Xây dựng hệ thống bài tập trắc nghiệm dựa trên nội dung kiến thức phần tích phân lớp 12 toan

Các dạng bài tập trongsách được viết theo dạng tự luận, cần có lời giải tường minh để đi đến kết quả trong khi đóMTCT có chức năng tính chính xác kết quả của một số tích phân và có thể s

Xây dựng hệ thống bài tập trắc nghiệm dựa trên nội dung kiến thức phần tích phân lớp 12”.

II Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục (Giảng dạy bộ môn Toán cấp THPT) III Nội dung sáng kiến

1 Thực trạng và giải pháp cũ thường làm - Hạn chế của giải pháp cũ

1 1 Thực trạng

Trong chương trình toán THPT các bài toán tích phân luôn là các bài toán khiến họcsinh gặp nhiều khó khăn và lúng túng Các bài toán trong chương trình SGK lớp 12 hiệnhành viết còn rất sơ sài và chủ yếu dừng lại ở mức độ thông hiểu Các dạng bài tập trongsách được viết theo dạng tự luận, cần có lời giải tường minh để đi đến kết quả trong khi đóMTCT có chức năng tính chính xác kết quả của một số tích phân và có thể sử dụng để kiểmtra kết quả của các bài toán tính toán về tích phân Trong khi đó ở kỳ thi THPT Quốc gianăm 2017 và năm 2018 và trong các đề thi minh họa của Bộ giáo dục và Đào tạo trong hainăm vừa qua, nội dung này được đánh giá ở mức độ vận dụng, vận dụng cao Các bài toántính toán về tích phân thường trải theo các mức độ khác nhau của đề thi Ở các mức độ nhậnbiết và thông hiểu thì các bài toán được trình bày khá cơ bản và có nhiều con đường tiếpcận Tuy nhiên các bài toán thuộc mức độ vận dụng và vận dụng cao thì các bài toán vềnguyên hàm, tích phân và các ứng dụng được khai thác một cách khéo léo và vận dụngnhiều kiến thức có liên quan Để giải quyết được bài toán này học sinh không những phảinắm được các kiến thức cơ bản về nguyên hàm và tích phân, các ý nghĩa , giải thành thạocác bài toán mà còn phải sử dụng các công cụ, các tính chất liên hệ để làm bài tập

Theo thống kê thì 80% học sinh của trường THPT Nho Quan B khi tham gia thi đạihọc không giải quyết được các bài toán thuộc mức độ vận dụng và vận dụng cao của dạngtoán này Bên cạnh đó với những dạng bài tập này đòi hỏi học sinh phải tư duy, phân tích,nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau, biết vận dụng nhiều kiến thức liên quan.Bên cạnh đó qua nghiên cứu và thực hành giảng dạy trên lớp nhóm tác giả sáng kiến đãnhận thấy rằng các bài toán trong các đề thi chỉ cần vận dụng thành thạo các kiến thức cơbản và các phương pháp trình bày trong SGK đều có thể đi đến lời giải một cách tự nhiênnhất

1 2 Giải pháp cũ thường làm

Trong sách giáo khoa hiện hành nội dung bài tập liên quan còn sơ sài, chưa địnhhướng được lời giải cho học sinh Các bài toán mới dừng lại ở mức độ vận dụng trực tiếp lýthuyết vào giải trực tiếp, chưa có sự gắn kết logic giữa các dạng bài toán Các bài toán đềucho dưới dạng tự luận và đáp số có thể tìm được bằng việc sử dụng máy tính cầm tay Nộidung bài tập chỉ đơn thuần dừng lại trong khuôn khổ các bài toán tính nguyên hàm tích phân

mà chưa có sự gắn kết các bài toán về các kỹ năng vận dụng công thức và ý nghĩa hình học.Các bài tập trong SGK và trong Sách bài tập hiện tại chủ yếu là rèn các kỹ năng về tính toán

và biến đổi Với hệ thống bài tập như vậy, học sinh chỉ cần luyện tập và làm nhiều bài tập là

có thể giải quyết được Tuy nhiên vấn đề đặt ra là khi học sinh làm các bài tập này thường

có lời giải theo các dạng toán cố định như các lớp tích phân về đa thức, hữu tỷ, căn thức,lượng giác, mũ và logarit Và khi gặp các dạng bài toán tương tự thì đại bộ phận các em đềusuy nghĩ hướng đến lời giải theo một lối mòn định sẵn Điều này cũng giúp được các emtrong việc rèn kỹ năng trình bày và hệ thống được một phần nào đó các kiến thức cơ bản.Tuy nhiên với việc giải quá nhiều các dạng bài như thế sẽ làm cho các em mất đi sự tư duy,sáng tạo trong việc hình thành cũng như tiếp nhận các kiến thức

