Ideal và sự phân tích nguyên sơ

Bên cạnh đó em được sự quan tâm tạo điều kiện của các thầy cô giáo trong khoa Toán đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Trong khi nghiên cứu hoàn thành Khó

KHOA TOÁN

=== ===

NGUYỄN THỊ MINH TOẠI

IDEAL VÀ SỰ PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Đại số

HÀ NỘI - 2015

Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn cô giáo hướng dẫn Tiến sĩ Nguyễn

Thị Kiều Nga đã tạo điều kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn

thành khóa luận tốt nghiệp này

Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn sinh viên

Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2015

Sinh viên

Nguyễn Thị Minh Toại

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và nghiên cứu Bên cạnh đó em được sự quan tâm tạo điều kiện của các thầy cô

giáo trong khoa Toán đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của Tiến sĩ Nguyễn

Thị Kiều Nga

Trong khi nghiên cứu hoàn thành Khóa luận này em có tham khảo một

số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo Vì vậy em xin khẳng định đề

tài “ Ideal và sự phân tích nguyên sơ” không có sự trùng lặp với đề tài của

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2

1.1 Vành, vành con 2

1.2 Miền nguyên, trường 4

1.3 Ideal và vành thương 6

1.4 Đồng cấu vành 9

1.5 Quan hệ thứ tự và tập sắp thứ tự 12

CHƯƠNG 2: IDEAL TRÊN VÀNH GIAO HOÁN 15

2.1 Các phép toán trên ideal 15

2.2 Ideal hữu hạn sinh 19

2.3 Ideal cực đại, ideal nguyên tố, ideal nguyên sơ 20

2.4 Mối liên hệ giữa ideal cực đại, ideal nguyên tố, ideal nguyên sơ 35

2.5 Ideal đối cực đại 39

2.6 Ideal bất khả quy 44

2.7 Một số bài tập về ideal 44

CHƯƠNG 3: SỰ PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ 52

3.1 Vành Noether 52

3.2 Sự phân tích nguyên sơ và sự phân tích nguyên sơ cực tiểu 54

3.3 Sự phân tích nguyên sơ trong vành Noether 57

TÀI LIỆU THAM KHẢO 61

số trong việc nghiên cứu các tính chất của các lớp modun đặc biệt như modun Coher- Macaulay, modun Coher- Macaulay suy rộng… Nhưng trong chương trình đại học các vấn đề này chỉ được trình bày một cách sơ lược và trừu tượng gây nhiều khó khăn cho việc tìm hiểu của các bạn đọc, đặc biệt là sinh viên khoa Toán Được sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của cô giáo - Tiến sĩ

Nguyễn Thị Kiều Nga cùng với lòng yêu thích môn Đại số em mạnh dạn chọn

đề tài: “Ideal và sự phân tích nguyên sơ” để làm khóa luận tốt nghiệp mong

muốn giúp ích cho các bạn yêu thích môn Đại số có thêm tài liệu tham khảo Khóa luận được chia làm 3 chương:

 Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

 Chương 2: Ideal trên vành giao hoán

 Chương 3: Sự phân tích nguyên sơ

Do còn hạn chế về thời gian và kiến thức của bản thân nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Kính mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên

Em xin chân thành cảm ơn!

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

ii) X cùng với phép nhân là một nửa nhóm

iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức là với các phần tử tùy ý

+) Vành X gọi là vành có đơn vị nếu X là một vị nhóm nhân

+) Vành X được gọi là vành giao hoán nếu phép nhân giao hoán

+) Vành X được gọi là vành giao hoán có đơn vị nếu X là vị nhóm nhân giao hoán

+) Phần tử đơn vị của phép cộng kí hiệu là 0 Gọi là phần tử không của

có vành các số hữu tỉ , các số thực , các số phức (với phép toán cộng

và phép toán nhân các số thông thường)

- Tập hợp các số nguyên là bội của một số nguyên n1cho trước là một vành với phép cộng và phép nhân thông thường Vành này là vành giao hoán nhưng không có đơn vị

- Tập các ma trận vuông cấp n (với các phần tử là các số ) cùng với

phép cộng và phép nhân ma trận là một vành có đơn vị Vành này không giao hoán nếu n1

