Một số lớp iđêan đặc biệt và sự phân tích nguyên sơ

Được sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của Cô giáo - Thạc sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga cùng với lòng yêu thích môn Đại số em đã mạnh dạn chọn đề tài: “ Một số lớp iđêan đặc biệt và sự phân tíc

PHẦN MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

Đại số là một ngành rất quan trọng của Toán học Kiến thức của Đại số rất phong phú, trừu tượng và được xây dựng, phát triển từ những kiến thức cơ bản của Cấu trúc đại số như: nhóm, vành, trường,

Iđêan là một phần quan trọng trong lý thuyết Vành nhưng trong chương trình đại học vấn đề này mới chỉ được trình bày một cách sơ lược gây nhiều khó khăn cho việc tìm hiểu của các bạn đọc, đặc biệt là sinh viên khoa Toán

Được sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của Cô giáo - Thạc sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga cùng với lòng yêu thích môn Đại số em đã mạnh dạn chọn đề tài: “ Một

số lớp iđêan đặc biệt và sự phân tích nguyên sơ” để làm khoá luận tốt nghiệp

mong muốn giúp ích cho các bạn yêu thích môn Đại số có thêm một cuốn tài liệu để tham khảo

II Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu

Hệ thống hoá các kiến thức liên quan: Một số lớp iđêan đặc biệt, sự

phân tích nguyên sơ

III Đối tượng nghiên cứu

Lý thuyết về iđêan và sự phân tích nguyên sơ

IV Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu

- Phân tích, tổng hợp

PHẦN NỘI DUNG Chương I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Vành, vành con, điều kiện tương đương, đặc số vành

1.1.1 Vành

a) Định nghĩa: Cho X là tập khác rỗng, trên X trang bị hai phép toán

hai ngôi, kí hiệu là (+), (.) và gọi là phép cộng và phép nhân X được gọi là vành nếu thoả mãn các điều kiện:

i) X cùng với phép cộng là nhóm abel

ii) X cùng với phép nhân là nửa nhóm

iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức là với các phần tử tuỳ ý , ,

+)Vành X gọi là vành có đơn vị nếu X là một vị nhóm nhân

+) Vành X được gọi là vành giao hoán nếu phép nhân giao hoán

+) Vành X gọi là vành giao hoán có đơn vị nếu X là vị nhóm nhân giao hoán

+) Phần tử đơn vị của phép cộng kí hiệu là 0

+) Phần tử đơn vị của phép nhân (nếu có), kí hiệu là 1

1.1.2 Vành con và điều kiện tương đương

a) Định nghĩa: Giả sử X là một vành, A là một bộ phận của X, ổn định

với hai phép toán trong X, nghĩa là x y A x y, A, x y, A A là một vành con của X nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh trên A là một vành

b) Điều kiện tương đương

Cho X là một vành, A là bộ phận khác rỗng của X Các điều kiện sau đây là tương đương:

a) Định nghĩa: Cho X là vành giao hoán, a X b, X a gọi là bội của

b hay a chia hết cho b, kí hiệu a bMnếu tồn tại c X sao cho a b c ; Khi đó ta .còn nói b là ước của a, kí hiệu là :b a

b) Ƣớc của không: a X a, 0, a được gọi là ước của không nếu tồn

tại b X , b 0 sao cho a b 0

1.2.2 Phần tử khả nghịch:

Phần tử u X được gọi là phần tử khả nghịch nếu u là ước của 1, tức

là tồn tại v X sao cho u v 1

a được gọi là ước thực sự của b nếu a là ước của b, a không khả nghịch

và a không liên kết với b

Một vành giao hoán X có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử và không

có ước của 0 được gọi là một miền nguyên

Cho X là một vành, I là vành con của X Khi đó:

+) I gọi là iđêan trái của X nếu x X a, I x a: I

+ ) I gọi là iđêan phải của X nếu x X a, I a x: I

+ ) I gọi là iđêan của X nếu I vừa là iđêan trái vừa là iđêan phải của X

1.3.2 Điều kiện tương đương:

Cho X là vành,I X I, Các điều kiện sau tương đương:

i) I là iđêan của X

ii) Với mọi ,a b X thì a b I, x X thì: a x. I x a, I

1.3.3 Tính chất:

a) Giao của tất cả các iđêan của X là một iđêan của X

b) Cho X là vành có đơn vị là 1, I là iđêan của X, 1 I thì I X

1.4 Vành chính, vành nhân tử hoá, vành Ơclit:

1.4.1 Vành chính:

a) Định nghĩa: Miền nguyên X được gọi là vành chính nếu mọi iđêan

của X đều là iđêan chính

b) Ví dụ: Vành các số nguyên Z là vành chính

1.4.2 Vành nhân tử hóa:

a) Định nghĩa: Miền nguyên X được gọi là vành nhân tử hoá nếu và

chỉ nếu mọi phần tử khác 0, không khả nghịch đều phân tích được một cách duy nhất thành tích các nhân tử bất khả qui

b) Nhận xét :

+ ) Mọi vành chính đều là vành nhân tử hoá

+ ) Nếu K là trường thì K[x] là vành nhân tử hoá

1.4.3 Vành Ơclit:

a) Định nghĩa: Cho X là miền nguyên, X* là tập các phần tử khác không của X X được gọi là vành Ơclit nếu tồn tại một ánh xạ : *X ¥ từ

X* vào tập số tự nhiên thỏa mãn các tính chất sau:

i) Nếu a là bội của b và a 0 thì b a

ii) Với ,a b X và b 0 thì tồn tại q và r thuộc X sao cho a bq r

a) Định nghĩa: Cho A là iđêan cuả vành X, khi đó:

X/A={x+A/ x X} là vành thương của X theo iđêan A với 2 phép toán (+), (.): với mọi x y, X

+ ) Nếu X là vành có đơn vị là 1 thì X/A cũng là vành có đơn vị 1+A

Cho vành giao hoán R, I là iđêan cuả R

+) Nếu J là iđêan cuả R sao cho J I thì J là iđêan cuả vành

thương R và với r Rta có r I J I nếu và chỉ nếu r/ J

+) Mỗi iđêan A của R/I đều có dạng K/I với K là iđêan cuả R thoả mãn:K I

Tồn tại duy nhất iđêan K={a R a/ I J } của R thỏa mãn điều kiện

trên

+) J J là các iđêan cuả R sao cho 1, 2 J J1, 2 I Ta có : J1 /I J2 /I

khi và chỉ khi J1 J 2

1.5.2 Đồng cấu vành:

a) Định nghĩa: Cho X, Y là 2 vành Ánh xạ f X: Ygọi là đồng cấu

vành nếu thoả mãn: với mọi x y, X : ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

f x y f x f y

+ ) f là đơn cấu nếu và chỉ nếu f là đồng cấu vành và f là đơn ánh

+ ) f là toàn cấu nếu và chỉ nếu f là đồng cấu vành và f là toàn ánh + ) f là đẳng cấu nếu và chỉ nếu f là đơn cấu và f cũng là toàn cấu

- Cho hai vành X, Y ta nói X đẳng cấu với Y nếu tồn tại một đẳng cấu vành f X: Y

g sao cho: g f 1X thì f là đơn cấu

+) Nếu f có nghịch đảo phải tức là tồn tại một đồng cấu vành

:

g X Y sao cho f g 1Y thì f là toàn cấu

+) Nếu f có nghịch đảo trái và nghịch đảo phải thì f là đẳng cấu

Hạt nhân của f kí hiệu ker f , ker f x X f x: 0

Ảnh của đồng cấu f , kí hiệu Imf , Im f f X f x Y x X

Khi đó : +) X là vành con của nên Im f là vành con của Y

Vậy: +) f là đơn cấu khi và chỉ khi ker f 0X

+ ) f là toàn cấu khi và chỉ khi Im f Y

5

b ) Định lý cơ bản của đồng cấu vành:

Cho đồng cấu vành f X: Y A, B tương ứng là các iđêan của X, Y

sao cho f A B Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu vành f X: / A Y B/làm cho biểu đồ sau giao hoán:

Đặc biệt : Nếu A ker ,f B 0Y thì Y B/ Y / 0Y Y tức biểu đồ

sau giao hoán :

Nghĩa là f.p f với p:X X / ker f là toàn cấu chính tắc

Hệ quả:

(1) Cho f X: Ylà đồng cấu vành thì X / ker f ; Im f

(2) Nếu f X: Ylà toàn cấu vành thì X /ker f ; Y

(3) Cho A, B là 2 iđêan thoả mãn B A, khi đó:

1.6 Quan hệ thứ tự và tập sắp thứ tự:

1.6.1 Định nghĩa: Cho tập V Quan hệ hai ngôi, được gọi là quan hệ thứ

tự trên V ( kí hiệu ) nếu có 3 tính chất sau:

(i) Phản xạ: tức với mọi u V u: u

(ii) Phản xứng:tức với mọi u v V, : u v

v u thì u v

(iii) Bắc cầu: tức mọi u v, , w V nếu u v v w thì u w

Khi đó ta viết V, được gọi là sắp thứ tự

+) Tập sắp thứ tự V, được gọi là sắp thứ tự toàn phần nếu với mọi ,

u v V luôn có: u v v u Ta viết u vnếu u v u v

1.6.2 Định nghĩa:

Cho X là tập sắp thứ tự, tậpA X , A được gọi là một xích của X nếu

A cùng với quan hệ thứ tự bộ phận của X lập thành tập sắp thứ tự toàn phần

Khi đó nếu A a1, ,a , không giảm tính tổng quát ta có thể viết: n

1.6.4 - Bổ đề Zorn: Cho tập sắp thứ tự X, nếu mỗi xích của X đều có cận trên thì X chứa ít nhất một phần tử cực đại

Chương 2: MỘT SỐ LỚP IĐÊAN ĐẶC BIỆT

2.1 Iđêan hữu hạn sinh:

2.1.1 Tập sinh của iđêan:

Cho vành X, tập S X Giao của tất cả các iđêan của X chứa S là

iđêan nhỏ nhất của X chứa S và gọi là iđêan của X sinh bởi S

Kí hiệu S

Đặt S thì S gọi là tập sinh của iđêan B

+) Nếu S là tập hữu hạn phần tử thì B là iđêan hữu hạn sinh

2.1.2 Iđêan sinh bởi n phần tử:

a) Định nghĩa: Cho X là vành giao hoán, có đơn vị 1;a1, ,a n Khi

đó

1

1, ,

n

i i i i

a a a x x n ¥ là iđêan sinh bởi n phần tử

Do hi nên hi U suy ra i

i i

Với mọi y d¢ luôn tồn tại y1 ¢ sao cho : y dy1

Do d = (m,n) nên luôn tồn tại p q , ¢ sao cho d mp nq

Khi đó y (mp nq y) 1 mpy1 nqy1 n¢ m¢;

suy ra d ¢ n ¢ m ¢ (2)

Từ (1) và (2) suy ra d ¢ n ¢ m ¢

2.2.2.Tích các iđêan:

a) Định nghĩa: Cho R là vành giao hoán và hai iđêan I, J Tích của I và

J, kí hiệu là IJ, được định nghĩa là iđêan của R sinh bởi tập

Do có I,J là iđêan của vành giao hoán R nên:

với a i ,b i J

Do có I,J là iđêan của vành giao hoán R và a i R b, i J R i, 1,n

n

i i i i

J

x a b c

Vậy J (2)

Từ (1),(2) suy ra J

Tương tự ta chứng minh được J Vậy ta có điều phải chứng

Cho 1, , ,2 n là 1 họ các iđêan của vành giao hoán R Khi đó tích các

iđêan đã cho, kí hiệu:

i i im i

+) Nếu m=0 thì I0 = R

2.2.3 Giao các iđêan:

a) Định nghĩa:

Cho là họ các iđêan của vành giao hoán R Giao của họ các iđêan là một iđêan của R xác định như sau:

b m m

b n n Với mọi x J ta có x m

Đặc biệt: I=0 thì thương 0:J a R aJ 0 a R ab 0, b J

Thương (0:J) được gọi là linh tử hoá của J và được kí hiệu là AnnJ hoặc AnnRJ

Nhận xét :

1) (I:J) là iđêan của R

2.3.1 Định nghĩa:

Iđêan A của vành giao hoán R được gọi là iđêan cực đại nếu thoả mãn 2 điều kiện sau:

(i) R

(ii) Giả sử tồn tại iđêan B của R mà AØ B thì B=R

Ví dụ :¢ là vành giao hoán có p¢ là iđêan cực đại khi và chỉ khi p là

số nguyên tố

Chứng minh:

Mọi iđêan của vành ¢ đều có dạng n¢ với n ¢

) Cóp¢ là iđêan cực đại, ta phải chứng minh p là số nguyên tố

Giả sử p không là số nguyên tố thì p = p1.p2 với p p1, 2 ¢ \ 1

Với mọi x p¢ ta có x = p.x1=p1.p2.x1 p ¢ 1

Suy ra p ¢ p1¢ trái với giả thiết p¢ là iđêan cực đại

Vậy p là số nguyên tố

) Ngược lại, có p là số nguyên tố

Giả sử p¢ không là iđêan cực đại thì tồn tại iđêan m¢ của ¢ sao cho

p ¢ Ø m ¢ do đó m là ước thực của p Điều này trái với giả thiết p là số

nguyên tố Nên điều giả sử là sai

Vậy p¢ là iđêan cực đại

Có R/A là trường nên R và có ít nhất 2 phần tử là 0 ,

1

Giả sử B là iđêan của R thoả mãn Ø khi đó tồn tại x \ Suy ra x Do R là trường nên tồn tại x0 R

Quan hệ bao hàm là một quan hệ thứ tự bộ phận trên

Cho Vlà tập con sắp thứ tự toàn phần của

Đặt

I

V , rõ ràng J vì 0 J +) Với mọi a J r, R thì ra J

+) Với a b J , luôn tồn tại I I1, 2 V sao cho a 1,b 2

Do , sắp thứ tự toàn phần nên ta luôn có 1 2 hoặc 2 1 Không mất tính tổng quát ta giả sử 1 2,khi đó a b 2 J

Do vậy J là iđêan thực sự của R vì với mọi :1 1 J

Suy ra J , vì vậy J là cận trên của V trong

Áp dụng bổ đề Zorn ta có tập sắp thứ tự bộ phận , luôn có phần tử cực đại nên R luôn có ít nhất một iđêan cực đại

Hệ quả 1:

Cho R là vành giao hoán,I là iđêan thực sự của R, luôn tồn tại 1 iđêan cực đại M của R sao cho

Chứng minh:

Do I là iđêan thực sự của R nên vành thương R không tầm thường Theo

định lý trên thì R có iđêan cực đại và iđêan cực đại phải có dạng M với

đúng một iđêan M của R thoả mãn M

Ta lại có :

R

/

R (theo hệ quả định lý cơ bản tổng quát của đồng cấu vành)

M là iđêan cực đại nên R là 1 trường Suy ra R

Giả sử a là đơn vị của vành giao hoán R thì a R

Nếu a với là iđêan cực đại nào đó của R thì R Điều này trái với giả thiết M là iđêan cực đại

Vậy a không thuộc iđêan cực đại nào đó của R

Ta có : a với mọi M là iđêan cực đại của R (1) Giả sử a không là đơn vị của R, khi đó a là iđêan thực sự của

R.Theo hệ quả 1, luôn tồn tại 1 iđêan cực đại 0 R để:

0 a (2)

(1) và (2) mâu thuẫn nhau điều giả sử là sai

Vậy a là đơn vị của R

trường và được gọi là trường thương của R

b)Ví dụ: Trường R là một vành địa phương vì trường có đúng 2 iđêan

là 0 và R nên R có duy nhất iđêan cực đại là 0

c) Bổ đề:

Cho R là vành giao hoán có đơn vị thì R là vành địa phương nếu và chỉ nếu tập các phần tử khác đơn vị của R là một iđêan

