Về tích phân các dạng vi phân

Phần mở đầu Phép lấy tích phân các dạng vi phân là một bài toán có nhiều ứng dụng trong việc khảo sát các tính chất hình học trên đa tạp.. Nhờ phép lấy tích phân các dạng vi phân ta cũng

Bộ giáo dục và đào tạo

Tr-ờng Đại học Vinh

Phần mở đầu

Phép lấy tích phân các dạng vi phân là một bài toán có nhiều ứng dụng trong việc khảo sát các tính chất hình học trên đa tạp Nhờ phép lấy tích phân các dạng vi phân ta cũng có thể tính đ-ợc thể tích của các mặt

Vấn đề này đã đ-ợc nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu và trình bày trong các tài liệu nh-: Phép tính vi phân các dạng vi phân của Cartan {xem4}, Hình học vi phân của Đoàn Quỳnh {xem1}và trong một số tài liệu về Hình học định cỡ

Mục đích của đề tài này là trình bày một cách có hệ thống các khái niệm cơ bản và các tính chất Đồng thời chứng minh chi tiết các tính chất đã nêu và chỉ ra một số ứng dụng về tích phân các dạng vi phân để tính thể tích các mặt

Luận văn này đ-ợc trình bày với các mục nh- sau:

Ch-ơng 1- Các ánh xạ đa tuyến thay dấu

Trong mục này chúng tôi nhắc lại định nghĩa dạng k - tuyến tính, dạng

k - tuyến tính thay dấu, phép nhân ngoài; Đ-a ra một số ví dụ, chứng minh các tính chất của ánh xạ k - tuyến tính thay dấu; tính chất phản giao hoán , tính chất kết hợp

Nội dung chính trong mục này là định nghĩa k - dạng vi phân, các phép toán của k - dạng vi phân , phép nhân ngoài , nghiên cứu vi phân ngoài và các tính chất của nó Trình bày định nghĩa, cách tìm ánh xạ đối tiếp xúc chứng minh các tính chất của ánh xạ đối tiếp xúc nh- tính chất tuyến tính, bảo toàn tích ngoài, tính chất giao hoán của ánh xạ đối tiếp xúc với vi phân ngoài

Ch-ơng 3- Tích phân trên đa tạp Riemann và ứng dụng

Trong ch-ơng này chúng tôi đ-a ra cách tính tích phân trên đa tạp Riemann ; Cụ thể trên đa tạp một chiều, tích phân trên ngăn và tích phân trên

đa tạp Riemann tổng quát chỉ ra một số ví dụ cụ thể, chứng minh định lý Stokes trên ngăn Từ định lý Stokes nêu trên chúng tôi đ-a ra hai ứng dụng của nó là công thức Green và công thức Ostrogradski để tính thể tích của mặt trên đa tạp Riemann

Luận văn đ-ợc hoàn thành tháng 11 năm 2002 tại tr-ờng Đại học Vinh d-ới sự h-ớng dẫn của thầy giáo PGS.TS - Trần Ngọc Giao và TS Nguyễn Hữu Quang

Qua đây tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và kính trọng tới các thầy đã đặt vấn đề, h-ớng dẫn và tận tâm giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa sau Đại học, Khoa Toán Tr-ờng Đại học Vinh đã giúp đỡ tác giả học tập và nghiên cứu

Tác giả chân thành cảm ơn Tr-ờng THSP Kỳ Sơn, Phòng Tổ chức - Cán

bộ Sở Giáo dục và Đào tạo Nghệ An, các bạn bè đồng nghiệp đã tạo mọi điều kiện để tác giả yên tâm học tập, nghiên cứu trong thời gian qua để hoàn thành luận văn này

Tác giả

Ch-ơng 1 Các ánh xạ đa tuyến tính thay dấu

xi bằng 0, đặc biệt f triệt tiêu tại 0(0, 0 0)

+ Đối với ánh xạ đa tuyến tính ta có: f(1x1, 2x2, , kxk) = 

+ Nếu k = 1 ta gọi f là dạng tuyến tính

+ Nếu k = 2 ta gọi f là dạng song tuyến tính

1.1.3 Ví dụ: Cho f: E x E  IR

(x, y)  xy

ánh xạ f đ-ợc gọi là song tuyến tính

1.1.4 Mệnh đề: Giả sử f là ánh xạ k - tuyến tính, các điều kiện sau đây là

t-ơng đ-ơng

i) ánh xạ f liên tục tại 0 (0, 0, 0)

ii) ánh xạ f liên tục tại  a  E x E x x E

Chứng minh:  ii,  i hiển nhiên

 i  iii, Ta có nếu f liên tục tại 0(0, 0, 0) thì nghịch ảnh của hình cầu đơn vị trong IR là một lân cận của gốc toạ độ (0, 0, 0) trong E x E x x E Do đó  một

số  > 0 sao cho: ( x < với i)  ( f(x1, x2, , xk)  1)

