Sự phân tích nguyên sơ của môđun

Sự phân tích Nguyên sơ Đ3 Một số ví dụ 13 13 17 22 Lời nói đầu Sự phân tích iđêan thành giao của các iđêan nguyên sơ là một việc làmtruyền thống trong lý thuyết iđêan.. Một cách khác, t

Đ1 Định nghĩa và tính chất

Đ2 Sự phân tích Nguyên sơ

Đ3 Một số ví dụ

13 13 17 22

Lời nói đầu

Sự phân tích iđêan thành giao của các iđêan nguyên sơ là một việc làmtruyền thống trong lý thuyết iđêan Điều này đợc phản ánh trong Hình học đại số

nh là một đa tạp đại số đợc phân tích thành hợp của các đa tạp bất khả quy Do đó

nó đợc ứng dụng nhiều trong Hình học đại số Một cách khác, ta cũng có thể xem

sự phân tích một iđêan thành giao của các iđêan nguyên sơ nh là một sự khái quáthoá của việc phân tích một số nguyên thành tích của các luỹ thừa của các sốnguyên tố Mặc dù với phơng pháp nghiên cứu hiện đại sự phân tích nguyên sơ

không còn đóng vai trò trung tâm trong lý thuyết iđêan nhng nó vẫn còn nhiều điềuthú vị.

Mục đích của luận văn là trình bày lại một cách chi tiết về khái niệm iđêannguyên tố liên kết và sự phân tích nguyên sơ của môđun Noether dựa theo [1] và[3]

Luận văn đợc chia làm hai chơng ở Chơng 1 chúng tôi trình bày mà khôngchứng minh các khái niệm, kết quả liên quan đến các chứng minh trong Chơng 2.Chơng 2 là nội dung chính của luận văn Trong chơng này chúng tôi trình bày địnhnghĩa và các tính chất của tập iđêan nguyên tố liên kết; chứng minh sự tồn tại sựphân tích nguyên sơ của môđun Noether Đặc biệt trong chơng này chúng tôi đa ranhiều ví dụ về sự phân tích nguyên sơ các iđêan đơn thức trong vành đa thức nhiềubiến trên một trờng

Để hoàn thành luận văn này tôi đã nhận đợc sự hớng dẫn nhiệt tình của

Ts Nguyễn Thị Hồng Loan và các thầy cô giáo Nhân dịp này tôi xin chân thànhcảm ơn TS Nguyễn Thị Hồng Loan, cùng các thầy cô giáo trong khoa Toán, đặcbiệt là tổ Đại số đã giúp đỡ cho tôi hoàn thành luận văn này Mặc dù đã hết sức cốgắng nhng không thể tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tôi rất mong muốn nhận đợc ýkiến góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn

1.1.1 Định nghĩa Ta gọi vành là một tập hợp R cùng với hai phép toán gọi là phép

cộng và nhân sao cho các điều kiện sau thỏa mãn:

(i) R cùng với phép cộng là một nhóm Aben

(ii) R cùng với phép nhân là một nửa nhóm

(iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng

x(y + z) = xy + xz

(y + z)x = yx + zx Với mọi x, y, z Є R

Phần tử đơn vị của phép cộng kí hiệu là 0 và gọi là phần tử không của vành Nếu

phép nhân là giao hoán thì ta nói vành R là vành giao hoán Nếu phép nhân có

phần tử đơn vị thì ta gọi đó là phần tử đơn vị của vành R và thờng kí hiệu là 1.

1.1.2 Ví dụ Tập hợp Z các số nguyên cùng với phép cộng và phép nhân các số

thông thờng là một vành giao hoán, có đơn vị gọi là vành các số nguyên Ta cũng

có vành các số hữu tỉ Q, vành các số thực R, vành các số phức C đối với phép cộng

(a) Bộ phận {0} và bộ phận R là hai iđêan của vành R

(b) Bộ phận mZ gồm các số nguyên là bội của một số nguyên m cho tr ớc làmột iđêan của vành các số nguyên Z

1.2.3 Một số khái niệm khác.

1) Iđêan sinh bởi một tập, iđêan hữu hạn sinh Cho R là một vành và S là một

tập con của R Khi đó giao của tất cả các iđêan của R chứa S là iđêan bé nhất của R

chứa S Iđêan đó đợc gọi là iđêan sinh bởi S Kí hiệu I = <S >.

