Tr-ờng vectơ tiếp xúc
Nh- ta đã biết: Vectơ tiếp xúc với E n tại p (pE n ) là một vectơ E n có gốc là p Ta viết (p,) p
1.1 Định nghĩa: Tr-ờng véctơ tiếp xúc trong E n là một ánh xạ: p n
Trong đó: T p E n là không gian các vectơ tiếp xúc với E n tại p
+ Khi X là ánh xạ hằng thì tr-ờng vectơ X gọi là tr-ờng vectơ song song
+ Giả sử {X 1 , X 2 ,…,X n } (*) là n – tr-ờng vectơ trong E n thoả mãn
X 1 p , X 2 p , , X n p là cơ sở của T p E n ; p E n Ta nói (*) là tr-ờng mục tiêu
+ Nếu mọi tr-ờng vectơ X i của tr-ờng mục tiêu X i trên E n là song song thì ta nói tr-ờng mục tiêu đó là tr-ờng mục tiêu song song
+ Cơ sở e i của E n xác định một tr-ờng mục tiêu song song E i trên E n ,
với pE n i 1 , n {E i } đ-ợc gọi là mục tiêu tự nhiên trong E n
+ Giả sử E 1 ,E 2 , ,E n là tr-ờng mục tiêu tự nhiên và X là tr-ờng vectơ bất kú, ta cã sù biÓu diÔn: n n E
X 1 1 2 2 ; với X i là các hàm số E n R
X(X₁, X₂, , Xn) được coi là khả vi nếu và chỉ nếu tất cả các thành phần Xᵢ (với i = 1, n) đều khả vi Điều này có nghĩa là mỗi Xᵢ phải có các đạo hàm riêng và các đạo hàm riêng này phải liên tục.
Trong E 3 Oxyz; xét tr-ờng vectơ X x 2 yE 1 xzE 2 z 2 yE 3
Thật vậy, giả sử X(X 1 ,X 2 , ,X n ) trong đó:
Ta cần chứng minh (X 1 , X 2 , X 3 ) khả vi
Chẳng hạn ta chứng minh X 1 khả vi
Nh- vậy, X 1 có các đạo hàm riêng và g 1 , g 2 , g 3 liên tục vì nó là hàm sơ cấp
Chứng minh t-ơng tự ta cũng có X 2 , X 3 khả vi
- Từ nay trở đi ta chỉ xét các tr-ờng vectơ X khả vi trên E n
- Ta kí hiệu F (E n ) là tập các hàm số khả vi trong E n và
B (E n )= X / X là tr-ờng vectơ khả vi trong E n
2) Phép nhân: Giả sử là hàm số khả vi (F (E n );
3) Tr-ờng hợp: aconst thì aX: pa.X P ; p E n
1.5 Mệnh đề: B(E n ) cùng với hai phép toán (1) và (3) lập thành một không gian vectơ thực
Chúng ta có thể dễ dàng chứng minh rằng hai phép toán (1) và (3) thỏa mãn 8 tiên đề của không gian vectơ Vì vậy, ở đây chỉ cần kiểm tra 3 tiên đề cơ bản.
Thứ 5 tiên đề còn lại ta cũng thấy nó thoã mãn
Vậy: B(E n ) cùng với hai phép toán (1) và (3) lập thành một không gian vectơ thực
Mệnh đề B(E n) cùng với hai phép toán (1) và (2) tạo thành một modun Chúng ta có thể dễ dàng chứng minh điều này bằng cách áp dụng tiên đề thứ 8 về modun.
Đạo hàm của hàm số theo một tr-ờng vectơ
1.7 Định nghĩa: Giả sử X B(E n ); F (E n ) Đạo hàm của hàm số theo tr-ờng vectơ X là một hàm số đ-ợc ký hiệu là X và X đ-ợc xác định bởi:
Trong đó X là đạo hàm của theo h-ớng X p
1.8 Định lý: Giả sử X có toạ độ X i , khi đó ta có:
1.9 VÝ dô: Trong E 2 cho X(x,xy) xE 1 xyE 2
III Đạo hàm của tr-ờng vectơ theo tr-ờng vectơ
Nh- ta đã biết, (xem [6]) đạo hàm của tr-ờng vectơ X theo một vectơ tiếp xúc p là một vectơ, kí hiệu là
D p Khi đó D p đ-ợc tính nh- sau:
1.11 Định nghĩa: Giả sử X, Y B(E n ) Đạo hàm của tr-ờng Y theo tr-ờng vectơ X là một tr-ờng vectơ đ-ợc ký hiệu là D X Y và D X Y xác định bởi:
X là đạo hàm của tr-ờng Y theo X p
1.12 Ví dụ: Trong E 2 ; cho X(x,xy); Y(y,xy) và p(1,2)
Bây giờ ta tính D X Y tại p
Mặt khác, theo định nghĩa ta có:
Chứng minh : Thật vậy, ta có: D Y : p D Y.