1.1.2 Vành con và điều kiện tương đương

a) Định nghĩa: Giả sử X là một vành, A là một bộ phận của X ổn định với hai phép toán cộng và nhân trong X , nghĩa là x y A, xyA với mọi ,x yA Khi đó A là một vành con của X nếu A cùng với hai phép

toán cảm sinh trên A là một vành

b) Điều kiện tương đương

Cho X là một vành, A là một bộ phận khác rỗng của X Các điều kiện sau đây là tương đương:

+) Tập hợp m gồm các số nguyên là bội của một số nguyên m cho

trước là một vành con của vành các số nguyên

+) Vành đa thức [ , ]x1 x là một vành con của vành n [ , ,x1 x n]

+) A là một vành giao hoán có đơn vị thì A là một vành con của vành

đa thức [ ].A X Vành [ ] A X lại là vành con của vành đa thức hai biến [ , ] A X Y

1.1.3 Đặc số của vành

Cho X là vành có đơn vị 1, nếu tồn tại số nguyên dương n nhỏ nhất

sao cho 1 0n  thì ta nói X có đặc số là n , ngược lại ta nói X có đặc số bằng

0 Đặc số của X kí hiệu là CharX

Ví dụ: Vành các số hữu tỉ có đặc số 0 Vành 3 các lớp thặng dư modun 3 có đặc số 3

Trong toàn bộ phần này X là vành giao hoán có đơn vị

1.2.1 Ước và bội của một phần tử

a) Định nghĩa: Cho X là vành giao hoán, a b, X , a gọi là bội của b hay a chia hết cho b , kí hiệu a b nếu tồn tại cX sao cho abc Khi đó ta

cũng nói b là ước của a , kí hiệu là b a |

b)Ước của không: aX a, 0,a được gọi là ước của không nếu tồn

tại bX b, 0 sao cho ab0 Khi đó b cũng gọi là ước của không

c) Phần tử khả nghịch

Phần tử uX đƣợc gọi là phần tử khả nghịch nếu u là ƣớc của 1, tức

là tồn tại vX sao cho uv1

d) Phần tử liên kết

Với , 'a a X, ta nói a , ' a liên kết với nhau nếu tồn tại u khả nghịch

sao cho aua' hoặc 'a ua

Một vành giao hoán X có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử và không

có ƣớc của 0 đƣợc gọi là miền nguyên

b) Ví dụ: Vành các số nguyên là một miền nguyên

b) Điều kiện tương đương

Giả sử A là một bộ phận có nhiều hơn một phần tử của một trường X Các điều kiện sau đây là tương đương:

i) A là một trường con của X

ii) Với mọi x, yA , x y A , xyA , x A , 1

x A nếu x0 iii) Với mọi x, yA , x y A , 1

+) I gọi là ideal trái của A nếu với mọi xA, với mọi aI, thì

+) Nếu A là vành giao hoán thì ideal trái và ideal phải là trùng nhau

b) Điều kiện tương đương

Cho A là vành, I  A I,   Các điều kiện sau tương đương:

i) I là ideal của A

ii) Với mọi , a bI thì a b I và xA thì axI xa, I

c) Ví dụ: Cho vành A

+) Vành A luôn có các ideal tầm thường là ideal  0 và A

+) Tập hợp m gồm các số nguyên là bội của một số nguyên m cho

trước là một ideal của vành các số nguyên

chỉ có hai ideal là {0} hoặc A vì khi đó mọi ideal khác không của A đều chứa phần tử khả nghịch

b) Nhận xét:

+) Phần tử không của vành thương A I là lớp 0/   0 I I

+) Nếu A là vành giao hoán thì A I cũng là vành giao hoán /

+) Nếu A là vành có đơn vị 1 thì A I cũng là vành có đơn vị với đơn /

vị là 1 1 I 

c) Ví dụ

Cho là vành, n là ideal của ( n ) Khi đó tồn tại vành thương

n

+) Nếu n0 thì n  0 Ta có {0} +) Nếu n0thì n

n  Trong trường hợp đặc biệt ta có {0}, A là hai ideal của A nên tồn tại 2 vành thương

Cho vành giao hoán A , I là ideal của A

I là ideal của vành thương A

I và với rR ta có r I J

I

  nếu và chỉ nếu rJ

+) Mỗi ideal B của R

I đều có dạng K I với K là ideal của A thỏa mãn K I Tồn tại duy nhất ideal K a R a|  I J của A thỏa mãn

