Các bài toán tựa cân bằng đa trị tổng quát và các vấn đề liên quan

Trường Đại Học Vinh---Trương Thị Thuỳ Dương Các bài toán tựa cân bằng đa trị tổng quát và các vấn đề liên quan luận án tiến sĩ toán học Nghệ An - 2011... Trường Đại Học Vinh---Trương Thị

Trường Đại Học Vinh -

Trương Thị Thuỳ Dương

Các bài toán tựa cân bằng đa trị tổng quát

và các vấn đề liên quan

luận án tiến sĩ toán học

Nghệ An - 2011

Trường Đại Học Vinh -

Trương Thị Thuỳ Dương

Các bài toán tựa cân bằng đa trị tổng quát

và các vấn đề liên quan

Chuyên ngành: Toán Giải tíchMã số: 62 46 01 01

luận án tiến sĩ toán học

Tập thể hướng dẫn khoa học:

1 GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn

2 PGS TS Đinh Huy Hoàng

Nghệ An - 2011

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi Các kết quả của luận án

là trung thực, được đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được ai công

bố trong bất kì công trình nào khác

Tác giả

Trương Thị Thuỳ Dương

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của GS TSKH NguyễnXuân Tấn và PGS TS Đinh Huy Hoàng Trước tiên, tác giả xin được bày tỏlòng biết ơn sâu sắc đối với Thầy- GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn, người đã đặtbài toán và hướng nghiên cứu cho tác giả Hơn cả một người hướng dẫn khoahọc, Thầy đã dạy bảo, chỉ dẫn tác giả nghiên cứu một cách kiên trì và nghiêmkhắc Tác giả đã học được rất nhiều kiến thức khoa học, được sự chia sẻ đầytình người của Thầy trong quá trình học tập và nghiên cứu.

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Đinh Huy Hoàng,người đã dạy bảo tác giả từ những bước đi đầu tiên trong nghiên cứu khoa họcngay từ khi còn là sinh viên Trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu Thầyluôn tận tình chỉ bảo và tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tác giả học tập vàhoàn thành luận án

Tác giả xin được bày tỏ sự cảm ơn đến Ban Giám Hiệu Trường Đại học Sưphạm Kỹ thuật Vinh, Khoa GD Đại cương-Ngoại ngữ đã quan tâm động viêncũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả tập trung học tập và nghiêncứu Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Khoa toán, tổ Giải tích, khoa Sau

đại học Trường Đại học Vinh đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thànhnhiệm vụ của nghiên cứu sinh Tác giả xin cảm ơn Viện toán học, phòng Giảitích, các nhà khoa học của Viện Toán đã giúp đỡ tác giả, tạo môi trường họctập cũng như tham gia các buổi sinh hoạt khoa học của Viện để tác giả có thểhoàn thành luận án này

Nhân dịp này tác giả xin cảm ơn đến PGS TS Trần Văn Ân đã quan tâm,chỉ bảo cũng như giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập

Cuối cùng, tác giả vô cùng biết ơn sâu sắc tới bố, mẹ, anh, chị em tronggia đình của mình, đặc biệt là chồng người đã cảm thông và chia sẻ mọi khókhăn cùng tác giả suốt những năm tháng qua để tác giả có thể hoàn thành luận

án này

Nghệ An, 2011

Trương Thị Thuỳ Dương

Mục lục

1.1 Nón và các khái niệm liên quan 11

1.2 ánh xạ đa trị 13

1.3 Tính liên tục của ánh xạ đa trị 14

1.4 Tính lồi của ánh xạ đa trị 22

1.5 Điểm bất động của ánh xạ đa trị 23

Chương 2 Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại một 26 2.1 Đặt vấn đề 26

2.2 Định lý tồn tại nghiệm 30

2.3 Một số bài toán liên quan 34

2.4 Bài toán tựa cân bằng 45

Chương 3 Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại hai 51 3.1 Định lý tồn tại nghiệm 53

3.2 Bao hàm thức tựa biến phân 60

3.3 Một số bài toán tựa cân bằng 64

Chương 4 Bài toán tựa cân bằng tổng quát hỗn hợp 77

4.1 Giới thiệu bài toán 77

4.2 Định lý tồn tại nghiệm 79

4.3 Hệ tựa cân bằng 84

4.4 Hệ bao hàm thức tựa biến phân 96

Danh mục các công trình liên quan đến luận án 103

Rn không gian Euclid n-chiều

X∗ không gian đối ngẫu của X

A ì B tích Descartes của hai tập hợp A và B

clA bao đóng tôpô của A

intA phần trong tôpô của A

KKM tên của ba nhà toán học Knater, Kuratowski và MazurkiewiczconeM nón sinh bởi tập M

suppϕ giá của hàm ϕ

TK(x) nón tiếp tuyến của K tại x

(GQEP )I bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I

(GQEP )II bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II

(U IQV IP )II bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng trên loại II

(LIQV IP )II bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng dưới loại II

(M GQEP ) bài toán tựa cân bằng tổng quát hỗn hợp

để xây dựng những mô hình kinh tế từ nửa sau thế kỷ 20 Ky Fan (1972) vàBrowder-Minty (1978) đã phát biểu và chứng minh sự tồn tại nghiệm của bàitoán cân bằng dựa trên các định lý điểm bất động Năm 1991, Blum và Oettli

đã phát biểu bài toán cân bằng một cách tổng quát và tìm cách liên kết bài toáncủa Ky Fan và của Browder-Minty với nhau thành một dạng chung Bài toán

được phát biểu ngắn gọn là: tìm ¯x ∈ K sao cho f(¯x, x) ≥ 0 với mọi x ∈ K,trong đó K là tập con cho trước của một không gian nào đó, f : K ì K → R

là hàm số thực thoả mãn f(x, x) ≥ 0 Đây là dạng suy rộng trực tiếp của cácbài toán cơ bản sau như những trường hợp đặc biệt

(i) Bài toán tối ưu: cho hàm số g : D → R Tìm ¯x ∈ D sao cho

fi(¯x) ≤ fi(¯xi, yi) với mọi yi ∈ Di Điểm ¯x được gọi là điểm cân bằng Nash.(iv) Bài toán điểm yên ngựa: cho D1, D2 ⊆ X, ϕ : D1 ì D2 → R Tìm

điểm (¯x1, ¯x2) ∈ D1ì D2 sao cho ϕ(¯x1, y2) ≤ ϕ(¯x1, ¯x2) ≤ ϕ(y1, ¯x2) với mọi(y1, y2) ∈ D1ì D2 Điểm ¯x được gọi là điểm yên ngựa

Do nhu cầu phát triển của Toán học, bài toán cân bằng và các bài toán tối

ưu kể trên cũng được phát triển và mở rộng Nếu chúng ta cho thêm các ánhxạ ràng buộc, thì bài toán cân bằng sẽ trở thành tựa cân bằng Ban đầu người

ta nghiên cứu những bài toán liên quan đến ánh xạ đơn trị từ không gian hữuhạn chiều này sang không gian hữu hạn chiều khác mà thứ tự được đưa ra bởinón Orthant dương Sau đó, các bài toán này được mở rộng với không gian có

số chiều vô hạn với nón bất kỳ Có rất nhiều sự mở rộng của bài toán tựa cânbằng đối với hàm véctơ và ánh xạ đa trị Tuy nhiên các kết quả đạt được củanhiều tác giả cho đến nay vẫn chưa cho ta được cái nhìn thống nhất giữa cácbài toán tối ưu liên quan đến ánh xạ đa trị như trường hợp của đơn trị Chínhvì lẽ đó, bài toán tựa cân bằng đang được nhiều nhà nghiên cứu đặc biệt quantâm trong những năm gần đây

Với những lý do nêu trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là

"Các bài toán tựa cân bằng đa trị tổng quát và các vấn đề liên quan"

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận án là đưa ra các mô hình về bài toán tựa cân bằng tổngquát và nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của chúng Từ đó tìm các điều kiện đủcho các bài toán liên quan trong lý thuyết tối ưu có nghiệm

3 Đối tượng nghiên cứu

Luận án nghiên cứu các bài toán tựa cân bằng tổng quát và một số ứng dụngcủa chúng

