R.

Lý thuyết đối đồng điều địa phơng của Grothendiek [6] đóng vai trò quantrọng trong Hình học đại số và ngày càng có nhiều ứng dụng trong Đại số giao

H I i (M) nói chung là không hữu hạn sinh Nếu j là số nguyên khác không lớn

hạn sinh đã đợc nghiên cứu bởi Faltings, Raghavan và một số nhà toán họckhác

lọc của M

, , :, , )

V(I) là tập các iđêan nguyên tố chứa I.

Nếu (R, m) là vành địa phơng với iđêan cực đại duy nhất m thì dãy chính

qui m – lọc của M chính là dãy chính qui lọc của M Do đó khái niệm dãy

bởi N T Cờng, N V Trung và P Schenzel [5] Cũng chú ý rằng, khái niệm dãy

Sh Salarian [7] đã đa ra đợc một số đặc trng về tính hữu hạn sinh của môđun

Mục đích của luận văn là trình bày lại các kết quả của bài báo [7] và cốgắng trình bày chứng minh chi tiết cho những kết quả mà trong đó không trìnhbày hoặc trình bày một cách vắn tắt.

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Danh mục tài liệu tham khảo, luận văn

đợc chia làm 2 chơng

Chơng 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chơng này, chúng tôi trình bày một số

kiến thức cơ sở của Đại số giao hoán có sử dụng trong luận văn nhằm giúp chongời đọc dễ theo dõi nội dung chính của luận văn Ngoài ra chúng tôi còn tríchdẫn một số kết quả đã có nhằm phục vụ cho các chứng minh ở Chơng 2

Chơng 2: Dãy chính qui I- lọc và tính hữu hạn sinh của môđun đối đồng

điều địa phơng Trong chơng này, chúng tôi trình bày về khái niệm, sự tồn tại

đồng điều địa phơng

Luận văn đợc hoàn thành vào tháng 10 năm 2010 tại trờng Đại học Vinhdới sự hớng dẫn của cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp này tôi xinbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô, ngời đã hớng dẫn tận tình, chu đáo vànghiêm khắc trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu Cũng nhân dịp này tôixin trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo trong Khoa Toán và Khoa sau đại học,Ban giám hiệu Trờng Đại học Vinh, tác giả xin cảm ơn các bạn trong lớp Caohọc 16 Đại số – Lý thuyết số, các đồng nghiệp, bạn bè và gia đình đã tạo điềukiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luậnvăn Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếusót Chúng tôi rất mong nhận đợc những ý kiến đóng góp của các thầy, cô giáo

và bạn đọc để luận văn đợc hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 10 năm 2010

Tác giả

Chơng 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chơng này, chúng tôi nhắc lại (không chứng minh) một số kiếnthức cơ sở phục vụ cho việc chứng minh Chơng 2 Sau đây chúng tôi luôn kí

1.1 Môđun hữu hạn sinh

1.1.1 Định nghĩa Cho M là R-môđun

1.1.2 Chú ý (i) Mọi môđun đều có hệ sinh.

(ii) Hệ sinh của một môđun là không duy nhất

của M nếu khi ta bớt đi bất kỳ một phần tử nào của S thì hệ còn lại không còn là

1.1.3 Mệnh đề M là R- môđun hữu hạn sinh khi và chỉ khi M đẳng cấu với

môđun thơng của môđun tự do R n (n ∈ Ơ ).

1.2 Phổ và giá của môđun

1.2.1 Phổ của vành Iđêan p của R đợc gọi là iđêan nguyên tố nếu p ≠ R và

1.2.2 Giá của môđun Tập con

SuppM = { p SpecR M∈ / p ≠ 0}

của SpecR đợc gọi là giá của môđun M.

Ann R (x) = {a∈R / ax = 0}, Ann R (M) = {a ∈ R / ax = 0, ∀x ∈ M}.

hoá của môđun M Hơn nữa SuppM = V(Ann R M) nếu M là môđun hữu hạn

xích nguyên tố với p0 = p đợc gọi là độ cao của p, kí hiệu là ht(p).

Nghĩa là:

ht(p) = sup {độ dài của các xích nguyên tố với p0 = p}

ht(I) = inf {ht(p) / p ∈ Spec(R), p⊇I }.