1.1.5 Nhận xét: Bây giờ ta ký hiệu Lk = f EE ER

k

là tập hợp các ánh xạ k- tuyến tính liên tục Tập hợp đó là tập hợp con của không gian các ánh xạ đa tuyến tính.{E x E x x E  IR.} với phần tử f Lk

k

với x k  1  f sup f(x1,x2, x k) Khi đó theo (*)





 k

i i

x x x f

1 2

1 , )(

1.2 Dạng k- tuyến tính thay dấu

1.2.1 Định nghĩa: ánh xạ f Lk đ-ợc gọi là thay dấu nếu giá trị

f(x1, x2, , xk) của nó bằng 0 mỗi lần xi = xi+1 dù chỉ đổi với một chỉ số i (1  i  k), hay f Lk đ-ợc gọi là thay dấu nếu và chỉ nếu:

f(x1, x2, xi,xj , ,xk) = - f(x1,x2, xj,xi , xk)

Ký hiệu: Ak= f f tuyến tính, thay dấu: E x E x xE  IR 

Quy -ớc với k = 1 mọi ánh xạ tuyến tính f: E  IR đ-ợc xem là thay dấu

1.2.2 Ví dụ: Cho f: E2

x

E2  IR (x,y)  x1y2 - x2y1

với x = (x1, x2) y = (y1, y2) là ánh xạ song tuyến tính thay dấu

1.2.3 Mệnh đề: Ak là một không gian véc tơ con, đóng trong Lk Thực vậy: Giả sử f  Lk là giới hạn của dãy vectơ fn  A k khi đó

Từ (i) suy ra ánh xạ f(x1, x2, , xk) = 0 nếu giá trị của bất kỳ hai biến trùng nhau

Chứng minh: Ta chứng minh (ii): Ta bắt đầu từ tr-ờng hợp khi mà  chuyển

vị đổi chỗ hai số liên tiếp i và (i +1)

Ta cần chỉ ra rằng g (xi + 1,xi) = - g(xi, xi + 1) (**) , trong đó để đơn giản cách viết ta đặt g = (xi,xi + 1) = f (x1, xi,xi + 1, , xk) dĩ nhiên g là hàm song tuyến tính thay dấu

Vì vậy g(xi,xi+ 1)(xi,xi+ 1) = g(xi, xi) +g(xi+ 1, xi+ 1) + g(xi,xi+ 1) +g(xi+ 1, xi)  g (xi+ 1, xi) = - g(xi,xi+ 1) (**)

Bây giờ ta chứng minh (*) cho tr-ờng hợp tổng quát f=  ()f (***)

Vì (1, 2) f = 1(2f) và (1, 2)f = 1(2f)

(1, 2) = (1 ). (2)

Ta thấy rằng nếu bất đẳng thức (***) đúng với = 1 và  = 2 thì nó cũng đúng với  = 1 2 vì nó đúng trong tr-ờng hợp khi  là chuyển vị đổi chỗ hai chỉ số liên tiếp nếu nó đúng với một tích hữu hạn tuỳ ý các chuyển vị nh- vậy

Nh-ng một hoán vị bất kỳ viết đ-ợc d-ới dạng một tích nh- thế nghĩa

là đẳng thức đúng với một hoán vị tuỳ ý  k (k là nhóm tất cả các

hoán vị của tập {1, , k}) điều đó chứng minh khẳng định (ii) còn phải chứng minh (i)

Giả sử xi = xj (i j) tồn tại một hoán vị  sao cho: (1) = i , (2) = j bởi vì hàm f là hàm thay dấu nên f(x (1), , x  (k)) = 0 và nó bằng

+ f (x1,x2, ,xk) nên f(x1, x2, ,xk) = 0

ánh xạ đa tuyến tính f thoả mãn tính chất (ii) đ-ợc gọi là đối xứng nghiêng, tính chất đó đ-ợc viết một cách đơn giản nh- sau: f =  ()f

1.3 Phép nhân ngoài trongAk

1.3.1 Phép nhân các ánh xạ đa tuyến tính thay dấu:

Giả sử f Ak , g  A l để xác định phép nhân giữa g và f tr-ớc tiên cho một ánh xạ tuyến tính : IR x IR  IR ánh xạ song tuyến tính nh- thế cho phép đặt t-ơng ứng f và g ánh xạ h : Ek + l  IR