Từ mệnh đề này, với X, Y, Z B(E n ); F(E n ), ta có các mệnh đề sau:
IV Tích Lie của hai tr-ờng vectơ
Tích Lie của hai trường vectơ X và Y, ký hiệu là [X,Y], được định nghĩa là một trường vectơ được xác định từ hai trường vectơ này.
* Biểu thức tọa độ của tích Lie
* Từ biểu thức tọa độ của tích Lie, ta có mệnh đề sau:
1.16 Mệnh đề: a) [ , ] có tính chất song tuyến tính b) [X,Y] [f] =X[Y(f)] – Y[X(f)]; f F (E n ) c) [X,Y] = -[Y,X] d) [[X,Y], Z] + [[YZ],X] + [[Z,X],Y] = 0 Đ2: các dạng vi phân trong e n
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ giới thiệu các khái niệm cơ bản về dạng vi phân bậc 1 và bậc 2 trong không gian Euclid E^n Bên cạnh đó, chúng tôi cũng sẽ đề cập đến tích ngoài của một dạng vi phân và khái niệm vi phân ngoài Dạng vi phân bậc 1, hay còn gọi là 1-dạng vi phân, sẽ được phân tích chi tiết để người đọc có cái nhìn rõ hơn về tính chất và ứng dụng của nó trong toán học.
2.1 Định nghĩa: Dạng vi phân bậc 1 hay còn gọi là 1 - dạng vi phân trên
Trong đó p là ánh xạ tuyến tính: T p E n R
Ta chú ý rằng: Với X p T p E n thì p X p R Khi p thay đổi trên E n thì (X) là hàm số: E n R
đ-ợc gọi là khả vi nếu và chỉ nếu (X) khả vi; X B (E n )
Từ nay trở đi ta chỉ xét với những khả vi
Ký hiệu: 1 (E n ) = { là 1 - dạng vi phân khả vi trên E n }
2.2 VÝ dô: Trong E 2 xÐt :p p ; sao cho p : T p E 2 R x O x p
Khi đó là 1 - dạng vi phân
Thật vậy, ta chứng minh p là ánh xạ tuyến tính
Từ (*) và (**) ta suy ra p là ánh xạ tuyến tính
Vậy: là 1 - dạng vi phân trong E 2
Giả sử 1 , 2 1 (E n ); F (E n ), R Khi đó, ta định nghĩa: a) PhÐp céng: 1 + 2 : p 1 (p) + 2 (p); p E n , 1 , 2 1 (E n ) b) PhÐp nh©n: . 1 : p (p) 1 (p); p E n , 1 1 (E n ) c) Khi = a = const, th× cã: a. 1 : p a. 1 (p); p E n , 1 1 (E n )
1 1 (E n ) cùng với hai phép toán (a) và (b) lập thành một modun
2 1 (E n ) cùng với hai phép toán (a) và (c) lập thành một không gian vectơ
Trên không gian Euclide 1 (E n ), chúng ta có thể dễ dàng xác minh rằng hai phép toán (a) và (b) thỏa mãn các tiên đề về mô đun Đồng thời, hai phép toán (a) và (c) cũng đáp ứng các tiên đề liên quan đến không gian vectơ.
2.5 Mệnh đề: Giả sử X, Y là các tr-ờng vectơ trong E n , F (E n )
Chứng minh: a) Với p E n , ta có:
= p (X p + Y p ) = p (X p ) + p (Y p ) (Do p là ánh xạ tuyến tính)
Suy ra: (X + Y) = (X) + (Y) b) Víi p E n , ta cã:
2.6 Cơ sở của dạng vi phân bậc một
Giả sử U = {U_i} (i = 1 đến n) là trường mục tiêu trong không gian Euclid E^n, và X là một trường vectơ tùy ý trong E^n Khi đó, mọi dạng vi phân trong E^n được xác định hoàn toàn bởi các hàm số tương ứng.