Nếu S là tập hữu hạn phần tử thì iđêan sinh bởi S đợc gọi là iđêan hữu hạn sinh Giả

sử S ={S1,S2, ,Sn} thì I = <S> = < S1,S2, ,Sn > ={ 



n

i i i s r

1

| ri  R ,si S }

Chú ý (i) Cho I = (a1, ,an) và J = (b1, ,bn) là hai iđêan hữu hạn sinh của vành R.Khi đó I  J nếu và chỉ nếu ai  J với mọi i = 1, , n từ đó suy ra I = J khi và chỉkhi ai  J và bj  I với mọi i = 1, ,n và j =1, ,m

(ii) Iđêan I = R khi và chỉ khi 1  I

2) Iđêan nguyên tố, Iđêan cực đại Iđêan P của vành R đợc gọi là iđêan nguyên tố

nếu P  R và với mọi x, y  R mà xy  P thì suy ra hoặc x  P hoặc y  P

Iđêan m của vành R đợc gọi là iđêan cực đại nếu m R và không tồn tại iđêan

3

I  m sao cho I ≠ m và I ≠ R Nói cách khác m là cực đại theo quan hệ bao hàm

trong tập các iđêan thực sự của vành R

2.1 Ví dụ Trong vành các số nguyên Z, iđêan nZ là nguyên tố nếu và chỉ nếu n là

một số nguyên tố

Chứng minh Thật vậy, giả sử nZ là một iđêan nguyên tố Ta có n  nZ Nếu n là

một hợp số thì n = r.s (1<r,s<n) tuy nhiên r  nZ và s  nZ Do đó nZ không phải

là một iđêan nguyên tố Điều này mâu thuẫn với giả thiết nZ là iđêan nguyên tố Từ

đó suy ra n là nguyên tố

Ngợc lại nếu n = P là một số nguyên tố và xy = PZ thì xy chia hết cho P Khi đóhoặc x chia hết cho P nghĩa là x  PZ hoặc y  PZ

Vậy PZ là một iđêan nguyên tố hay nZ là iđêan nguyên tố

Chú ý (i) P là iđêan nguyên tố của vành R khi và chỉ khi R/P là miền nguyên.

(ii) m là iđêan cực đại của vành R khi và chỉ khi R/ m là một trờng.

3) Iđêan nguyên sơ Cho R là vành giao hoán có đơn vị, I là một iđêan của vành R,

I đợc gọi là iđêan nguyên sơ nếu mọi x,y  R, xy  I và nếu x  I thì tồn tại số tự

nhiên n sao cho yn  I

Ví dụ: Trong vành các số nguyên Z, iđêan nZ là nguyên sơ nếu và chỉ nếu n  P k,trong đó P là số nguyên tố

4) Iđêan chính Iđêan sinh bởi một phần tử gọi là iđêan chính.

Ví dụ: Trong vành các số nguyên Z, mọi iđêan đều có dạng mZ với m là một số

nguyên nào đó nên chúng là iđêan chính: mZ = <m>

5) Iđêan bất khả qui Cho I là một iđêan ta nói rằng I bất khả qui nếu I đợc phân

tích thành giao của hai iđêan I = I1  I2 thì I1 = I hoặc I2 = I nghĩa là I không phân

tích đợc thành giao của hai iđêan thực sự chứa nó.

1) Định nghĩa Cho M là một R- môđun, A là tập con khác rỗng của M A đợc gọi

là môđun con của M nếu với các phép toán cảm sinh của M thì A là một

-môđun thơng của -môđun M theo -môđun con A.

(2) Ví dụ Z/4Z = {z + 4Z | z Z}={0 + 4Z, 1 + 4Z, 2 + 4Z, 3 + 4Z}.

2.3 Định lí đồng cấu, đẳng cấu môđun.

2.3.1 Định lí đồng cấu môđun Giả sử f: M N là một đồng cấu R- môđun Khi

đó: Imf  M/kerf (đẳng cấu R- môđun).

2.3.2 Định lí đẳng cấu môđun.

Định lí 1 Cho M là một R- môđun, N và P là hai môđun con của M sao cho N

P Khi đó: M / P 

N P

N M

/

/

.

5

Định lí 2 Giả sử M là một R- môđun Cho N và P là hai môđun con của M Khi đó

đợc gọi là dãy khớp ngắn Chú ý rằng dãy (1) là dãy khớp ngắn khi và chỉ khi f

đơn cấu, g gọi là toàn cấu và Imf = ker g.

2.5 Độ dài của môđun.

2.5.1 Định nghĩa Cho M là một R- môđun và dãy các môđun con củaM:

2.5.3.Định lí M có dãy hợp thành khi và chỉ khi M là môđun Artin và Noether.

