Dạng vi phân trong e

LỜI NÓI ĐẦU Lí thuyết về các dạng vi phân trong En là một nội dung của hình học vi phân mà từ đầu thế kỉ 20 đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu ,chẳng hạn Riman ,Gauss,Levi-

MỤC LỤC

Trang

1 Đạo hàm của trường vectơ trong E n 4

1.Vectơ tiếp xúc……… 4

2.Trường vectơ tiếp xúc………4

3.Trường vectơ khả vi……….……… 4

4.Đạo hàm của trường vectơ theo một vectơ tiếp xúc ……….6

5.Đạo hàm của trường vectơ theo một trường vectơ……….9

2.Các dạng vi phân trong E n 11

1.Dạng vi phân bậc một trong En ………11

2.Vi phân ngoài của hàm số ………15

3.Dạng vi phân bậc hai trong En………16

4.Tích ngoài của một dạng vi phân……… 19

5.Vi phân ngoài cuả một dạng vi phân……….21

3 Dạng liên thông trong E n 29

1.Ánh xạ tiếp xúc……… 25

2.Ánh xạ đối tiếp xúc………27

3.Ánh xạ đẳng cự,vi phôi đẳng cự……….31

4.Dạng liên thông trong En………32

LỜI NÓI ĐẦU

Lí thuyết về các dạng vi phân trong En là một nội dung của hình học vi phân mà từ đầu thế kỉ 20 đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu ,chẳng hạn Riman ,Gauss,Levi-Civita,Cartan…và đã được trình bày trong nhiều giáo trình của hình học vi phân.Các tính chất cơ bản của chúng đã được trình bày trong các tài liệu [2],[3],[4]….Các dạng vi phân đã có nhiều ứng dụng trong các nghành Vật

lí ,Toán học giải tích…

Các khái niệm cơ bản nhất về dạng vi phân cũng đã được trình bày trong các bài giảng của nhà Toán học Pháp Henry Cartan theo giáo trình “Toán II” của trường đại học tổng hợp Paris vào giữa năm 60

Trong khoá luận này ,công việc chủ yếu của chúng tôi là tập hợp và chứng minh chi tiết một số mệnh đề về dạng vi phân bậc 1 và bậc 2 trong En.Từ đó trình bày dạng liên thông trong En

Khoá luận này được chia thành 3 mục:

1 Đạo hàm của trường vectơ trong E n

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản của hình học vi phân trong En như vectơ tiếp xúc ,trường vectơ tiếp xúc ,trường mục tiêu ,trường mục tiêu song song Từ đó chúng tôi trình bày trường vectơ khả vi,ví dụ và một số phép toán về trường vectơ khả vi.Ngoài ra chúng tôi còn trình bày định nghĩa đạo hàm của trường vectơ dọc theo một vectơ tiếp xúc và dọc theo một trường vectơ Sau mỗi định nghĩa chúng tôi trình bày các tính chất và các ví dụ minh hoạ cho các định nghĩa đó

2.Các dạng vi phân trong E n

Trong mục này,chúng tôi trình bày 1-dạng vi phân trong En ,ví dụ ,vi phân

ngoài của hàm số,2-dạng vi phân trong En

,tích ngoài của một dạng vi phân,vi phân ngoài của 1-dạng vi phân,và một số ví dụ của 2-dạng vi phân

3 Dạng liên thông trong E n

Trong mục này,chúng tôi trình bày ánh xạ tiếp xúc ,ánh xạ đối tiếp xúc ,ánh

xạ đẳng cự ,dạng liên thông trong En

Khoá luận này được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn

tận tình của thầy giáo ,PGS_TS Nguyễn Hữu Quang,sự giúp đỡ nhiệt tình của các

thầy cô giáo trong khoa Toán và gia đình,bạn bè

Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo

,PGS_TS Nguyễn Hữu Quang và sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô giáo trong

khoa Toán trường Đại học Vinh và gia đình , bạn bè đã tạo điều kiện cho tôi suốt

quá trình học tập hoàn thành khoá luận này

Vinh,ngày tháng 5 năm 2004

Tác giả

1.ĐẠO HÀM CỦA TRƯỜNG VECTƠ TRONG E N

Trong mục này,ta luôn kí hiệu En là không gian Ơclit n chiều với nền En

và {0;e1

,e2

,…,en

} là một mục tiêu trực chuẩn En

Như chúng ta đã biết : vectơ tiếp xúc tại một điểm pEn là vectơ p  n

E

có điểm gốc là p

.Không gian các vectơ tiếp xúc với En tại p được kí hiệu là TpEn

.Trường vectơ tiếp xúc trong En là ánh xạ đặt tương ứng với mỗi điểm pEnmột vectơ Xp