1 3 Hạn chế của giải pháp cũ

- Với việc đưa ra hệ thống các dạng bài toán cố định và mặc định sẵn các phươngpháp giải tương ứng khiến học sinh rất vất vả trong việc nhớ các dạng toán và phương pháptương ứng cho từng dạng

- Trong các bài tập khác khi đề bài cho không ở dạng chuẩn học sinh không biết cáchđịnh hướng và tìm lời giải

- Khi thực hiện theo giải pháp cũ hầu hết học sinh không làm được các bài toán màyếu tố đề bài cho ở dạng suy luận

- Hệ thống bài tập chưa thực sự phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm như hiện nay.Bài tập còn nặng về các yếu tố ghi nhớ và tính toán theo công thức không phát huy đượcnăng lực sáng tạo của người học Việc khắc sâu đặc điểm và tính chất cũng như phát triểncác kiến thức đã được học cùng việc sử lí các tình huống trong các bài toán cụ thể gặp nhiềuhạn chế

- Trong đề thi THPT Quốc gia năm 2017 và năm 2018 cũng như trong các đề minhhọa bộ giáo dục cho trong hai năm vừa qua bài toán vận dụng và vận dụng cao về nguyênhàm và tích phân đều đòi hỏi học sinh phải định hướng, tư duy, phân tích dữ kiện giả thiết

kết hợp với những kiến thức đã học để làm bài do đó nếu áp dụng giải pháp cũ thì đại bộphận học sinh không làm được bài tập thuộc dạng này.

- Theo xu thế dạy học mới, giải pháp cũ bộc lộ nhược điểm rõ rệt, không phát huyđược tính chủ động, sáng tạo của học sinh trong quá trình giải toán Bên cạnh đó với việccung cấp quá nhiều dạng toán và phương pháp như các tài liệu hiện nay khiến học sinh phảichịu áp lực rất lớn trong quá trình học tập, phải ghi nhớ một lượng kiến thức quá lớn Điềunày khiến các em mất đi sự sáng tạo và hứng thú trong học tập Đặc biệt để làm các bài tậptheo các dạng này học sinh phải nhớ quá nhiều các công thức các đại lượng liên hệ một cáchmáy móc

Với các cách tiếp cận bài toán như giải pháp cũ học sinh rất thụ động Trong quátrình làm bài tập học sinh không tìm đượchứng thú và tự giác Học sinh không nghĩ suy độclập mất đi sự sáng tạo

2 Những giải pháp mới và ưu điểm của giải pháp mới

2 1 Những nội dung cơ bản của giải pháp mới

- Sáng kiến được hình thành theo dạng một chủ đề dạy học Hệ thống lý thuyết đượctrình bày một cách cô đọng và ngắn gọn nhất Các dạng bài tập được xây dựng một cách hệthống, có phân chia các mức độ Bài tập được thiết kế theo hình thức trắc nghiệm để tạođiều kiện cho học sinh có khả năng phát huy hết năng lực của bản thân

- Trình bài lại hệ thống các kiến thức cơ bản trong chương trình sách giáo khoa màtối thiểu học sinh cần nắm được Mỗi phần kiến thức học sinh được tiếp nhận đều có cácdạng bài tập vận dụng với các mức độ và yêu cầu khác nhau để học sinh luyện tập

- Nêu và định hướng một số phương pháp mới để giải các bài tập trong các đề thi đạihọc với kiến thức cơ bản nhất Giúp học sinh vận dụng được trực tiếp kiến thức đang họcvào sử lý các bài toán liên quan, hình thành con đường tư duy liên tục và các kỹ năng vậndụng kiến thức vào các tình huống cụ thể

- Trong quá trình hình thành lời giải có sự phân tích về cách tư duy và con đường tìmlời giải trên cơ sở giả thiết từ đó giúp học sinh tạo được thói quen tư duy liên kết khi gặpcác bài toán lạ

- Phân tích lời giải và tư duy để hình thành con đường đi đến lời giải một cách tựnhiên nhất Liên kết giữa các dạng toán giúp học sinh hình thành những suy luận hợp lý,tổng quát được bài toán theo nhiều hướng khác nhau

