Chiều trong hình học fractal

Một số ứng dụng của chiều Hausdorff trong toán học...39 Kết luận...43 Tài liệu tham khảo ...44 Lời mở đầu Chiều của một không gian hay một tập đợc định nghĩa theo nhiều cách khác nhau,

Trang Mở đầu 1

Chơng I Chiều trong hình học Fractal 3

1.1 Các kiến thức cơ sở 3

1.2 Độ đo và chiều Hausdorff 4

1.3 Chiều hộp 14

1.4 Chiều hộp cải biên 20

1.5 Độ đo gói và chiều gói .21

1.6 Mối liên hệ giữa chiều Hausdorff, chiều hộp, chiều hộp cải biên và chiều gói 22

Chơng II Một số ví dụ về việc tính chiều và ứng dụng của chiều 25

2.1 Một số ví dụ về việc tính chiều Hausdorff và chiều hộp 25

2.2 Một số ứng dụng của chiều Hausdorff trong toán học 39

Kết luận 43

Tài liệu tham khảo 44

Lời mở đầu

Chiều của một không gian hay một tập đợc định nghĩa theo nhiều cách khác nhau, mỗi cách có một ý nghĩa và ứng dụng riêng Tuy nhiên, các khái niệm về chiều đều cho kết quả chiều là số nguyên, không âm Thế nhng vào những năm 1890, 1891 trong khi tìm kiếm các đặc trng bất biến của các đối t-ợng hình học qua các phép biến đổi đồng phôi và lý thuyết tôpô, Peano và Hilbert đã tìm ra đờng cong có tính chất đặc biệt là đờng không tự cắt, lấp đầy mọi miền hình học của mặt phẳng Hình học Euclide xem nó là một chiều,

nh-ng nh vậy cảm thấy khônh-ng thoả đánh-ng Ngoài ra, đầu thế kỷ XX, nh-ngời ta dẫn ra

nhiều bài toán mà khi hiểu chiều theo nghĩa thông thờng sẽ gây cảm giác gò

bó Chính vì thế cần phải mở rộng khái niệm về chiều

Mặt khác, Hình học Euclide đã tồn tại rất lâu và có nhiều ứng dụngtrong toán học và đời sống Tuy nhiên, đối tợng nghiên cứu của nó là nhữnghình dạng lý tởng, nhng những hiện tợng, sự vật trong thế giới thực khôngthoả mãn tính trơn tru, lý tởng mà là những đối tợng gồ ghề, kỳ dị Vì thế, ng-

ời ta kết luận Hình học Euclide là “khô cứng” và “lạnh lẽo” Để giải quyếthiện tợng này, với sự hỗ trợ của máy tính, khoa học CHAOS và lý thuyết ngẫunhiên, vào những năm 70 của thế kỷ XX, nhà Toán học B Mandelbrot đã khởixớng ra một hớng toán học mới mang tên “Hình học Fractal” Những đối tợng

đợc xem là Fractal có rất nhiều trong toán học cũng nh trong thực tiễn và việcnghiên cứu chúng đạt rất nhiều ứng dụng trong hầu hết các lĩnh vực Điều đặcbiệt là Hình học Fractal không dùng các công cụ nghiên cứu hình học thôngthờng để nghiên cứu mà công cụ nghiên cứu nó là chiều Chính nhờ sự nghiêncứu về chiều của các tập Fractal đã làm sáng tỏ các đặc điểm, các tính chấtcủa chúng mà nhờ đó chúng ta phát hiện ra những ứng dụng phong phú củaHình học Fractal đối với hầu hết các lĩnh vực cả trong lý thuyết lẫn thực tiễn.Vì thế, việc tìm hiểu các khái niệm về chiều trong Hình học Fractal là vấn đề

lý thú, mới mẻ và có ý nghĩa Do đó, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu chokhoá luận tốt nghiệp của mình là:

“Chiều trong hình học Fractal”.

