Về k dạng vi phân trong rn

Lời nói đầu Lý thuyết về dạng vi phân đ-ợc trình bày trong nhiều giáo trình Hình học vi phân.. để trình bày và chứng minh chi tiết một số tính chất về k - dạng vi phân trong n.. Ngoài r

Đ 2 ánh xạ tiếp xúc và đối tiếp xúc 24

II.2.1 ánh xạ tiếp xúc (Ta xét trên n) 24

Lời nói đầu

Lý thuyết về dạng vi phân đ-ợc trình bày trong nhiều giáo trình Hình học vi phân Các dạng vi phân có nhiều ứng dụng trong toán học và vật lý học của lý thuyết tích phân Dạng vi phân cấp k nó có tính chất và ứng dụng vào việc tính tích phân trên k - dạng vi phân Những tính chất này phải kể đến kết quả của Cartan [1], Đoàn Quỳnh [5], M.Xpivak [8]

Trong khoá luận này chúng tôi đã tổng hợp các tài liệu [1], [4], [5], [8] để trình bày và chứng minh chi tiết một số tính chất về k - dạng vi phân trong n Ngoài ra bằng việc sử dụng k - dạng vi phân chúng tôi đã trình bày

ánh xạ tiếp xúc và đối tiếp xúc để ứng dụng vào tính tích phân của một dạng

vi phân dọc theo một đ-ờng cong

Vì vậy chúng tôi đặt cho tiêu đề của khoá luận là Về K - dạng vi phân trong n

Khoá luận gồm 4 phần: Phần mở đầu, phần nội dung, phần kết luận và tài liệu tham khảo

Phần nội dung chia làm 2 ch-ơng:

để thuận tiện cho việc trình bày ở ch-ơng II và ứng dụng cho phép tính tích phân dọc theo một đ-ờng cong trên một dạng

Ch-ơng II: K - dạng vi phân trong  n

Trong ch-ơng này đầu tiên trình bày khái niện K - dạng vi phân trong 

n

và chứng tỏ rằng với K - dạng vi phân có thể tiến hành các phép toán theo các quy tắc bao quát đ-ợc thực hiện trên không gian k(n) = {tập hợp các K - dạng vi phân khả vi}

Trong quá trình nghiên cứu chúng tôi đã chứng minh đ-ợc rằng số chiều của không gian k

Khoá luận đ-ợc thực hiện tại khoa Toán, Tr-ờng Đại học Vinh D-ới sự h-ớng dẫn tận tình của thầy giáo: ThS Nguyễn Hữu Quang và sự giúp đỡ nhiệt tình của thầy giáo PGS-TS Nguyễn Hữu Quang và các thầy cô giáo trong khoa Toán cùng với gia đình và bạn bè

Nhân dịp này em chân thành cảm ơn sâu sắc tới các thầy giáo P.GS-TS Nguyễn Hữu Quang và ThS Nguyễn Hữu Quang cùng với các thầy cô giáo trong khoa Toán, Tr-ờng Đại học Vinh Xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã giúp

đỡ tạo điều kiện cho em trong quá trình học tập và hoàn thành khoá luận tốt nghiệp này

Trong thời gian làm luận văn, em đã cố gắng hết sức song vì khả năng

có hạn nên trong luận văn chắc chắn có nhiều thiếu sót Kính mong sự góp ý của các thầy, cô và các bạn Xin chân thành cảm ơn !

