Bài giảng Toán rời rạc: Cây - Trần Vĩnh Đức

Bài giảng Toán rời rạc: Cây cung cấp cho người học những nội dung kiến thức như: Tính chất của cây, đếm cây gán nhãn, định lý Cayley, lưu trữ cây, Father code, Prüfer code mở rộng. Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm nội dung chi tiết.

Trang 1

Trần Vĩnh Đức

HUST

Ngày 24 tháng 7 năm 2018

Trang 2

Tài liệu tham khảo

Press, 2002

Elementary and Beyond, Springer-Verlag New York, 2003.

2 / 46

CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

Trang 3

Nội dung

Một số tính chất của cây

Đếm cây gán nhãn

Trang 5

Các cây với 1, 2 hoặc 3 đỉnh

Trang 6

Có hai cây với 4 đỉnh

6 / 46

Trang 7

Có ba cây với 5 đỉnh

Trang 9

Mệnh đề

Nếu T = (V, E) là một cây với ít nhất hai đỉnh, thì với mỗi cặp

đỉnh x, y có duy nhất một đường đi từ x tới y.

Chứng minh

Vì T liên thông nên có đường đi từ x tới y Nếu có đường đi khác

từ x tới y, vậy thì ta có chu trình

x

y

Mâu thuẫn với định nghĩa của cây

Trang 10

Bài tập

Hãy chứng minh rằng tính chất:

(T3) với mỗi cặp đỉnh x, y có duy nhất một đường đi từ x tới y;

kéo theo cả hai tính chất:

(T1) T liên thông; và

(T2) T không có chu trình.

10 / 46

Trang 11

Mệnh đề

Nếu T = (V, E) là một cây với ít nhất hai đỉnh, thì đồ thị thu

được từ T bằng cách xóa đi một cạnh bất kỳ sẽ có hai thành phần

liên thông, mỗi thành phần là một cây

Trang 13

Chứng minh bằng quy nạp mạnh

Bước cơ sở:P(1) đúng Tại sao?

Bước quy nạp:Giả sử P(1), · · · , P(k) đều đúng để chứng minh

P(k + 1).

Trang 14

Định lý

Nếu T = (V, E) là một cây với ít nhất hai đỉnh, vậy thì:

hai thành phần liên thông, mỗi thành phần là một cây;

(T5) |E| = |V| − 1.

14 / 46

Trang 15

Bài tập

hai đỉnh bậc 1

Trang 18

Định lý

Xét đồ thị T = (V, E) Các khẳng định sau đây là tương đương

nhau:

1. T là cây;

2. T không chứa chu trình và |E| = |V| − 1;

3. T liên thông và |E| = |V| − 1;

4. T là đồ thị liên thông, nhưng nếu xóa đi một cạnh bất kỳ thì

đồ thị thu được là không liên thông;

một đường;

6. T không chứa chu trình, nhưng nếu ta thêm một cạnh nối hai

đỉnh không kề nhau trong T thì đồ thị nhận được có đúng

một chu trình

18 / 46

Trang 19

Bài tập

Hãy chứng minh định lý trước

Trang 20

Nội dung

Một số tính chất của cây

Đếm cây gán nhãn

Trang 21

Câu hỏi

Có bao nhiêu cây với n đỉnh?

Trang 22

Câu hỏi

Hai cây này có trùng nhau?

22 / 46

Trang 23

Cây gán nhãn

Trang 25

Bài tập

Tìm số cây gán nhãn với 2, 3, 4, và 5 đỉnh?

Trang 29

Lưu trữ cây: dùng danh sách cạnh

Trang 31

Lưu trữ cây: dùng Father code

hai dòng); tuy nhiên

còn gọi là cha của) đỉnh ở dòng trên, và

Trang 33

Father code

Trang 35

Mệnh đề

Trang 36

Lưu trữ cây: dùng Prüfer code mở rộng

Thuật toán tính Prüfer code mở rộng từ cây

toán dừng

khác 0

8.4 How to Store Trees 151

What about 5? It does not occur in the second row; does this mean that

it is a leaf of the original tree? The answer is yes; otherwise, 5 would have been the father of some other node, and it would have been written in the second row when this other node was deleted Thus 5 was a leaf with smallest label, and the first row of the extended Pr¨ufer code must start with 5.

Let’s try to figure out the next entry in the first row, which is, as we know, the leaf with smallest label of the tree after 5 was deleted The node

1 is still ruled out, since it occurs later in the second row ; but 2 does not occur again, which means (by the same argument as before) that 2 was the leaf with smallest label after 5 was deleted Thus the second entry in the first row is 2.

Similarly, the third entry must be 4, since all the smaller numbers either occur later or have been used already Continuing in a similar fashion, we get that the full array must have been

5 2 4 6 7 3 1

2 4 0 3 3 1 0 This corresponds to the tree in Figure 8.5 Proof [of Lemma 8.4.1] The considerations above are completely general, and can be summed up as follows:

Each entry in the first row of the extended Pr¨ufer code is the smallest integer that does not occur in the first row before it, nor in the second row below or after it.

36 / 46

Trang 41

Bài tập

Hãy hoàn thành nốt hàng trên của Prüfer code mở rộng sau

Trang 42

Khẳng định

Mỗi phần tử ở hàng đầu tiên của Prüfer code mở rộng là số

nguyên nhỏ nhất thỏa mãn:

Trang 43

Prüfer code

Trang 44

Bổ đề

Prüfer code của một cây n đỉnh nào đó.

Ta đã hoàn thành chứng minh định lý sau chưa?

Định lý (Cayley)

44 / 46

Trang 45

Bài tập (Lập trình)

Viết chương trình nhập vào một dãy là mã Prüfer của một cây và

in ra cây đó Bạn có thể hiện cây ở dạng danh sách cạnh, hoặc sửdụng công cụ Graphviz để vẽ tự động

Trang 46

Cài đặt Prufer Code

Định dạng
Số trang	46
Dung lượng	212,63 KB