điều kiện trên

+) J J là các ideal của 1, 2 A sao cho J J1, 2 I Ta có J1 J2

I  I khi và chỉ khi J1 J2

1.4 Đồng cấu vành

1.4.1 Định nghĩa

Cho X , Y là 2 vành Ánh xạ f X: Y gọi là đồng cấu vành nếu thỏa

mãn các điều kiện sau

+) f là đơn cấu nếu và chỉ nếu f là đồng cấu vành và f là đơn ánh +) f là toàn cấu nếu và chỉ nếu f là đồng cấu vành và f là toàn ánh +) f là đẳng cấu nếu và chỉ nếu f là đồng cấu vành và f là song ánh

+) Cho hai vành X , Y ta nói X đẳng cấu với Y nếu tồn tại một đẳng

cấu vành f X: Y Nếu vành X đẳng cấu với vành Y ta kí hiệu X Y

là một đồng cấu được gọi là đơn cấu chính tắc

+) Ánh xạ đồng nhất của vành X là một đồng cấu gọi là tự đẳng cấu

là một đồng cấu từ vành X đến vành thương X / A Đồng cấu này còn là

toàn cấu, gọi là toàn cấu chính tắc

+) Giả sử X và Y là hai vành Ánh xạ

:

k X Y

x 0với 0 là phần tử không của Y là một đồng cấu gọi là đồng cấu không Kí

hiệu là 

1.4.3 Tính chất cơ bản

a) Tích của hai đồng cấu vành là một đồng cấu vành

f là đồng cấu không hoặc đơn cấu

c) Cho f X: Y là một đồng cấu vành:

+) Nếu f có nghịch đảo trái, tức là tồn tại một đồng cấu vành

:

g X Y sao cho: gf 1X thì f là đơn cấu

+) Nếu f có nghịch đảo phải tức là tồn tại một đồng cấu vành

:

g X Y sao cho gf 1Y thì f là toàn cấu

+) Nếu f có nghịch đảo trái và nghịch đảo phải thì f là đẳng cấu d) f X: Y là đồng cấu vành, A là một vành con của X , B là ideal của Y thì:

+) f1( )B là một ideal của X

Đặc biệt

Cho f X: Y là đồng cấu vành

Hạt nhân của f , kí hiệu là Kerf , Kerf  {x X f x| ( )0 }Y

Ảnh của đồng cấu f , kí hiệu là Im f

Im f  f X( )f x( )Y x| X

Khi đó: +) X là vành con của X nên Im f là vành con của Y

+) {0 }Y là ideal Y nên Kerf là ideal của X

Do đó +) f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf {0 }.X

+) f là toàn cấu khi và chỉ khi Im f Y

e) Định lý cơ bản của đồng cấu vành

Cho đồng cấu vành : f X Y A , B tương ứng là các ideal của X , Y sao cho ( ) f A B. Với p A:X X / A , p B:Y Y B/ là toàn cấu chính tắc Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu vành : f X AY B làm cho biểu đồ sau giao hoán

Tức f p A  p f B

Đặc biệt, nếu AKerf , B{0 }Y thì Y B/ Y / {0 }Y Ytức biểu đồ giao hoán

Nghĩa là f p f với :p X X Kerf/ là toàn cấu chính tắc

(2) Nếu f X: Y là toàn cấu vành thì X Kerf/ Y (3) B, C là các ideal của X thì B C B

Cho tập X  , S là một quan hệ hai ngôi S được gọi là một quan hệ

thứ tự trong X (hay người ta gọi S là một quan hệ thứ tự giữa các phần tử

của X ) nếu và chỉ nếu các điều kiện sau đây thỏa mãn:

i) (Phản xạ) Với mọi aX : aSa

ii) (Phản đối xứng) Với mọi a b, X : Nếu aSb và bSa , thì ab

iii) (Bắc cầu) Với mọi , ,c a b X : Nếu aSb và bSc , thì aSc

Nếu S là một quan hệ thứ tự trong X , thì người ta thường kí hiệu S

Người ta bảo một tập X là sắp thứ tự nếu trong X có một quan hệ thứ

Cho tập X là tập sắp thứ tự, tập A X , A được gọi là một xích của

X nếu A cùng với quan hệ thứ tự bộ phận của X lập thành tập sắp thứ tự

1.5.6 Bổ đề Zorn

Cho tập sắp thứ tự ( , )X  , nếu mỗi xích của X đều có cận trên thì X

chứa ít nhất một phần tử cực đại

CHƯƠNG 2: IDEAL TRÊN VÀNH GIAO HOÁN

Từ đây cho đến hết chương này, các vành được nhắc tới đều là vành giao hoán có đơn vị 1 khác 0