Mục đích của khoá luận này là nghiên cứu các khái niệm cơ bản vềchiều trong Hình học Fractal nh chiều Hausdorff, chiều hộp, chiều gói ; làm

rõ các tính chất và các công thức dùng để tính chiều Trên cơ sở đó, chúng tôi

đi tìm các ví dụ minh họa cho các khái niệm về chiều và tìm một số ứng dụngcủa chiều trong toán học

Khoá luận đợc thực hiện và hoàn thành tại trờng Đại học Vinh dới sự ớng dẫn của cô giáo TS Vũ Thị Hồng Thanh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơnsâu sắc đến cô giáo - ngời đã đặt vấn đề và dẫn dắt, giúp đỡ tận tình, chu đáo

h-để tác giả hoàn thành khoá luận này

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến các thầy giáo, côgiáo trong khoa Toán cùng tất cả ngời thân và bạn bè đã giúp đỡ, động viêntác giả trong suốt thời gian qua

Do điều kiện thời gian và năng lực còn hạn chế nên khoá luận khôngtránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong đợc quý thầy, cô giáo và bạn bè

đóng góp ý kiến

Vinh, ngày 10 tháng 5 năm 2010

T¸c gi¶

Mai ThÞ Hµ

CHƯƠNG 1 Chiều trong hình học fractal

Trong chơng này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở về độ đo vàchiều Hausdorff; khái niệm chiều hộp, chiều gói; các tính chất cơ bản của độ

đo Hausdorff và chiều

1.1 Các kiến thức cơ sở

1.1.1 Định nghĩa Cho X  và C là lớp các tập con của X. Hàm

* :

 C   đợc gọi là hàm tập.

Hàm tập *: C   đợc gọi là độ đo ngoài trên C (hay trên X ) nếu thoả

mãn các điều kiện sau:

Điều kiện (*) đợc gọi là  - dới cộng tính.

1.1.2 Định nghĩa Cho X  và A là một đại số các tập con của X. Hàm

tập  : A  

 đợc gọi là độ đo trên A (hay trên X ) nếu thoả mãn các điều

kiện sau:

(i)  (A)  0, A  A ;  () = 0;

(ii) Nếu  A n n1A và A iA j    sao cho , i j

Điều kiện (**) đợc gọi là  - cộng tính.

1.1.3 Định nghĩa Cho D   n , ánh xạ S : D  D đợc gọi là phép co trên D nếu tồn tại c  [0, 1) sao cho S x( )  S y( ) c x y , x y D, 

Nếu dấu đẳng thức xảy ra thì ánh xạ S : D  D đợc gọi là phép đồng

( )

m i i



 Nếu các S i là các ánh xạ đồng dạng thì tập bất biến F đợc gọi là tập tự

đồng dạng.

1.1.6 Định nghĩa Ta nói rằng hệ hàm lặp S1 , ,S m thỏa mãn điều kiện tập

mở nếu tồn tại tập V mở, không rỗng, giới nội sao cho

1

( ) ( ) ( ) ,

m i i

Nếu 0  U i   với mọi i thì khi đó U đợc gọi là một  - phủ của F i

1.2 Độ đo và chiều Hausdorff

Cho tập F  n

 và s  0, với mỗi  > 0 ta định nghĩa

s( ) inf 1 s:{ } 

i i i

1.2.1 Định nghĩa Với F  n và s  0,  > 0 ta định nghĩa

Chứng minh Ta sẽ chỉ ra rằng H s:P n   thỏa mãn điều kiện của địnhnghĩa độ đo ngoài trong đó P n là lớp các tập con của n Thật vậy,

(i) H s( ) 0F  , F  n

 ; H s( ) 0   (dễ dàng kiểm tra đợc)

(ii) Giả sử  E là  - phủ của F và  > 0 Với mỗi i i, theo tính chấtcủa infimum thì luôn tồn tại U i j,  là  - phủ E i sao cho

, 1

( )

2

s s

H - đo đợc tạo thành  - đại số.