6 ý nghĩa khoa học và thực tiễn

ý nghĩa khoa học: Góp phần làm phong phú thêm các kết quả nghiên cứu

về bài toán cân bằng và những bài toán khác trong lý thuyết tối ưu Đồng thờicho ta thấy rõ mối liên kết giữa các bài toán trong lý thuyết tối ưu

ý nghĩa thực tiễn: ứng dụng vào các bài toán trong thực tế như xây dựng lýthuyết trò chơi, đưa ra các mô hình cân bằng kinh tế

7 Tổng quan và cấu trúc luận án

là hàm thực Sau đó, bài toán này được mở rộng cho f là hàm véctơ và ánh xạ

đa trị (xem [3], [19], [27], [39], [50], [54],[55]) Có nhiều cách mở rộng cácbài toán tối ưu theo nhiều hướng khác nhau Năm 2002, Nguyễn Xuân Tấn và

A Gueraggio (xem trong [27]) đã đưa ra bài toán: tìm (¯x, ¯y) ∈ D ì K sao cho

¯

x ∈ S(¯x, ¯y); ¯y ∈ T (¯x, ¯y)

F (¯y, ¯x, ¯x) = min

x∈S(¯ x,¯ y)F (¯y, ¯x, x),

F : K ì D ì D ì D → 2Y Bài toán tìm (¯x, ¯y) ∈ D ì K sao cho

¯

x ∈ S(¯x, ¯y); ¯y ∈ T (¯x, ¯y)

0 ∈ F (¯y, ¯x, ¯x, t) với mọi t ∈ S(¯x, ¯y)

được gọi là Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I, ký hiệu là (GQEP )I.Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II (ký hiệu (GQEP )II): tìm ¯x ∈ Dsao cho

¯

x ∈ P1(¯x);

0 ∈ F (y, ¯x, x) với mọi x ∈ P2(¯x), y ∈ Q(¯x, x),với các ánh xạ Pi : D → 2D, i = 1, 2; Q : D ìD → 2K, F : K ìD ìD → 2Y.Cả hai dạng trên cho ta cái nhìn thống nhất về các bài toán tối ưu Nó là sựtổng quát của các bài toán khác như bài toán cân bằng, bao hàm thức tựa biếnphân, bài toán điểm yên ngựa, Với mỗi ánh xạ F phù hợp cả hai bài toán nóitrên đều có thể đưa được về nhiều dạng khác trong lớp các bài toán tối ưu

Cuối cùng ta mở rộng các bài toán tựa cân bằng cho hệ gồm hai bài toán tựacân bằng tổng quát: tìm (¯x, ¯y) ∈ D ì K sao cho

¯

x ∈ S(¯x, ¯y); ¯y ∈ T (¯x, ¯y);

0 ∈ F (¯y, ¯y, ¯x, t) với mọi t ∈ S(¯x, ¯y);

0 ∈ G(y, ¯x, t) với mọi t ∈ P (¯x), y ∈ Q(¯x, t),trong đó các ánh xạ S, T được xác định như trên, P : D → D và

F : K ì K ì D ì D → 2Y1, G : K ì D ì D → 2Y2; Y1, Y2 là các không gian

Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của các bài toán tối ưu, người ta thường

sử dụng các định lý điểm bất động Ban đầu là các định lý điểm bất động kiểuBanach, Brouwer, Kakutani, Ky Fan cho các ánh xạ đơn trị Sau đó, các định

lý này được mở rộng cho ánh xạ đa trị Sử dụng các định lý điểm bất động KyFan, Fan-Browder và Bổ đề Fan - KKM, trong luận án chúng tôi nghiên cứucác vấn đề sau

• Thiết lập các điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của (GQEP )I và một sốbài toán liên quan

• Thiết lập các điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của (GQEP )II và bàitoán tựa cân bằng yếu, tựa cân bằng Pareto

• Đưa ra điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổngquát hỗn hợp và từ đó suy ra sự tồn tại nghiệm của hệ tựa cân bằng và hệ baohàm thức tựa biến phân

7.2 Cấu trúc luận án

Ngoài phần Mở đầu, Danh mục các công trình liên quan đến luận án, Kếtluận và Tài liệu tham khảo, nội dung luận án được trình bày trong bốn chương.Chương 1 trình bày một số khái niệm về ánh xạ đa trị, tính liên tục theonón, lồi theo nón và một số định lý điểm bất động làm kiến thức cơ sở cho cácchương sau

Chương 2 trình bày bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I và một số bài toánliên quan Đây là dạng mở rộng của lớp các bài toán tối ưu loại I Từ đó ta cóthể đưa được về nhiều bài toán khác nhau Định lý 2.2.1 đưa ra điều kiện đủcho (GQEP )I có nghiệm, đồng thời cũng là sự mở rộng của Định lý 3.1 trong

[34] Dựa trên các điều kiện của Định lý 2.2.1, ta thu được một số kết quả tồntại nghiệm cho bài toán tựa cân bằng vô hướng, tựa quan hệ biến phân và baohàm thức tựa biến phân lý tưởng loại I Phần cuối của chương chứng minh mộtdạng khác của bài toán tựa cân bằng Nội dung chính của chương được tríchtrong tài liệu [15].

Chương 3 trình bày bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II Định lý 3.1.1

và 3.1.2 cho ta kết quả về sự tồn tại nghiệm của (GQEP )II Các định lý nàycũng mở rộng kết quả của tác giả L J Lin và C-I Tu trong [38] với giả thiết

được thiết lập ''nhẹ hơn'' Hệ quả 3.2.1 và Hệ quả 3.3.4 chỉ ra sự tồn tại nghiệmcủa các bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng loại II Sử dụng Định lý 3.1.1 và3.1.2 và tính chất của ánh xạ giả đơn điệu, giả đơn điệu mạnh, luận án chứngminh được bài toán tựa cân bằng yếu, tựa cân bằng Pareto và tựa tối ưu véctơ

đơn trị có nghiệm, điều này thể hiện trong các Hệ quả 3.3.4, 3.3.7, 3.3.8 và3.3.9 Nội dung của chương chủ yếu dựa vào tài liệu [17] và một phần trong[16]

Chương 4 giới thiệu bài toán tựa cân bằng tổng quát hỗn hợp, những kếtquả này được trích trong [18] Mục 4.2 chứng minh định lý tồn tại nghiệmcủa bài toán (MGQEP ) Dựa trên định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán(M GQEP ), Mục 4.3 và 4.4 trình bày một số kết quả chỉ ra sự tồn tại nghiệmcủa hệ tựa cân bằng và hệ bao hàm thức tựa biến phân Các kết quả này là hoàntoàn mới và chứa nhiều kết quả đã biết của [8], [33], [36], [40], [46], [48] vềbài toán tựa cân bằng hoặc bao hàm thức tựa biến phân như những trường hợp

đặc biệt

Kết quả của Luận án đã được báo cáo tại:

• Xemina phòng Giải tích, Viện Toán học, Viện Khoa học và Công nghệViệt Nam

• Hội thảo tối ưu và tính toán khoa học lần thứ 7, Ba vì (2009)

• Hội nghị khoa học kỷ niệm "Nửa thế kỷ trường Đại học Vinh anh hùng''(2010)

• Hội thảo tối ưu và tính toán khoa học lần thứ 9, Ba vì (2011)

• Hội nghị nghiên cứu sinh của trường Đại học Vinh các năm 2009, 2010.Ngoài ra các kết quả còn được GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn báo cáo tạitrường Đại học Avignon, Pháp.

