Bài giảng Toán rời rạc: Phương pháp chứng minh - Trần Vĩnh Đức

Bài giảng Toán rời rạc: Phương pháp chứng minh cung cấp cho người học những nội dung kiến thức như: Mệnh đề, tiên đề, và suy luận logic; phương pháp chứng minh; nguyên lý sắp thứ tự tốt. Mời các bạn cùng tham khảo.

Phương pháp chứng minh

Trần Vĩnh Đức

HUST

Ngày 6 tháng 9 năm 2018

ông ấy nhận được 9 con số khác nhau.

Tài liệu tham khảo

Mathematics for Computer Science, 2013 (Miễn phí)

Tiếng Việt)

Định nghĩa

Nội dung

Mệnh đề, tiên đề, và suy luận logic

Phương pháp chứng minh

Nguyên lý sắp thứ tự tốt

Định nghĩa

Mệnh đề là một khẳng định hoặc đúng hoặc sai

Khẳng định không phải mệnh đề

Mệnh đề (Giả thuyết Euler, 1769)

Phương trình

a4+ b4+ c4= d4không có nghiệm khi a, b, c, d là số nguyên dương.

Năm 1988, Noam Eikies đã chứng minh là sai với phản ví dụ

Mệnh đề

Phương trình

313(x3+ y3) = z3

không có nghiệm nguyên dương

Mệnh đề này cũng sai nhưng phản ví dụ nhỏ nhất có nhiều hơn

1000 chữ số

Mệnh đề (Định lý bốn màu)

Mọi bản đồ đều có thể tô được chỉ bằng bốn màu sao cho hai

vùng kề nhau có màu khác nhau

Hình: Bản đồ tô 5 màu

Mệnh đề (Định lý bốn màu)

Mọi bản đồ đều có thể tô được chỉ bằng bốn màu sao cho hai

vùng kề nhau có màu khác nhau

Appel & Hakel đã phân loại các bản đồ và dùng máy tính để kiểmtra xem chúng có tô được bằng 4 màu Họ đã hoàn tất chứng

minh năm 1976 Tuy nhiên

tính

đã được chứng minh

Mệnh đề (Định lý cuối cùng của Fermat)

Phương trình

x n + y n = z n

1630

Mệnh đề (Giả thuyết Goldbach)

Mọi số nguyên chẵn lớn hơn 2 đều là tổng của hai số nguyên tố

▶ 3 hay 7 ?

Định nghĩa

Vị từ là một mệnh đề mà giá trị chân lý phụ thuộc vào một hoặcnhiều biến

p(n) :: = “n là số bình phương hoàn hảo”

p(4) = “4 là số bình phương hoàn hảo”

p(4) = 3

p(5) = 7

Phương pháp tiên đề

đã được phát triển khoảng từ 300 BC bởi Euclid

Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng ta vẽ được

một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng

Hệ tiên đề của chúng ta

(Zermelo-Fraekel with Choice) cùng với một vài quy tắc suyluận logic

thức trong ZFC cho 2 + 2 = 4 cần nhiều hơn 20, 000 bước lập

luận!

“phổ thông” như tiên đề

Suy luận logic

P, P ⇒ Q Q

(Một chứng minh của P và một chứng minh P suy ra Q là

Không phải luật

¬P ⇒ ¬Q

P ⇒ Q 7

Ví dụ

▶ Nếu 4 không phải số nguyên tố,thì “tôi biết bay” 7

Nội dung

Mệnh đề, tiên đề, và suy luận logic

Phương pháp chứng minh

Nguyên lý sắp thứ tự tốt

Chứng minh mệnh đề “Nếu thì”

Chứng minh bằng phản đảo

1. Viết “Ta chứng minh mệnh đề phản đảo:”

và đưa ra mệnh đề phản đảo.

2. Làm như phương pháp chứng minh “Nếu thì”.

Chứng minh mệnh đề “Nếu và chỉ nếu”

Chứng minh bằng cách chia trường hợp

Định lý

Mọi nhóm gồm 6 người đều có 3 người hoặc đôi một quen nhau,hoặc đôi một lạ nhau

Chứng minh

Xét x là một trong 6 người Có hai trường hợp tương tự nhau:

Tại sao?

Chứng minh bằng cách chia trường hợp

Định lý

Mọi nhóm gồm 6 người đều có 3 người hoặc đôi một quen nhau,hoặc đôi một lạ nhau

Chứng minh trường hợp 1

Trong 5 người khác x, có ít nhất 3 người đều quen x.

Có hai trường hợp con:

Chứng minh phản chứng

Để chứng minh mệnh đề P bằng phản chứng:

7

Nội dung

Mệnh đề, tiên đề, và suy luận logic

Phương pháp chứng minh

Nguyên lý sắp thứ tự tốt

Định lý

Mọi số hữu tỉ m/n đều viết được dưới dạng x/y sao cho x, y không

có ước chung nguyên tố

Chứng minh

m ∈ C.

được ở dạng trên