1.2.3 Định nghĩa Độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài s

H trên lớp  - đại sốnày đợc gọi là độ đo Hausdorff s - chiều trên n và ký hiệu là Hs.

1.2.4 Mệnh đề Trong định nghĩa độ đo Hausdorff s chiều ta có thể thay 

-phủ bất kỳ bởi  - -phủ gồm các tập mở ( - -phủ gồm các tập đóng) Nếu F là tập compact thì thay phủ bất kỳ bằng phủ hữu hạn.

Chứng minh Với  > 0, đặt s( ) infF U i s:{ }U i 

H H H với mọi F là Hs- đo đợc.

Thật vậy, do mỗi  phủ mở của F cũng là  phủ của F nên lớp các 

Ngợc lại, giả sử  > 0 là số bé tùy ý cho trớc, tồn tại U là  - phủ F i

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

Thay phủ bất kỳ bởi phủ các tập đóng ta chứng minh tơng tự trên Trong

trờng hợp nếu F là tập compact thì mọi phủ mở của F đều có thể trích đợc phủ con hữu hạn nên dễ dàng chứng minh đợc khi F compact thì có thể thay phủ

bất kỳ bởi phủ hữu hạn

1.2.5 Các tính chất cơ bản của độ đo Hausdorff

1.2.5.1 Mệnh đề Nếu F  n và  > 0 thì H s(F)sH s( )F với mỗi

áp dụng kết quả này cho tập  và số F 1

(ii) Vì f x( ) f y( )  x y nên theo (i) ta có H s f F( )c sH s( )F (*)

Mặt khác, vì f đẳng cự nên tồn tại f1và (*) có thể viết F thay bởi f(F)

Trong hình học Euclide, ta thờng gặp các đối tợng có chiều nguyên: bằng

0 (điểm); bằng 1 (đờng, đoạn thẳng); bằng 2 (mặt phẳng); bằng 3 (hình cầu,khối đa diện), Một tính chất phổ biến của Hình học Fractal bên cạnh tính tự

đồng dạng đó là có số chiều không phải là số nguyên, chẳng hạn là log2/log3,

đến nỗi nói đến Fractal nhiều ngời chỉ nghĩ là tập hợp có số chiều khôngnguyên

Lấy infimum hai vế ta đợc Ht( )F t s Hs( )F

Nhận xét Từ Bổ đề 1.2.6.1, cho   0+ ta thấy rằng nếu H s( )F   thì( ) 0,

t F   t s

H Vì vậy nếu tồn tại s  [0, ) sao cho 0H s( )F   thì

tồn tại s F thỏa mãn 0s F inft0:Ht( ) 0F     s

Thật vậy, nếu s F inft0:Ht( ) 0F   s thì tồn tại s 1 : s F > s 1 > s mà

(i) H s( ) 0F  với mọi s > s F

(ii) H s( )F  với mọi s < s F (s > 0).

Chứng minh (i) Đặt s F infs0:H s( )F  . Nếu s > s F thì tồn tại s’ sao cho s F < s’ < s để H s'(F) <  Theo Bổ đề 1.2.6.1 ta có

(ii) Ta chứng minh H s( )F  với s < s F

Thật vậy, nếu H s( )F   thì với mọi s' thoả mãn s < s' < s F , ta có

'( ) 0

s F 

H (mâu thuẫn với cách đặt s F) Vậy H s( )F  với 0 s s F

1.2.7 Định nghĩa Giá trị đặc biệt s F mà tại đó hàm (giá trị) độ đo H s( )F

“nhảy” từ + về 0 đợc gọi là chiều Hausdorff của F và ký hiệu là dimHF.