- Các bài toán được nhóm tác giả chia theo trình tự của nội dung các kiến thức đượctrình bày trong sách giáo khoa để đảm bảo cho học sinh có thể dễ dàng tiếp cận ngay từ khiđược cung cấp kiến thức về lý thuyết Bài tập và ví dụ minh họa được sắp xếp theo hệ thốngkiến thức phân dạng mức độ từ nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao Do đó họcsinh có thể dễ dàng tiếp cận kiến thức và vận dụng trực tiếp các kiến thức vào các mức độkhác nhau của bài toán Bên cạnh việc hướng dẫn chi tiết về lời giải tác giả còn đưa ra cácnhận xét, phân tích con đường đi đến lời giải một cách hợp lý và nêu ra các suy luận dựatrên những kiến thức cơ bản đã được học vận dụng vào các tình huống cụ thể Điều đó ngoàiviệc giúp học sinh tìm ra được đường lối tư duy cơ bản khi giải bài tập còn giúp các em cóthể tự tư duy tìm đường đi hợp lý cho các bài toán khác

Dưới đây là sơ đồ minh họa các nội dung kiến thức cơ bản của bài toán tính tích phântrong SGK và các dạng toán được xây dựng dựa trên cơ sở của các kiến thức đó

SƠ ĐỒ MINH HỌA NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN

2 2 Những ưu điểm của giải pháp mới

- Giải pháp mới nhằm giúp học sinh giảm bớt gánh nặng trong quá trình học tập:Kiến thức cần thiết chỉ nằm trong khuôn khổ của sách giáo khoa hiện hành, không phải nhớquá nhiều dạng bài tập một cách máy móc, không phải tốn kém trong quá trình mua tài liệutham khảo

- Khi tiếp cận cách học theo giải pháp mới, học sinh có thể tự chủ động tìm lời giảiđộc lập cho một bài toán dựa trên lượng kiến thức đã có sẵn Do đó học sinh có thể chủđộng và linh hoạt trước một bài toán không phải áp đặt theo một khuôn mẫu định sẵn

- Giáo viên có thể dựa vào các kết quả quen thuộc trong sách giáo khoa ra đề bài chohọc sinh một cách chủ động không trùng lặp

- Các giải pháp mới nêu ra đều sử dụng phần lớn những kiến thức mà học sinh đượchọc ngay trên lớp Sự liên kết giữa các phần kiến thức cùng với những định hướng ban đầukhiến cho bài toán trở nên quen thuộc và dễ tiếp cận Việc vận dụng một cách phù hợp vàotừng bài toán cụ thể luôn tạo ra sự mới mẻ nhưng cũng rất quen thuộc với học sinh Các bài

tập vận dụng giải pháp mới hầu như là những bài toán đã xuất hiện trong các tài liệu thamkhảo cũng như trong các Đề thi đại học trong những năm gần đây nhưng được tiếp cận mộtcách hoàn toàn mới mẻ nhưng đồng thời rất gần gũi với mức độ suy luận của các em họcsinh.

IV Hiệu quả kinh tế và xã hội dự kiến đạt được

1 Hiệu quả kinh tế:

- Học sinh không phải sử dụng quá nhiều tài liệu như việc sử dụng các phương phápkhác Có thể tự sáng tạo hoặc giải các bài toán khác theo phương pháp này Thời giannghiên cứu và học tập tương đối phù hợp Các em học sinh có thể dựa vào những phân tích

về các bài toán trong sáng kiến để đi tìm lời giải cho một bài toán khác, có thể tránh đượctình trạng học thêm tràn lan vừa tốn kém vừa không mang lại hiệu quả cao

2 Hiệu quả xã hội

- Sáng kiến mang tính thực tiễn cao: Kiến thức vừa phải, phù hợp với đại bộ phậnhọc sinh Là tài liệu tham khảo bổ ích cho các em học sinh cũng như các bạn đồng nghiệp

- Trong kì thi THPT quốc gia năm 2017, năm 2018 và trong các đề minh họa của bộgiáo dục, các chủ đề liên quan đều được đề cập đến và đều có thể sử dụng phương pháp đãnêu trong sáng kiến

- Sáng kiến đã được áp dụng qua các hoạt động giảng dạy của nhóm tác giả, các đồngnghiệp, tại các lớp ôn thi THPT Quốc gia, cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường THPTNho Quan B bước đầu đã có những kết quả đáng kể