2.5.4 Định nghĩa Nếu M có dãy hợp thành có độ dài bằng n thì kí hiệu

lR(M) = n gọi là độ dài của môđun M

2.6 Một số khái niệm khác.

2.6.1 Linh hoá tử của môđun Giả sử m là một R- môđun Kí hiệu:

Ann RM= {a  R | aM = 0} = {a  R | ax = 0, x  M}

Khi đó Ann RMlà một iđêan của R và đợc gọi là linh hoá tử của môđun M.

Giả sử x  M. Kí hiệu Ann R x = {a  R | ax = 0}

Ta có Ann R x cũng là một iđêan của R

2.6.2 Phần tử ớc của không Cho M là một R- môđun Phần tử aR đợc gọi là

một ớc của không của M nếu tồn tại x  M, x  0 sao cho ax = 0.

2.6.3 Phần tử chính qui Phần tử b  R đợc gọi là phần tử chính qui của M nếu

b không phải là ớc của không của M

2.7 Chiều Krull của môđun Cho R là một vành giao hoán Một dãy thực sự các

iđêan nguyên tố của R : P0  P1   Pn đợc gọi là một xích nguyên tố có độ

dài n

Cho P là một iđêan nguyên tố của R Chặn trên của tất cả các xích nguyên tố của Rvới P0 = P đợc gọi là độ cao P kíhiệu là ht(p) Ta có:

ht(P) = Sup{độ dài xích nguyên tố của R, P0 = P}

Cho I là một iđêan của R.Ta định nghĩa:

ht(I) = inf {ht(P) | P  specR, P  I}

Chặn trên của tất cả các xích nguyên tố trong R đợc gọi là chiều Krull của vành R,

kí hiệu là dim R.

Nh vậy dim R có thể vô hạn do ht(P) có thể vô hạn

Giả sử M là một R-môđun Khi đó dimR Ann R M đợc gọi là chiều Knull của môđun

M và kí hiệu là dimR M hoặc (dimM )

Đ3 Vành và môđun Noether

3.1 Môđun Noether

3.1.1 Định nghĩa Cho M là một R-môđun M đợc gọi là môđun noether nếu mọi

dãy tăng các môđun con của M: A1 A2   An  đều phải dừng tức là tồn tạimột số tự nhiên k sao cho Ak = Ak+1

3.1.2 Định lí đặc trng của môđun noether Cho môđun M Khi đó các điều kiện

sau là tơng đơng:

(1) Mọi dãy tăng các môđun con của M đều dừng.

(2) Mọi tập con khác rỗng các môđun con của M đều có phần tử cực đại (3) Mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh.

Chứng minh (1)  (2): Gọi S = {Ai | Ai là môđun con nào đó M} Lấy A1  S

Nếu A1 tối đại trong S  điều phải chứng minh

Nếu A1 không tối đại trong S thì sẽ tồn tại A2  S mà A1 A2

Lập luận A2 nh A1 có A1 A2  A3 Tiếp tục quá trình lập luận trên thì ta sẽ có mộtdãy tăng A1 A2   Ak 

Và do M noether nên sẽ tồn tại một số tự nhiên k để Ak = Ak+1= Do đó Ak tối đạitrong S suy ra điều phải chứng minh

(2)(3): Lấy A là môđun con bất kì của M Xét tập

Γ = {môđun con hữu hạn sinh của A}

7

Ta thấy Γ là một tập các môđun con của M nên Γ   Vì x  A nên Rx  Γ,

Rx là xyclic nên hữu hạn sinh: <x> = Rx = {rx | r  R}

Suy ra Γ thoã mãn (ii) nên có Γ phần tử tối đại là: <x1, x2,…, x, xk> = C với xi  A tacần chứng minh <x1, x2,…, x, xk> = A

Ta sử dụng chứng minh phản chứng:

Giả sử nếu <x1, x2, , xk>  A khi đó sẽ tồn tại a  A mà a  <x1, x2, , xk>

Lấy B = <x1, x2, , xk, a>  C  B điều này mâu thuẫn với tính tối đại của C do đó

C = A hay là: <x1, x2, , xk> = A

Vậy A hữu hạn sinh suy ra điều phải chứng minh

(3)  (1): Lấy dãy tăng các môđun con của M nh sau:

A

Do đó An  A suy ra An = A tức là An = An+1=

Vậy (a) dừng nên A noether suy ra điều phải chứng minh

3.1.3 Ví dụ

(1) Xét Z là Z- môđun thì Z là môđun noether

(2) V là không gian vectơ hữu hạn chiều thì V là môđun noether

3.2 Vành Noether

3.2.1 Định nghĩa.Vành R đợc gọi là vành noether nếu mọi dãy tăng các iđêan

trong R đều dừng, nghĩa là nếu I0  I1   In  In+1  là dãy tăng các iđêantrong R thì tồn tại một số tự nhiên n sao cho In = In+1 =

Nh vậy vành R là noether nếu nó là một môđun noether trên chính nó Chúng ta

có thể nhận biết vành noether qua nhiều đặc trng khác nhau thể hiện qua định lísau:

3.2.2 Định lí Giả sử R là một vành khi đó các điều kiện sau là tơng đơng:

(i) Mọi tập khác rỗng các iđêan trong vành R đều có phần tử tối đại.

(ii) Mọi iđêan trong vành R đều hữu hạn sinh.

(iii) Mọi dãy tăng các iđêan trong vành R đều dừng.

3.2.3 Một số ví dụ về vành noether

Ví dụ 1 Vành các số nguyên Z là vành noether vì mọi iđêan của Z có dạng mZ

(m  Z) có nghĩa là mọi iđêan của Z đều hữu hạn sinh (Sinh bởi một phần tử)

Ví dụ 2 Mọi trờng X đều là vành nother Do trờng X bất kì chỉ có hai iđêan là

{0} và X Vậy dãy tăng các iđêan chỉ là {0}  X ( dãy có hai phần

tử ) Suy ra dãy dừng hoặc hai iđêan đều hữu hạn sinh vì {0} = <0> , X = <1>

Đ4 Môđun các thơng4.1 Định nghĩa Một tập S  R đợc gọi là tập nhân đóng nếu 1  S, ab  S,

Môđun S-1M đợc gọi là môđun các thơng của M theo tập nhân đóng S.

Nếu P là một iđêan nguyên tố của vành R, khi đó S = R\P là một tập nhân đóngcủa R Trong trờng hợp này thay cho việc S-1R ta viết RP và thay cho việc S-1M taviết MP

4.2 Mệnh đề Cho S là một tập nhân đóng của vành giao hoán R Khi đó S -1 (*) là một hàm tử khớp từ phạm trù R-môđun vào phạm trù các R-môđun Nghĩa là: Nếu

4.5 Giá của môđun Cho M là một R- môđun Ta gọi giá của môđun M là tập đợc

kí hiệu: SuppRM = { P SpecR | MP  0 }  SpecR

Dễ thấy SuppM = V(Ann M)

9

Chơng II

iđêan nguyên tố liên kết Đ1 Định nghĩa và tính chất

1.1 Định nghĩa Giả sử M là một R- môđun Một iđêan nguyên tố P của R đợc gọi

là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại xM sao cho:

P = AnnR(x) = { a  R | ax = 0 }

Tập hợp tất cả các nguyên tố liên kết của M đợc kí hiệu là AssRM (hoặc Ass M nếu

ta không để ý đến vành R)

1.2 Ví dụ Giả sử P là một iđêan nguyên tố của vành R Ta xét vành thơng R/P nh

là R- môđun Khi đó P là một iđêan nguyên tố liên kết của môđun R/P Thật vậy,giả sử x là một phần tử khác không tuỳ ý của R/P, tức là

1.3.1 Mệnh đề Giả sử M là một R- môđun và P là một iđêan nguyên tố của vành

R P  AssR M khi và chỉ khi M chứa một môđun con N sao cho N  R/P.

Chứng minh Giả sử P  AssRM Khi đó tồn tại x  M sao cho P = Ann(x) Khi đó

ánh xạ f: RN biến a  ax là một R toàn cấu R-môđun

Ta có : ker f ={a  R | ax = 0} = P

Theo định lí đồng cấu môđun ta có: N  R/ker f = R/P

Ngợc lại: Giả sử tồn tại một môđun con N của M sao cho N  R/P Lấy x là mộtphần tử khác không tuỳ ý của N, do đó x  M

Do N  R/P nên mỗi phần tử của N có thể đợc viết dới dạng x = x + P với x  R.Chứng minh nh ở Ví dụ 1.2 ta có AssR(x) = P Do đó P  AssRM

1.3.2 Mệnh đề Kí hiệu  là tập tất cả các iđêan của R có dạng Ann(x) với x  M,

x  0 Nếu P là phần tử cực đại trong  theo quan hệ bao hàm thì P AssM.