Nhận xét H s( )F  nếu s < dimHF; H s( ) 0F  nếu s > dimHF và

s = dimHF thì H s( )F có thể bằng 0 hoặc  hoặc 0H s( )F  

Nh vậy dimHF infs0:H s( ) 0F   sups0:H s( )F 

Với mỗi F và s  0 cho trớc mà H s( )F   thì đồ thị của hàm H s( )F códạng sau:

1.2.7.1 Định nghĩa Một tập Borel F  n thỏa mãn 0H s( )F   với

s = dimHF đợc gọi là s - tập.

1.2.8 Các tính chất cơ bản của chiều Hausdorff

1.2.8.1 Mệnh đề (i) Nếu E  F  n thì dimHE ≤ dimHF (tính đơn điệu) (ii) Nếu F i  n

(v) Nếu F  ; F là tập mở trong n thì dimHF = n.

(vi) Nếu F  ; F là đa tạp con trơn trong n thì dimHF = n.

Chứng minh (i) Vì E  F  n nên theo tính chất đơn điệu của độ đo H s ta

có H s (E) ≤ H s (F) Khi đó với s > 0 mà H s (F) = 0 thì H s (E) = 0 nên

Vì vậy dimHF = inf { s> 0 : H s( ) = 0} inf {s> 0 : F  H s( ) = 0} = dim EE H

(ii) Vì

1

i i i

(iv) Gọi C là hình hộp có cạnh đơn vị Ta chia mỗi cạnh đơn vị ra k

phần bằng nhau thì mỗi phần có độ dài là 1

k Khi đó ta có k

n hình hộp, kí hiệu

i ik n1 Mỗi hình hộp này có đờng kính là



 C (1)Lại có n

 = n nên theo tính chất đơn điệu của

dimH ta có dimHF  dimH n

 hay dimHF  n.(1)

Lại do F, F mở nên tồn tại hình cầu mở B  F và dimHB  dimHF.

(vi) Do F là đa tạp trơn trong n nên tồn tại tập mở V  n và vi phôi

 : F  V với  là song Lipschitz Theo tính chất bất biến của dimH qua phépsong Lipschitz ta có dimHF = dimHV = n (theo v).

1.2.8.2 Mệnh đề Cho F n và f: F  n là ánh xạ Hửlder, nghĩa là

1.2.9 Các định nghĩa tơng đơng của chiều Hausdorff

1.2.9.1 Mệnh đề Chiều trong định nghĩa Hausdorff không thay đổi nếu

trong định nghĩa của nó ta thay độ đo H s bởi s( )F lim0 s( )F

1.2.9.2 Mệnh đề Chiều Hausdorff không thay đổi nếu trong định nghĩa của

nó ta thay độ đo Hs bởi    

Chiều hộp là một khái niệm đợc dùng khá rộng rãi do tính toán khá dễ

Nó đợc đề xớng vào những năm 30 của thế kỷ XX với rất nhiều tên gọi khácnhau nh: entropy Kolmogorov; chiều entropy; chiều capacity; chiều metric;chiều thông tin

Nhận xét Với mỗi F   n, gọi N F( ) là số tối thiểu các tập đờng kính không

vợt quá  > 0 cho trớc và phủ F Khi đó ta có

Lấy logarit 2 vế ta đợc logN F slog logA Từ đó ta rút ra

1.3.2 Các tính chất cơ bản của chiều hộp

1.3.2.1 Mệnh đề Cho F n,F  và F bị chặn Khi đó dimB F,

dimB F, dimB F đợc xác định thông qua N F  là một trong những giá trị sau :

(i) Số tối thiểu các tập có đờng kính không vợt quá - phủ F.

(ii) Số tối thiểu các hình lập phơng cạnh  phủ F tức là hình lập phơng

có dạng m1,m1 1 m n,m n 1

     với m m1, 2, ,m   n

(iii) Số tối thiểu các hình cầu đóng bán kính  , phủ F.

(iv) Số các  - lới lập phơng giao với F.

(v) Số lớn nhất các hình cầu rời nhau, bán kính  , có tâm thuộc F.