1.4 Chiều Krull của vành và môđun

1.4.1.Định nghĩa Cho R là vành giao hoán.

Krull của vành R, kí hiệu là dimR Ta có

dimR = sup {ht(p) / p ∈ Spec(R)}.

môđun M, kí hiệu dimM Nh vậy, dimM ≤ dimR.

1.4.2 Mênh đề (i) dimM = - ∞ ⇔ M = 0.

(ii) Nếu N môđun con của M thì dimN ≤ dimM, dim(M/N) ≤ dimM.

(iii) Nếu x∈ NZD R (M) thì dim(M/ xM) = dim(M) 1.–

1.5 Tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun

1.5.1 Định nghĩa (i) Giả sử R là một vành Ta gọi phổ của R là tập tất cả các

tố liên kết với R - môđun M nếu p là linh hoá tử của một môđun con xyclic của

M, nghĩa là tồn tại v ∈ M \ {0} sao cho p = (0 : R vR) Tập các iđêan nguyên tố

ZD R (M) = {x ∈ R / ∃m ∈ M \ {0} : xm = 0}.

Tập hợp

NZD R (M) = R \ ZD R (M)

1.5.2 Mệnh đề Nếu M là một R môđun và N là môđun con của M thì

(i) ZD R (M) = Up Ass M∈ R( )p;

(ii) Ass R (N) ⊆ Ass R (M) ⊆ Ass R (M / N) U Ass R (N);

(iii) Nếu M là môđun hữu hạn sinh thì #Ass R (M) < ∞;

(iv) Ass R (0) = 0

1.6 Dãy chính qui và độ sâu

nếu ax ≠ 0 với mọi x∈M, x≠ 0

môđun M hay còn gọi là M – dãy chính qui nếu thoả mãn các điều kiện:

(i) M/(x1,…, x n )M ≠ 0;

(ii) x i là M/ (x1,…, x i− 1)M – chính qui với mọi i = 1, , n.

x i ∈ p, ∀p ∈ Ass M / (x1,…, x n )M, (i = 1,…, n).

Cho I là một iđêan của R (x1,…, x r ) là một M- dãy chính qui trong I Khi

đó (x1,…, x r ) đợc gọi là một dãy chính qui cực đại trong I nếu không tồn tại y

∈ I sao cho (x1,…, x r , y) là dãy chính qui của M Ta biết rằng mọi dãy chính

M đối với iđêan I kí hiệu depth I (M) Đặc biệt nếu I = m thì depth m M đợc gọi

1.7 Môđun Cohen - Macaulay và Môđun Cohen - Macaulay suy rộng

1.7.1 Định nghĩa M đợc gọi là môđun Cohen - Macaulay nếu

depthM = dimM.

1.7.2 Mệnh đề M là một R - môđun Cohen - Macaulay khi và chỉ khi mọi hệ

tham số của M đều là dãy chính quy của M.

1.7.3 Mệnh đề M là một R - môđun Cohen - Macaulay khi đó ta có:

(i) dimR/p = d với mọi p ∈ Ass R M;

(ii) Nếu x 1 ,…, x i là một dãy chính quy của M thì M/(x 1 ,…, x i )M cũng là môđun Cohen - Macaulay;

(iii) M p là môđun Cohen - Macaulay với mọi p ∈ SuppM.

Cho x = (x 1 ,…, x d ) là một hệ tham số của M Kí hiệu

I M (x) = l (M/xM) - e(x; M).

Khi đó I M (x) ≥ 0 Đặt I(M) = sup M I M (x) với x chạy trên tập các hệ tham

số x của M Ta có mệnh đề sau.

1.7.4 Mệnh đề Các phát biểu sau tơng đơng:

(i) M là một R - môđun Cohen - Macaulay;

(ii) Tồn tại một hệ tham số x = (x 1 ,…, x d ) của M để I M (x) = 0;

(iii) Với mọi hệ tham số x = (x 1 ,…, x d ) của M để I M (x) = 0;

(iv) I(M) = 0.

1.7.5 Định nghĩa M đợc gọi là môđun Cohen - Macaulay suy rộng nếu

I(M) < ∞.

1.8 Dãy chính qui lọc

Cho (R, m) là vành địa phơng với iđêan cực đại m,

của M nếu x i ∉ p, ∀p ∈ Ass(M/(x1,…, x i− 1)M) \ {m}, ∀i = 1,…, r.