Cụ thể : h (x1,; , xk, xk +1, ,xk+l) =  (f (x1, ,xk), g (xk+1 , xk+l)).(1.3.1 a)

h đa tuyến tính, liên tục nh-ng nó nói chung không thay dấu nó chỉ thuộc không gian các ánh xạ (k + l) - tuyến tính thay dấu theo k biến thứ nhất (x1,

x2 , xk) và l biến cuối ( x(k+1), ,x(k+l)) Ký hiệu không gian đó là: Ak,l

Bây giờ ta mô tả quá trình chính tắc đặt t-ơng ứng h~ Ak,l với mỗi h

Ak+l Chính xác hơn bây giờ ta xác định một ánh xạ liên tục tuyến tính

và k+1< <k+l Ta còn phải chứng minh rằng h~ là một ánh xạ thay dấu

Giả sử cho một dãy các véc tơ x1, x2, , xk+l  E trong đó hai véc tơ liên tiếp nào đó bằng nhau xi = xi+1ta sẽ chứng minh rằng h~(x1, ,xk+l) = 0

x x x

để chứng minh điều đó ta chia tất cả các phép thế thoả mãn điều kiện ra hai khả năng

 Khả năng 1: Những  sao cho với chúng các chỉ số -1

(i) và -1

(i+1) hoặc cả hai  k hoặc cả hai  k trong tr-ờng hợp thứ nhất xi và xi+1 đứng ở k chỗ đầu tiên trong h(x (1), ,x (k+l) ) vì vậy các số hạng t-ơng ứng với chúng ở trong (1.3.1b) bằng 0 ( h thay dấu theo k- đối số đầu tiên) Trong tr-ờng hợp thứ 2 các số hạng t-ơng ứng bằng 0 theo các nhận xét t-ơng tự

 Khả năng 2: Đ-ợc chia thành hai lớp con:

Các  sao cho -1

(i) k còn -1

(i+1) k và các  sao cho với chúng -1

(i) k +1 còn -1

Ta sẽ chứng minh hiệu đó bằng 0 và do đó hoàn thành việc chứng minh (1.3.1b)

Dãy  (1)  (k+l) khác dãy  (1), ,  (k+l) bởi phép thay lẫn nhau i cho (i+1) nh-ng vì xi= xi+1 nên hiệu (1.3.1c) bằng 0 vì vậy đã xác định bằng công thức (1.3.1a) phép ánh xạ tuyến tính chính tắc.k,l: Ak,l Ak+l

1.3.2.Định nghĩa: Phép nhân ngoài hai ánh xạ đa tuyến tính thay dấu:

Giả sử f  Ak, g Al ; Tích ngoài của f và g ký hiệu f  g Ak+l đ-ợc xác

định nh- sau:(f  g)(x1,x2,., xk,xk+1, ,xk+l) =(  ) f(x (1),x (2), , x (k+1),.,x (k+l)) trong đó  chạy khắp các hoán vị {1, k+l} thoả mãn điều kiện

1< <  (k),  (k+1) < <  (k+l)

1.3.3 Các ví dụ:

Ví dụ 1: Xét k =1, l =1

f A1, g A1là những ánh xạ tuyến tính Thì (f  g) A2 là ánh xạ song tuyến tính

(fg)(x,y) = f(x) g(y) - f(y) g(x).là thay dấu vì vế phải bằng 0 khi x = y

i

x x x x g x

f( ) ( 0, 1, 1 ) )

1 (

Ta sử dụng ký hiệu g(x0, x , ˆi x l ) để chỉ rằng trong dãy x0, x , ˆi x l bỏ qua

số hạng với chỉ số i và nếu k = 0 , l tuỳ ý ta có:

(fg) (x1, ,xl) = f,g(x1, ,xl) f không đổi ánh xạ (f  g) là song tuyến tính nếu ta cố định g thì f  g phụ thuộc tuyến tính vào f và ng-ợc lại nếu ta cố

định f thì (fg) phụ thuộc tuyến tính g

1.3.4 Mệnh đề: Giả sử f Ak , g Al là những ánh xạ đa tuyến tính thay dấu với các giá trị vô h-ớng khi đó: gl fk= (-1)k.l fg

Chứng minh: Ta có (f  g) (x1, x2, , xl+k) = ( ) ( , , ) )

1

x x f x x g

1< < k <k+1 < < k+l vì phép nhân các vô h-ớng là giao hoán, ta có thể

đổi chỗ trong mỗi phép nhân ở vế phải đẳng thức g(x  (k+1) ,x  (k+l)) với f(x (1) ,x  (k)) khi đó vế phải có dạng (-1)k.l(f  g) (x1, ,x(k+l)) hay

gl fk= (-1)kl f  g (đpcm)