Chứng minh (i) Đợc suy trực tiếp từ Định nghĩa 1.3.1.

(ii) Gọi N F là số tối thiểu các hình lập phơng cạnh  - phủ F. Khi đó

n

n n

Từ (1),(2),(3) và (4) ta có điều phải chứng minh

(iii) Gọi N F là số tối thiểu các hình cầu đóng, bán kính  , phủ F thì

Chứng minh tơng tự trên ta có chiều ngợc lại

(iv) Gọi N F là số các  - lới lập phơng giao với F thì N F tập ờng kính  n sẽ phủ F. Do đó N n F N F' 

Với   0 thì  n < 1, khi đó  log n  Ta có 0

n n

logN F nlog3 log N F Do  log 0 nên ta suy ra

log '  log3 log  

Từ (1), (2), (3) và (4) ta có điều phải chứng minh

(v) Gọi N F là số lớn nhất các hình cầu rời nhau, bán kính  , tâm

trong F Kí hiệu các hình cầu này là B B1, , ,2 B N F'( )

 Nếu x F thì d x B , i , có nghĩa là i x B i nào đó vì nếu không thì

 ,  i , 1, , ' 

B x  B   i N F Khi đó, sẽ có N F  hình cầu tâm trong1

F Nh vậy N F hình cầu tâm thuộc B i, bán kính 2 (đờng kính 4 ) sẽ phủ

F Do đó N4 F N F' , suy ra log 4   log ' 

log 4 log log

Mặt khác, giả sử rằng B B1, , ,2 B N F'( )

 là các hính cầu rời nhau bán kính

 , tâm thuộc F Lấy U1, ,U k là các tập đờng kính không vợt quá  - phủ F.

Vì U j phải phủ tâm của hình cầu B i nên B i chứa ít nhất một tập U j Vì  B i

rời nhau nên số phần tử của U i ít nhất bằng số phần tử của B i Do đó

Từ (*) và (**) cho   0 ta đợc điều phải chứng minh

Nhận xét Trong thực tế, để thuận lợi cho tính toán thì trong định nghĩa chiều

hộp, khi lấy giới hạn ta chỉ cần xét dãy  k 0 thỏa mãn k1c.k với

loglog

log

k k

k k

log   log 2  log log  

n n

Từ (1), (2), (3) và (4) ta có điều phải chứng minh.

1.3.2.3 Mệnh đề (i) dim , dimB B đơn điệu.

(ii) dim dimB, B là bất biến Lipschitz.

(iii) Nếu F là đa tạp con trơn trong n thì dim B F n

Chứng minh (i) Nếu EF thì dimB EdimB F và dimB Edim B F Thật vậy,

vì EF nên mọi  - phủ F cũng là  - phủ E Do đó N E N F  Lấylogarit hai vế ta đợc logN E logN F 

Suy ra log   log  

Lấy giới hạn hai vế khi cho   0 ta đợc điều phải chứng minh

(ii) Nếu f F   là hàm Lipschitz thì: n

dimB f F dimB F và dimB f F dimB F Thật vậy, gọi N F  là số tối thiểu các tập có đờng kính không vợt quá

 mà phủ đợc F Kí hiệu các tập này là B i với i1, ,N F . Khi đó

 i i

f B c B c Ta có N F  ảnh của các tập này qua ánh xạ Lipschitz f

có đờng kính không vợt quá c phủ đợc , f F Do vậy  

   

c

N  F N F Làm tơng tự trên ta có điều phải chứng minh

  2 n n .

n

N F c  Vol F

(iii) Do F là đa tạp con trơn trong n nên tồn tại tập mở V   n và viphôi : F V với  là song Lipschitz Theo tính chất bất biến của dimB quaphép song Lipschitz ta có dimB F dimB V n

1.3.2.4 Mệnh đề Kí hiệu F là bao đóng của F Khi đó

dimB F dimB F và dimB F dim B F

Chứng minh Lấy B B1, , ,2 B là tập hữu hạn các hình cầu đóng bán kính  k

phủ F Nếu tập đóng

1

k i

F Theo định nghĩa chiều hộp trên và chiều hộp dới ta có

dimB F dimB F và dimB F dimB F.