Các kết quả trong luận án đã được đăng ở các tạp chí Advances in NonlinearVariational Inequalities, Acta Mathematica Vietnamica, Journal of GlobalOptimization và một bài đã được nhận đăng ở Journal of Global Optimization

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản dùng trong việc nghiên cứu cácbài toán ở các chương sau như tính nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới, liên tụctheo nón, tính lồi theo nón của ánh xạ đa trị và một số định lý điểm bất động.Các khái niệm này có thể tìm thấy trong các sách của Nguyễn Xuân Tấn vàNguyễn Bá Minh [1], J P Aubin [4], D T Luc [44] Ngoài các kết quả cótrích dẫn (không chứng minh), chúng tôi trình bày thêm một số kết quả mớidưới dạng mệnh đề

1.1 Nón và các khái niệm liên quan

Trên tập các số thực hai phần tử bất kỳ đều so sánh được với nhau qua kháiniệm lớn hơn hay bé hơn hoặc bằng Điều này không có được trong một sốkhông gian khác Muốn mở rộng các bài toán nhận giá trị thực sang các bàitoán nhận giá trị véctơ và đa trị người ta đưa vào các khái niệm mới đồng thời

có thể xây dựng những khái niệm tương tự với số thực, số phức trong khônggian tôpô tuyến tính Một phương pháp hữu hiệu để xây dựng những khái niệm

đó là trang bị một nón trong không gian tôpô tuyến tính Ta có khái niệm sau

Định nghĩa 1.1.1 Cho Y là không gian tuyến tính và C là tập con trong Y

C được gọi là nón có đỉnh tại gốc (gọi ngắn gọn là nón) trong Y nếu tc ∈ C

với mọi c ∈ C, t ≥ 0.

Cho Y là không gian tôpô tuyến tính và C là nón trong Y, ký hiệuclC, intC, coC lần lượt là bao đóng, phần trong và bao lồi của nón C, kýhiệu l(C) = C ∩ (−C) Khi nghiên cứu các bài toán liên quan đến nón,người ta thường quan tâm đến các loại nón sau

i) Nón C được gọi là nón lồi nếu C là tập lồi

ii) Nón C được gọi là nón đóng nếu C là tập đóng

iii) Nón C được gọi là nón nhọn nếu l(C) = {0}

Với nón C cho trước ta định nghĩa trên Y một quan hệ thứ tự như sau Với

x, y ∈ Y, x C y nếu x − y ∈ C Nếu không có sự nhầm lẫn ta có thể viết

đơn giản x  y

Dưới đây là một số ví dụ về nón

Ví dụ 1.1.2 1 Tập {0} và Y là nón trong không gian Y Ta gọi chúng là cácnón tầm thường

2 Cho Rn là không gian Euclide n chiều, tập

C = Rn+ = {x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn | xj ≥ 0, j = 1, 2, , n}

là nón lồi, đóng, nhọn và được gọi là nón Orthant dương trong Rn

Nếu lấy C = {x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn | x1 ≥ 0} thì C là nón lồi, đóngnhưng không nhọn Vì l(C) = {x = (0, x2, , xn) ∈ Rn} 6= {0}

Trên không gian tuyến tính có trang bị một nón, ta có thể định nghĩa mộtquan hệ thứ tự và dùng nó để xây dựng các khái niệm về điểm hữu hiệu củatập hợp Ta có các khái niệm sau

Định nghĩa 1.1.3 Cho Y là không gian tôpô tuyến tính với thứ tự được sinhbởi nón lồi C và A là tập con khác rỗng của Y Ta nói rằng

i) Điểm x ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu lý tưởng của tập A đối với nón Cnếu y − x ∈ C với mọi y ∈ A Tập các điểm hữu hiệu lý tưởng của A đối vớinón C được ký hiệu là IMin(A|C) hoặc IMinA.

ii) Điểm x ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu Pareto (cực tiểu Pareto) của A

đối với nón C nếu không tồn tại y ∈ A để x − y ∈ C \ l(C) Tập các điểm hữuhiệu Pareto của A đối với nón C được ký hiệu là P Min(A|C) hoặc đơn giảnhơn là Min(A|C) hoặc MinA

iii) Điểm x ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu yếu (khi intC 6= ∅ và C 6= Y )của A đối với nón C nếu x ∈ Min(A|({0} ∪ intC)) Tức là x là điểm hữuhiệu Pareto đối với nón C0 = {0} ∪ intC Tập các điểm hữu hiệu yếu của A

đối với nón C được ký hiệu là W Min(A|C) hoặc W MinA

iv) Điểm x ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón C nếutồn tại nón lồi ˜C khác toàn không gian và chứa C \ l(C) trong phần trong của

nó để x ∈ MinA/ ˜C Tập các điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón C

được ký hiệu là P rMin(A|C) hoặc P rMinA

Từ định nghĩa trên ta luôn có

IM inA ⊆ P rM inA ⊆ M inA ⊆ W M inA

1.2 ánh xạ đa trị

Cho X là tập hợp bất kỳ Ký hiệu 2X là tập gồm các tập con của X

Định nghĩa 1.2.1 Mỗi ánh xạ F từ tập X vào 2Y được gọi là ánh xạ đa trị từ

X vào Y Ký hiệu F : X → 2Y Nếu với mọi x ∈ X, F (x) chỉ gồm một phần

tử của Y ta nói F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y, thay cho ký hiệu F : X → 2Y

ta sử dụng ký hiệu quen thuộc là F : X → Y

Miền định nghĩa và đồ thị của F được định nghĩa lần lượt bởi

domF = {x ∈ D | F (x) 6= ∅} , Gr(F ) = {(x, y) ∈ D ì Y | y ∈ F (x)} Cho F : X → 2Y, ánh xạ F−1 : Y → 2X xác định bởi

F−1(y) = {x ∈ X : y ∈ F (x)}

được gọi là ánh xạ ngược của F Nếu tập F−1(y) mở với mọi y ∈ Y, thì F

được gọi là có nghịch ảnh mở

Ngoài các phép toán hợp, tích Descartes, ánh xạ bù và tổng đối với ánh xạ

đa trị được định nghĩa tương tự ánh xạ đơn trị ta có các phép toán sau

Định nghĩa 1.2.2 Cho F1, F2 : X → 2Y, ánh xạ giao của F1 và F2 là

(F1∩ F2)(x) = F1(x) ∩ F2(x)

Nếu Y là không gian tôpô, F : X → 2Y,ký hiệu ¯F và Fo là các ánh xạ bao

đóng, phần trong của ánh xạ F xác định bởi

¯

F (x) = F (x), (Fo)(x) = (F (x))o.Nếu Y là các không gian tôpô tuyến tính, thì ánh xạ bao lồi và bao lồi đóngcủa F là

(coF )(x) = coF (x), ( ¯coF )(x) = ¯coF (x)

1.3 Tính liên tục của ánh xạ đa trị

Trong phần này ta trình bày khái niệm nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới

và liên tục theo nón của ánh xạ đa trị Trước hết ta nhắc lại khái niệm liên tụccủa ánh xạ đơn trị Cho f : X → Y là ánh xạ đơn trị từ X vào Y, ánh xạ f gọi

là liên tục tại ¯x ∈ X nếu với mỗi lân cận mở V của f(¯x) tồn tại lân cận mở

U của ¯x sao cho f(x) ∈ V với mọi x ∈ U

Ta nói f liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm trong X Dễ thấy fliên tục trên X nếu với mỗi tập mở V ⊂ Y, f−1(V ) = {x ∈ X, f (x) ∈ V } mởtrong X.

Có thể mở rộng khái niệm ánh xạ đơn trị liên tục sang cho ánh xạ đa trịtheo hai cách khác nhau và ta có hai khái niệm hoàn toàn khác nhau: ánh xạ đatrị nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới Theo Aubin và Frankowska (1990),hai khái niệm này được B Bouligand và K Kuratowski đưa ra vào năm 1932.Ngày nay nhiều khi người ta dùng cụm từ ánh xạ nửa liên tục trên, dưới theoBerge để chỉ hai khái niệm này vì chúng được khảo sát khá kĩ trong một cuốnchuyên khảo của Berge (1959) Ta nhắc lại định nghĩa của Berge

Định nghĩa 1.3.1 ([2]) Cho F : X → 2Y là ánh xạ đa trị từ không gian tôpô

c) F được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu nó đồng thời nửa liên tục trên vànửa liên tục dưới tại x F được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi

điểm x ∈ X

Định nghĩa 1.3.2 ([4]) Cho X, Y là các không gian tôpô, F : X → 2Y là ánhxạ đa trị F được gọi là ánh xạ đóng nếu GrF là tập đóng trong X ì Y Nếu

F (X)là tập compact trong Y thì F gọi là ánh xạ compact

Các mệnh đề sau cho ta điều kiện cần và đủ để một ánh xạ đa trị là nửa liên

tục trên và nửa liên tục dưới.