1.3.5 Mệnh đề: Phép nhân ngoài các dạng đa tuyến tính thay dấu là kết hợp

Nếu f Ak , g Al , h An thì (fg)  h = f  (gh)

1.3.6 Bổ đề: Giả sử k, l, r là ba số nguyên d-ơng và giả sử Ak, l, r là không gian con trong L(k + l+r) bao gồm các ánh xạ thay dấu theo k biến thứ nhất thay dấu theo l biến thứ hai và thay dấu theo r biến thứ ba

1.3.7 Mệnh đề Giả sử f1, f2 ,fk là những dạng tuyến tính khi đó

(f1  f2   fk) (x1, x2, , xk) =

)(

)(

)()

(

1

1 1 1

k k k

k

x f x f

x f x f

)()(

2 2 1 2

2 1 1 1

x f x f

x f x f

Giả thiết định lý đúng đến k -1

(f1  f2 fk-1)(x1, ,xk-1) =

) (

) (

) ( )

(

1 1 1

1 1 1 1







k k k

k

x f x f

x f x f

) 1 ( 1 ) 1 ( 1

k k k k k

k

x f x

f x f

x f x f

) (

) (

) (

1

1 1 1

k k k

k

x f x f

x f x f

Chứng minh: a) Ta có f1  f2   fk  0  (f1  f2   fk )(x1, x2, , xk) 

0 ; xi  0

Theo mệnh đề trên f1 f2   fk  0 

) (

) (

) ( )

(

1

1 1 1

k k k

k

x f x f

x f x f

) (

)

(

) (

) ( )

(

1

1 1

1

1

k k k

k

k j

x f xj f x

f

x f x f x

  fk 0.(đpcm)

Ch-ơng 2 Các dạng vi phân trên đa tạp Riemann

(M) và  F(M) ta lấy các phần tử ký hiệu bởi +

2.1.3 Ví dụ:

Ví dụ 1: Vi phân của hàm số   F (M) là một dạng vi phân d 

1

(M) xác định bởi (d)p (p) = p [] với   TpM đôi khi viết tắt

(d)p (p) = d (p) hoặc d () khi đã rõ  Tp(M)

Ví dụ 2: Gọi M là tập mở trong E2, giả sử E2 có h-ớng với mỗi p  M

2.2.2 NhËn xÐt: NÕu p, 'p lµ c¸c d¹ng cña líp Cn th× tÝch ngoµi cña

vÞ  cña {1, , k} sao cho (1) < < (k) < (k+1)< <  k+l)

2.2.3 Nhận xét: Xét trong hệ toạ độ {U} ta có:

U=  i1, ,ikd xi1 dxik đây đ-ợc gọi là biểu thức toạ độ của trong {U}

- Khi k =1 trong hệ toạ độ địa ph-ơng ta có:U= 1dx1+ +ndxn

hi k = 2 trong hệ toạ độ địa ph-ơng ta có

(M) là hàm đa tuyến tính thay dấu của 1 , 2, , l và 1 , 2, ,l) (x1, x2, , xl) = 

1(x (1) ,x (xl))

Sing = det (i ) xi c) Giả sử M là đa tạp khả vi n - chiều Xét tổng trực tiếp (M) = 0(M) + + 1

0

 với ii

(M)

Ta đặt: ' = 

n

j i

j i

0 ,

)(  quy -ớc ij = i j

Khi đó (M) trở thành một IR - đại số, đ-ợc gọi là đại số ngoài hay đại số phân bậc.Đại số ngoài là đại số kết hợp, phản giao hoán

2.3 Phép toán vi phân ngoài

Đặt t-ơng ứng với mỗi dạng k

(M) một k+1 dạng nào đó mà ký hiệu là d d k+1(M) đ-ợc gọi là vi phân ngoài của 

dx x

ik i

k i d x

d

1

1

2.3.4 Nhận xét: Giả sử  1(M) điều kiện cần và đủ để d() = 0 là với mỗi p  M ánh xạ song tuyến tính (x1, x2)  (,

1

d(f ) = d 



n i

i

i d x f f

i i

()

i i i

i dx f d f dx df fd f

)

2.3.6 Định lý: Giả sử  k(M), '  l(M) là các dạng vi phân lớp Cn, n  1 khi đó: d(  ') = (d )  ' + (-1)k  (d ')

Chứng minh: a) Ta cần chứng minh d là ánh xạ tuyến tính

Giả sử , ~  k

h k

ij i

ik i

i

1

1 1

 + ' = ( 1, , )

