Chuỗi phuarê và ứng dụng

Không gian ơclit mà các phần tử là các lớp hàm bình phơng khả tích t-ơng đt-ơng với nhau, phép cộng các hàm và phép nhân các hàm với một số đợc xác định nh phép cộng và phép nhân thông

2 2 ( 2 2)

2 f g g

f g

(x g x f2 x g2 x

vµ tõ c¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n L¬beg¬

20 Tæng cña hai hµm thuéc L2 còng lµ mét hµm thuéc L2

30 NÕu f ∈ L2 vµ α lµ mét sè tuú ý th× α f ∈ L2

Vì vậy, tập hợp L2 các hàm bình phơng khả tích là một không gian tuyến tính Bây giờ

ta xác định tích vô hớng và đặt

(f,g) =∫f(x).g(x)dà

Rõ ràng, tất cả các điều kiện trong định nghĩa tích vô hớng đều thoả mãn Do đó, khi đa

ra các phép toán cộng, nhân với một số và tích vô hớng đối với các hàm bình phơng khảtích, ta đi đến một định nghĩa quan trọng sau đây

Định nghĩa 2 Không gian ơclit mà các phần tử là các lớp hàm bình phơng khả tích

t-ơng đt-ơng với nhau, phép cộng các hàm và phép nhân các hàm với một số đợc xác định

nh phép cộng và phép nhân thông thờng, còn tích vô hớng đợc xác định bởi công thức (f,g) =∫f(x).g(x)dà,

thì không gian ấy đợc gọi là không gian L2

Bất đẳng thức Côsi - Bunhiacôpxki đợc thoả mãn trong L2, ở đây có dạng

(∫f ( x ) g ( x ) dà) 2 ≤∫f 2 ( x ) dà.∫g 2 ( x ) dà

và bất đẳng thức tam giác có dạng

∫ (f(x) +g(x))2dà ( ) ( )2

1 2

Lợng∫(f(x) −g(x) ) 2dà = f −g 2gọi là độ lệch toàn phơng trung bình của các hàm f và g

đối với nhau

1.2 Tính đầy đủ của không gian L2

Đị nh lí Không gian L2 là không gian đủ

1.3 Sự hội tụ bình phơng trung bình và quan hệ giữa nó với các điều kiện hội tụ khác của dãy phiếm hàm

Khi đa chuẩn vào không gian L2, chính là ta đã xác định khái niệm hội tụ sau đây đối với các hàm bình phơng khả tích:

f n → , nếu nlim→∞ ∫[f n(x) −f(x)]2dà = 0

Chúng ta gọi sự hội tụ đó là sự hội tụ bình phơng trung bình Sự hội tụ đó có quan hệ vớicác kiểu hội tụ khác của dãy phiếm hàm, giả thiết rằng độ đo của không gian X, trên đó các hàm đợc xác định là độ đo hữu hạn

10 Nếu dãy { }f n các hàm thuộc L2(X, à) hội tụ trong không gian mêtric L2(X, à), thì

nó hội tụ cả trong mêtric L1(X, à)

20 Nếu dãy { }f n hội tụ đều thì nó hội tụ bình phơng trung bình

30 Nếu dãy { }f n hội tụ trung bình thì nó có thể chọn đơc một dãy con{ }f n k , hội tụ hầukhắp nơi

Từ sự hội tụ trung bình (và ngay cả hội tụ bình phơng trung bình) của một dãy nào đó,nói chung không kết luận đợc là dãy ấy hội tụ hầu khắp nơi Thật vậy, vì dãy { }f n k hội

tụ trung bình về f ≡ 0 và cũng hội tụ bình phơng trung bình, nhng nó không hội tụ về 0tại một điểm nào Ngợc lại, dãy { }f n có thể hội tụ hầu khắp nơi nhng không hội tụ trungbình Chẳng hạn, trên một đoạn, ta xét dãy hàm

x của i l còn tri gi c c với

f n(x)→ 0 với mọi x ∈ [0, 1] Nhng đồng thời

( ) 1

1 0

Error: Reference source not found

ở đây mũi tên có dấu chấm nghĩa là có khả năng chọn từ dãy hội tụ theo độ đo một dãy con hội tụ hầu khắp nơi

