Nhóm abel hữu hạn sinh và phân tích nhóm

Một số nhóm Abel hữu hạn sinh đặc biệt .... Nhóm Abel hữu hạn sinh và phân tích nhóm là hai vấn đề quan trọng trong lí thuyết nhóm và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

======

NGUYỄN THỊ MAI PHƯƠNG

NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH

VÀ PHÂN TÍCH NHÓM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN THỊ KIỀU NGA

HÀ NỘI - 2015

Do trình độ chuyên môn còn hạn chế , thời gian nghiên cứu eo hẹp nên khóa luận này còn tồn tại nhiều thiếu sót Em kính mong nhận được sự phê bình góp ý của các thầy cô cùng toàn thể các bạn để khóa luận này trở nên hoàn thiện hơn

Em xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2015

Sinh viên

Nguyễn Thị Mai Phương

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo - TS Nguyễn Thị Kiều Nga

Trong khi nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Những kết quả nêu trong khóa luận chưa được công bố trên bất cứ công trình nào khác

Hà Nội, tháng 05 năm 2015

Sinh viên

Nguyễn Thị Mai Phương

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Nhóm, nhóm con 3

1.2 Tập sinh của nhóm 5

1.3 Cấp của nhóm, cấp của phần tử trong nhóm 5

1.4 Định lí Lagrange 6

1.5 Nhóm con chuẩn tắc, nhóm thương 6

1.6 Đồng cấu nhóm 7

1.7 Tổng trực tiếp và tích trực tiếp của các nhóm 9

CHƯƠNG 2 NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH 11

2.1 Nhóm Abel tự do 11

2.2 Nhóm Abel hữu hạn sinh 19

2.3 Một số nhóm Abel hữu hạn sinh đặc biệt 24

CHƯƠNG 3 SỰ PHÂN TÍCH NHÓM 28

3.1 Định nghĩa nhóm phân tích được, nhóm không phân tích được 28

3.2 Sự phân tích nhóm 28

3.3 Sự phân tích các nhóm xyclic 31

3.4 Sự phân tích nhóm Abel hữu hạn sinh 35

3.5 Bài tập 42

KẾT LUẬN 52

TÀI LIỆU THAM KHẢO 53

LỜI MỞ ĐẦU

Có thể nói rằng mọi ngành toán học hiện đại ngày nay trong quá trình phát triển đều cần tới các cấu trúc đại số và tất nhiên cả những hiểu biết sâu sắc các cấu trúc này Sở dĩ vì hai đặc trưng cơ bản nhất của toán học là trừu tượng và tính tổng quát, mà hai đặc tính này lại biểu hiện một cách rõ ràng nhất trong đại số

Đối tượng chủ yếu của cấu trúc đại số là nhóm, vành, trường Trong đó nhóm là một trong những đối tượng cơ bản và cổ điển nhất của toán học Nhóm Abel hữu hạn sinh và phân tích nhóm là hai vấn đề quan trọng trong lí thuyết nhóm và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học như phương trình đạo hàm riêng, hàm giải tích, đại số tuyến tính

Với tất cả các ý nghĩa trên và lòng yêu thích chuyên ngành Đại số, mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về một số vấn đề của Đại số hiện đại, cùng

với sự gợi ý và hướng dẫn tận tình của cô giáo - TS Nguyễn Thị Kiều Nga

em mạnh dạn chọn đề tài “ Nhóm Abel hữu hạn sinh và phân tích nhóm

”để làm khóa luận tốt nghiệp của mình

Mục đích và nhiệm vụ chính của đề tài là cung cấp một số kiến thức cơ bản về nhóm Abel hữu hạn sinh và sự phân tích nhóm

Nội dung của đề tài được cấu trúc thành ba chương :

- Chương 1: Kiến thức chuẩn bị;

- Chương 2: Nhóm Abel hữu hạn sinh;

- Chương 3: Phân tích nhóm

Trong đó, qua các định lí 3.4.1, 3.4.2, 3.4.3 ta có thể thấy được sự đẹp

đẽ về cấu trúc của nhóm Abel hữu hạn sinh

Mặc dù đã cố gắng rất nhiều song do chưa có kinh nghiệm, thời gian cũng như năng lực còn hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót

Em rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Nhóm, nhóm con

1.1.1 Nhóm

a Định nghĩa

Định nghĩa 1.1.1

Cho X một tập hợp khác rỗng, (.) là phép toán hai ngôi trên X X được gọi là

một nhóm nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

i) (xy)z = x(yz), với mọi x, y,z  X

ii) Tồn tại phần tử e  X có tính chất: xe = ex = x , với mọi xX

iii) Với mọi xX, tồn tại phần tử x’ X sao cho xx’= x’x = e

Chú ý

 Phần tử e thỏa mãn điều kiện ii) gọi là phần tử đơn vị của nhóm X

 Phần tử x’ thỏa mãn điều kiện iii) gọi là phần tử nghịch đảo của x,

Cho X là một nhóm, với e là phần tử đơn vị Khi đó:

 Phần tử e của X tồn tại duy nhất

 Mỗi phần tử x của X tồn tại duy nhất một phần tử nghịch đảo x-1

Đặc biệt e-1=e ;(x-1)-1=x ; (xy)-1 = y-1x-1, với mọi x, y ∈ X

 Trong nhóm có luật giản ước, tức là với mọi x,y,zX:

= e, với e là đơn vị của X

Nếu X là nhóm Abel thì (xy)n = xnyn , với mọi x,yX

1.1.2 Nhóm con

a Định nghĩa

Cho X cùng với phép toán hai ngôi (.) là nhóm , A là một bộ phận ổn

định của X Khi đó, A được gọi là nhóm con của nhóm X nếu A cùng phép

toán cảm sinh lập thành một nhóm

b Điều kiện tương đương

Một tập con A của nhóm X là một nhóm con của X nếu và chỉ nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

i) Với mọi x,yA thì xyA

ii) eA, với e là phần tử đơn vị của X

iii) Với mọi xA thì x-1 A

Hệ quả Cho X là một nhóm, A ≠ ∅, A⊂X Các điều kiện sau là tương đương

i) A là nhóm con của X

ii) Với mọi x,y A thì xyA, x-1A

iii) Với mọi x,yA thì xy-1A

Giả sử G là một bộ phận của nhóm X Giao của tất cả các nhóm con của

X chứa G là nhóm con của X chứa G gọi là nhóm con sinh bởi G,

kí hiệu : < G >

Trong trường hợp < G > = X ta nói rằng G là một tập sinh của X hay X được

sinh ra bởi G

Nếu G = thì ta viết X = < >

Nếu X không được sinh bởi một tập con thực sự nào của G thì ta nói G là tập

sinh cực tiểu của X

1.3 Cấp của nhóm, cấp của phần tử trong nhóm

i) Cấp của bằng 1 khi và chỉ khi e

ii) Cấp của bằng ∞ khi và chỉ khi với mọi mZ*, e ( hay mọi m,nZ,

m ≠ n thì ≠ )

Cấp của bằng m hữu hạn nếu m là số nguyên dương bé nhất thỏa mãn

1.4 Định lí Lagrange

Cho X là nhóm hữu hạn, A là nhóm con của X Khi đó cấp của nhóm A là ước cấp nhóm X

Hệ quả

 Cho X là một nhóm hữu hạn cấp n thì mọi phần tử X ta có

 Nếu X có cấp nguyên tố thì X là nhóm xyclic sinh bởi một phần tử X, ≠e

 Nếu p là số nguyên tố, là số bất kì thì chia hết cho p

1.5 Nhóm con chuẩn tắc, nhóm thương

ii) Mọi nhóm con của nhóm Abel là nhóm con chuẩn tắc

c) Điều kiện tương đương nhóm con chuẩn tắc

Giả sử A là nhóm con của nhóm X, các điều kiên sau tương đương:

cùng với phép toán hai ngôi (xA)(yA)= xyA là một nhóm, gọi là nhóm thương

Cho X, Y là hai nhóm, cùng với các phép toán hai ngôi tương ứng là () và

(.) Một đồng cấu nhóm từ X đến Y là một ánh xạ f : X → Y sao cho:

f( b) = f( ).f(b) với mọi ∈

Nếu X=Y thì đồng cấu f gọi là một tự đồng cấu của X

Một đồng cấu nhóm và là đơn ánh thì gọi là một đơn cấu, một đồng cấu nhóm và là toàn ánh gọi là một toàn cấu, một đồng cấu nhóm và là song ánh gọi là một đẳng cấu Nếu X=Y thì một đẳng cấu nhóm từ X đến Y gọi là tự