Mệnh đề 1.3.3 ([5]) Cho F : D → 2Y là ánh xạ đa trị Nếu F là ánh xạ nửaliên tục trên với giá trị đóng, thì F là ánh xạ đóng Ngược lại, nếu F là ánhxạ đóng và Y compact, thì F là ánh xạ nửa liên tục trên

Mệnh đề 1.3.4 a) ([56]) Cho F : D → 2Y là ánh xạ đa trị F là ánh xạ nửaliên tục dưới tại x ∈ domF khi và chỉ khi với bất kỳ y ∈ F (x) và với bất kỳdãy suy rộng {xβ}β∈Λ ∈ D, xβ → x,tồn tại dãy {yβ}β∈Λ, yβ ∈ F (xβ)sao cho

yβ → y, trong đó Λ là tập các chỉ số

b) Nếu ánh xạ F có nghịch ảnh mở, thì ánh xạ coF cũng có nghịch ảnh mở.Chứng minh b) Giả sử y ∈ D và x ∈ (coF )−1(y), thì y ∈ co(F (x)),

y = Pn

i=1αiyi với 0 ≤ αi ≤ 1,Pn

i=1αi = 1, yi ∈ F (x).Khi đó x ∈ F−1(yi),với mọi i = 1, , n Từ F−1(yi), i = 1, , nlà tập mở, ta suy ra tồn tại lân cận

U (x) của x sao cho U(x) ⊆ F−1(yi) với mọi i = 1, , n Điều này dẫn đến

yi ∈ F (z)với z ∈ U(x) và mọi i = 1, , n Do đó, y = Pn

i=1αiyi ∈ (coF )(z)với z ∈ U(x) suy ra U(x) ⊆ (coF )−1(y) Vậy (coF )−1(y) là tập mở

Mệnh đề 1.3.5 ([63]) Một ánh xạ đa trị có nghịch ảnh mở là ánh xạ nửa liêntục dưới

Ví dụ sau đây chỉ ra chiều ngược lại của Mệnh đề 1.3.5 không đúng

Ví dụ 1.3.6 Cho F : R → 2R xác định bởi F (x) = (−∞, −x] Ta có

F−1(y) = {x : y ∈ (−∞, −x]} = {x : y ≤ −x} = (−∞, −y]

không là tập mở

Gọi V là tập mở bất kỳ trong R, khi đó Sy∈V F−1(y) = {x : F (x)∩V 6= ∅}

Đặt b = inf{v : v ∈ V } Ta sẽ chứng minh (−∞, −b) ⊆ Sy∈V F−1(y).Thật vậy, lấy bất kỳ x ∈ (−∞, −b) dẫn đến b < −x Theo cách xác định

của b, ta suy ra tồn tại những điểm y ∈ V sao cho b < y ≤ −x Vì vậy

x ∈ (−∞, −y] ⊆ S

y∈V F−1(y) Do đó (−∞, −b) ⊆ Sy∈V F−1(y) hayS

y∈V F−1(y) là tập mở Vậy F là ánh xạ nửa liên tục dưới

Ta nhắc lại, hàm vô hướng f : X → R gọi là nửa liên tục trên (hoặc dưới)tại ¯x nếu với bất kỳ  > 0 đều tồn tại lân cận U 3 ¯x sao cho f(x) ≤ f(¯x) + (hoặc f(x) ≥ f(¯x) − ) Khái niệm này có thể mở rộng cho trường hợp ánh xạ

đa trị trong không gian véctơ tôpô lồi địa phương với nón C

Cho X, Y là hai không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, D, K là các tậpcon khác rỗng trong X, C là một ánh xạ nón Ta có định nghĩa sau

Định nghĩa 1.3.7 ([15]) Cho F : K ì D ì D → 2Y, C : K ì D → 2Y là ánhxạ nón (ánh xạ nón là ánh xạ có tập giá trị là một nón) F được gọi là C-liêntục trên (hoặc C- liên tục dưới) tại (¯y, ¯x, ¯z) ∈ domF nếu với bất kỳ lân cận Vcủa 0 trong Y đều tồn tại lân cận U của (¯y, ¯x, ¯z) sao cho :

F (y, x, z) ⊆ F (¯y, ¯x, ¯z) + V + C(¯y, ¯x),(F (¯y, ¯x, ¯z) ⊆ F (y, x, z) + V − C(¯y, ¯x), tương ứng)với mọi (y, x, z) ∈ U ∩ domF

Trường hợp C = {0}, ta nói F liên tục trên (liên tục dưới) thay vì nói liên tục trên ({0}- liên tục dưới) Nếu F là ánh xạ đơn trị thì khái niệm C- liêntục trên và C- liên tục dưới là một và lúc đó F được gọi là C- liên tục

{0}-Mệnh đề sau cho điều kiện cần và đủ để một ánh xạ là C-liên tục trên (dưới).Mệnh đề 1.3.8 ([15]) Cho F : K ì D ì D → 2Y, C : K ì D → 2Y là các

ánh xạ đa trị

a) Nếu C là nửa liên tục trên với giá trị là nón lồi khác rỗng, F là C-liêntục trên tại (y0, x0, z0) ∈ domF với F (y0, x0, z0) + C(y0, x0) đóng, thì với bất

kỳ dãy suy rộng (yβ, xβ, zβ) → (y0, x0, z0), tβ ∈ F (yβ, xβ, zβ) + C(yβ, xβ),

tβ → t0 kéo theo t0 ∈ F (y0, x0, z0) + C(y0, x0)

Ngược lại, nếu F là ánh xạ compact và với bất kỳ dãy suy rộng(yβ, xβ, zβ) → (y0, x0, z0), tβ ∈ F (yβ, xβ, zβ) + C(yβ, xβ), tβ → t0, kéo theo

t0 ∈ F (y0, x0, z0) + C(y0, x0), thì F là C-liên tục trên tại (y0, x0, z0)

b) Nếu F là ánh xạ compact và C-liên tục dưới tại (y0, x0, z0) ∈ domF,thìvới bất kỳ dãy suy rộng (yβ, xβ, zβ) → (y0, x0, z0), thoả mãn

t0 ∈ F (y0, x0, z0) + C(y0, x0), tồn tại dãy {tβ}, tβ ∈ F (yβ, xβ, zβ), saocho có dãy con {tβ γ}, tβ γ − t0 → c ∈ C(y0, x0) (nghĩa là tβ γ → t0 +

c ∈ t0+ C(y0, x0))

Ngược lại, nếu F là ánh xạ compact, t0 ∈ F (y0, x0, z0) + C(y0, x0)

và với bất kỳ dãy suy rộng (yβ, xβ, zβ) → (y0, x0, z0), tồn tại dãy {tβ},

tβ ∈ F (yβ, xβ, zβ), sao cho có dãy con {tβ γ}, tβ γ − t0 → c ∈ C(y0, x0),thì F là C-liên tục dưới tại (y0, x0, z0)

Chứng minh a) Giả sử F là C-liên tục trên tại (y0, x0, z0) ∈ domF và(yβ, xβ, zβ) → (y0, x0, z0), tβ ∈ F (yβ, xβ, zβ) + C(yβ, xβ), tβ → t0 Giả sửngược lại t0 ∈ F (y/ 0, x0, z0) + C(y0, x0) Khi đó tồn tại lân cận lồi đóng V0

của gốc trong Y sao cho (t0 + V0) ∩ (F (y0, x0, z0) + C(y0, x0)) = ∅ Suy ra(t0+ V0/2) ∩ (F (y0, x0, z0) + C(y0, x0) + V0/2) = ∅ Từ tβ → t0, ta có với V

là lân cận bất kỳ của 0 trong Y ta tìm được β1 sao cho tβ − t0 ∈ V /2 với mọi

β ≥ β1 Do đó, tβ ∈ t0+ V /2 Vì F là C- liên tục trên tại (y0, x0, z0) nên tồntại lân cận U của (y0, x0, z0) sao cho