Trờng hợp à(X) = ∞, thì mối quan hệ đợc thiết lập ở trên đây sẽ không có nữa Chẳnghạn, dãy

Sau nữa là, từ sự hội tụ trung bình nói chung cũng không suy ra sự hội tụ bình phơngtrung bình (kết luận cuối cùng này đúng với à(X) < ∞ với cả à(X) = ∞)

) (x

f n =

Đ2 Hệ trực giao các hàm trong L2 Các chuỗi theo hệ trực giao

2.1 Hệ lợng giác

Chúng ta xét không gian L2(- π, π) các hàm bình phơng khả tích trên đoạn [- π, π]với độ đo thông thờng Lơbegơ trên đoạn đó Trong không gian này, các hàm

cos 2

1 cos

π π

dx x m n x

m n mxdx

Vì bây giờ hàm f xác định trên đoạn [- π, π] là hàm chẵn, nên tất cả các hệ số của nó

đối sin đều bằng 0, điều này có thể thấy ngay từ công thức của các hệ số đối với mộthàm chẵn f. Khi n ≥ 1 thì

) ( sin

) (x nxdx f x nxdx f x nx dx f

= −π∫ +π∫ =

0 sin

) ( sin

) (x nxdx f x nxdx

Nói cách khác, hàm đó có xấp xỉ theo nghĩa trung bình với độ đo chính xác tuỳ ý bằngcác tổ hợp tuyến tính của các phần tử của hệ (2.2) trên [- π, π] (càng đúng trên [0, π])

Từ đó, suy ra tính đủ của hệ (2.2) Tính đủ của hệ (2.3) trên [0, π] đợc chứng minh tơng

tự, bằng cách khai triển hàm f(x) cho trên [0, π] lên nửa đoạn [- π, 0) theo công thức

f (-x) = - f(x). Nhờ cách khai triển đó, hàm nhận đợc trên [- π, π] là hàm lẻ và đợckhai triển trên đoạn đó theo sin

2.3 Hệ trực giao

Xét không gian các hàm bình phơng khả tích trên đoạn [a, b] Trong L2 dãy các hàm

{ϕn : n ∈ N} đợc gọi là một hệ trực giao nếu

0 ) ( )

Đ1 Chuỗi Phuariê

1.1 Chuỗi Phuariê đối với hệ lợng giác

Giả sử f là hàm của L2(- π, π) các hệ số Phuariê của nó ứng với các hàm 1, cosnx,

-) (x

f sinnxdx (1.3)Chuỗi Phuariê tơng ứng có dạng

2 2 2

2 0 2

2 ) ( ) (

a f

x n x

với n cho trớc, thì tổng riêng của chuỗi Phuariê Sn(x) cho một xấp xỉ tốt nhất (trongmêtric L2) của hàm f. Đối với hệ lợng giác thì bất đẳng thức Betxen có dạng

2 1

2 2

2 1

2 2

cũng hội tụ (trong L2) và tổng của nó là hàm có a0, an, bn là các hệ số Phuariê

Tất cả những điều trên đây chỉ nói về các hàm cho trên đoạn [- π, π], có thể chuyểnnhững điều đó sang các hàm cho trên đoạn thẳng có độ dài bất kì, chẳng hạn trên đoạn

Xét không gian L2 các hàm bình phơng khả tích trên đoạn [- π, π] và có độ đo Lơbegơtrên đoạn đó Trong L2,ta chọn một hệ trực giao {ϕn : n ∈ N} thì mỗi phần tử f ∈ L2

có thể biểu diễn thành tổng của chuỗi

à ϕ

ϕ à ϕ

n

1.3 Chuỗi Phuariê dới dạng phức

Chuỗi lợng giác Phuariê của hàm f trên đoạn [- π, π] có thể viết cô đọng hơn nếu sửdụng công thức Ơle

cosnx = e inx +e−inx và sinnx=

inx inx e

e + − - ibn

2

inx inx e

e − − )

= + ∑∞ − +

=

inx n

n

n ib e a

c n n n

+

=

− (1.7)Biểu thức

f(x) = inx

e c

∑∞

−∞

= (1.8)gọi đó là chuỗi lợng giác Phuariê dới dạng phức Các hệ số cn của chuỗi đó đợc biểudiễn qua an và bn nhờ đẳng thức (1.7), rất dễ viết và dễ tính trực tiếp Thật vậy

e inx e−imx dx

−π∫ .

