Bài giảng Toán rời rạc: Định lý Ramsey cung cấp cho người học những nội dung kiến thức như: Lý thuyết Ramsey, chứng minh định lý Ramsey, cận trên của số Ramsey, ví dụ và Tổng quát hoá. Mời các bạn cùng tham khảo.
Trang 1Định lý RamseyTrần Vĩnh Đức
HUST
Trang 2Khẳng định
Trong số 6 người luôn có ba người đôi mộtquennhau hoặc ba
người đôi mộtlạ nhau
The moral of this story is twofold First, Fortune favors explorerswho are prepared for the discovery (and Erd˝os used to emphasizethis point) And second, key discoveries often have very modest andseemingly trifling origins Great theories often begin with effects thatare almost imperceptible But we have to be ready
Mathematics and computer science also have their discoveries,which often first manifest themselves inconspicuously, as seeminglyirrelevant curiosities In this chapter we discuss one such peculiarity,concerning graphs with a mere 6 vertices
We begin with the following popular form of the result Six peoplemeet at a party Some of them know each other, some of them don’t,perhaps because they see one another for the first time The partymay look according to one of the following schemes, for example:
party 50 years
after graduation
lonely hearts party
party of admirers
meeting of two mafia bosses
Trang 3Bài tập
Hãy chứng minh rằng trong 9 người luôn có 3 người đôi một quennhau hoặc 4 người đôi một không quen nhau
Trang 4Lý thuyết Ramsey
Hình: F P Ramsey (1903-1930)
Lý thuyết Ramsey, theo têncủa nhà toán học ngườiAnh, Frank PlumptonRamsey
Trang 5Khẳng định
Trong sáu người bất kỳ luôn tồn tại ba người sao cho hoặc làhọquen nhau từng đôi mộthoặc họkhông quen nhau từng đôi một.Viết lại khẳng định trên một cách ngắn gọn dùng ký hiệu ”mũitên” như sau:
K6→ K3, K3
với ý nghĩa
▶ K6= “6 đối tượng và 15 cặp không thứ tự để thể hiện quan
hệ (quen hoặc lạ) giữa các đối tượng này”
▶ K3, K3 = “Ba đối tượng quen nhau từng đôi một”, “Ba đốitượng không quen nhau từng đôi một”
Trang 6Ký hiệu Kn
K n = “một tập n đối tượng và mọi cặp không thứ tự (cạnh) các đối tượng này”
Trang 7Ký hiệu mũi tên
▶ Nếu ta xem mỗi cặp không thứ tự như một cạnh Cặp đốitượngquen nhau xem như cạnh tô màu xanh Cặp đối tượng
không quen nhau như các cạnh tômàu đỏ
Trang 8Chứng minh K6 → K3, K3
▶ Xét một đối tượng p của K6 Vì có 5 cạnh liên quan đến p có
mầu đỏ hoặc xanh nên có ít nhất 3 cạnh cùng màu Ta giả sử
3 cạnh này cùng màu đỏ (Nếu màu xanh ta lập luận tương
tự.) Có ba đối tượng a, b, c nối với p qua ba cạnh đỏ này.
▶ Bây giờ, nếu tồn tại một cạnh nối giữa
a − b hoặc a − c hoặc b − c có màu đỏ,
Trang 10Câu hỏi
Giả sử K n → K a , K b Giải thích tại sao K p → K a , K b với mọi
p > n.
Trang 11Câu hỏi
▶ Chứng minh rằng K b → K2, K b
▶ Chứng minh rằng K b −1 ̸→ K2, K b
Trang 12Câu hỏi
Chứng minh rằng K11→ K3, K4
Trang 13Định lý (Ramsey)
Với hai số nguyên m ≥ 2 và n ≥ 2, luôn tồn tại một số nguyên
dương p sao cho
K p → K m , K n
Cho trước số nguyên m và n, luôn có số nguyên dương
p sao cho, nếu tô màu xanh hoặc đỏ lên cạnh của K p thì luôn tìm được hoặc một K m đỏ hoặc một K n xanh.
Rõ ràng, với mọi q ≥ p ta luôn có
K p → K m , K n ⇒ K q → K m , K n
Trang 15Câu hỏi
Giải thích tại sao ta luôn có r(a, b) = r(b, a).
Trang 17Định lý (Ramsey, dạng đơn giản)
Với hai số nguyên m ≥ 2 và n ≥ 2, luôn tồn tại một số nguyên
dương p sao cho
K p → K m , K n
Trang 21▶ Nếu |R x | ≥ r(m − 1, n), ta đặt
q = |R x |
vậy q ≥ r(m − 1, n).
▶ Xét K q trên các điểm của R x, ta thấy rằng
▶ hoặc m − 1 điểm của K q (cũng thuộc K p) có toàn cạnh màu
đỏ Ta có K m −1 đỏ, và tất cả m − 1 điểm này đều nối với x bằng cạnh màu đỏ Vậy ta có K mđỏ.
▶ hoặc n điểm của K q toàn cạnh màu xanh Vậy ta có một K n
xanh.
Trang 22Lập luận tương tự với|B x | ≥ r(m, n − 1) Ta kết luận bằng quy
nặp rằng số r(m, n) tồn tại với mọi m, n ≥ 2.
Trang 23Cận trên của số Ramsey
(
m + n − 3
m − 2
)
Trang 24Cận trên của số Ramsey (tiếp)
Trang 26Số Ramsey có khó tính không?
Số Ramsey khá gần đây người ta tính được là r(4, 5) = 25 Dưới
đây là thời gian tìm số này:
▶ 1955: Chặn trên đầu tiên cho r(4, 5) ≤ 31.
▶ 1965: Chặn dưới đầu tiên và cải thiện chặn trên
25≤ r(4, 5) ≤ 30.
▶ 1968: Cải thiện chặn trên r(4, 5) ≤ 29.
▶ 1971: Cải thiện chặn trên r(4, 5) ≤ 28.
▶ 1991: Cải thiện chặn trên r(4, 5) ≤ 27.
▶ 1992: Cải thiện chặn trên r(4, 5) ≤ 26.
▶ 1993: Cải thiện chặn trên r(4, 5) ≤ 25 và chứng minh r(4, 5) = 25.
Trang 27Tổng quát hoá
▶ Nếu n1, n2 và n3 là ba số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng
hai, vậy có tồn tại số nguyên p sao cho
K p → K n1 , K n2 , K n3
Có nghĩa rằng nếu mỗi cạnh của K ptô bởi xanh, đỏ, hoặc
vàng thì có K n1 tô màu xanh hoặc có K n2 tô màu vàng hoặc