Vinh, ngày tháng 5 năm 2004

Tác giả

+ g ( x1 , x2 , , xk )

+ h ( x1 , x2 , , xk ) = (f + g) ( x1 , x2 , , xk )

+ h ( x1 , x2 , , xk ) = ((f + g) + h) ( x1 , x2 , , xk )

3 Lk có phần tử đơn vị là ánh xạ không: 

Thật vậy: ( f  )( x1 , x2 , , xk ) =f ( x1 , x2 , , xk )

+ ( x1 , x2 , , xk ) = f ( x1 , x2 , , xk )

- f ( x1 , x2 , , xk )

= (f - f) ( x1 , x2 , , xk )

+ .g ( x1 , x2 , , xk ) = ( f + g) ( x1 , x2 , , xk )

(f + g) = f + .g

= (f ( x1 , x2 , , xk )

(f) = (f

8 (1.f) ( x1 , x2 , , xk )

= 1.f ( x1 , x2 , , xk ) = f ( x1 , x2 , , xk )

f : k - tuyến tính

Xác định:

k

1 i i

f ( e , e , , e )

k 2

1 j j j

k 2 1 k 1

i

i i

i i

i 2 k 2 k

1

k 2

1 j j j

1 j j j

 

i

i

i i

i 2 k f 2 k

 ( e , e , , e )

k 2

1 j j j

i i

i i

i 1 k a 1 k

k

1 i i

a = f ( e , e , , e )

k 2

f (x 1 , x 2 , ,x k ) =

k

1 i i

i

i i i i

i ( e , e , , e ) x

k 2

1 k

= 

i

i i

i i

i i

i i

i i

i 1 k a 1 k f

VËy (*) lµ hÖ sinh

  i i 1 i , , i n

k 1 k

1

f   lµ c¬ së cña Lk

 dim Lk = nk 

I.1.2 K - D¹ng tuyÕn tÝnh ph¶n xøng

I.1.2.1 §inh nghÜa.

¸nh x¹ f Lk, f - ®-îc gäi lµ k - d¹ng tuyÕn tÝnh ph¶n xøng nÕu vµ chØ nÕu:

f ( x1 , , xi , , xj , , xk )

= - f ( x1 , , xj , , xi , , xk )

Vậy Ak : là không gian véc tơ con của Lk

I.1.3 Tích ngoài các k- dạng tuyến tính phản xứng

và g là: f  g Đ-ợc xác định bởi ánh xạ

h = f  g :  

(x 1 , ,x k+l )  h (x 1 , ,x k+l )

Trong đó:

h(x 1 , ,x k+l ) = f  g(x 1 , ,x k+l )

= sign f ( x ( 1 ) , , x ( k ) ) g ( x ( k 1 ) , , x ( k l ) ) P

Với điều kiện:

* Chú ý: Khi chuyển từ dãy: (j, i) = (j 1 , j 2 , , j l , i 1 , , i k )

sang dãy (i, j) = (i 1 , , i k , j 1 , j 2 , , i l )

thì chỉ cần thực hiện trên j l, k- phép chuyển vị những phần tử liền nhau để đ-a

nó về vị trí cuối cùng, rồi thực hiện trên j l-1, k- phép chuyển vị kế tiếp và cứ

nh- thế cả thảy có l.k phép chuyển vị những phần tử kế nhau Mặt khác mỗi

phép đều có tính chặn lẻ của số nghịch thế

Đ 2 Tr-ờng véc tơ trong n

Trong không gian n

= {X (x 1 , , x n ) | x i, i = 1 , n }

Ta xem mỗi phần tử X là một điểm

Trong hệ toạ độ Dercarrtes vuông góc trong En thì ta có thể đồng nhất

En với n

(En : không gian Ơclít n- chiều với nền là En

)

I.2.1 Tr-ờng véc tơ trong n

I.2.1.1 Định nghĩa

Véc tơ tiếp xúc là một cặp (p , a

), trong đó p là một điểm, còn a

là một véc tơ thuộc n

Ký hiệu là ap

Khi đó :  p n, ta kí hiệu : Tpn = { ap

I.2.2 Tr-ờng mục tiêu

n- tr-ờng véc tơ (khả vi) {U 1 , U 2 , , U n } trên U sao cho với mỗi p  U, {U 1 (p), U 2 (p), , U n (p)} là một cơ sở của T p U

p  

I.2.2.2.Chú ý:

Cho tr-ờng mục tiêu {E 1 , E 2 , , E n } , trong đó E i (p) = (p, ei

), gọi là tr-ờng mục tiêu tự nhiên trên n

I.2.2.3 Định nghĩa Giả sử {E 1 , E 2 , , E n } tr-ờng mục tiêu tự nhiên và

X  E n : X (X 1 , , X n ) = X 1 E 1 + +X n E n Khi đó: X - khả vi nếu X j - khả vi,  j = n 1 ,

I.2.3 Cung tham số

I.2.3.1 Định nghĩa: Mỗi ánh xạ  : J  n , từ một khoảng J  vào , gọi

là 1 cung tham số (hay một quỹ đạo) trong n

thì cho một cung tham

số  : J  n

, t-ơng đ-ơng với cho hàm véc tơ :  : J  n

xác định bởi:

) t (

Khi đó ảnh của  là đ-ờng thẳng đi qua O với véc tơ chỉ ph-ờng là n

thì t  '(t) = ((t), '(t)) là một tr-ờng véc tơ và đ-ợc gọi là tr-ờng

véc tơ tiếp xúc với , kí hiệu là '

Ch-ơng II

K - dạng vi phân trong n

Đ 1 K - dạng vi phân trong n

II.1.1 Định nghĩa k - dạng vi phân trong n

Xét trong n với mục tiêu tự nhiên : {0, e1 , e2 , , en

Nh- vậy, một k - dạng vi phân chính là việc đặt tại mỗi điểm p - một

ánh xạ k- tuyến tính phản xứng của Ak(p)

* Chú ý: Một k- dạng  thì tác động vào một bộ k - tr-ờng véc tơ thì cho một hàm số

); 1 , 2 k

VËy k

: lµ modul 

ii) Với 2 phép toán: 1 + 2 : p  1 (p) + 2 (p),  p n

  : p  (p),  p n

Ta thử 8 điều kiện của không gian véc tơ

Chứng minh (1), (2) hoàn toàn t-ơng tự câu i)

1 dx dx } dx

là cơ sở của modul k

Chứng minh Ta cần chứng minh:

i) { dx dx dx }

k 2

i    độc lập tuyến tính ii) { dx dx dx }

k 2

i

i i

i

i



k 2

i

(

k 2

i dx dx

k 2

i , E , , E

k 2

i



k 2

i dx dx

k 2

Ta lấy: k (n) X1 = 



n

1 i

i i

k 1

p

k 2 , 1

) k i ( )

1 i ( , X X

sign

i i

k 1

p

k 2 , 1

) k i ( )

1 i ( , X X

sign

i i 1

k 1

p

k 2 1

) k i ( )

1 i (

k

1 i i A

Khi đó:

(X 1 , X 2 , , X k ) = ( sign X , X )

n

n i

i i 1

k 1

p

k 2 1

) k i ( )

1 i (

A (1)

Mặt khác :

k 1 k 2 1

i

i n i

i i 1

i i 1

k 1

p

k 2 1

) k i ( )

1 i (

A (2)

Từ (1) và (2) ta có:

 =

k 1 k 2 1

i

i n i

i i 1

 =

k 1 k 2 1

i

i n i

i i 1

1 dx dx } dx

1 k ( )

k ( )

1 (

) l k ( ) 1 k (

) k ( ) 1 (

 (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ) = (x 1 ,x 2 ).(x 3 , x 4 , x 5 ) - (x 1 ,x 3 ).(x 2 , x 4 , x 5 )

+ (x 1 ,x 4 ).(x 2 , x 3 , x 5 ) - (x 1 ,x 5 ).(x 2 , x 3 , x 4 ) + (x 2 ,x 3 ).(x 1 , x 4 , x 5 ) - (x 2 ,x 4 ).(x 1 , x 3 , x 5 ) + (x 2 ,x 5 ).(x 1 , x 3 , x 4 ) + (x 3 ,x 4 ).(x 1 , x 2 , x 5 )

1 k ( )

k ( )