- Các hoạt động mà sáng kiến đề cập đã giúp đỡ rất nhiều cho giáo viên trong việcdạy học theo phương pháp mới, nhằm đổi mới phương pháp dạy học Cũng nhờ các hoạtđộng đã được xác định, giáo viên sử dụng như tài liệu tham khảo, nó giúp cho giáo viêngiảm bớt được nhiều công sức trong việc soạn bài, chuẩn bị bài lên lớp

- Việc áp dụng sáng kiến trong hoạt động dạy học giúp học sinh hình thành tư duy,khả năng vận dụng Sáng kiến cho thấy việc học và nghiên cứu kỹ các nội dung trong sáchgiáo khoa là rất cần thiết cho học sinh trong quá trình học tập

V Điều kiện và khả năng áp dụng:

Sáng kiến: “Xây dựng hệ thống bài tập trắc nghiệm dựa trên nội dung kiến thức phần tích phân lớp 12” mà nhóm tác giả trình bày dễ dàng áp dụng trong thực tế, phù hợp

với cả giáo viên, học sinh trung học phổ thông Không những hữu ích với học sinh ôn thi đạihọc mà còn hiệu quả với học sinh đại trà khác, giúp các em nâng cao khả năng tư duy giảiquyết các vấn đề liên quan.

Sáng kiến đã được nhóm tác giả sử dụng trong quá trình giảng dạy, là tài liệu thamkhảo cho các em học sinh, các thầy cô trong quá trình ôn thi học sinh giỏi, thi THPT Quốcgia tại trường THPT Nho Quan B và có thể áp dụng cho các trường THPT trong tỉnh

Qua sáng kiến cho thấy rằng các bài toán tích phân có thể tiếp cận được với nhiều đốitượng học sinh, với nền tảng kiến thức chính chỉ giới hạn trong nội dung chương trình sáchgiáo khoa hiện hành Do đó khả năng áp dụng sáng kiến này vào thực tế là khả quan và dễthực hiện

VI Hiệu quả áp dụng:

Trong quá trình giảng dạy tôi đã hướng dẫn cho học sinh nắm được các ý tưởng cơbản, các thuật toán thường dùng trong việc giải quyết các bài toán liên quan về các côngthức tích phân đặc biệt là với các dạng bài toán mà hình thức có thể cho ta nghĩ đến hướnggiải quyết bằng các con đường khác nhau Việc tìm nhiều lời giải cho một bài toán cùng vớivận dụng khai thác các tính chất cho từ giả thiết để tìm ra đường đi đúng cho lời giải của bàitoán là hết sức quan trọng Thông qua việc phân tích hướng tìm tòi suy nghĩ khác nhau chocùng một đề toán nhằm rèn luyện cho các em học sinh khả năng tư duy thông qua cách tiếpcận và phát hiện mối liên hệ giữa các đại lượng, phát hiện ra các tính chất và các hướng giảiquyết đặc trưng cho một loạt các bài tập cùng dạng Mấu chốt quan trọng của các bài toán

về tích phân theo xu thế hiện nay là biết khai thác triệt để giả thiết, vận dụng những yếu tố

có mặt trong giả thiết và các tính chất cơ bản đã cho trong giả thiết xây dựng nên mối quan

hệ giữa các đại lượng liên quan Từ đó tìm ra con đường giải quyết bài toán

Khi tiếp cận với phương pháp này một số em học sinh khá giỏi cảm thấy rất thíchthú, ham mê tìm tòi phát hiện và đôi khi đưa đến những cách giải sáng tạo và linh hoạt hơnnhiều Các em không phải bó buộc suy nghĩ, phải cố gắng để nhớ nhiều các dạng toán, cácđặc điểm của hàm số cần tính tích phân mà chỉ cần nắm vững các bài toán cơ bản trongSGK

Thông qua các tiết dạy trên lớp, các tiết ôn tập khi triển khai nội dung của sáng kiếnhầu hết các học sinh đều nhiệt tình tham gia Đặc biệt là quá trình xây dựng và hình thànhnên lời giải của bài toán, các em đều rất chủ động và sáng tạo Điều này cho thấy việc áp

dụng sáng kiến trong quá trình giảng dạy đã góp một phần vào việc đổi mới phương phápgiảng dạy hiện nay.