Chứng minh Để chứng minh P  AssRM ta chỉ cần chứng minh P là iđêan nguyên

tố Thật vậy, giả sử P = Ann(x) với x  M, x  0 Giả sử a, b  R, ab  P và b 

P Khi đó bx  0 và abx = 0 Suy ra a  AnnR(bx) Mặt khác ta lại có

AnnR(bx)  Ann(x) = P Do Ann(bx)   và P là phần tử cực đại của  nên P =AssR(bx) Do đó a  P Vậy P là iđêan nguyên tố

Từ kết quả trên đây ta suy ra các hệ quả sau:

1.3.3 Hệ quả M = 0 khi và chỉ khi Ass R M = 

Chứng minh Nếu M = 0 khi đó tập  =  Do đó AssRM = 

Ngợc lại, giả sử AssRM =  Ta chứng minh M = 0 Giả sử M  0 Khi đó tồn tạiphần tử x  M mà x  0 Do đó tập    Vì R là vành noether nên mọi tậpkhác rỗng các iđêan của R đều có phần tử cực đại suy ra  có phần tử cực đại vàtheo Mệnh đề 1.3.2 thì phần tử đó thuộc AssRM Điều này mâu thuẫn với giả thiếtAssRM =  Vậy M = 0

1.3.4 Hệ quả Kí hiệu D là tập tất cả các ớc của không của M Khi đó

D = P Ass M

R

P



Chứng minh Giả sử a  D Khi đó tồn tại x  M, x  0 sao cho a.x = 0 Suy ra

a  Ann(x) Theo Mệnh đề 1.3.2 tồn tại P  AssRM sao cho P  Ann(x) vì vậy

Mặt khác, do P  AssRM nên tồn tại x  M, x  0 sao cho P = AssR(x) Từ đó suy

ra b  Ann(x) hay bx = 0 Do đó b  D Từ đó suy raP Ass M

1.3.5 Mệnh đề Cho S là một tập nhân đóng của vành R và M là R-môđun hữu hạn

sinh Khi đó: Ass R (S -1 M) = Ass R M  { P SpecR , PS =  }

1.3.6 Bổ đề Giả sử 0M’MM”0 là một dãy khớp ngắn các R-môđun Khi đó

ta có:

(i) Ass R M ’  AssR M  AssR M’ Ass R M ”

(ii) Supp R M = Supp R M ’  SuppR M ”

Chứng minh (i) Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết M’ là môđun con M

và M” = M/M’ Vì M’ là môđun con của M nên theo định nghĩa, ta cóAssRM’  AssRM

Giả sử P  AssRM Theo Mệnh đề 1.3.1 tồn tại một môđun con N của M sao cho

N  R/P Nếu N  M’  0 Thì tồn tại x  0 và x  NM’ Vì N  R/P và R/P làmiền nguyên nên Ann(x) = P Do đó P  AssRM’ Suy ra P Ass M Ass M 

Nếu NM  0 thì có thể xem N là môđun con của M  Do đó PAss M  Từcác chứng minh trên ta có AssRM’  AssRM  AssRM’  AssRM”

(ii) Theo Mệnh đề 4.2 Chơng I, từ dãy khớp

0M’MM” 0

ta suy ra dãy khớp

0M’PMPM”P 0

với mọi P  specR

Do đó nếu P  SuppM, tức MP = 0 thì ta suy ra M’P = 0 và M”P = 0 nên P  SuppM’

và P  SuppM” Điều đó chứng tỏ rằng Supp M  SuppM’  SuppM” Mặt khácgiả sử P  SuppM Khi đó MP  0 Ta suy ra M’P và M’’P không thể đồng thời

bằng 0 Vì nếu nh vậy thì MP = 0 Do đó M’P  0 hoặc '' 0



P

P Supp M’  Supp M” Vậy Supp M=Supp M’  Supp M”

1.3.7 Định lý Giả sử R là một vành Noether và M là một R môđun khi đó –

Ass R M  Supp M và bất kỳ phần tử tối thiểu nào của Supp M theo quan hệ bao hàm

đều thuộc Ass R M.

Chứng minh: giả sử P  AssRM theo Mệnh đề 1.3.1 thì R/P đẳng cấu với mộtmôđun con của M do đó ta có dãy khớp: 0 R/P M. áp dụng Mệnh đề 4.2 Chơng

1 ta có dãy khớp 0 RP/PR P  MP do RP/PRP là trờng thặng d của vành RP nên RP/