Cho I là một iđêan tuỳ ý của R thoả mãn dimM/IM > 1 và (x1,…, x r ) là

qui lọc cực đại trong I nếu không tồn tại y ∈ I sao cho (x1,…, x r , y) là dãy

có cùng độ dài

lọc của M trong I, kí hiệu là f depth(I, M)–

1.9 Môđun đồng điều Koszul

Cho x 1 ,…, x s là các phần tử của vành R (s ≥ 0), với mỗi i ∈{0, 1,…, n} ta

0  → → R d i R → 0

K(x 1 )⊗…⊗K(x s ) đợc gọi là phức Koszul sinh bởi x 1 ,…, x s trên R, để đơn giản

Cho M là một R – môđun, ta kí hiệu phức M⊗K(x) là K(x; M), nếu cần

1.10 Môđun đối đồng điều địa phơng

i

I

điều địa phơng thứ i của môđun M với giá là iđêan I.

của M Khi đó có một R - đồng cấu α: M  →I0 sao cho dãy

Sau đây là một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phơng đợc sửdụng trong luận văn

Của môđun đối đồng điều địa phơng

2.1 Tính hữu hạn sinh của môđun đối đồng điều địa phơng

H I i (M) nói chung là không hữu hạn sinh Nếu j là số nguyên khác không lớn

sinh đã đợc nghiên cứu bởi Faltings, Raghavan và một số nhà toán học khác

thì S -1 I . : 0  →S -1 I 0  →S -1 I 1  →… là một lời giải nội xạ của S -1 R - môđun

S -1 M.

phạm trù các S -1 R - môđun Đặt S -1 F := S -1oF và F’(S -1 ) = F’ oS -1

đối đồng điều của đối phức F’(S -1 I . )

Với mỗi i ∈ Ơ , tơng ứng βi : S -1 R i F(.)  → R i F’( S -1 .) Ta cũng có thể

viết dới dạng βi : S -1oR i F  → R i F’ o S -1

thì βi cũng là đẳng cấu tự nhiên với ∀ ∈i Ơ , tức là S -1oR i F và R i F’ o S -1 là hai

2.1.2 Định lý Giả sử I là iđêan của vành Noether R, S là tập nhân đóng của

vành R Với mỗi i∈ Ơ , tồn tại đẳng cấu tự nhiên

2.1.3 Nhận xét Định lý 2.1.2 cho chúng ta thấy rằng: Đối đồng điều địa phơng

giao hoán với địa phơng hoá

2.1.4 Hệ quả Giả sử I là iđêan của vành Noether R, S là tập nhân đóng của

vành R Với mỗi i∈ Ơ , và với mỗi R-môđun M, tồn tại đẳng cấu S -1 R - môđun

i M

ρ : S -1 (H I i (M))  → H i

IS−1R (S -1 M).

Chứng minh áp dụng Định lý 2.1.2, ta đợc điều phải chứng minh

2.1.5 Hệ quả Cho I là iđêan của vành Noether R, p là một iđêan nguyên tố

của R và M là một R - môđun Khi đó

H I (M) p ≅ H IR p (M p ).

Chứng minh Trong Hệ quả 2.1.4, thay S = R \ p, ta đợc đẳng cấu R p - môđun

M

ρ : H I (M) p → H IR p (M p ).

Do đó ta có điều phải chứng minh

2.1.6 Định nghĩa Cho R là một vành Noether và I là một iđêan của R Chiều

đối đồng điều của R - môđun M đối với iđêan I đợc kí hiệu là cd I (M) và xác

định bởi:

cd I (M) := sup{i ∈ Ơ H I i (M)≠ 0}

2.1.7 Định lí Cho I là một iđêan của vành Noether R và M là một R- môđun

hữu hạn sinh sao cho cd I (M) > 0 Khi đó tồn tại j ∈ Ơ sao cho H I j (M) là một R- môđun không hữu hạn sinh.

Chứng minh Chúng ta phải chỉ ra rằng nếu H I k (M) ≠ 0, với k > 0 nào đó thì

H I j (M) không hữu hạn sinh với một số tự nhiên j nào đó.