F (y, x, z) ⊆ F (y0, x0, z0) + V0/4 + C(y0, x0) với mọi (y, x, z) ∈ U ∩ domF

Từ (yβ, xβ, zβ) → (y0, x0, z0), tồn tại β2 sao cho (yβ, xβ, zβ) ∈ U và

tβ ∈ F (yβ, xβ, zβ) + C(yβ, xβ) ⊆ F (y0, x0, z0) + C(y0, x0) + C(yβ, xβ) + V /4

Do tính nửa liên tục trên của C, ta suy ra tồn tại β3 đểC(yβ, xβ) ⊆ C(y0, x0) + V /4 với mọi β ≥ β3 Vì vậy tβ ∈ (t0 + V /2) ∩(F (y0, x0, z0) + C(y0, x0) + V /2) = ∅ với mọi β ≥ max{β1, β2, β3}, ta có

điều mâu thuẫn Vậy t0 ∈ F (y0, x0, z0) + C(y0, x0)

Ngược lại, giả sử F là ánh xạ compact và với bất kỳ dãy suy rộng(yβ, xβ, zβ) → (y0, x0, z0), tβ ∈ F (yβ, xβ, zβ) + C(yβ, xβ), tβ → t0 kéo theo

t0 ∈ F (y0, x0, z0) + C(y0, x0) Ta giả sử F không là C-liên tục trên tại(y0, x0, z0) Khi đó tồn tại lân cận V của gốc trong Y sao cho với bất kỳlân cận Uβ của (y0, x0, z0), tồn tại (yβ, xβ, zβ) ∈ Uβ sao cho

F (yβ, xβ, zβ) 6⊆ F (y0, x0, z0) + V + C(y0, x0)

Chọn tβ ∈ F (yβ, xβ, zβ) với tβ ∈ F (y/ 0, x0, z0) + V + C(y0, x0) Từ F (D)

là tập compact, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử tβ → t0, vì

tβ ∈ F (yβ, xβ, zβ) + C(yβ, xβ), nên theo giả thiết ta có

t0 ∈ F (y0, x0, z0) + C(y0, x0) Mặt khác, từ tβ → t0, tồn tại β0 sao cho

tβ − t0 ∈ V với mọi β ≥ β0.Điều này dẫn đến

tβ ∈ t0+ V ⊆ F (y0, x0, z0) + V + C(y0, x0), với mọi β ≥ β0

và ta có sự mâu thuẫn

b) Giả sử F là ánh xạ compact và C-liên tục dưới tại (y0, x0, z0) ∈ domF,(yβ, xβ, zβ) → (y0, x0, z0), t0 ∈ F (y0, x0, z0).Khi đó với bất kỳ lân cận V củagốc trong Y tồn tại lân cận U của (y0, x0, z0) sao cho

F (y0, x0, z0) ⊆ F (y, x, z) + V − C(y0, x0) với mọi (y, x, z) ∈ U ∩ domF

Từ (yβ, xβ, zβ) → (y0, x0, z0),ta suy ra tồn tại β0 để (yβ, xβ, zβ) ∈ U với mọi

β ≥ β0 Do đó

F (y0, x0, z0) ⊆ F (yβ, xβ, zβ) + V − C(y0, x0)với mọi β ≥ β0

để F (y0, x0, z0) 6⊆ F (yβ, xβ, zβ) + V − C(y0, x0) Chọn tβ ∈ F (y0, x0, z0),với tβ ∈ (F (y/ β, xβ, zβ) + V − C(y0, x0)) Do F (y0, x0, z0) là tập compact,không mất tính tổng quát ta có thể giả sử tβ → t0 ∈ F (y0, x0, z0), do đó

t0 ∈ F (y0, x0, z0) + C(y0, x0) Giả sử (yβ, xβ, zβ) → (y0, x0, z0) Từ đây suy

Cho F, C : D → 2Y là các ánh xạ đa trị, trong đó C là ánh xạ nón Sau

đây ta trình bày khái niệm C-hemi liên tục trên (dưới) (xem [9]) và khái niệmhemi liên tục trên (dưới) trong [28]

Định nghĩa 1.3.9 a) F được gọi là C-hemi liên tục trên (upper C-hemicontinous)nếu với mọi x, y ∈ D thoả mãn F (αx + (1 − α)y) ∩ C(αx + (1 − α)y) 6= ∅

với mọi α ∈ (0, 1), thì F (y) ∩ C(y) 6= ∅.

b) F được gọi là C-hemi liên tục dưới (lower C-hemicontinous) nếu với mọi

x, y ∈ D thoả mãn F (αx + (1 − α)y) 6⊆ −intC(αx + (1 − α)y) với mọi

α ∈ (0, 1), thì F (y) 6⊆ −intC(y)

c) F được gọi là hemi liên tục trên (dưới) nếu với mọi x, y ∈ D, ánh xạ

f : [0, 1] −→ 2Y định nghĩa bởi f(α) = F (αx + (1 − α)y) là nửa liên tục trên(tương ứng, nửa liên tục dưới)

Mệnh đề sau chỉ ra điều kiện đủ để một ánh xạ đa trị là C-hemi liên tục trên

và dùng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của các bài toán trong Chương 3.Mệnh đề 1.3.10 ([17]) Cho F và C là hemi liên tục trên với giá trị đóng khácrỗng Nếu với bất kỳ x ∈ D, hoặc F (x), hoặc C(x) là tập compact, thì F là

C-hemi liên tục trên

Chứng minh Với x, y ∈ D cố định, định nghĩa các ánh xạ f, c : [0, 1] → 2Y

bởi f(α) = F (αx + (1 − α)y) và c(α) = C(αx + (1 − α)y), α ∈ [0, 1] Do F

và C là hemi liên tục trên nên f, c là ánh xạ nửa liên tục trên tại 0 Với V làlân cận bất kỳ của gốc trong Y tồn tại lân cận U của 0 trong [0, 1] sao cho

F (αx + (1 − α)y) ⊆ F (y) + V ;C(αx + (1 − α)y) ⊆ C(y) + V với mọi α ∈ U

Do đó, nếu F (αx + (1 − α)y) ∩ C(αx + (1 − α)y) 6= ∅ với mọi α ∈ (0, 1), thì(F (y) + V ) ∩ (C(y) + V ) 6= ∅ Điều này dẫn đến F (y) ∩ (C(y) + 2V ) 6= ∅.Giả sử F (y) là tập compact, ta sẽ chứng minh F (y) ∩ C(y) 6= ∅ Thật vậy,giả sử Vβ là lân cận bất kỳ của gốc trong Y, lấy aβ ∈ F (y) ∩ (C(y) + 2Vβ),

aβ = bβ + vβ, trong đó bβ ∈ C(y) và vβ ∈ Vβ Ta có thể chọn Vβ sao cho

∩βVβ = {0}.Giả sử vβ hội tụ đến 0 khi β hội tụ đến 0 Từ aβ ∈ F (y)và F (y)

là tập compact, không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết rằng aβ hội tụ đến

a ∈ F (y) khi β hội tụ đến 0 Vì vậy, bβ cũng hội tụ đến a Mặt khác, C(y)

đóng nên a ∈ C(y) Ta suy ra a ∈ F (y) ∩ C(y) hay F (y) ∩ C(y) 6= ∅ NếuC(y) compact, chứng minh tương tự ta cũng có F (y) ∩ C(y) 6= ∅ Vậy F là

C-hemi liên tục trên

1.4 Tính lồi của ánh xạ đa trị

Trong mục này chúng ta trình bày tính lồi, lõm, tựa giống như lồi của ánh xạ

đa trị Các khái niệm này mở rộng các khái niệm đã quen biết trong trườnghợp ánh xạ đơn trị và là các khái niệm cần thiết trong việc kiểm tra các định lýtồn tại nghiệm ở các chương sau (xem [12], [55], [56], [57], [58]) Ta có địnhnghĩa sau

Định nghĩa 1.4.1 Cho X, Y là hai không gian tôpô tuyến tính, D ⊂ X là tậplồi Cho ánh xạ F : D → 2Y, C là nón lồi trong Y ánh xạ F được gọi là C-lồitrên (upper C-convex), (hoặc C-lồi dưới (lower C-convex)) nếu

αF (x) + (1 − α)F (y) ⊆ F (αx + (1 − α)y) + C,(hoặc F (αx + (1 − α)y) ⊆ αF (x) + (1 − α)F (y) − C)

với mọi x, y ∈ domF và α ∈ [0, 1]

Trong trường hợp F là ánh xạ đơn trị thì tính C-lồi trên và C-lồi dưới làtrùng nhau và ta gọi là C-lồi F được gọi là C-lõm nếu −F là C-lồi