b) Ánh xạ đồng nhất của một nhóm X là một đồng cấu gọi là tự đẳng cấu

Hơn nữa h còn là toàn cấu và gọi là toàn cấu chính tắc

d) Nếu f : X → Y là một đẳng cấu từ nhóm X đến nhóm Y thì ánh xạ ngược

f-1 : Y → X cũng là một đẳng cấu

Ta nói hai nhóm X và Y đẳng cấu với nhau và ta viết X  Y, nếu có một đẳng

cấu từ nhóm này đến nhóm kia

con của X và B là một nhóm con chuẩn tắc của Y Khi đó:

i) f(A) là một nhóm con của Y

ii) f-1(B) là một nhóm con chuẩn tắc của X

d) Tính chất 4

Giả sử f : X Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y Khi đó:

i) f là toàn ánh nếu và chỉ nếu Imf = Y

ii) f là đơn ánh nếu và chỉ nếu Kerf = {ex}

e) Tính chất 5

Giả sử f : XY là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y, p: X

erf

X

K là toàn cấu chính tắc Khi đó:

i) Tồn tại duy nhất đồng cấu nhóm f : X KerfY sao cho f = f p ii) Đồng cấu f là một đơn cấu và Imf = f(X)

Hệ quả: Với mọi đồng cấu f : XY từ một nhóm X đến một nhóm Y, ta có

 là một nhóm và gọi là tích trực tiếp của họ nhóm {Gi} i  I

b) Tổng trực tiếp của họ nhóm {Gi }i  I , kí hiệu i

Chú ý: Nếu tập chỉ số I hữu hạn thì tổng trực tiếp và tích trực tiếp là trùng

(5) Trong nhóm A×B thì A∩B = {e}

(6) Nhóm A×B được sinh bởi tập A∪B tức là A×B = <A∪B>

(7) A, B là các nhóm con chuẩn tắc của nhóm A B

(8) (A B) B,(A B) A

CHƯƠNG 2 NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH

Trong chương này phép toán trên nhóm Abel được viết theo lối cộng và phần tử không luôn được kí hiệu là 0 Trước hết ta đi tìm hiểu về nhóm Abel

Chứng minh

 Giả sử F ứng với ánh xạ f : X  F là một nhóm tự dotrên tập X

Giả sử b  X,  b Ta chứng minhf ( )  f (b) Thật vậy,

chọn g : X  G với g ( )  g (b) Vì (F,f) là nhóm tự do trên X nên tồn tại duy nhất đồng cấu h : F  G sao cho gh f

vì f là đơn ánh nên ta suy ra rằng : i ₒ h = k = j

Vì j là tự đồng cấu đồng nhất nên i ₒ h là toàn cấu, do đói là toàn cấu

Như vậy A = F tức F được sinh ra bởi f ( X)

Định lý được chứng minh

Định lý 2 ( Định lý về tính chất )

Nếu ( F, f ) và ( F’, f’ ) là nhóm tự do trên cùng một tập X thì có một đẳng cấu duy nhất j : F  F’ sao cho j ₒ f = f’

j : F  F’ sao cho j ₒ f = f’ , tức biểu đồ sau giao hoán:

Tương tự tồn tại một đồng cấu duy nhất k : F’  F sao cho k ₒ f’ = f

trong biểu đồ sau:

Bây giờ ta xét h = k ₒ j và tự đồng cấu đồng nhất i của F Trong biểu đồ:

ta có : h ₒ f = ( k ₒ j ) ₒ f = k ₒ f’ = f ; i ₒ f = f, tức (kj)f = if

nên từ tính duy nhất trong định nghĩa ta suy ra rằng k ₒ j = h = i

Vì i là đẳng cấu nên k ₒ j là đơn cấu, do đó j là đơn cấu

Tương tự ta chứng minh được j ₒ k là tự đẳng cấu đồng nhất trên F’, từ đó j ₒ

k là một toàn cấu nênj là một toàn cấu

Định lý 3 ( Định lý về sự tồn tại )

Cho X là một tập bất kì Khi đó luôn tồn tại một nhóm tự do trên X

Chứng minh

Xét tích Descartes T = X × { 1; -1 }

Với mỗi  X , kí hiện 1 = ( , 1) ; -1 = ( , -1)

Định nghĩa khái niệm “chữ” như sau : chữ W là tích hình thức hữu hạn những phần tử của T, tức là có dạng 1 2