, 0

1 ππ

π (m = 0, ±1, ±2, …) (1.9) Khai triển (1.8) vẫn còn có hiệu lực đối với hàm bình phơng khả tích trên đoạn [- π, π].Nói cách khác, các hàm einx tạo thành cơ sở trong không gian L2(- π, π) của các hàmbình phơng khả tích của môđun trên đoạn [- π, π] Đồng thời biểu thức (1.9) là tích vôhớng của hàm f với einx trong không gian phức đó

Hiển nhiên là, nếu thay hàm einx bởi hàm x

Đ2 Điều kiện hội tụ của chuỗi Phuariê

2.1 Định lí Cho hàm số f(x) tuần hoàn chu kì 2π Khi đó, tổng riêng thứ n của chuỗiPhuariê đợc tính bởi

Sn(x) = π

1

∫

π π

-f (x+z)

2 sin 2

2 ) 1 2 sin(

-) (t

f dt, an = π

1

∫

π π

-) (t

f cosntdt, bn = π

1

∫

π π

-) (t

f cosntdt + sinπnx π∫

π

-) (t

f sinntdt]

Đa cosnx, sinnx vào dấu tích phân, ta đợc

- [ f2(t) + ∑∞

= 1

n f(t)cosnxcosnt + f(t)sinnxsinnt]dt = π

1

∫

π π

-f (t)[21 + ∑∞

= 1

n (cosnxcosnt + sinnxsinnt)]dt = π

1

∫

π π

1 sin

x ) 1 n 2 ( 2

1 sin +

-) (t f

2 sin 2

2 ) 1 2 sin(

x t

x t n

−

− +

-f (z + x)

2 sin 2

2 ) 1 2 sin(

ϕ(x)sinpxdx = 0

2.3 Định lí (điều kiện đủ để chuỗi Phuariê hội tụ)

t

x f t x f

2

z ) 1 n 2 sin( +

z

z f z x f

2 sin z

f( + ) − ( )

2 sin z z

cũng khả tích Do đó, với biểu thức (2.6) có thể áp dụng bổ đề 2.2 nên biểu thức (2.6)dần tới 0 khi n dần tới ∞ Vậy định lí đợc chứng minh

2.4 Điều kiện hội tụ đều của chuỗi Phuariê

Chúng ta đã thiết lập điều kiện đủ để chuỗi Phuariê của hàm f nào đó hội tụ tại một

điểm Lớp các hàm thoả mãn điều kiện này khá rộng, thậm chí điều kiện hàm liên tục là

hoàn toàn không cần thiết để biểu diễn nó dới dạng tổng của chuỗi hàm lợng giác hội tụhầu khắp nơi Có một vài thay đổi nếu chúng ta muốn chuỗi Phuariê hội tụ đều Rõ ràng

là, nếu hàm f có ít nhất một điểm gián đoạn thì chuỗi Phuariê của nó không thể hội tụ

đều đến nó, bởi vì tổng của chuỗi một hàm liên tục, hội tụ đều luôn luôn là một hàmliên tục Nh vậy tính liên tục là điều kiện cần (nhng tất nhiên không đủ) để chuỗiPhuariê của nó hội tụ đều

Định lí sau đây cho chúng ta điều kiện đủ để chuỗi Phuariê hội tụ đều

Định lí Nếu hàm f tuần hoàn với chu kì 2π, liên tục tuyệt đối và hàm f ′của nó phụ thuộc

L2[- π, π] thì chuỗi Phuariê của hàm f hội tụ đều về hàm f trên toàn bộ đờng thẳng