Ngoài các khái niệm trên người ta còn sử dụng các khái niệm sau đây

Định nghĩa 1.4.2 Cho F là ánh xạ đa trị từ D ⊂ X vào 2Y, Y là không giantôpô tuyến tính lồi địa phương với nón C

(i) F được gọi là C-tựa giống như lồi trên (upper C-quasi-convex-like) trên

D nếu với bất kỳ x1, x2 ∈ D, α ∈ [0, 1] , hoặc

F (x1) ⊆ F (αx1+ (1 − α)x2) + C,hoặc F (x2) ⊆ F (αx1+ (1 − α)x2) + C

(ii) F được gọi là C-tựa giống như lồi dưới (lower C-quasi-convex-like) trên

D nếu với bất kỳ x1, x2 ∈ D, α ∈ [0, 1] , hoặc

F (αx1+ (1 − α)x2) ⊆ F (x1) − C,hoặc F (αx1+ (1 − α)x2) ⊆ F (x2) − C

Các khái niệm C-lồi trên (dưới) hay C- tựa giống như lồi trên (dưới) là dạngtổng quát của các khái niệm tương ứng trong trường hợp đơn trị được giới thiệutrong [23], [24], [25] Ferro [24, Mệnh đề 4.2] đã đưa ra ví dụ chỉ ra rằng,

ánh xạ đa trị C- lồi trên (dưới) không phải là ánh xạ C-tựa giống như lồi trên(dưới) và hiển nhiên có chiều ngược lại ngay cả trường hợp đơn trị

1.5 Điểm bất động của ánh xạ đa trị

Năm 1912, Brouwer đã dùng phương pháp tổ hợp chứng minh một ánh xạ đơntrị liên tục từ một đơn hình K ⊂ Rn vào chính nó có điểm bất động Sau đónăm 1941, Schauder đã mở rộng định lý cho trường hợp K là tập lồi compactkhác rỗng trong Rn Kakutani mở rộng cho trường hợp ánh xạ đa trị nửa liêntục trên Đến năm 1967, Ky Fan đã chứng minh định lý điểm bất động với Knằm trong không gian tuyến tính lồi địa phương

Năm 1929, ba nhà toán học Knater, Kuratowski và Mazurkiewicz đã chứngminh một kết quả rất quan trọng, ngày nay gọi là Bổ đề KKM bằng phươngpháp tương đối sơ cấp mà từ đó suy ra được nguyên lý điểm bất động Browder.Năm 1961, Fan đã mở rộng Bổ đề KKM cổ điển trong không gian véctơ tôpôHausdorff hữu hạn chiều với ánh xạ đa trị Năm 1968, Browder đã chứng minhkết quả của Fan theo một dạng khác Đó là định lý điểm bất động và ngày nayngười ta thường gọi định lý đó là định lý điểm bất động Fan - Browder Từ đó

đến nay có rất nhiều kết quả mở rộng của các Định lý Ky Fan, Fan - Browder,

Bổ đề KKM và chúng được xem như là công cụ hữu hiệu để chứng minh sựtồn tại nghiệm của các loại bài toán tối ưu Trong phần này, chúng tôi chỉ giớithiệu một số định lý điểm bất động phát biểu trong không gian tôpô tuyến tínhlồi địa phương sẽ sử dụng để chứng minh các định lý ở các chương sau Định

lý sau là sự mở rộng của định lý điểm bất động của Ky Fan

Định lý 1.5.1 ([20]) Cho X là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương,

K ⊂ X là một tập con lồi, khác rỗng Cho F : K → 2K là ánh xạ đa trịcompact nửa liên tục trên với giá trị lồi, đóng, khác rỗng Khi đó tồn tại ¯x ∈ Ksao cho ¯x ∈ F (¯x)

Định lý 1.5.2 ([63]) Cho X là một không gian véctơ tôpô, K ⊂ X là một tậpcon lồi, khác rỗng, compact Cho F : K → 2K là ánh xạ đa trị có giá trị lồi,nghịch ảnh mở và với mọi x ∈ K, x /∈ F (x) Khi đó tồn tại điểm ¯x ∈ K saocho F (¯x) = ∅

Một ánh xạ F : D → 2X được gọi là ánh xạ KKM (xem [45]) nếu với bất

kỳ tập {t1, , tn} ⊂ D, luôn có co{t1, , tn} ⊆ Sn

j=1F (tj) Ngoài khái niệmtrên, người ta còn mở rộng khái niệm KKM từ một tập này vào một tập khác

Ta có khái niệm ánh xạ KKM suy rộng sau (xem [45], [48])

Định nghĩa 1.5.3 Cho X, Z là các không gian tôpô tuyến tính, D ⊂ X, K ⊂

Z, F : K ì D ì D → 2X, Q : D ì D → 2K là các ánh xạ đa trị ánhxạ F được gọi là Q- KKM nếu với bất kỳ tập hữu hạn {t1, , tn} ⊂ D và

x ∈ co{t1, , tn}, tồn tại chỉ số j ∈ {1, , n} sao cho 0 ∈ F (y, x, tj) với mọi

y ∈ Q(x, tj)

Định lý 1.5.4 (Bổ đề Fan-KKM, [22]) Giả sử D là một tập con lồi khác rỗngtrong không gian véctơ tôpô X, F : D → 2X là ánh xạ KKM Nếu F có giátrị đóng, đồng thời có ít nhất một điểm x0 ∈ D sao cho F (x0) là tập compact

thì Tx∈DF (x) 6= ∅.

Kết luận Chương 1Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản trong giải tích đa trị như:

1 Tính liên tục của ánh xạ đa trị

2 Tính lồi của ánh xạ đa trị

3 Một số định lý điểm bất động cần dùng trong các chứng minh ở chươngsau

có tập chỉ đạo T (x, y) Mục đích của mỗi cơ sở là tìm một phương án sản xuấtthông qua chỉ đạo của lãnh đạo cơ sở mình và đối tác để sản xuất của mìnhluôn được cân bằng, hay nói cách khác luôn đạt được mục tiêu và sản xuất ổn

định Về mặt toán học, vấn đề trên có thể mô hình hoá như sau: Cho X, Y, Z

là các không gian tuyến tính, các tập con D ⊆ X, K ⊆ Z Cho các ánh xạ đatrị S : D ì K → 2D, T : D ì K → 2K, F : K ì D ì D ì D → 2Y với giátrị khác rỗng Bài toán: tìm (¯x, ¯y) ∈ D ì K sao cho

¯

x ∈ S(¯x, ¯y); ¯y ∈ T (¯x, ¯y);

0 ∈ F (¯y, ¯x, ¯x, z) với mọi z ∈ S(¯x, ¯y)

được gọi là Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I, ký hiệu là (GQEP )I.Các

ánh xạ S, T được gọi là ánh xạ ràng buộc, F được gọi là ánh xạ mục tiêu, F

có thể là đẳng thức, bất đẳng thức hoặc là bao hàm thức hay tương giao củacác ánh xạ đa trị.

Bài toán cân bằng đã được biết đến từ lâu bởi các công trình của Debreu [14], Nash (xem trong [43]) Nó là sự mở rộng của các bài toán như bất

Arrow-đẳng thức biến phân, tối ưu vô hướng đồng thời nó cũng bao gồm các bài toán

điểm bất động, bài toán bù, bài toán cân bằng Nash, bất đẳng thức minimaxnhư những trường hợp đặc biệt Đã có rất nhiều sự mở rộng các bài toán trêntheo nhiều hướng như bài toán tựa cân bằng với biến ràng buộc phụ thuộc vàomột tham số, tựa biến phân hoặc bao hàm thức tựa biến phân của nhiều ánhxạ đa trị (xem [6], [29], [34], [35], [53], [55], ) Điều đặc biệt trong bài toántrình bày ở trên F là ánh xạ mục tiêu với 4 biến Với mỗi ánh xạ F ta đưa

được về các bài toán khác nhau Điều này tạo ra sự linh hoạt trong cách tiếpcận và bao quát được hầu hết các bài toán tối ưu loại I Bằng cách định nghĩa