1 (

Ta xét hoán vị  chuyển dãy {1, ,k+l} thành dãy {k+1, ,k+l, 1, ,k}

Khi đó: ( = (-1) k.l, bởi vì thực hiện  lần phải tiến hành k.l lần đổi chỗ liên tiếp 1, ,k với k+1, ,k+l

Do đó:

 (X 1 , ,X k+l ) = (-1) k.l ( ) ( X , , X ) ( X , , X )

) k ( )

1 ( )

l k ( )

1 k (

Trong đó  chạy qua tập hợp các hoán vị thoả mãn điều kiện (*)

Mặt khác phép nhân các vô h-ớng là giao hoán, nên ta có thể thay đổi chỗ trong mỗi phép nhân

 (X 1 , ,X k+l ) = (-1) k.l ( ) ( X , , X ) ( X , , X ).

) l k ( )

1 k ( )

k ( )

1 (



i i

dx x f

ii) XÐt ¸nh x¹ d : kk+1

  d

k 1

i i

i

i i

i

dx

k 1

k

1

i i

i i

i

i n

1 i i

i

dx

dx ) dx x

) xy ( dx x

) xy

) yz ( dx x

) yz

) xy ( dx x

) xy

) xz ( dx x

) xz (

) yz x ( dx x

) yz x

k 1 k 1

i i

i

i i

i

dx

k 1 k 1

i i

i

i i

i

dx

k 1 k 1 k 1

i i

i

i i

i i

i

dx

dx )

i i

i i

i

i i

i

dx

dx ) dx x

k 1

k 1

i i

i i

i

i i

i

dx

dx ) dx x

= d + d

 d( +  = d + d

*  =

k 1

k 1 k 1

i i

i

i i

i

dx

dx )

k 1

k 1

i i

i i

i

i i

i

dx

dx ) dx x

) (

k 1

k 1

i i

i i

i

i i

i

dx

dx dx x

k 1

k 1

i i

i i

i

i i

i

dx

dx ) dx x

) d

)) d ( d

hợp và tính chất phép nhân phân phối đối với phép cộng nên ta chỉ cần xét 

và  có dạng nh- sau:

 = f

k 2

i n

1 i

i i

dx

dx dx

dx x

d =

l 2

j n

1 i

i i

dx

dx dx

dx x

k

i n

1 i

i i

dx

dx dx

dx dx x

) g f (      

k

i n

1 i

i i i

dx

dx dx

dx dx ).

x

g f g x

l 1

k

i i i

j j

i i

) dx

dx dx x

g (

l 1

i i

i i

) dx

dx dx

dx gdx x

i i

i i

k

) dx

dx dx dx

dx x

g f ) 1 (

(

l 1

k 1

(do dx i ở trong   d nẳm ở vị trí thứ k+1 nên khi đ-a dx i lên vị trí thứ

một ta phải thực hiện đổi dấu k lần)

Do đó:

i

dx

dx dx

dx gdx x

j j

i i

i i

l 1

k

1 dx dx dx dx

dx x

g f

j j

i i

i i

l 1

k

1 dx dx dx dx

dx x

) g f (

(2)

Từ (1) và (2)  đpcm

Đ 2 ánh xạ tiếp xúc và đối tiếp xúc

II.2.1 ánh xạ tiếp xúc (Ta xét trên n)

Hãy xác định f *p với p(1,2)

Giải: (+) p(1,2)  f(p) = (1, 3, 2)

(+) f *p : T p(2)  T f(p)(3) (+)p (a,b), xét ánh xạ : (a,b) 3

VËy: f *p (p ) = (a, a+b, 2a+b)

II.2.1.3 §Þnh lý

Ta gäi J p =

p x

n x

n

x

1 x

1

m 1

m 1

f

f

f

0 ) t ( '

p ) t (

) t ( x

t p

) t ( x

m m m

1 1 1

1 n m

1

1 ( x ( t ), , x ( t )), , f ( x ( t ), , x ( t )) f

dt d

=

0

t n

1 f ) dt

d , , f dt

d (

=       x '

x

f

' x x

f , , ' x x

f

' x x

f

m p m

n 1

p 1

n m

p m

1 1

p 1 1

' x

f

f

m 1

p x

n x

n

x

1 x

1

m 1

m 1

2 1 1

u 1 0

v 1 1

2 1

II.2.2 ánh xạ đối tiếp xúc

0 y

Xét f *: 1(3) 1(2)

  f *

 f *(X) = (f X)