Đ3 Khai triển Phuariê đối với hệ lợng giác hàm số tuần hoàn, chu

3.2 Chuỗi Phuariê của hàm số tuần hoàn

Từ định lí 3.1, có thể tìm các hệ số của chuỗi Phuariê bằng cách thay khoảng tính tíchphân từ (- π, π) bằng tích phân từ (α, α + 2π) Do đó, các hệ số của chuỗi Phuariê đợctính bởi

f dx, an =π

1

∫

+ π α α

2

) (x

f cosnxdx và bn = π

1

∫

+ π α α

2

) (x

f sinnxdx (3.2)

Ta có thể làm đợc nh vậy là vì f(x)cosnx, f(x)sinnx là các hàm tuần hoàn, chu kì 2π.Trong một số trờng hợp cụ thể thì việc sử dụng công thức (3.2) sẽ rút ngắn quá trình tìmcác hệ số của chuỗi Phuariê

3.3 Ví dụ Khai triển thành chuỗi Phuariê của hàm số f(x) có chu kì 2π, đợc xác địnhbởi

x với

π

) (x

f dx = π

1

∫π2

0 xdx = 2π,

an = π

1

∫π2 0

) (x

f coskxdx = π

1

∫π2

0 xcosskxdx = 0,

bn = π

1

∫π2 0

) (x

f sinkxdx = π

1

∫π2

0 xsinkxdx = - k2 Vậy khai triển thành chuỗi Phuariê của hàm f (x) = x trên đoạn [0, 2π] là

) (x

f = x = π - 12 sinx - 22 sin2x - 32 sin3x - …- n2 sinkx - … = π - 2∑∞

Đ4 Khai triển th nh chuỗi Phuariê đối với hệ l à ợng giác hàm số tuần

hoàn, chu kì 2l (nói chung 2l ≠ 2 π )

4.1 Định nghĩa Hàm số f(x) xác định trên miền D đợc gọi là hàm số tuần hoàn, chukì 2l nếu nó thoả mãn đẳng thức

f(x) = f (x + 2l), với mọi x ∈ D

4.2 Khai triển thành chuỗi Phuariê của hàm tuần hoàn, chu kì 2l

Theo giả thiết, hàm số f(x) tuần hoàn chu kì 2l Khi đó, ta dùng công thức đổi biến số

x = πl t Lúc này hàm f (πl t) là hàm tuần hoàn của t, chu kì 2π Khai triển hàm số f (

πl t) thành chuỗi Phuariê trên đoạn [- π, π] Giả sử

f dx, ak = 1l ∫

−

π π ) (x

f coskπl

xdx, bk= 1l ∫

−

π π ) (x

f sinkπl

xdx (4.2)Khi đó công thức (4.1) có dạng

- l 0 l x

Giải Hàm số f(x) = | x | là hàm đơn điệu và bị chặn trên từng đoạn [- 1, 1] Do hàm

số f(x) = | x | là hàm chẵn, nên áp dụng tính chất của hàm chẵn, ta có

bk= 0, a0 = 1l ∫

−

1 1

) (x

f dx = 2l 1∫

0

) (x

) (x

f cosk lπxdx = 2l 1∫

0

xsink lπ xdx = 2l [k lxπsink lπ 1

)

(

4

2

n ch k nếu

lẻ k nếu k

+

+ π

π

x

l

Đ5 Khai triển thành chuỗi Phuariê của hàm số chẵn và hàm số lẻ

5.1 Định nghĩa Giả sử f(x)cho trên toàn trục 0x hay trên đoạn (- l, l) ( l > 0 ) đốixứng đi qua gốc toạ độ Khi đó, hàm số f(x) là hàm số chẵn nếu f(x) = f (- x), vớimọi x; hàm số f(x) là hàm số lẻ nếu f(x) = - f (- x), với mọi x

5.2 Mệnh đề Cho hai hàm số xác định trên toàn trục 0x hay trên một đoạn nhỏ nào đó

đối xứng qua trục toạ độ Khi đó

Tích của hai hàm chẵn hay hai hàm lẻ là một hàm chẵn.