2.1 Các phép toán trên ideal

Mặt khác từ (ax y) x ay( )Isuy ra axI J: Vì A là một vành giao hoán nên xaaxxaI J:

Vậy :I J là ideal của A

c) Ví dụ

Có I 2 , J 3 là 2 ideal của Khi đó :I J 2

2.1.4 Căn của ideal

1

n

n k



hoặc 2n k n với mọi k0,1, ,2 n Do đó a b  I

Vậy I là một ideal của A

b) Căn lũy linh

Nếu I  0 khi đó  0  0 gọi là căn lũy linh của A Kí hiệu: ( )

Rad A    x A n N x  Khi đó mọi xRad A( ) đƣợc gọi là phần tử lũy linh của A

m m

2.2 Ideal hữu hạn sinh

2.2.1 Tập sinh của ideal

+) Cho vành X , Tập S X Giao của tất cả các ideal của X chứa S

là ideal nhỏ nhất của X chứa S và gọi là ideal của X sinh bởi S Kí hiệu là

S

Đặt B S thì S gọi là tập sinh của ideal B

+) Nếu S là tập hữu hạn phần tử thì B là ideal hữu hạn sinh

+) Trường hợp đặc biệt , X X thì   0 ; X  X

2.2.2 Ideal sinh bởi n phần tử

a) Định lý: Cho X là vành giao hoán, có đơn vị 1 và a1, ,a nX Khi

đó ideal sinh bởi n phần tử a1, ,a kí hiệu là n

Vậy B là giao của tất cả các ideal chứa a , i i1,n Hay B là ideal sinh bởi n phần tử ,a i i 1,n

+) X là trường thì mọi ideal của X là ideal chính

2.3 Ideal cực đại, ideal nguyên tố, ideal nguyên sơ

Ví dụ +) là vành giao hoán thì p là ideal cực đại của với p là

số nguyên tố Thật vậy, nếu có ideal I của sao cho ( )p  I , và I ( )p

thì tồn tại aI và a( )p , có nghĩa là a không chia hết cho p

Vì p là số nguyên tố nên từ a không chia hết cho p suy ra a và p

nguyên tố cùng nhau Do đó tồn tại ,x yZđể ax py1 Do đó 1 I , vì vậy I 

+) Nếu K là một trường thì K có duy nhất một ideal cực đại là ideal  0 vì trường chỉ có hai ideal là  0 và K

 Do I là ideal cực đại nên J  A Do đó 1 J

Vậy tồn tại x0A a, I sao cho 1xx0 a

Suy ra 1 A xx0   a I xx0  I (xI x)( 0 I) Hay nghịch đảo của xI

là x0 I

Vậy A I là một trường /

Điều kiện đủ: Giả sử / A I là trường

Khi đó A I/   và có ít nhất 2 phần tử là 0I,1I Suy ra AI ( vì nếu AI thì 1     I 1 I I 0 I ) Giả sử J là ideal của A thỏa mãn

 khi đó tồn tại xJ I\ Suy ra x I I (vì xI )

Do A I là trường nên tồn tại / x0  I I A/ sao cho (xI x)( 0   I) 1 I Suy ra xx0   I 1 I xx0  1 A Vậy tồn tại aI để axx0 1 suy ra

0

1xx  a J ( vì J là ideal của A và tập  x a,  J)