Tuy nhiên đối tượng áp dụng của sáng kiến là học sinh thuộc khu vực miền núi, trình

độ còn hạn chế Bên cạnh đó với thời lượng trên lớp có hạn, trình độ nhận thức của đại bộphận học sinh còn hạn chế thì việc áp dụng các phương pháp trên vẫn còn nhiều nhược điểm

và chưa mang lại hiệu quả cao như mong muốn

VII: Kết luận và kiến nghị

I Kết luận:

Trên đây là một số bài toán về cách giải quyết một số dạng bài tập về tích phân và các phép toán và phương páp tính tích phân mà chúng tôi đã học hỏi đúc rút được trong quá trình giảng dạy tại trường THPT Nho Quan B

Sáng kiến của chúng tôi chỉ là một mảng áp dụng các phương pháp trong bài toán tính tích phân Ngoài những phương pháp cơ bản nêu ở trên còn có nhiều phương pháp khác

để tiếp cận bài toán Sáng kiến thực sự là một bước đổi mới trong quá trình hướng dẫn học sinh tự học, tự nghiên cứu Khi triển khai sáng kiến áp dụng cho học sinh thuộc các lớp giảng dạy đã tạo được niềm tin, say mê hứng thú cho các em học sinh Các em học sinh chủ động sáng tạo trong việc phân tích bài toán, dự đoán tính chất và định hướng lời giải cho bàitoán

Sáng kiến của chúng tôi đã được áp dụng trong các năm học giảng dạy lớp 12, được học sinh đồng tình và đạt được một số kết quả, đặc biệt là các bài toán có vận dụng các tính chất liên quan được khai thác trực tiếp từ giả thiết Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ các em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên đã có kỹ năng giải các bài tập Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt Cụ thể ở các lớp khối 12 sau khi áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy thì số học sinh hiểu và có kỹ năng giải được cơ bản các dạng toán nói trên

` Như vậy tôi thấy các phương pháp có hiệu quả tương đối tốt Theo tôi khi dạy phầntoán về tích phân và các ứng dụng giáo viên cần hướng đến cho học sinh nhiều hướng tiếpcận khác nhau, đồng thời phân tích cho học sinh thấy rõ những khó khăn và hạn chế trongtừng cách tiếp cận Thông qua đó dần dần hình thành cho học sinh những năng lực phát hiệnvấn đề thông qua dữ kiện của bài toán

Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót và hạnchế Chúng tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung và góp ý Xinchân thành cảm ơn.

2 Kiến nghị và đề xuất:

- Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều hoạtđộng trao đổi chuyên môn dưới dạng các hoạt động theo chuyên đề, nhằm từng bước nângcao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ cho thầy cô giáo và trình độ nhận thức cho các em họcsinh

- Nhà trường cần tổ chức các bổi trao đổi phương pháp giảng dạy Có tủ sách lưu lạicác tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứuphát triển chuyên đề

- Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập

Xin chân thành cám ơn!

PHỤ LỤC SÁNG KIẾN Phần I MÔ TẢ NỘI DUNG SÁNG KIẾN:

Sáng kiến được thiết kế theo dạng chủ đề dạy học đã được nhóm tác giả áp dụngtrong quá trình giảng dạy ôn tập tại nhà trường Tùy theo mức độ của học sinh từng lớp màcác tác giả đã đưa vào các phần nội dung để giảng dạy cho phù hợp với tình hình thực tiễn

Nội dung sáng kiến được chia thành nhiều phần theo trình tự các kiến thức mà họcsinh được tiếp nhận từ các tiết học trên lớp Mỗi mảng kiến thức liên quan đều được trìnhbày khoa học với hệ thống ví dụ được phân thành các mức độ từ nhận biết, thông hiểu, vậndụng và vận dụng cao để thích hợp cho các đối tượng học sinh khác nhau ở trường THPTNho Quan B

Các chuyên đề nhỏ đều được tóm tắt lại các kiến thức cơ sở, các công thức thường sửdụng và có các ví dụ minh họa cho từng dạng cụ thể Trong mỗi ví dụ ngoài lời giải các tácgiả còn đưa thêm các hướng suy luận và mô tả con đường để dẫn đến lời giải một cách tựnhiên nhất

Sáng kiến ngoài là nguồn tài liệu cho các thầy cô trong quá trình giảng dạy còn là tưliệu để các em học sinh tự học một cách tốt nhất Các em học sinh có thể đọc lời giải và cáchướng dẫn suy luận trong các ví dụ từ đó vận dụng vào làm các bài tập trong hệ thống bàitập được trình bày trong sáng kiến

Phần II XÂY DỰNG CÁC DẠNG TOÁN TRẮC NGHIỆM DỰA TRÊN NỘI DUNG KIẾN THỨC PHẦN TÍCH PHÂN LỚP 12”

1 Hệ thống kiến thức được xây dựng về Tích phân:

1 Định nghĩa tích phân Công thức tính tích phân:

Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên [ ]a b; và F x( )

là một nguyên hàm của f x( ) trên [ ]a b; Khi đó:( ) ( ) ( ) ( )

b

b a a

a

f x dx≥

∫Chú ý: Nếu f x( )≥g x( ),∀ ∈x [ ]a b; thì( ) ( )

3 Phương pháp đổi biến số 1 Dạng 1: Cho hàm số f x( ) liên tục trên [ ; ]a b

Giả sử hàm số x=ϕ( )t có đạo hàm liên tục trên

( )

( )

u b b

udv uv= − vdu

2 Các dạng toán tương ứng với nội dung kiến thức trong chương trình:

Chú ý: Trong nội dung của sáng kiến, nhóm tác giả không đi sâu vào việc tính tích

phân của một hàm số đã xác định công thức cụ thể mà chỉ đi khai thác trực tiếp các tính chấtđược trình bày trong SGK, đưa vào các ví dụ áp dụng trực tiếp các nội dung kiến thức đãhọc và mở rộng các bài toán trên cơ sở lý thuyết của bài kết hợp với các tính chất về đạohàm và nguyên hàm mà học sinh đã được học

2.1 Các bài toán về định nghĩa tích phân:

Mức độ: Nhận biết.

Hiển nhiên theo công thức tính tích phân ta có:

3

1( ) (3) (1) 5

2.2 Các bài toán về tính chất của tích phân:

a Các tính chất cơ bản của tích phân:

b

a

f x dx≥

∫Chú ý: Nếu f x( )≥g x( ),∀ ∈x [ ]a b; thì ( ) ( )

Ví dụ 1: Cho hàm số y= f x y g x( ); = ( ) liên tục trên [ ]1;3 và thỏa mãn

Với công thức trên ta thấy dấu hiệu thường sử dụng là cận tích phân có thể thay đổi nhưng hàm số dưới dấu tích phân là không đổi.

Ví dụ 1: Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên [−1;3] và thỏa mãn

dụ như có các biểu thức chứa dạng [ ]2

Ví dụ 1: Cho hàm số f x( ) liên tục, có đạo hàm trên đoạn [ ]0;1 Biết

1

0( ) 1

Ví dụ 2: Cho hàm số f x( ) liên tục, có đạo hàm trên đoạn [ ]0;1 Biết

1

0( ) 1

f x

x

=+

Nhận xét : Tương tự như bài toán trên nhưng trong bài toán này các giả thiết cho

rời rạc Do đó ta cần phải tìm cách gắn kết các đại lượng với nhau để tìm ra các yếu tố liên

hệ trong bài toán Rõ ràng ta cần phải có mối liên hệ về 3 đại lượng có mặt trong giả thiết của bài toán Ta thấy để các giả thiết đều được liên hệ với nhau nhờ đẳng thức

2( ( )f x +ax b+ ) khi đó ta thấy trong khai triển của đẳng thức có mặt tất cả các giả thiết trong bài toán.

Để a tồn tại rõ ràng phải có b= ⇒ = −2 a 6 Khi đó hàm f x( ) 6= x−2 là hàm duy nhất thỏa

mãn yêu cầu của bài toán.

Do đó có:

1

2 0

x f x x=

0d

Nhận xét : Tương tự như bài toán trên ta tìm cách đưa bài toán về dạng tích phân

bình phương Tuy nhiên trong bài toán có xuất hiện các biểu thức dưới dạng tích điều đó cho ta nghĩ đến dạng tích phân từng phần Từ các hướng suy nghĩ trên ta đi đến lời giải cho bài toán.

Lời giải

Từ giả thiết: 1 2 ( )

0

1d3

( ) ( )

1

2 3

Nhận xét : Tương tự như bài toán trên ta tìm cách đưa bài toán về dạng tích phân

bình phương Tuy nhiên nếu đi trực tiếp như ví dụ 1 và 2 ta thấy chưa được vì giả thiết chứa

[ ]2

( )

f x′ và f x( ) nên ta chưa thể tạo bình phương, do đó trước hết ta biến đổi 2

0cos ( )x f x dx

π

∫

để tạo biểu thức f x′( ) bằng cách đặt từng phần làm xuất hiện các đại lượng có liên quan

trong giả thiết.

Xét phép đặt u dv= f xcos( )xdx⇒du v =sinxf x dx′( )

0 0

( )sinx ( )sin x

π π

∫2

( )sinx ( )sin x

π π

Đáp án: A.

Mức độ: Vận dụng cao.