Với p ∈ Spec(R) sao cho H I k (M) p ≠ 0 Chúng ta phải tìm j ∈ Ơ sao cho

có I ⊆ m Đặt M = M/ΓI (M) Do H I i ( M ) ≅H I i (M), ∀i > 0, chúng ta có thể

H I i -1 (M)  → H I i -1 (M/xM)  → H I i (M) →x. H I i (M)  → H I i (M/xM)

dim(M) - 1 suy ra H I 1 (M/xM) = 0 Từ dãy khớp ngắn với i = 1 ta có toàn cấu

H I 1 (M) →x. H I 1 (M), nên xH I 1 (M) = H I 1 (M) ≠ 0 Theo Bổ đề Nakayama thì

H I 1 (M) không hữu hạn sinh.

xạ H I i (M) →x. H I i (M) không toàn ánh Từ dãy khớp trên với i = k, chúng ta có

H I k (M/xM) ≠ 0 Do dim(M/xM) ≤ dim(M) - 1, bằng quy nạp ta suy ra

H I l (M/xM) không hữu hạn sinh với l ∈ Ơ nào đó áp dụng dãy khớp trên với i = l + 1 chúng ta chọn j ∈ {l, l + 1}

2.1.8 Hệ quả Cho I là một iđêan của vành Noether R và M là một R- môđun

hữu hạn sinh Nếu H I i (M) ≠ 0 với i > 0 nào đó thì sẽ tồn tại j > 0 sao cho

H I j (M) không hữu hạn sinh.

Chứng minh áp dụng Định lý 2.1.7 ta có điều phải chứng minh.

2.1.9 Định nghĩa Cho I là một iđêan của vành Noether R và M là một

xác định bởi:

f I (M) := inf {r ∈ Ơ H I r (M) không hữu hạn sinh}.

2.1.10 Nhận xét Cho I là một iđêan của vành Noether R và M là một

R-môđun hữu hạn sinh Ta có :

a) f I (M) ∈ Ơ U{ }∞ và f I (M) = ∞ nếu và chỉ nếu H I i (M) hữu hạn sinh ∀ ∈i Ơ ,

b) t I (M) ≤ f I (M).

c) Nếu f I (M) < ∞ thì f I (M) ≤ cd I (M).

d, Từ Định lí 2.1.7 ta có nếu cd I (M) > 0 thì f I (M) ≤ cd I (M).

2.1.11 Định lý Giả sử I là iđêan của vành Noether R, M là R-môđun hữu hạn

sinh, r∈ Ơ Khi đó các phát biểu sau tơng đơng:

(i) H I i (M) là hữu hạn sinh với mọi i < r;

(ii) I ⊆ 0 : i( )

R H M I với mọi i < r.

Chứng minh (i) ⇒ (ii) Vì H I i (M) là I-xoắn và hữu hạn sinh với mọi i < r nên

(ii) ⇒ (i): Giả sử I ⊆ 0 : i( )

NZD R (M), kéo theo x n∈NZD R (M) Vì x n ∈I n nên ta có x n H I i (M) = 0,∀i < r, lại

R H M I , ∀i ∈{1, 2,…, r - 1} Do vậy theo quy nạp H I i-1 (M / x n M) là hữu

Sau đây một trong những kết quả chính của [7]

2.1.13 Hệ quả Cho I là iđêan của vành Noether R, M là một R môđun–

hữu hạn sinh, n là một số nguyên dơng, khi đó H I j (M) hữu hạn sinh với khi và chỉ khi với một số nguyên k, I k H I j (M) = 0, ∀j < n.

Chứng minh Đợc suy ra từ Định lí 2.1.11 và Hệ quả 2.1.12

2.1.14 Mệnh đề Giả sử I là iđêan của vành Noether R, M là R-môđun hữu

hạn sinh Giả sử i∈ Ơ sao cho H I j (M) là hữu hạn sinh với mọi j ∈ {0, 1, 2,…, i

- 1} và N ⊆ H I i (M) là môđun con hữu hạn sinh Khi đó

#Ass R (H I i (M)/N) < ∞ Chứng minh Trờng hợp i = 0 là rõ ràng vì khi đó H I 0 (M) = ΓI (M) ⊆ M là

môđun hữu hạn sinh

M/xM, ρ là đồng cấu tự nhiên, δ là đồng cấu nối,

(N) a δ (m) (với mọi m ∈ H I i-1 (M/xM), ϕ đợc xác định bởi

u + N a xu

N là hữu hạn sinh nên δ − 1(N) là hữu hạn sinh , ta có dãy khớp

H I j-1 (M)  →H I j-1 (M/xM)  → H I j (M) , ∀ ∈j Ơ

Vì vậy theo quy nạp ta có

T := 1(1 / )