( với pEn (i=1,n) gọi là trường mục tiêu song song ứng với cơ

sở đã chọn Khi đó ta sẽ có nhận xét sau:

Giả sử {E1,E2,…,En} là trường mục tiêu và X là trường vectơ bất kì Khi cho

p thay đổi trong En

ta có : X=X1E1+X2E2+…+XnEn với Xi là các hàm số :En R

Khi đó ta nói X(X1,X2,…,Xn)và X được gọi là khả vi khi và chỉ khi Xi khả vi với i=1,n (tức là Xi có đạo hàm riêng và các đạo hàm riêng liên tục)

Ví dụ: Trong E3  0xyz,X=xyE1+y2zE2+z2xE3 Ta sẽ chứng minh được X khả vi Thật vậy,giả sử X(X1,X2,X3) trong đó :

nó là hàm sơ cấp,đạo hàm riêng g3 liên tục vì nó là hàm hằng.Do đó X1 khả vi Chứng minh tương tự ta cũng được X2,X3 khả vi Vậy X khả vi

Từ nay trở đi ta chỉ xét các trường vectơ khả vi

Ta thường kí hiệu (En) là tập các hàm số khả vi trong En

Trong trường hợp riêng  = const, (p)=a ,pEn,ta có aX:p  aXp (3)

1.1 Mệnh đề: B(En) cùng với hai phép toán (1) và (3) lập thành một không gian vectơ thực

Thật vậy,dễ thấy rằng hai phép toán (1) và (3) thoả mãn 8 tiên đề của không gian vectơ.Do đó ở đây ta chỉ thử 3 tiên đề cơ bản ,đó là:

Thử 5 tiên đề còn lại cũng thấy nó thoả mãn

VậyB(En) là không gian vectơ thực

1.2 Mệnh đề: B(En) cùng với hai phép toán (1) và (2) lập thành một Modul

Đối với mệnh đề này ta cũng dễ dàng chứng minh được bằng cách thử 8 tiên đề của Modul

1.3 Định nghĩa:Đạo hàm của trường vectơ X theo một vectơ tiếp xúc p là một vectơ ,kí hiệu là DpX

Khi đó DpX được tính như sau:

dt

x x

x

Y X



 

 1

1 p,…, i

n

n x



 

 1

p)

=D X+D Y

Z Y

X x

Z Y

)

Y x

X X

x

Y

.

1 1

1

x

f Y x

X X

x

Y

i i i

n i

X X

f X

=X[Y(f)]-Y[X(f)]

2.1Định nghĩa: Một dạng vi phân bậc một trong En

là việc đặt tương ứng một điểm p thuộc En

với một ánh xạ tuyến tính p:TpEnR

Từ định nghĩa ta thấy rằng :mỗi Xp

TpEn thì p (Xp

)R.Khi p thay đổi trên

En ta được một tham số  (X) Vậy một dạng vi phân tác động vào một trường vectơ bất kì thì được một hàm số :En

Thật vậy,ta chỉ cần chứng minh p là ánh xạ tuyến tính

Với x 

, y 

TpE2 ;R.Ta có : +p(x 

Vậy  là một dạng vi phân trong E2

2.3 Định nghĩa: Dạng vi phân bậc một  trong En được gọi là khả vi nếu mọi trường vectơ X khả vi trong En

1

+2

:p  1p+2p,pEn; (1) 1

:p  (p)1p,pEn; (2) 1

: p 1p,pEn; (3)

Chú ý : Giả sử X,Y là các trường tiếp xúc trong En ,(En),1

(En).Khi đó ta

có : 1) (X+Y)= (X)+ (Y);

Giả sử {Ui} ni=1 là một trường mục tiêu trong En,X là một trường vectơ bất kì trong

En thì mọi một dạng vi phân trong En hoàn toàn được xác định bởi các hàm số 

i

i i

Giả sử {Ei=

i x





} ni=1 là một trường mục tiêu song song ứng với mục tiêu afin

{0,e1,e2,… ,en}trong En với toạ độ x1,x2,… ,xn..Coi xi:EnR là hàm số trong En

(En) cùng với hai phép toán (1)

và (3) thoả mãn các tiên đề về không gian vectơ và 1

(En) cùng với hai phép toán (1) và (2) thoả mãn các tiên đề về Modul Do đó ở đây chúng ta sẽ chỉ kiểm tra kết luận c) của mệnh đề