Từ đó ta có các 1 - dạng vi phân ii trong E n xác định bởi:
đ-ợc gọi là đối tr-ờng mục tiêu của U i n i 1
E là tr-ờng mục tiêu tự nhiên
x i : E n R là hàm toạ độ trong E n thì dx i 1 (E n ) đ-ợc xác định bởi: dx i (X) = X i víi X = (X 1 , X 2 ,…X n ) Cã tÝnh chÊt
Khi đó dx i i n 1 là tr-ờng đối mục tiêu của
2.7 Định lý: Số chiều của Modun 1 (E n ) bằng n
Chứng minh: Thật vậy, để chứng minh số chiều của Modun 1 (E n ) bằng n, ta cần chứng minh dx i i n 1 là cơ sở của Modun 1 (E n )
*) dx i n i 1 là hệ độc lập tuyến tính (1)
Vậy: dx i n i 1 là hệ độc lập tuyến tính (1)
Thật vậy, lấy bất kỳ thuộc 1 (E n ), X là tr-ờng vectơ bất kỳ trong E n
Từ (1) và (2) ta suy ra: dx i n i 1 là cơ sở của 1 (E n )
2.8 VÝ dô: a) Trong E 2 = Oxy; = xydx + y 2 dy; X (x, 1) = xE 1 + E 2
Ta cã: (X) = (xydx + y 2 dy) (xE 1 + E 2 )
= x 2 y + y 2 b) Trong E 3 ; = x 2 ydx + yz 2 dy; X (x, 1, z) = xE 1 + E 2 + zE 3 ;
2 ydx yz dy (z xz)E xzE x E x Y
E xz dy yz E xz z ydx x
Ta có: [X, Y] = D X Y - D Y X Để tính [X, Y] ta sẽ đi tính D X Y và D Y X
Ta suy ra: [X, Y] = D X Y - D Y X = (0, x, 0) = xE 2 nên [X, Y] = (x 2 ydx + yz 2 dy) xE 2
= xyz 2 VËy: [X, Y] = xyz 2 ii dạng vi phân bậc 2 (2 - dạng vi phân) trong E N
2.9 Định nghĩa: Dạng vi phân bậc 2 hay còn gọi là 2 - dạng vi phân trên
p là ánh xạ song tuyến tính, phản xứng; p E n
Chú ý: +) (X, Y) là hàm số xác định bởi: E n R p p (X p , Y p )
+) đ-ợc gọi là dạng vi phân bậc hai khả vi nếu mọi tr-ờng vectơ X,
Y khả vi, thì (X, Y) là hàm khả vi
+) Ta ký hiệu: 2 (E n ) = {/ khả vi trên E n }
Trong E 2 = 0xy, ta xét các tr-ờng vectơ X (X 1 , X 2 ); Y (Y 1 , Y 2 )
thì là - dạng vi phân khả vi trong E 2
Chứng minh: là - 2 dạng vi phân
Thật vậy, ta cần chứng minh là ánh xạ song tuyến tính, phản xứng i) là ánh xạ song tuyến tính víi X,X,Y,Y'B(E n ), R, ta cã:
là tuyến tính đối với biến thứ nhất
Hoàn toàn t-ơng tự ta cũng chứng minh đ-ợc:
tuyến tính đối với biến thứ hai
Vậy: là ánh xạ song tuyến tính ii) phản xứng
Vậy: là - 2 dạng vi phân
Giả sử 1 , 2 2 (E n ); F (E n ), R Khi đó ta định nghĩa: a) PhÐp céng: 1 + 2 : p 1 (p) + 2 (p); p E n b) PhÐp nh©n: . 1 :p (p) 1 (p) ; p E n c) Tr-ờng hợp riêng, nếu = a = const thì a. 1 : p a. 1 (p); p E n
1) 2 (E n ) cùng với hai phép toán (a) và (b) lập thành một modun
2) 2 (E n ) cùng với hai phép toán (a) và (c) lập thành một không gian vectơ thực
Chúng ta có thể kiểm tra rằng 2 (E n ) cùng với hai phép toán xác định ở (a) và (b) thỏa mãn các tiên đề về mô-đun và không gian vectơ Do đó, 2 (E n ) được xác định là một không gian vectơ thực và mô-đun.
Nhận xét: Giả sử {E i } là tr-ờng vectơ tự nhiên, 2 (E n ) Ta có: i) (E i , E i ) = 0 ii) (E i , E j ) = - (E j , E i ) iii) (X, Y) hoàn toàn xác định nếu ta biết (E i , E j ) i