Bài giảng Toán rời rạc: Đếm - Trần Vĩnh Đức

Bài giảng Toán rời rạc: Đếm cung cấp cho người học những nội dung kiến thức như: Tập, dãy, và ánh xạ; luật ánh xạ; luật tích và luật tổng; nguyên lý bù trừ; Luật BOOKEEPER; chứng minh tổ hợp. Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm nội dung chi tiết.

Trần Vĩnh Đức

HUST

Tài liệu tham khảo

Science, 2015

Định nghĩa

Một hoán vị của một tập S là một dãy chứa mỗi phần tử của S

đúng một lần

Số hoán vị của một tập

▶ Tập {a, b, c} có 6 hoán vị:

{ (a, b, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a), (b, a, c), (a, c, b) }

n! = n(n − 1) · · · 1

Ví dụ

phải ánh xạ không?

a b c

123

Ví dụ

Quy tắc sau đây có phải ánh xạ không?

a b c d

123

Ví dụ

Ánh xạ dưới đây là đơn ánh hay toàn ánh hay song ánh?

a b c d

123

Ví dụ

Có bao nhiêu cách chọn 12 chiếc bánh từ 5 loại bánh sô cô la,

chanh, có đường, kem, nguyên chất?

▶ X = tập mọi cách chọn 12 chiếc bánh từ 5 loại bánh.

▶ Y = tập mọi xâu 16 bit có đúng 4 số 1.

Ví dụ

n-bit

S → (b1, , b n)với

Luật chia (tổng quát hóa của luật song ánh)

|X| = k · |Y|.

Ví dụ

▶ Y = tập mọi cấu hình hợp lệcho hai quân cờ

▶ X = mọi dãy

(h| {z }1, c1 quân1

, h| {z }2, c2 quân2

Luật tổng

Định lý

Nếu A1, A2, , A n là các tập rời nhau, vậy

|A1∪ A2∪ · · · ∪ A n | = |A1| + |A2| + · · · + |A n |.

Bài toán

Có bao nhiêu cách chọn trong nhóm n người một ủy ban ba người

trong đó một người làm chủ tịch, một người làm thư ký, và mộtngười làm tư vấn?

Bài toán

Đếm xem có bao nhiêu mật khẩu thỏa mãn 4 yêu cầu sau đây:

đến 9;

Nguyên lý bù trừ cho hai tập

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.

i ∈I

S i

Bài toán (François Édouard Anatole Lucas, 1894)

Cho một cái bàn tròn và m cặp vợ chồng, có bao nhiêu cách để

xếp họ ngồi nam nữ xem kẽ sao cho không cặp vợ chồng nào ngồi

kề nhau?

k!(n − k)!

Ví dụ

Số dãy 16-bit chứa đúng 4 bit 1 là

(164

)

4!12!.Đây chính là số cách chọn tập con 4 phần tử từ tập 16 phần tử

Ví dụ (Luật tập con)

Số tập con k phần tử của tập n phần tử là

(

n k

)

.

Ví dụ

k

)

n −k

)

n k

)

(

n − 1 k

)

=

(

n k

)

.

.

.

Chứng minh 2

(

n r

k!(n − k)!

Ví dụ

Số dãy 16-bit chứa bit

(164... 46

.

.