5.3 Định lí Cho hàm số f(x) xác định và khả tích trên đoạn [- 1, 1], ∀l ∈ R Khi đó:

Nếu f(x) là hàm số chẵn thì ∫

−

1 1

) (x

f dx = 21∫

0

) (x

Nếu f(x) là hàm số lẻ thì ∫

−

1 1

) (x

f dx = 0

Từ định nghĩa trên và định lí cho ta thấy rằng mọi hàm số chẵn đều đối xứng qua trục0y mọi hàm số lẻ đều đối xứng qua gốc toạ độ

5.4 Phân tích chuỗi thành Phuariê của hàm số chẵn hoặc hàm số lẻ

Giả sử f(x) là hàm số chẵn trên đoạn [- π, π] (hoặc hàm hoàn toàn chẵn) Khi đó,theo mệnh đề 5.2 thì f(x)coskx là hàm chẵn và f(x)sinkx là hàm số lẻ. Theo công

thức(1.2) đối với các hệ số của chuỗi Phuariê của hàm số chẵn f(x), ta có

a0 = ∫

−

π π

f dx, ak = ∫

−

π π

) (x

) (x

f sinkxdx (k = 0, 1, 2, …) (5.2)

Do đó, khai triển thành chuỗi Phuariê của hàm số lẻ chỉ chứa hàm sin, tức là

) (x

f = ∑∞

= 1

k bksinkx

5.5 Ví dụ về khai triển thành chuỗi Phuariê của hàm số chẵn

Ví dụ 1 Khai triển thành chuỗi Phuariê của hàm số chẵn f(x) có chu kì 2π đợc chobởi công thức

) 1 cos(

).

2 (

ẵ )

2 1 (

4

2

k n n lẻ n nếu

k n n ch n nếu k

π

Nếu n = 1 thì công thức (*) không dùng đợc, bởi vì 1 - n = 0 còn cos( −−11)

π π

π π

2 1

) (

dx x dx

x f

an = ∫

−

=

π π

nx x

dx

| π π

− - ∫

−

π π

cos 2

π

− 

 + ∫

−

π π

nxdx

n cos

1

4

2 2

n ch n nếu n

lẻ n nếu n

2 cos 1

cos 4

nx x

5.6 Ví dụ về khai triển thành chuỗi Phuariê của hàm số lẻ

Ví dụ 1 Khai triển thành chuỗi Phuariê hàm số đợc xác định nh sau

2 4

π π

2 sin

) (

1

nxdx x

nxdx x

2

nxdx n

3

3 sin 2

2 sin

)b

n =

= - 2∑∞ ( )

=

− 1

sin 1

Đ6 Khai triển thành chuỗi Phuariê của hàm số không tuần hoàn

6.1 Định nghĩa Hàm số f(x) đợc gọi là hàm không tuần hoàn nếu không tồn tại một

đó hàm số f(x) đơn điệu trên từng đoạn [- l, l] Do đó, theo định lí 6.2 thì hàm số f(x)

có thể khai triển đợc thành chuỗi Phuariê

Nếu ta bổ xung vào định nghĩa hàm số đã cho đoạn [- l, 0] sao cho f(x) = f( −x) thì

hàm sốf(x) mới trên đoạn [- l, l] là hàm số chẵn Do đó, có thể kéo dài hàm chẵn chohàm số f(x) nên khi khai triển thành chuỗi Phuariê hàm số mới là hàm không có hàmsin Nh vậy, có thể khai triển hàm số f(x) đã cho trên đoạn [ 0, l] theo hàm số côsin Nếu kéo dài hàm số f(x) trên đoạn [- l, l] sao cho f(x) = - f( −x) thì ta đợc hàm số

mới là hàm lẻ nên khi khai triển thành chuỗi Phuariê hàm số mới là hàm chỉ có hàm sin

Nh vậy, có thể khai triển thành chuỗi Phuariê hàm số f(x) trên đoạn [ 0, l] theo hàm sốsin

Ví dụ 1 Khai triển hàm số f(x) = x trên đoạn [ 0, π]

a) thành chuỗi Phuariê theo hàm số sin,

b) thành chuỗi Phuariê theo hàm số côsin

x nếu x

Hàm số F(x) đã cho trên đoạn [- π, π] là hàm số đơn điệu từng đoạn và bị chặn nên cóthể khai triển đợc thành chuỗi Phuariê