Thật vậy,để chứng minh số chiều của Modul 1

(En) bằng n ta sẽ chứng minh {dxi} là cơ sở của 1

(En)

*){dxi} là hệ sinh của 1

(En) Lấy  bất kì thuộc 1

(En) ,X là trường vectơ bất kì trong En

Ta có :  (X) = (xy dx +y2xdy)(xy E1+yE2)

=xydx(xy E1+yE2)+y2xdy(xy E1+yE2)

Suy ra  (XY) =(xdx +yzdy+zxdz)[(1-xy)E1+(yz-x)E2+(x2-z)E3]

=xdx[(1-xy)E1+(yz-x)E2+(x2-z)E3]+yzdy[(1-xy)E1+(yz-x)E2

+(x2-z)E3]+zxdz[(1-xy)E1+(yz-x)E2+(x2-z)E3]

z



+y

z

z



,x

x

x



+1

y

x



+y

z

x



,x

z

x



,z

y

y



+1

z

y



) =(z,0,x)

Suy ra [X,Y] = DXY-DYX=(y-z,x,-x)

Từ đó ta có :

 ([X,Y])=(xdx +yzdy+zxdz)[(y-z)E1 +xE2 –xE3]

=xdx [(y-z)E1 +xE2 –xE3]+yzdy[(y-z)E1 +xE2 –xE3]+zxdz[(y-z)E1 +xE2 –xE3]

.1

(1

Vậy mỗi dạng vi phân bậc hai tác động vào (X,Y) bất kì thì được một hàm số và

nó được xác định bởi:(X,Y)(p)=(Xp,Yp)

y

.trong đó x

y2

-x 2

y 1

) =p (x

Hay p là 2-dạng vi phân trong E2

2.11 Định nghĩa: Dạng vi phân bậc hai  được gọi là khả vi trong En nếu với mọi X,Y khả vi trong En

 (X+X’,Y)= (X,Y)+ (X’,Y);

 (X,Y+Y’)= (X,Y)+ (X,Y’);

(X,Y)=(X,Y)=. (X,Y);

Từ đó suy ra : (X,Y)=(X,Y)=. (X,Y); (đpcm)

2.13.Định nghĩa:Giả sử 1,2 là các 1-dạng vi phân trong En;X,Y là các trường vectơ tiếp xúc trong En.Khi đó 12 (X,Y)=1(X).2(Y)-1(Y)2(X) thì 12

được gọi là tích ngoài của 1 và 2

Nhận xét :

a) 122

(En)

Thật vậy ,để chứng minh , ta chỉ cần chứng minh tính đối xứng của 12

Với X,YB(En),pEn ta có :

b)Đặt1=dxi,2=dxj ,X,Y B (En) thì dxidyj(X,Y)=dxi(X).dxj(Y)-dxj (X).dxi(Y)

Chứng minh: Ta dễ dàng kiểm tra được 2

(En) cùng với hai phép toán xác định ở (1) và (3) thoả mãn các tiên đề của không gian vectơ và2

(En) cùng với hai phép toán xác định ở (1) và (2) thoả mãn các tiên đề về Modul nên 2

(En) là không gian vectơ thực và là Modul.Do đó để chứng minh định lí ta chỉ cần chứng minh kết luận c)

Thật vậy,giả sử {dxidxj} là trường đối mục tiêu của trường mục tiêu {Ei,Ej }

j i j

X

1 ,

) , (

Do  là ánh xạ song tuyến tính ,phản đối xứng nên:

(Ei,Ei)=0

(Ei,Ej)=-(Ej,Ei)

Từ đó ta có :  (X,Y)=



j i

j i j

X

1 ,

) , ( 

j i j

X

1 ,

) , (

j i j

X

1 ,

) , ( 

i j i

X

1 ,

) , (

j j

j i

ij i j j

X

1 ,

)

(

1 ,

Y X X

dx Y dx Y

dx X dx

Y X Y

X dx dx

j n

Từ (*) và (**) suy ra {dxidxj} là cơ sở của 1

 )

=.d +  d’

Vậy d là ánh xạ tuyến tính (đpcm)

i

i i

dx dx

dx dx

=x2ydxdy+xyzdydy+x2zdzdy+xy2dxdz+y2zdydz+xyzdzdz

=x2ydxdy+xy2dxdz+(y2z-x2z)dydz

+)1d=(xydx+yzdy+xzdz)(ydx+(x-z)dy-ydz)