,

1 , ,

ik i

ik

 dxi1 dxi2   dxiki) d( +~ ) = d  + d~

, , 1

i i i ik i i i

dx dx dx

, , 1

i i i ik i i i

dx dx dx

ik i i i

dx

dx

1 1

, , 1 ,

dx x

1

) ' (    dxi1  dxik dxj1  dxjl.

dx x x

1

)

' ' (     dxi1  dxik dxj1  dxjl

1 '

1 '

dx x

1 '

  dxj1  dxjl 





= d  ' + (-1)k   d '

3.3.7 VÝ dô: Trong M = IR.3 cho  = xdy, ' = ydz

j i j

dx x x

1

2   dxi dxi1   dxik

= n j

j i j

dx x x

dx dx x x

i i

j

dx dx

dx x

2.4 ánh xạ đối tiếp xúc

Giả sử Mn là đa tạp Rimann m - chiều có tập bản đồ là {U, }  I

và Nn là đa tạp Rimann n - chiều có tập bản đồ là {U, }  J

2.4.2 Ví dụ: Cho F: IR.2  IR.3

(u,v)  (u, uv, uv2)

) , ( 2 1

2 1

Y Y Y

X X X

B(IR.2) Theo định nghĩa: F*(X, Y) = (X1Y2 - X2Y1)

Mặt khác theo quy tắc ta có: F* = (xdy  dz) (F* X, F*Y)

Theo gi¶ thiÕt suy ra JF =

v

2

012

v

2

012

v

2

012

Chứng minh: Gọi U(Xi) là hệ toạ độ địa ph-ơng trên M

U'(Yi) là hệ toạ độ địa ph-ơng trên N

(W) k

(N) (GF)* :k

(W) k

(M) Gi¶ sö:k(W) víi X1,X2, , Xk b(M)

(G.F)* (X1, X2, , Xk) = ((GF)*X1, , (GF)* Xk)

= (G* (F*X1), , G* (F* Xk)) = G*(F*X1, , F*Xk)

= F* G*(X1, , Xk)  X1,X2, , Xk  b (M)  k

(W) VËy (GF)* = F* G* (®pcm)

Ch-ơng 3 Tích phân trên đa tạp Riemann và ứng dụng

Với đạo hàm (t)  0  t và do đó bảo toàn dấu có thể xảy ra hai tr-ờng hợp:

1 - '(t) > 0 với t tuỳ ý khi đó (a) = a';  (b) = b'

2 - '(t) < 0 với t tuỳ ý khi đó (a) = b';  (b) = a'

Trong tr-ờng hợp 1 ta nói  bảo toàn h-ớng, trong tr-ờng hợp thứ 2 ta nói  đổi (hoặc ng-ợc) h-ớng

Ta chú ý rằng nếu  : [a,b]  IRn là đ-ờng trơn từng khúc thì.~: [a',b'] 

IRn cũng là đ-ờng trơn từng khúc Ta nói rằng ~ nhận đ-ợc từ đ-ờng  bằng cách đôỉ tham số 

Nh- vậy ta có: H-ớng là một lớp các tham số mà phép biến đổi giữa chúng là d-ơng, nếu đã chọn một h-ớng thì đ-ờng cong  đ-ợc gọi là định h-ớng

3.1.4 Tích phân của hàm số dọc theo  trên đa tạp: Cho : M  R

khả vi;   0(M) Giả sử đã đ-ợc định h-ớng khi đó tích phân của  dọc

1

)()

(

n

i

t b

a

i

i

dt t dt

Chứng minh: Theo giả thiết  đóng trong IRn suy ra  khớp khi đó  = d

  F(M) ,  là cung đoạn bất kỳ đi qua A,B định h-ớng, khả vi từng khúc trong M, đ-ợc cách mạng bởi tham số hoá : [t0, t1]  M ; (t0) = A; (t1) = B

Ta có: 



0 1

0 1

0 1

0

)()'.().()(

M chỉ phụ thuộc vào A và B (không phụ thuộc vào cung đoạn đó)

Chứng minh: Giả sử 1 và 2 là hai cung đoạn bất kỳ định h-ớng, khả vi trong M cung i đ-ợc xác định bơỉ tham số hoá.1: [t0, t1]  M , (t0) = A,

(t1) = B Cung 2 đ-ợc xác định bởi tham số hoá: 2: [u0, u1]  M , (u0) =

 = 0 ( 2 là cung đoạn ng-ợc h-ớng của 2)

Gọi  là cung đoạn khép kín trong M khả vi từng khúc (gộp cả hai cung

1 và 2) ta có thể chọn một tham số hoá của  là r : [t0, t1]  M trong đó t0 <

= 0