1.3.2.5 Hệ quả Nếu F là tập con trù mật của một miền mở trong n thì

dimB F dimB F n

1.4 Chiều hộp cải biên

Trong số các tính chất mong muốn của chiều có tính chất ổn định đếm

đợc Tuy nhiên, chiều hộp lại không có tính chất này Hơn nữa, nếu xét

    thì F 0,1 , F 0,1 Dễ dàng kiểm tra đợc

dimB F dimB F  Nh vậy, tập F đếm đợc và 1 F không đếm đợc có số chiều

nh nhau Đây là tính chất không tốt của chiều hộp Do đó, ngời ta đi đến việccải biên chiều hộp nh sau



Khi đó, dimMB F, dimMB F xác định nh trên đợc gọi là chiều hộp cải biên trên

và chiều hộp cải biên dới của F.

Nhận xét (i) Từ Định nghĩa 1.4.1 ta có dimMB F supdim B i

i F

 (1)Mặt khác, F iF nên dimB F idimB F,  Suy ra i supdimB i

1.4.2 Mệnh đề Cho F   là tập compact Giả sử rằng, với mọi tập V mở

và VF  thoả mãn dimBF V dimB F, khi đó

dimB F dimMB F và dimB F dimMB F

Chứng minh Hiển nhiên có thể viết

0

i

F V F Theo Nhậnxét (i) ta có dimBF V  dim B F i0. Từ giả thiết của Mệnh đề ta có

0 dimB F dim B F i

Kết hợp (1), (2) với nhận xét dimMB F dim B F ta có dimB F dimMB F

Tơng tự ta chứng minh đợc dimB F dimMB F

1.5 Độ đo gói và chiều gói

Định nghĩa chiều Hausdorff sử dụng các hình cầu bán kính nhỏ khácnhau tuỳ ý còn định nghĩa chiều hộp sử dụng các hình cầu nhỏ có bán kínhbằng nhau Mặt khác, chiều hộp có thể xem là một chiều phụ thuộc vào gói

dày đặc các hình cầu rời nhau, bán kính nh nhau Theo một lối suy nghĩ tựnhiên, ngời ta cố gắng tìm kiếm định nghĩa chiều dựa vào thuật ngữ "gói dày

đặc các hình cầu rời nhau, bán kính nhỏ khác nhau"

P là các hình cầu rời nhau tâm trong F

Dễ dàng nhận thấy rằng Ps( )F giảm khi  giảm, dẫn đến tồn tại giới hạn

của Ps( )F khi   0 Đặt 0s( ) limF 0 s( ).F

 



P P Lại do P0s( )F không phải làmột độ đo nên ngời ta điều chỉnh cách xây dựng độ đo gói bằng cách xét

0

1

:( ) inf ( )i

i i i

Ngời ta cũng định nghĩa chiều gói theo cách thức quen thuộc nh sau

1.5.2.1 Định nghĩa Giá trị đặc biệt s F mà tại đó hàm (giá trị) độ đo Ps( )F

“nhảy” từ + về 0 đợc gọi là chiều gói của F và ký hiệu là dimPF.

Nhận xét Ps( )F  nếu s < dimPF; Ps( ) 0F  nếu s > dimPF và

s = dimPF thì Ps( )F có thể bằng 0 hoặc  hoặc 0Ps( )F  

Nh vậy dimPF infs0:Ps( ) 0F   sups0:Ps( )F 

1.6.1 Mối liên hệ giữa chiều Hausdorff và chiều hộp

(i) Nếu F đợc phủ bởi N F  tập đờng kính  thì Hs F N F s.Giả sử s  dim FH thì H s F  Ta có

    .

1Hs F N F s