=xy2dxdx+y2zdydx+xyzdzdx+xy(x-z)dxdy+yz(x-z)dydy+xz(x-z)dz

dy-xy2dxdz-y2zdydz-xyzdzdz

=[xy(x-z)-y2z]dxdy-(xy2+xyz)dxdz- [y2z+xz(x-z)]dydz

=(x2y-xyz-y2z)dxdy-(xy2+xyz)dxdz- (y2z+x2z-xz)dydz

Ví dụ 2: trong E3 ,cho  =xdy+dz;=sinydx+zdz;=dx-coszdy

Bây giờ ta tính ,  , ,d,d,d

+)=(xdy+dz)(sinydx+zdz)

=xsinydydx+sinydzdx+xzdydz+zdzdz

=-xsinydxdy-sinydxdz+xzdydz

+)=(sinydx+zdz)(dx-coszdy)

=sinydxdx+zdzdx-sinycoszdxdy-zcoszdzdy

=-sinycoszdxdy-zdxdz+zcoszdydz

3.1 Định nghĩa : Giả sử f: Em  En là ánh xạ khả vi và pEn Khi đó ánh xạ f|

p :Tp Em  Tp En được xác định bởi:

v n  n m t 0

i

1 1  | p.v i x f v  i

2 2   | p.v i x f v ………

  | p.vi i n n x f v Từ đó suy ra [v’] = Jf | p.[v] Ví dụ: Cho f: E2 E3 u,v)  (u.v,u2 ,v2) với p(1,2),v(2,3).Tính f|p (v) Ta có v u 2 1

Jf | p = 2u 0 = 2 0

0 2v p 0 4

Ta suy ra [v’] = Jf | p.[v] 2 1

= 2 0 2

0 4 3

= (7,4,12 )

3.4 Mệnh đề: f|p là ánh xạ tuyến tính

Thật vậy , giả sử u,v TpEn ,R.Ta có:

0 1

i

x x

f







0 2

i

x x

f







0

t

| i

i

n

x

f







*) f|p (u+v) = Jf | p.[u+v] =Jf | p.[u] + Jf | p.[v]

(En) thì f*(X,Y) =  (fX, fY); X,YB (En)

được gọi là ánh xạ đối tiếp xúc của ánh xạ f

3.6 Ví dụ: Cho f: E3

 E3 (x,y,z)  (xy,yz,xz)

=-x2dxdy-y2 dydz+z2dxdz Bây giờ ta tính f*

+Trước hết ta tính fX, fY với X(X1,X2,X3),Y(Y1,Y2,Y3)

Ta có y x 0 X1 yX1+xX2

fX = JfX= 0 z y X2 = zX2+yX3

z 0 x X3 zX1 +xX3

Từ đó suy ra : fX = ( yX 1+xX2)E1+ (zX2+yX3)E2+( zX1 +xX3)E3

Tương tự ta có : fY =( yY1+xY2)E1+ (zY2+yY3)E2+( zY1 +xY3)E3

+ f* (X,Y) = (fX, fY)= (-x2dxdy-y2 dydz+z2dxdz)( fX, fY)

= -x2dxdy(fX, fY)-y2 dydz (fX,fY)+z2dxdz (fX, fY)

=-x2[dx(fX).dy(fY)-dx(fY) dy(fX)] -y2[dy(fX) dz(fY)

-dy(fY) dz(fX) ]+z2[dx(fX) dz(fY)- dx(fY) dz(fX)]

=-x2[(yX1+xX2)(zY2+yY3)-(yY1+xY2)(zX2+yX3)]

-y2[(zX2+yX3)(zY1+xY3)-(zX1+xX3)(zY2+yY3)]+z2[(yX1+xX2)(zY1+xY3) -(yY1+xY2)(zX1+xX3)]

=(y2z2-x2yz-xz2)dxdy(X,Y) – (x2y+yz-xyz2) dxdy(X,Y)

Với ,0

(Em) ;,R ta có : f*(+)=(+)of

(fX)+2

(fX) = f*1

(X) +f*2

(X) =(f*1

Với 2

(En) ;,R, X,YB (En) ta có :

(El)  2

(En) (gof)* : i

= [g(fX), g(fY)]

= g* ( fX , fY)

= f*(g*) (X,Y); X,YB (En)

Vậy (gof)*=f*og*

3.9 Mệnh đề: Giả sử f: Em En là ánh xạ khả vi, 1, 21

(En),khi đó f*(12 )= f*(1)f*(2)



 1

)) =d(f*(f1 dx1+f* dx2+……+f* dxn))



 1

))(Vì f* là ánh xạ tuyến tính ) =(f*d)( );1

(En)