=  (A, yA +xB, 0) = (dx +ydz) (A, yA +xB, 0 ) = (dx + ydz) [AE 1 + (yA+xB)E 2 + 0E 3 ] = A + y.0

= A = dx(X)

Tích phân I không phụ thuộc vào việc chọn tham số của 

Thật vậy, giả sử  có tham số khác ~ : [ a ~ ; b ~ ] n

xác định t ~  ~~ t ) sao cho có vi phôi  : [a, b]  [ a ~ ; b ~ ], xác định t  (t) : = t ~

Với (t) thoả mãn: '(t) > 0,  t và  = ~(t))

Ta có: I = b ( ) ' dt

a

= b ( ~ ( ( t ))) ( ~ ( t ))' dt a

= I ~

VËy: I - kh«ng phô thuéc vµo viÖc chän tham sè cña 

II.3.2 L-u sè cña th-êng vÐc t¬ X däc theo cung 

1

3

t 6

9 dt t

1 )

t 2

1

k 2 1

1

2

t dt t

Trong quá trình làm khoá luận, chúng tôi đã làm việc một

cách nghiêm túc, tích cực và sắp xếp lôgic các vấn đề để xây dựng k - dạng vi

đ-ợc định nghĩa trong II.1.1.1 và từ đó thu đ-ợc một số kết quả sau:

Từ nhận xét II.1.1.3 chúng tôi đã xây dựng một modul trên k - dạng

vi phân và trong tr-ờng hợp đặt biệt thì nó là một không gian véc tơ trong định

lý II.1.2.1 Từ đó chúng tôi đã chứng minh đ-ợc số chiều của không gian

k(n) = C n k Luận văn còn đi sâu nghiên cứu phép nhân ngoài () các k - dạng vi phân trong mục II.1.3 và vi phân ngoài các k - dạng vi phân trong mục II.1.4 các kết quả của nó

Trên cơ sở đó chúng tôi đã nghiên cứu ánh xạ tiếp xúc và đối tiếp xúc trong mục II.2.1 và mục II.2.2 Từ đó áp dụng và đi tính tích phân hàm số dọc theo một đ-ờng cong trong mục II.3.1 Và tính l-u số của tr-ờng véc tơ X dọc theo cung  trong mục II.3.2 Cuối cùng đi tính tích phân của một dạng vi phân dọc theo một cung trong mục II.3.3

Sau khi hình thành khoá luận em thấy có một vấn đề nảy sinh đó là việc tính tích phân trên một đa tạp, dựa vào k - dạng vi phân nh- thế nào? Hy vọng trong thời gian tới em sẽ tiếp tục nghiên cứu vấn đề này./

Tµi liÖu tham kh¶o

[5] §oµn Quúnh : H×nh häc vi ph©n, Nxb Gi¸o dôc, 1999

[6] §oµn Quúnh - TrÇn §×nh ViÖn - NguyÔn H÷u Quang - Tr-¬ng §øc Hinh:

Bµi tËp h×nh häc vi ph©n, Nxb Gi¸o dôc, 1993

[7] NguyÔn V¨n Gi¸m - Mai Quý N¨m - NguyÔn H÷u Quang - NguyÔn Sum -

Ng« Sü Tïng: §¹i sè tuyÕn tÝnh, Nxb Gi¸o dôc, 2000

[8] M Xpivak: Gi¶i tÝch to¸n häc trªn ®a t¹p, Nxb Gi¸o dôc vµ THCN, 1985 [9] B Oneil: Elementary differential geometry Academic press NewYork,

London 1966