) (x

F sinkxdx = ∫

−

π π π

2 sin 1

+

− + + +

k

kx x

2 sin 1

+

− + + +

k

kx x

x nếu x

Nh vậy, trên đoạn [- π, π] hàm số F(x) đơn điệu từng đoạn và bị chặn nên có thể khaitriển đợc thành chuỗi Phuariê Vì hàm F(x) là hàm số chẵn nên áp dụng công thức (5.1),

ta có

) (x

) (x

+ +

+ +

1 2

1 2 cos

3

3 cos 1

cos 4

x p x

4

2 π

π

.Vì trên đoạn [ 0, π] thì hàm số f(x) = F(x)

Vậy khai triển thành chuỗi Phuariê của hàm số f(x) trên đoạn [ 0, π] là

f(x) = x = .

) 1 2 (

) 1 2 cos(

π π

Ví dụ 2 Khai triển hàm số f(x) = xcosx trên đoạn [ 0, π]

a) thành chuỗi Phuariê côsin,

b) thành chuỗi Phuariê sin

Giải.

a) Để khai triển hàm số đã cho trên đoạn [ 0, π] thành chuỗi Phuariê côsin, ta dùng

ph-ơng pháp kéo dài hàm chẵn trên đoạn [- π, π], đợc hàm số mới là

x nếu x x

Nh vậy trên đoạn [- π, π] hàm số F(x) đơn điệu từng đoạn và bị chặn nên có thể khaitriển đợc thành chuỗi Phuariê Vì hàm F(x) là hàm chẵn nên áp dụng công thức (5.1), ta

có

[xsinxπ

0 - π∫0

1

) 1 sin(

−

− +

+

+

n

x n n

1

) 1 sin(

1

dx n

x n n

x n

= π 2 2 π0

) 1 (

) 1 cos(

) 1 (

) 1 cos(

+

+

n

x n n

x n

NÕu n = 2k th× cos(n ± 1)π = - 1 nªn an = a2k = - 22 2

) 1 4 (

) 1 4 ( 4

2

2 sin x

cos 15

17 2 cos 3

5

2 2

2 2

−

+ +

⋅

⋅ +

k

k x

x

1 4 4

cos 15

17 2 cos 3

5

2 2

2 2

−

+ +

⋅

⋅ +

k

k x

x nếu x x

Nh vậy trên đoạn [- π, π] hàm số F(x) đơn điệu từng đoạn và bị chặn nên có thể khaitriển đợc thành chuỗi Phuariê Vì hàm F(x) là hàm chẵn nên áp dụng công thức (5.2), ta

Do đó khai triển thành chuỗi Phuariê sin của hàm số F(x) trên đoạn [- π, π] là

F(x) = xcosx =

= - 1 sinx + 4 sin2x - 6 sin3x + … + (-1)n 2n sinnx+ ⋅ ⋅

Đ7 Một số ứng dụng của chuỗi Phuariê

7.1 ứng dụng của chuỗi Phuariê trong việc tính tổng của chuỗi số

Chuỗi Phuariê có rất nhiều ứng dụng trong khoa học kĩ thuật cũng nh trong toán học

Đặc biệt nó đợc ứng dụng để tìm tổng của chuỗi số

Ví dụ 1 Từ việc khai triển thành chuỗi Phuariê của hàm số tuần hoàn f(x) = |sinx| xác

định trên đoạn [- π, π] Hãy tính tổng của chuỗi số sau

S = + + +⋅ ⋅+(2 + 1)(2 − 1)+⋅ ⋅

1 7

5

1 5 3

1 3 1

1

k k

Giải áp dụng việc khai triển thành chuỗi Phuariê của hàm số tuần hoàn f(x)= |sinx|xác định trên đoạn [- π, π] thành chuỗi Phuariê ở ví dụ 5.5 về việc khai triển thành chuỗiPhuariê của hàm chẵn, ta có

) (x

f = |sinx| = (2 1)(2 1) .

2 cos 5

3

4 cos 3

1

2 cos 4 2

+

⋅

⋅ + +

−

k k

kx x

x

π π

Thay x = 0 vào f(x), ta có

|sin0| = 0 = π2 −π4 [ + + +⋅ ⋅+(2 + 1)(2 − 1)+⋅ ⋅

1 7

5

1 5 3

1 3 1

1

k

Do đó