Nhận xét : Tương tự như bài toán trên ta tìm cách đưa bài toán về dạng tích phân

Chú ý: Đặc điểm của dạng toán khi áp dụng các tính chất này là ta phải tìm ra được

các mối liên hệ giữa các đại lượng trong dấu tích phân xem chúng có thể là dạng vi phân

của biểu thức nào Với các tích phân mà hàm số cho dưới dấu biểu thức tích phân có dạng tường minh thì con đường tiếp cận lời giải khá đơn giản Tuy nhiên khi các hàm số được cho không cụ thể chúng ta cần xem xét, đôi khi cần biến đổi bài toán để đưa đến dạng các biểu thức vi phân của các dạng hàm số Trong các dạng toán này cần đặc biệt chú ý đến các dạng công thức đạo hàm của các biểu thức tổng, hiệu, tích thương và các dạng đạo hàm của biểu thức chứa căn.

Ví dụ 1: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ]0;1 thỏa mãn đồng thời

Nhận xét : Với bài toán này tương tự ví dụ trên ta dễ dàng nhận thấy bài toán có

dấu hiệu của đạo hàm dạng tích của các biểu thức.

Chú ý: Đôi lúc có những bài toán ta chưa nhận ra ngay được dạng của đạo hàm mà

phải nhờ một số phép biến đổi đại số ( Cộng trừ, nhân chia và thêm bớt các đại lượng thích hợp) để tạo ra dạng của công thức Một số dạng toán về phần này đã xuất hiện khá nhiều trong các đề thi thử đại học của một số trường trong hai năm gần đây Các bài toán đó thường lấy cơ sở trên việc giải quyết một số dạng phương trình vi phân thường gặp mà học sinh tiếp cận trên đại học Phần này tác giả sẽ đề cập trong mục cuối của Sáng kiến Tuy nhiên dưới góc độ tiếp cận của học sinh THPT tác giả đã cố gắng đưa đến các suy luận hợp

lý dựa trên dấu hiệu của các công thức được trình bày trong SGK để học sinh có thể dễ dàng tiếp cận nhất

Sau đây là một số ví dụ về dạng toán này được tác giả đưa ra theo cách tiếp cận vàsuy luận dựa trên các công thức đạo hàm các hàm số dạng tích thương Đặc điểm dễ nhận ratrong các công thức này là sự xuất hiện đồng thời của các biểu thức f x f x( ), '( ) với đạo hàm

( ), '( ), ( )

f x f x f x với đạo hàm dạng thương

Ví dụ 3: Cho hàm số f x( ) > ∀ ∈0, x R và có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn

'( ) 6 ( ) 0

f x − f x = và f ( )0 =1 Tính

ln 2

0( )

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm ln ( )f x Để xuất hiện công thức này ta phải

tìm cách đưa giả thiết xuất hiện dạng f x f x'( )( ) Với bài toán trên việc làm xuất hiện biểu thức này khá đơn giản Do đó ta hoàn toàn có thể đi đến lời giải.

Lời giải

Nhận xét : Đây là một bài toán giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần

nhất và có phương pháp giải cụ thể trong tất cả các giáo trình giải tích ở bậc đại học Tuy nhiên tác giả sẽ đề cập đến con đường tư duy để học sinh phổ thông có thể tiếp cận nó thông qua việc biến đổi và sử dụng linh hoạt các công thức được học Theo ý kiến của tác giả các vấn đề liên quan về phương trình vi phân sẽ không có mặt trong đề thi THPT Quốc gia nhưng con đường suy luận để tiếp cận bài toán vi phân theo kiến thức phù hợp với chương trình sẽ rèn cho các em khả năng tư duy trong quá trình học tập cũng như vận dụng kiến thức lý thuyết vào quá trình giải toán.

Phân tích: Trong bài toán có sự xuất hiện của ba đại lượng f x f x f x( ); '( ) ' "( ) do đó

ta thấy có mối liên hệ liên tiếp từ f x( )→ f x'( )→ f x"( ) Để đưa bài toán về dạng đơn giản

như Ví dụ 3 ta sẽ tìm cách đặt một hàm số mới thỏa mãn yêu cầu của giả thiết Với tính chất

của bài toán ta nghĩ đến việc đặt hàm u af x= ( )+bf x'( ) vì phép đặt như vậy khi tính đạo hàm sẽ làm xuất hiện các đại lượng tiếp theo có mặt trong giả thiết

Xét phép đặt u af x= ( )+bf x'( )⇒ =u' af x'( )+bf x"( ) Do đó cặp ( , )a b thích hợp tìm được là ( 2;3)− và hoán vị Từ đó ta đi đến lời giải cho bài toán.