Chứng minh:

Giả sử R là vành địa phương với iđêan cực đại duy nhất M Theo

hệ quả 2 của 2.2.3 thì M là tập chứa các phần tử khác đơn vị của R

Giả thiết rằng tập các phần tử khác đơn vị của R là I và I là iđêan của R Gọi đơn vị của R là 1

Do 0 nên 0 1suy ra R không tầm thường Theo (2.2.3) thì R có ít nhất một iđêan cực đại M

Theo hệ quả 2 của (2.2.3) thì M không chứa đơn vị của R nên

+) Jac(R) là một iđêan của R

+) Nếu R là vành giao hoán tầm thường, ta quy ước: Jac({0})={0} +) Khi R là vành địa phương thì Jac(R) chính là iđêan cực đại duy nhất của R

Ví dụ: R là trường thì Jac(R)={0}

2.3.6 Bổ đề:

Cho R là vành giao hoán và r R

r Jac R nếu và chỉ nếu với mọi a R thì (1-r.a) là một đơn vị của

Lại có r do r Jac R suy ra r a

Do đó 1 1 r a r a hay 1 R , điều này mâu thuẫn với

giả thiết M là iđêan cực đại nên điều giả sử là sai

Vậy với mọi a R,r Jac R thì (1-r.a) là đơn vị của R

( )Ngược lại có với mỗi a R thì 1 ra là đơn vị của R ( r R) (1);

M là iđêan cực đại của R Ta phải chỉ ra rằng r M

Giả sử r M thì MØM r R

Do M là iđêan cực đại của R nên M r R

Suy ra tồn tại b M a, R thỏa mãn 1 b ar suy ra 1 ar b M

Vậy 1 ar không là đơn vị của R (2);

(1) và (2) mâu thuẫn nhau Suy ra điều giả sử r M là sai

Vậy r M, M là iđêan cực đại bất kỳ nên r Jac R( )

2.4 Iđêan nguyên tố:

2.4.1 Định nghĩa: Cho A là iđêan thực sự của vành giao hoán R A gọi là

iđêan nguyên tố của R nếu xy thì x A hoặc y

(1) và (2) mâu thuẫn nhau

Vậy giả sử sai hay p là số nguyên tố

Ngược lại, có p là số nguyên tố, ta phải chứng minh p¢ là iđêan

nguyên tố

Thật vậy, với mọi xy p¢ thì xy p M

+) 0 là iđêan nguyên tố nhưng không là iđêan cực đại vì

Chứng minh:

J là iđêan nguyên tố của R khi và chỉ khi R J là miền nguyên /

Lại có :

R R J

J (theo hệ quả của định lý cơ bản của đồng cấu vành)

Mà R J là miền nguyên nên /

{J là iđêan của R | J ,J S } có ít nhất một phần tử cực đại

và các phần tử cực đại của là iđêan nguyên tố của R

Chứng minh:

{J là iđêan của R | J ,J S } là tập sắp thứ tự bộ phận cùng với quan hệ bao hàm

Ta có: nên Cho , là tập con sắp thứ tự toàn phần khác rỗng của Khi đó ta đặt:

Suy ra Q là cận trên của trong

Do đó có ít nhất 1 phần tử cực đại ( theo bổ đề Zorn)

Gọi P là phần tử cực đại bất kì của , do S ,1 S nên 1vậy R

+) Với a a, R\ ta phải chỉ ra a a

Thật vậy:

a

( a ) S suy ra tồn tại s S r, R u, sao cho :u r a. s

Tương tự a suy ra tồn tại s S r, R u, sao cho:

u r a s

Nhưng s s u a r u a r u u a r u u a r a r a r

Vì S là tập con nhân đóng: s s. S

Lại có: u u a r u u a r (Vì P là iđêan của R)