ánh xạ mục tiêu thích hợp, ta có thể thấy bài toán tựa cân bằng tổng quát loại

I là sự mở rộng, tổng quát của lớp các bài toán tối ưu kể trên

Dưới đây ta đưa ra một số ví dụ minh hoạ sự mở rộng của bài toán (GQEP )I

đối với các bài toán trong lý thuyết tối ưu

1 Bài toán tựa tối ưu loại I: Cho G : K ì D ì D → R là hàm số Bài toántìm (¯x, ¯y) ∈ D ì K sao cho

¯

x ∈ S(¯x, ¯y); ¯y ∈ T (¯x, ¯y);

G(¯y, ¯x, z) ≥ G(¯y, ¯x, ¯x)với mọi z ∈ S(¯x, ¯y)

đã được nghiên cứu trong [11], [27] Định nghĩa các ánh xạ M : K ìDìD →

2X, F : K ì D ì D ì D → 2X như sau

M (y, x, z) = {t ∈ D | G(y, x, z) ≥ G(y, x, t)}; F (y, x, t, z) = t−M (y, x, z)

Khi đó bài toán trên sẽ đưa về: tìm (¯x, ¯y) ∈ D ì K sao cho

¯

x ∈ S(¯x, ¯y); ¯y ∈ T (¯x, ¯y);

0 ∈ F (¯y, ¯x, ¯x, z) với mọi z ∈ S(¯x, ¯y)

2 Bài toán tựa quan hệ biến phân loại I: Gọi R(y, x, t, z) là một quan hệ bốnngôi của y ∈ K, x, t, z ∈ D Quan hệ R có thể là đẳng thức, bất đẳng thức củamột hàm số hoặc hợp, giao của các ánh xạ đa trị Tìm (¯x, ¯y) ∈ D ì K sao cho

¯

x ∈ S(¯x, ¯y); ¯y ∈ T (¯x, ¯y);

R(¯y, ¯x, ¯x, z) xảy ra với mọi z ∈ S(¯x, ¯y)

Nếu định nghĩa các ánh xạ M : K ìD ìD → 2X, F : K ì D ì D ì D → 2Xbởi

M (y, x, z) = {t ∈ D | tồn tại quan hệ R(y, x, t, z) }, (y, x, z) ∈ K ìD ìD;

F (y, x, t, z) = t − M (y, x, z), (y, x, t, z) ∈ K ì D ì D ì D,

thì bài toán tựa quan hệ biến phân loại I trình bày ở trên sẽ trở thành (GQEP )I.Bài toán tựa quan hệ biến phân loại II đã được Đinh Thế Lục nghiên cứu trong[45]

3 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng trên loại I: Cho H, G làcác ánh xạ đa trị xác định trên K ì D ì D với giá trị trong không gian Y.Gọi C : K ì D → 2Y là ánh xạ đa trị với giá trị là nón lồi khác rỗng Tìm(¯x, ¯y) ∈ D ì K sao cho

¯

x ∈ S(¯x, ¯y), ¯y ∈ T (¯x, ¯y);

H(¯y, ¯x, z) ⊆ G(¯y, ¯x, ¯x) + C(¯y, ¯x)với mọi z ∈ S(¯x, ¯y)

Bài toán này là sự mở rộng của các bài toán trong [39], [55] Một dạng mởrộng khác của bài toán này đã được nghiên cứu trong [30] và [31]

Ta định nghĩa các ánh xạ M : K ìDìD → 2X, F : K ì D ì D ì D → 2Xnhư sau

M (y, x, z) = {t ∈ D | H(y, x, z) ⊆ G(y, x, t)+C(y, x)}, (y, x, z) ∈ KìDìD;

F (y, x, t, z) = t − M (y, x, z), (y, x, t, z) ∈ K ì D ì D ì D

Khi đó, bài toán trên được đưa về (GQEP )I

4 Bài toán tựa cân bằng véctơ: Cho ánh xạ G : K ì D ì D → 2Y với giátrị khác rỗng, C : K ì D → 2Y là ánh xạ với giá trị là nón lồi khác rỗngthoả mãn G(y, x, x) ⊆ C(y, x), với mọi (y, x, x) ∈ K ì D ì D Bài toán: tìm(¯x, ¯y) ∈ D ì K sao cho

¯

x ∈ S(¯x, ¯y); ¯y ∈ T (¯x, ¯y);

G(¯y, ¯x, z) ⊆ C(¯y, ¯x) với mọi z ∈ S(¯x, ¯y),

đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu trong [27], [32], [39], [55] và nócũng mở rộng nhiều dạng bài toán cân bằng khác (xem [3], [19], [50])

Định nghĩa các ánh xạ M : K ì D ì D → 2X, F : K ì D ì D ì D → 2Xbởi

M (y, x, z) = {t ∈ D | G(y, x, z) ⊆ G(y, x, t)+C(y, x)}, (y, x, z) ∈ KìDìD;

F (y, x, t, z) = t − M (y, x, z), (y, x, t, z) ∈ K ì D ì D ì D

Khi đó bài toán trên được đưa về (GQEP )I

5 Bài toán tựa quan hệ biến phân suy rộng: Cho các ánh xạ đa trị

C : K ì D ì D ì D → 2Y, G : K ì D ì D ì D → 2Y với giá trị khác rỗng.Tìm (¯x, ¯y) ∈ D ì K sao cho

¯

x ∈ S(¯x, ¯y); ¯y ∈ T (¯x, ¯y);

αi G(¯y, ¯x, ¯x, z), C(¯y, ¯x, ¯x, z)
với mọi z ∈ S(¯x, ¯y),

trong đó αi là các quan hệ được xác định bởi

α1 = {(M, N ) ∈ 2Y ì 2Y| M 6⊆ N }; α2 = {(M, N ) ∈ 2Y ì 2Y| M ⊆ N },

α3 = {(M, N ) ∈ 2Yì2Y| M ∩N 6= ∅}; α4 = {(M, N ) ∈ 2Yì2Y| M ∩N = ∅}

đã được nghiên cứu trong [58], [59] Nếu ta định nghĩa các ánh xạ

M : K ì D ì D → 2D, F : K ì D ì D ì D → 2Y bởi

M (y, x, z) = {t ∈ S(x, y)| αi(G(y, x, t, z), C(y, x, t, z))},

F (y, x, t, z) = t − M (y, x, z), (y, x, t, z) ∈ K ì D ì D ì D,

thì bài toán trên được đưa về dạng (GQEP )I

và các ánh xạ S, T, F để bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I có nghiệm Từ

đó ta suy ra sự tồn tại nghiệm của các bài toán liên quan trong lý thuyết tối ưuvới sự tham gia của các ánh xạ đa trị Ta chứng minh định lý sau

Định lý 2.2.1 Cho D ⊂ X, K ⊂ Z là các tập con lồi compact Giả sử

(i) S là ánh xạ liên tục với giá trị đóng;

(ii) T là ánh xạ nửa liên tục trên với giá trị lồi, đóng khác rỗng;

(iii) Với mỗi điểm cố định (x, y) ∈ D ì K , tồn tại t ∈ S(x, y) sao cho

0 ∈ F (y, x, t, z) với mọi z ∈ S(x, y);

(iv) Với mỗi (y, x) ∈ K ì D, tập A = {t ∈ S(x, y) | 0 ∈ F (y, x, t, z) vớimọi z ∈ S(x, y)} là tập lồi;

(v) F là ánh xạ đóng

Khi đó, bài toán (GQEP )I có nghiệm

Chứng minh Ta định nghĩa ánh xạ đa trị M : K ì D → 2D như sau:

M (y, x) = {t ∈ S(x, y)| 0 ∈ F (y, x, t, z) với mọi z ∈ S(x, y)}

Từ các điều kiện (iii) và (iv) ta suy ra M(y, x) là tập lồi, khác rỗng với mọi(x, y) ∈ D ì K