1 2 n

n

a a  a ; i  X,i = 1, n , các i có thể trùng nhau, i  { 1, -1 }, i = 1, n Chữ W được gọi là rút gọn nếu trong biểu

diễn của W không có trường hợp a 1 đứng cạnh a -1 , a X

Kí hiệu e thay cho “chữ rỗng”, tức là chữ “không có phần tử nào của

X”

Kí hiệu F là tập tất cả các chữ rút gọn và phần tử e

Trên F xác định phép toán hai ngôi như sau:

Giả sử u vàv là hai phần tử tùy ý củaF

Ta có h là một đồng cấu nhóm và với mọi a  X :

( h ₒ f )(a) = h[ f (a) ] = h (a’) = [ g (a) ]’ = g (a)  h ₒ f = g

Chứng minh tính duy nhất của h Thật vậy,

Giả sử tồn tại đồng cấu k : F  Y sao cho k ₒ f = g Khi đó:  F, giả sử

Mọi ánh xạ g : X  Y đều mở rộng thành đồng cấu h : F  Y Khi đó

ta gọi F là nhóm tự do sinh bởi tập X

Mặt khác S = g( S )  h( S )( do h là mở rộng của g) Do đó h là toàn cấu Theo định lý cơ bản của đồng cấu nhóm ta có:

h : F  X sao cho biểu đồ sau giao hoán:

Tức là gh f

b) Tính chất

Tương tự như nhóm tự do, ta có

 Định lý 1

Nếu một nhóm F cùng với một ánh xạ f : S  F là một nhóm Abel tự

do trên tập S thì f là đơn ánh và ảnh của nó f ( S ) sinh ra F

Kí hiệu F = {  : S  Z sao cho ( S ) = 0 với hầu hết s  S }

Xác định phép toán cộng trong F như sau

Với mọi ,  F, s  S : (  + )( s ) = ( s ) + ( s )

Suy ra  +  F

Phép toán cộng trên là phép toán đại số hai ngôi xác định trên F Dễ dàng kiểm tra được ( F, + ) là nhóm Abel, với phần tử trung hòa là  : S  Z với

( s) = 0 với mọi s  S, phần tử đối của  là -: S Z với ( - )( s ) = -( s ) Xác định ánh xạ f : S  F

Khi đó ( F, f ) là một nhóm Abel tự do Thật vậy,

giả sử g : S  X là ánh xạ tùy ý từ S đến nhóm Abel X Khi đó ánh xạ:

Nhận xét: Vì f : S  F là đơn ánh nên tính chất đồng nhất S với f ( S )và khi

đó F =< S > Ta có ánh xạ g: S  X đều mở rộng duy nhất thành đồng cấu

h : F  X , do đó nói gọn F là nhóm Abel tự do xác định trên S

Giả sử F là nhóm Abel tự do sinh bởi S Khi đó phép nhúng g : S  X

mở rộng ra thành một đồng cấu h : F  X , ta có h( F )  X (1)

Mặt khác S = g( S )  h( F ) ( do h là mở rộng của g ), mà X là nhóm sinh bởi S nên X  h( F ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra X = h( F )  h là một toàn cấu Khi đó theo định lý

cơ bản của đồng cấu nhóm ta có : F KerhX

Ta gọi tập sinh S là một cơ sở của nhóm Abel tự doF, S gọi là hạng

của nhóm Abel tự doF, kí hiệu là rank( F )

2.2 Nhóm Abel hữu hạn sinh

2.2.1 Định nghĩa

Một nhóm Abel X gọi là hữu hạn sinh nếu nó có một tập sinh hữu hạn

2.2.2 Tính chất của nhóm Abel hữu hạn sinh

Giả sử (F, f ) là một nhóm Abel tự do sinh ra bởi S suy ra rank (F ) = n

Lấy g : S → X là phép nhúng chính tắc Vì (F,f) là nhóm Abel tự do nên tồn

tại duy nhất đồng cấu h : F → Xsao cho h f = g

Ta cần chứng minh hlà một toàn cấu Thật vậy:

Mặt khác S = g( S ) = (h ○ f )( S ) = h[ f ( S )] ⊂

Từ (1) và (2) suy ra = X Vậy h là một toàn cấu Theo định lý cơ bản

về đồng cấu nhóm ta có ≅

Định lý được chứng minh

Định lí 2

Mỗi nhóm con G của nhóm Abel tự do F hạng n là nhóm Abel tự do

và rank(G) = m Hơn nữa có một cơ sở S = { u1, u2, , un} của F và một

cơ sở B = {v1, v2, , vm} của G sao cho vi = ti ui ,i = trong đó ti là các

số nguyên dương thỏa mãn: ti chia hết ti + 1 , i=

có giá trị nhỏ nhất có thể được

Đặt t1 = Theo định nghĩa của số nguyên dương có một phần tử

v1∈ G sao cho t1 xuất hiện như là một hệ số trong biểu diễn của v1 Bằng cách hoán vị các phần tử cơ sở x1, x2, , xn (nếu cần) ta có:

v1 = t1x1 + t2x2 + + tnxn

Trong đó k1, k2, , kn là những số nguyên

Chia các số nguyên k1, k2, , kn cho số nguyên dương t1, ta được:

k = qt + r ,

Nếu kí hiệu u1 = x1 + q2x2 + + qnxn thì ta được cơ sở của F sao cho v1 = t1u1 + r2x2 + + rnxn

Vì nên từ sự lựa chọn của số dương t1 suy ra ri = 0,

∀ Khi đó v1= t1u1

Gọi H là nhóm con của F sinh bởi n – 1 phần tử x1, x2, , xn-1 thế thì là H nhóm Abel tự do hạng n – 1

Xét nhóm con K = H ∩ G của nhóm con G của F

Vì H là nhóm Abel tự do hạng n – 1 và K là nhóm con của H nên từ giả thiết

quy nạp ta có rank ( K ) ≤ n – 1

Giả sử rank ( K ) ≤ n – 1 thì m – 1 ≤ n – 1 suy ra m ≤ n Lại theo giả thiết quy

nạp có một cơ sở { u1, u2, , un} của H và một cơ sở {v2, , vn} của K sao cho vi = t1ui , i = , trong đó t2, t3, , tm là những số nguyên dương sao cho

Vì K là nhóm Abel tự do với cơ sở {v2, , vm} nên :

y= d2v2+…+dmvm, trong đó d2,…,dm là những số nguyên

Khi đó g= d1v1+d2v2+…+dmvm

Suy ra { v1, v2, , vm} là một cơ sở của G

Ta cần phải chứng minh t1 chia hết t2 Thật vậy chia t2 cho t1 ta được:

t2 = q0t1+r0 , 0≤ r0 ≤ t1

Xét phần tử w1= u1- q0u2 thế thì { w1 , u2, , un} cũng là một cơ sở của F Đối với cơ sở này ta có :

Mọi nhóm Abel với n phần tử sinh đều đẳng cấu với một tổng trực tiếp của

n nhóm xyclic cấp t1, t2,…,tn với 1≤ t1 ≤ t2≤…≤tn ≤∞ và mọi ti+1 đều chia hết cho ti trong trường hợp ti+1 là hữu hạn

Chứng minh

Giả sử X là một nhóm Abel tùy ý cho trước với một tập S={x1, x2, , xn},

Theo định lí 1 ta có X đẳng cấu với nhóm thương F G của nhóm Abel tự

do F hạng n sinh bởi S trên một nhóm con G

Theo định lí 2 ta có G là một nhóm Abel tự do hạng m ≤ n và ta có một

cơ sở của F là α = { u1, u2, , un} và một cơ sở β = { v1, v2, , vm} của G thỏa mãn vi = ti.ui , i = , trong đó t1, t2, , tm là những số nguyên dương với ti + 1 chia hết cho ti , i= Bây giờ ta xác định các nhóm xyclic C1,

C2, …, Cn như sau:

- Nếu i ≤ m thì Ci là nhóm xyclic cấp ti sinh bởi một phần tử

- Nếu i > m thì Ci là một nhóm xyclic vô hạn với phần tử sinh

Gọi là tổng trực tiếp của n nhóm xyclic C1, C2, …, Cn Ta sẽ chứng minh

F

G 

Các phần tử của  là các hàm : M  C từ tập M = { 1, 2, …, n} vào tập 1

,

0,

i i j

q t i m k

Một nhóm Xđược gọi là nhóm xyclic nếu Xđược sinh ra bởi một phần tử

a ∈X Phần tử a gọi là phần tử sinh của nhóm X, kí hiệu X = < a >

Chú ý: ∈ Do đó

- Nếu phép toán hai ngôi trong X là phép toán cộng thì ∀ ∈

- Nếu phép toán hai ngôi trong X là phép toán nhân thì ∀ ∈