( )

i I

#Ass R (N) < ∞ Do hợp của hai tập hữu hạn là một tập hữu hạn nên để chứng

minh #Ass R (H I i (M)/N) < ∞, ta chứng minh Ass R (H I i (M)/N) ⊆ Ass R (T) U

h ∈ H I i (M) hợp lý ta có p = 0 : R Rρ(h).

hoán (*) cho ta dãy khớp

0  → U  δ:→ Rρ(h)  ϕ:→ ϕ(Rρ(h)) → 0 (**)

∀v ∈ Rρ(h) Do U là môđun con của T nên ta có

Ass R (Rρ(h)) ⊆Ass R (U) ⊆ Ass R (ϕ(Rρ(h)))

Lại do, p ∈ Ass R (Rρ(h)) nên p ∈ Ass R (ϕ(Rρ(h))) Vì

ϕ(Rρ(h)) = Rϕ(ρ(h)) = R(ϕ o ρ)(h) = R(i d o(x ))(h) = Rxh

nên p ∈ Ass R (Rxh) Điều này chứng tỏ tồn tại s ∈ R sao cho p = 0 : R Rxsh Vì x

∈I và vì H I i (M) là I - xoắn nên tồn tại n ∈ Ơ sao cho x n (xsh) = 0.

2.1.15 Hệ quả Giả sử I là iđêan của vành Noether R, M là R-môđun hữu

hạn sinh, i∈ Ơ sao cho H I j (M) là hữu hạn sinh với mọi j ∈ {0, 1, 2,…, i - 1} Khi đó

#Ass R (H I i (M)) < ∞.

Chứng minh Kết quả đợc suy trực tiếp từ Mệnh đề 2.1.14

2.1.16 Bổ đề Cho I là iđêan của vành Noether R và L là một R-môđun sao

cho #Ass R (L) < ∞ Giả sử với mỗi p ∈ Ass R (L), tồn tại n p ∈ Ơ sao cho (I n p L) p

= 0 Khi đó, I n L = 0 với n = max{n p / p ∈ Ass R (L)}.

Chứng minh Giả sử x ∈ L tuỳ ý và t 1 , t 2 , , t r ∈ L sao cho

I n x =

1

r i i

do x ∈ L là tuỳ ý nên ta có điều phải chứng minh.

2.1.17 Định lí Giả sử I là iđêan của vành Noether R, M là R-môđun hữu hạn

sinh, r∈ Ơ Khi đó các phát biểu sau tơng đơng:

(i) H I i (M) là R - môđun hữu hạn sinh với mọi i < r;

(ii) H I i (M) p là R p - môđun hữu hạn sinh với mọi i < r và p ∈ Spec(R);

(iii) H I i R p (M p ) là R p - môđun hữu hạn sinh với mọi i < r và p ∈ Spec(R) Chứng minh:(i) ⇒ (ii): là tính chất cơ bản của địa phơng hoá.

(ii) ⇔ (iii): Ta chứng minh H I i (M) p ≅ H I i R p (M p ) Kết quả này đợc suy ra từ Hệ

quả 2.1.5

(ii) ⇒ (i): Chúng ta chứng minh bằng phơng pháp quy nạp theo r.

sinh

∞ Lấy p ∈ Ass R (L) Theo giả thiết qui nạp L p là hữu hạn sinh nh một R p

(I n p L) p = I n p R p L p = (IR p ) n p L p = 0.

áp dụng Bổ đề 2.1.16 ta có đợc điều phải chứng minh

2.1.18 Hệ quả Giả sử I là iđêan của vành Noether R, M là R-môđun hữu hạn

sinh Khi đó

f a (M) = min{f aR p (M p ) p∈Spec(R)}

= min{f aR p (M p ) pVar I( )I Supp(M)}.

Chứng minh Theo Định lí 2.1.17 suy ra điều phải chứng minh

2.2 Dãy chính qui I - lọc