Suy ra df* =f*d (đpcm)

Như chúng ta đã biết :

.Ánh xạ khả vi f:Em En được gọi là ánh xạ đẳng cự nếu với mọi điểm p En thì f|p:Tp Em  Tf(p)En bảo tồn tích vô hướng

.fđược gọi là một vi phôi đẳng cự nếu f là một vi phôi và là một ánh xạ đẳng cự

Trong mục này ,ta xét U là một tập mở trong En và {U1,U2,… ,Un}* là một mục tiêu mới.Khi đó ta có :

E C U

n

j

j

j i

 được gọi là dạng liên thông của En

đối với trường mục tiêu (*)

Ví dụ : Trong E2 =0xy với trường mục tiêu {U1,U2}:

DXU1 =DX(cos.E1+sin.E2)=DX(cos.E1)+DX (sin.E2)

=X[cos].E1+cos.DX E1+X[sin].E2+sin.DX E2

=X[cos].E1+X[sin].E2

Giả sử X(X1,X2),ta có :

DXU1=( 1 cos 2 cos ) 1 ( 1 sin 2 sin )E2

y

X x X E y

X x

=(-x’.sin.X1-y’.sin.X2)E1+(x’.cos.X1+y’.cos.X2)E2

=x’.X1(-sin.E1+cos.E2)+y’.X2(-sin.E1+cos.E2)

= (x’.X1+y’.X2).U2=X[].U2 =d(X).U2;X

Ta suy ra DU1=d.U2

Khi đó 1

1

 = 0;12=d

+ DXU2=DX(-sin.E1+cos.E2)=DX(-sin.E1)+DX (cos.E2)

=X[-sin].E1+(-sin).DX E1+X[cos].E2+cos.DX E2

=X[-sin].E1+X[cos].E2

Giả sử X(X1,X2),ta có:

DXU2=( 1 ( sin ) 2 ( sin )) 1 ( 1 cos 2 cos )E2

y

X x X E y

X x

=-(x’.cos.X1-y’.cos.X2)E1+(-x’.sin.X1-y’.sin.X2)E2

= -x’.X1(cos.E1+sin.E2)+y’.X2(cos.E1+sin.E2)

= -(x’.X1+y’.X2).U1=X[].U1=d(X).U1;X

trận các dạng liên thông của En

trong trường mục tiêu trực chuẩn ,khi đó

Thật vậy,ta có Ui.Uj=ij= 0 nếu ij ; (Vì {Ui} trực chuẩn )

Nên từ công thức DXY Z+Y.D X Z =X [YZ] (Mệnh đề 1.13e)),ta suy ra

Y d

1 1

].

) (

i n

] ).

(

) (

i i n

j

dY

1 1

; )].

( )

j

Y d

1 1

].

) (

C … n

C1 1

trong đó C là ma trận chuyển từ hệ Ui sang Ei

11 12…… n

1

 12 22…… n

2

  = ………

1n n2…… n

n

Khi đó =C-1dC

i j

n

j

j i

C D

n

j

j i

n

j

j k k

i n

k

E C

j k

E C





 1 ,

1

j k k i n

j k

E C





 1 ,

dC

1

k i n

j k

C





 1 ,

1

1 ) (

Trong đó (C-1) là ma trận nghịch đảo của ma trận C= (Cij

) Hay =C-1.dC

Ví dụ:1) Xét trường mục tiêu trực chuẩn trong E3

U1=-sinu.E1+cosu.E2

U2= E3

U3=cosu.E1+sinu.E2

Trong đó E1,E2,E3 à trường mục tiêu song song ứng với mục tiêu {0;e1,e2,e3}

trong E3 - sinu 0 cosu

1 1

cos sin -sind cosd 0 d

=C-1.dC= sin cos -cosd -sind = -d 0

Vậy   2 d

1 1

d

n

l

k l

i j

n

j

j i



Gọi {1,2,… ,n} là trường đối mục tiêu của trường mục tiêu {U1,U2,… ,Un}

1 1

j k n

j

j i j n

j

j i k i k

Suy ra k

(Ei)= C dx E i i n

j

j k

1

1)

1

1))((

1

1)( (1) (do tính chất d(fdx)=dfdx)

n

j

j i k j k

j

j i k j j

j

j i k j n

i

j k i n

j

dx C

dC C

j C C

1

1 )

k

j C C

1

1

0))

j C C

d

1

1

0 ] ) (

1 1

j

j i k

l i

j i k j j

k i n

j

dx C

C C

1 , ,