Lời giải

Từ giả thiết ta có: f x"( )+ f x'( ) 6 ( ) 0− f x = ⇔ f x"( ) 3 '( ) 2( '( ) 3 ( ))+ f x = f x + f x

ra những điều bổ ích để áp dụng trong quá trình tư duy sau này.

Ví dụ 5: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm trên R thỏa mãn f x′( ) −2018f x( ) =2018.x2017.e2018x

với mọi x∈¡ và f ( )0 =2018. Tính giá trị f ( )1

A.f ( )1 =2019e2018 B f ( )1 =2018.e− 2018 C f ( )1 =2018.e2018 D f ( )1 =2017.e2018.

Hướng dẫn:

f x′ − f x có dấu hiệu của đạo hàm dạng tích Do đó ta nghĩ đến việc nhân vào hai

vế đại lượng e kx ( Vì hàm số e u x( ) sẽ giữ nguyên biểu thức sau khi lấy vi phân) Với giả thiết bài toán dễ dàng nhận ra được k= −2018 do (e f x kx ( ) ') =e f x kx '( )+ke f x kx ( ) Do đó ta có thể

đi đến lời giải.

x

e− f x =∫x dx⇒ f = e

Từ các ví dụ đơn giản trên ta có thể giải quyết các bài toán sau:

Ví dụ 6: Cho hàm số f x( ) đồng biến, có đạo hàm cấp hai trên đoạn [ ]0; 2 và thỏa

2 f x( ) − f x f x( ) ( )′′ + f x′( ) =0 với ∀ ∈x [ ]0; 2 Biết 6

(0) 1, (2)

f = f =e , tính tích phân0

( ) ( ) ( )

2( )

I =∫x f x dx

f x g x Với công thức đạo hàm dạng tích ta có ( f x g x( ) ( ) ') = f x g x'( ) ( )+g x f x'( ) ( )

Từ mối liên hệ của các đại lượng có trong giả thiết ta hướng đến việc đi tìm biểu thức u x( )

Do có sự xuất hiện của các đại lượng (x+1) ( ); ( )f x x f x′ ở vế trái ta hướng đến việc

nhân hai vế với biểu thức dạng kx

e để đảm bảo sự bất biến về biểu thức của f x f x( ); '( ) Đồng nhất hai vế trong giả thiết ta đi đến việc tìm ra k=1, từ đó ta có lời giải

đó là việc nhân chia, thêm bớt các biểu thức liên quan đến các hàm số mũ ( Đảm bảo tính bất biến khi lấy đạo hàm) hoặc các hàm lượng giác ( Đảm bảo tính lặp sau quá trình lấy đạo hàm).

Việc sáng tác ra các bài toán này khá đơn giản Ta chỉ cần lấy một biểu thức g x( ) có dạng đặc biệt để ghép với f x( ) tạo nên các đạo hàm dạng tích thương Sau đó tiến hành lấy đạo hàm và biến đổi đồng thời đưa thêm các giả thiết phù hợp để tạo nên đề toán Tuy nhiên trong quá trình thực hiện các phép biến đổi cần đảm bảo về tập xác định, sự liên tục

và tính duy nhất của biểu thức sau biến đổi.

Ta có thể xét bài toán sau: Đặt g x( ) tan= x xác định và khả vi trên 0;

cos x để được bài toán sau:

Ví dụ 9: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên 0;

Với dạng toán này các dấu hiệu đặc trưng được thể hiện khá rõ ràng Sự nhận diện

ra bài toán không quá khó dựa trên các đặc điểm về dạng hàm, vi phân và cận số có liên

quan giữa các điều kiện Với dạng toán này học sinh chỉ cần nắm vững nội dung của

phương pháp đổi biến số trong SGK để thực hiện Sau đây ta sẽ đi xét một số ví dụ cụ thể.

Ví dụ 1: Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên R đồng thời thỏa mãn 2 ( )

2 1

Nhận xét: Bài toán này khá đơn giản Dấu hiệu nhận ra ẩn phụ khá rõ ràng Đây là một

bài toán giúp học sinh nắm lại được phương pháp đặt ẩn phụ trong tích phân một cách đơn giản nhất Việc cho học sinh giải quyết những bài toán này giúp các em hiểu rõ hơn về phương pháp trình bày trong SGK.

Ví dụ 2: Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên R đồng thời thỏa mãn 5 ( )