Vậy J  A hay I là ideal cực đại của A

b2) Trong một vành giao hoán R có đơn vị khác không, luôn tồn tại ít

+) Với ,a bJ luôn tồn tại I I1, 2 sao cho aI b1, I2

Do (Δ, ) sắp thứ tự toàn phần nên ta luôn có I1 I2 hoặc I2 I1 Không mất tính tổng quát ta giả sử I1 I2, khi đó a  b I2 J Do vậy J là ideal

thực sự của R vì với mọi I   :1 I 1 J Suy ra J, vì vậy J là cận

trên của Δ trong  Áp dụng bổ đề Zorn ta có tập sắp thứ tự bộ phận  , 

luôn có phần tử cực đại nên R luôn có ít nhất một ideal cực đại

I là ideal cực đại nên

R I M I

là một trường suy ra R M cũng là một trường Vậy M là ideal cực đại của R và M I

P p  p là một ideal nguyên tố Thật vậy, trước hết P A vì p1 Nếu

abP thì ab chia hết cho p Vì p là số nguyên tố nên điều này dẫn đến a chia hết cho p hoặc b chia hết cho p , hay aP hoặc bP Tập hợp số nguyên tố vô hạn nên có vô số ideal nguyên tố

+) Trong một miền nguyên thì ideal không  0 là một ideal nguyên tố

=J là ideal của R J I J,  S } có ít nhất một phần tử cực đại

và các phần tử cực đại của  là ideal nguyên tố của R

+) Với , 'a a R P\ ta phải chỉ ra aa'P. Thật vậy aP suy ra

I   P P a Do P là phần tử cực đại của  nên P a   S suy

ra tồn tại sS r, R u, P sao cho uras Tương tự a'P suy ra tồn tại

Vậy P là ideal nguyên tố của R

Nhận xét:

+) Phần tử cực đại của tập  J là ideal của R J| I J,   S  là ideal cực đại của R

+) P là ideal nguyên tố của vành giao hoán R , P là ideal cực đại nếu

và chỉ nếu P là phần tử cực đại của Spec R theo quan hệ bao hàm ( )

R A

A R A A

(ii) Cho , I J là hai ideal của vành giao hoán R thỏa mãn J I Khi

đó J là ideal nguyên tố của R nếu và chỉ nếu ideal J / I là ideal nguyên tố của vành thương R I /

cũng là miền nguyên

Vậy J

I là ideal nguyên tố của R I (iii) Cho I là ideal của vành giao hoán R Kí hiệu Var I( )là tập gồm các ideal nguyên tố của I chứa I Khi đó

P của R sao cho I P P', '  S từ đó suy ra 'P Var( )I  b P' S trái

với giả thiết 'P S   hay điều giả sử sai Nên b I Vậy

nhất 1 phần tử cực tiểu theo quan hệ bao hàm Phần tử cực tiểu của Var I ( )

được gọi là ideal nguyên tố cực tiểu chứa I hoặc ideal nguyên tố cực tiểu của

I

Chứng minh:

Theo hệ quả 1 của định lý (2.3.1(b)), luôn tồn tại 1 ideal cực đại M của

R chứa I

Từ định lý 2.3.1 suy ra một ideal cực đại luôn là ideal nguyên tố Do đó

M là ideal nguyên tố  MVar I( )) suy ra Var I( ) 

Ta định nghĩa quan hệ hai ngôi trên Var I( ), kí hiệu " " gọi là quan hệ bao hàm ngƣợc, nhƣ sau P1 P nếu và chỉ nếu 2 P1 P2 Khi đó " " là quan

hệ thứ tự Ta có Var I( ),  là tập sắp thứ tự toàn phần Nhƣ vậy phần tử cực đại của Var I( ),  là phần tử cực tiểu của Var I( ) theo quan hệ bao hàm

Để chứng minh định lý này ta sử dụng bổ đề Zorn để chỉ ra tập

Var I( ),  tồn tại ít nhất một phần tử cực đại hay Var I( ) luôn có một phần

tử cực tiểu với quan hệ bao hàm Thật vậy:

Cho  Var I( ),    và ,  là tập sắp thứ tự toàn phần Đặt

Cho P   P1 sao cho aP1 Do ,  là tập sắp thứ tự toàn phần nên P1 P hoặc P P Tức là 1 P1 P hoặc PP1 Không mất tính tổng quát ta giả sử PP1 (P P ) Vì ab Q1  nên abP1 mà aP1 suy ra

Hệ quả:

Cho I là ideal thực sự của vành giao hoán R Kí hiệu Min I là tập tất ( )

cả các ideal nguyên tố cực tiểu của I