Tiếp theo, ta chứng minh M là ánh xạ đóng Thật vậy, giả sử xβ → x,

yβ → y, tβ ∈ M (yβ, xβ), tβ → t,ta chỉ ra t ∈ M(y, x) Từ tβ ∈ M (yβ, xβ),ta

có tβ ∈ S(xβ, yβ)và 0 ∈ F (yβ, xβ, tβ, z) với mọi z ∈ S(xβ, yβ).Do S nửa liêntục trên với giá trị đóng nên S là ánh xạ đóng, vì vậy với tβ ∈ S(xβ, yβ), tβ → tdẫn đến t ∈ S(x, y) Mặt khác, từ giả thiết S là nửa liên tục dưới và xβ → x,

ta suy ra với bất kỳ z ∈ S(x, y), tồn tại zβ ∈ S(xβ, yβ) sao cho zβ → z Vìvậy,

là ánh xạ compact Cho nên P là ánh xạ compact nửa liên tục trên với giá trịlồi, đóng, khác rỗng Theo định lý điểm bất động Himmelberg (Định lý 1.2.6),

tồn tại điểm (¯x, ¯y) ∈ D ì K sao cho (¯x, ¯y) ∈ P (¯x, ¯y) = M(¯y, ¯x) ì T (¯x, ¯y),nghĩa là

Ví dụ Cho D = K = [1, 2], S(x, y) = [1, y], T (x, y) = [1, x] Tập

C = (x, y) ∈ R2 | y ≥ 0, y ≤ x

là nón trong R2 Cho ánh xạ F : K ì

D ì D ì D → R2 xác định bởi

F (y, x, t, z) = {(xt + y, −xt − y + 2)} − C

Ta có S, T, F thoả mãn các giả thiết của Định lý 2.2.1 Với mỗi điểm cố

định (x, y), tồn tại t = 0 sao cho 0 ∈ {(y, −y + 2)} − C với mọi z Tập

A = {t ∈ S(x, y) | 0 ∈ {(xt + y, −xt − y + 2)} − C với mọi z ∈ S(x, y)} làtập lồi vì với t1, t2 ∈ A ta cũng có

0 ∈ {(x(αt1+ (1 − α)t2) + y, −x(αt1+ (1 − α)t2) − y + 2)} − C.Vậy tất cả các giả thiết của Định lý 2.2.1 được thoả mãn, do đó bài toántựa cân bằng có nghiệm Kiểm tra trực tiếp ta có điểm (¯x, ¯y) = (1, 1) ∈S(¯x, ¯y) ì T (¯x, ¯y) thoả mãn 0 ∈ (2, 0) − C, nghĩa là

¯

x ∈ S(¯x, ¯y); ¯y ∈ T (¯x, ¯y);

0 ∈ F (¯y, ¯x, ¯x, z) với mọi z ∈ S(¯x, ¯y).

Bằng cách đặt hàm mục tiêu F thích hợp, đồng thời khai thác tính lồi củatập A trong điều kiện (iv) và tính đóng của ánh xạ F trong Định lý 2.2.1, tathu được một số hệ quả dưới đây

Hệ quả 2.2.3 Cho D, K là các tập con lồi, compact của X, Z Cho các ánhxạ đa trị T : D ì K → 2K, G : K ì D ì D → 2X Giả thiết các điều kiệnsau thoả mãn:

(i) T là ánh xạ nửa liên tục trên với giá trị lồi, đóng khác rỗng;

(ii) Với mỗi điểm cố định (x, y) ∈ D ì K, ánh xạ G(y, x, ) : D → 2D làKKM;

(iii) G là ánh xạ đóng với giá trị khác rỗng và với mỗi điểm cố định(x, y) ∈ D ì K,tập A = {t ∈ D| t ∈ G(y, x, z) với mọi z ∈ D} là lồi.Khi đó, tồn tại điểm (¯x, ¯y) ∈ D ì K thoả mãn

¯

y ∈ T (¯x, ¯y); ¯x ∈ G(¯y, ¯x, z) với mọi z ∈ D

Chứng minh Định nghĩa ánh xạ F : K ì D ì D ì D → 2X bởi

F (y, x, t, z) = t − G(y, x, z)

Từ G(y, x, ) là ánh xạ KKM, G đóng nên G có giá trị đóng áp dụng Bổ đềFan - KKM ta có Tz∈DG(y, x, z) 6= ∅ Vì vậy, tồn tại t ∈ G(y, x, z) với mọi

z ∈ D Do đó, 0 ∈ F (y, x, t, z) với mọi z ∈ D

Từ điều kiện (iii) ta có tập {t ∈ D | 0 ∈ F (y, x, t, z) với mọi z ∈ D}

= {t ∈ D | t ∈ G(y, x, z)với mọi z ∈ D} = A là tập lồi

Do G là ánh xạ đóng kéo theo F là ánh xạ đóng Theo Định lý 2.2.1, tồn tại

điểm (¯x, ¯y) ∈ D ì K sao cho ¯y ∈ T (¯x, ¯y); 0 ∈ F (¯y, ¯x, ¯x, z) với mọi z ∈ D,nghĩa là ¯x ∈ G(¯y, ¯x, z) với mọi z ∈ D Ta có điều cần chứng minh

Hệ quả 2.2.4 Cho D, K, T xác định như trong Hệ quả 2.2.3 và ánh xạ

G : K ì D ì D → 2X Giả thiết các điều kiện sau thoả mãn:

(i) T là ánh xạ nửa liên tục trên với giá trị lồi, đóng khác rỗng;

(ii) Với mỗi điểm (x, y) ∈ D ì K cố định, ánh xạ H : D → 2D xác địnhbởi H(t) = x − G(y, x, t), t ∈ D là KKM;

(iii) G là ánh xạ đóng với giá trị khác rỗng, với mỗi điểm (x, y) ∈ D ì K

cố định, tập A = {t ∈ D| t ∈ x − G(y, x, z) với mọi z ∈ D} là lồi

Khi đó, tồn tại điểm (¯x, ¯y) ∈ D ì K sao cho

Vì vậy, tồn tại điểm t ∈ D thoả mãn t ∈ (x − G(y, x, z)) với mọi z ∈ D

Điều này dẫn đến 0 ∈ t − x + G(y, x, z) với mọi z ∈ D Do đó, tồn tại

t ∈ D sao cho 0 ∈ F (y, x, t, z) với mọi z ∈ D Theo giả thiết (iii) ta có tập{t ∈ D | 0 ∈ F (y, x, t, z) với mọi z ∈ D} = A là lồi

Hơn nữa, F là ánh xạ đóng do G là ánh xạ đóng Theo Định lý 2.2.1, tồntại điểm (¯x, ¯y) ∈ D ì K thoả mãn ¯y ∈ T (¯x, ¯y); 0 ∈ F (¯y, ¯x, ¯x, z) với mọi

z ∈ D, nghĩa là 0 ∈ G(¯y, ¯x, z) với mọi z ∈ D

2.3 Một số bài toán liên quan

Trong phần này ta xét một số bài toán như bài toán tựa cân bằng vô hướng, tựaquan hệ biến phân và bao hàm thức tựa biến phân đã giới thiệu trong Mục 2.1

Hệ quả 2.3.1 Cho D, K, T được xác định như trong Định lý 2.2.1 Cho S

là ánh xạ liên tục với giá trị lồi, đóng khác rỗng Giả sử Y = R và hàm số

ϕ : K ì D ì D → R liên tục Với mỗi điểm (y, x) ∈ K ì D cố định, hàmϕ(y, x, ) : D → R là tựa giống như lồi và ϕ(y, x, x) = 0 Khi đó, tồn tại(¯x, ¯y) ∈ D ì K sao cho ¯x ∈ S(¯x, ¯y), ¯y ∈ T (¯x, ¯y) và

ϕ(¯y, ¯x, z) ≥ 0 với mọi z ∈ S(¯x, ¯y)

Lấy bất kỳ t1, t2 ∈ M (y, x), khi đó t1, t2 ∈ S(x, y) và

ϕ(y, x, z) ≥ ϕ(y, x, t1), (2.2)ϕ(y, x, z) ≥ ϕ(y, x, t2) (2.3)

Do S(x, y) là tập lồi nên αt1+ (1 − α)t2 ∈ S(x, y) Từ ϕ(y, x, ) là tựa giốngnhư lồi ta suy ra

ϕ(y, x, αt1+ (1 − α)t2) ≤ ϕ(y, x, t1), (2.4)hoặc

ϕ(y, x, αt1+ (1 − α)t2) ≤ ϕ(y, x, t2) (2.5)Kết hợp (2.4) với (2.2) hoặc (2.5) với (2.3) ta có

ϕ(y, x, z) ≥ ϕ(y, x, αt1+ (1 − α)t2)