Vậy là iđêan nguyên tố của R

2.4.6 Căn của iđêan:

a) Định nghĩa: Cho A là iđêan của vành giao hoán R, căn của A, kí

hiệu là Rad (A) hoặc , được xác định bởi x R tồn tại |: n

Khi đó Rad(R) là iđêan của R

+) Trường hợp đặc biệt nếu 0 Rad {0} gọi là căn luỹ linh của R Kí hiệu là Rad(R) và Rad R x R n ¥ :x n 0 Phần tử

x R thỏa mãn xn 0 gọi là phần tử lũy linh của R

Giả sử u v thì v u r r, ¢ Khi đó b v b u r bu r b A1(do 1

i n

ar ( )

b I Giả sử b ,đặt S b n n ¥ là tập con nhân đóng của R Theo 2.3.5: tồn tại một iđêan nguyên tố của R sao cho , S Từ đó Var b S Điều này mâu thuẫn

với giả thiết S hay điều giả sử là sai

- Phần tử cực tiểu của Var(I) được gọi là iđêan nguyên tố cực tiểu chứa

I hoặc iđêan nguyên tố cực tiểu của I

Ta định nghĩa quan hệ bao hàm ngược, kí hiệu p , như sau: 1p 2nếu

và chỉ nếu 1 2 Khi đó:

"p" là quan hệ thứ tự Ta có Var ,p là tập sắp thứ tự từng phần Như vậy phần tử cực đại của Var ,p là phần tử cực tiểu của Var ,

- Để chứng minh định lý này ta sử dụng bổ đề Zorn để chỉ ra tập

ar ,

V p tồn tại ít nhất một phần tử cực đại hay Var , tồn tại ít nhất một phần tử cực tiểu Thật vậy: Cho tập Var , và ,p là tập sắp thứ tự toàn phần

Đặt Q I , Q là iđêan thực sự của R (do )

Không mất tính tổng quát ta giả sử 1 p 1

Vì ab Q nên ab 1 mà a suy ra b 1 (vì 1 - nguyên tố)

Hệ quả:

Cho I là iđêan thực sự của vành giao hoán R

Kí hiệu Min(I) là tập tất cả các iđêan nguyên tố cực tiểu của I

Vì luôn có nên Tập ,p là tập sắp thứ tự từng phần (với quan hệ p được định nghĩa ở trên)

Lập luận tương tự như chứng minh định nghĩa ở trên ta có tập luôn

có phần tử cực tiểu theo quan hệ bao hàm và đó cũng là iđêan nguyên tố cực tiểu của I, suy ra luôn tồn tại một iđêan nguyên tố cực tiểu của I sao cho

Nếu S Un thì tồn tại j: S , j 1,n

Chứng minh:

Chứng minh quy nạp theo n

+) Với n=2 ta có S 1 2và giả sử 1, 2chỉ đơn thuần là các iđêan

Giả sử S 1,S 2 Khi đó tồn tại a j S \ j, j 1,n

Từ giả thiếtS 1 2 ta có a1 2,a2 1

S là nhóm con với phép cộng nên a1 a2 S 1 2 1 2

1 2

1 2

Điều này mâu thuẫn với điều kiện a1 1

Suy ra điều giả sử S 1,S 2là sai

Vậy tồn tại jđể j S j, 1, 2

+) Giả sử định lý trên đúng với n=k

Ta chứng minh định lý cũng đúng với n=k+1 Thật vậy:

Ta có

1

1

k i i

S U trong đó có nhiều nhất 2 iđêan i không là iđêan nguyên tố và k 2 Đánh số lại các i sao cho k 1là iđêan nguyên tố

Giả sử rằng với mỗi j 1,k 1 ta có

1 1

k i i

i j

Suy ra tồn tại a j S \

1 1

k i i

iU Xét b a a1 .2 a k a k 1

iU Suy ra b j, j 1,n

Vì S là nhóm con với phép cộng và là tập con nhân đóng của R nên từ điều kiện a j S, j 1,k 1, ta có b S

Như vậy b S nhưng b

1

1

i

k i

S U Do vậy điều giả sử với mỗi

1, 1

j k luôn có S

1 1

k i i

i j

U là sai

Vậy tồn tại ít nhất 1 giá trị j 1 j k 1 sao cho :S

1 1

k i i