Các tính chất SNC của một tập hợp

MỞ ĐẦUNhư chúng ta đã biết một trong những điểm khác biệt cơ bản giữa giải tích biến phân hữu hạn chiều và giải tích biến phân vô hạn chiều là sự cần thiết phải đặt ra các yêu cầu về tín

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ SỞ 3

CHƯƠNG II CÁC TÍNH CHẤT SNC CỦA MỘT TẬP HỢP 7

2.1 Tính compact pháp tuyến theo dãy của các tập 7

2.2 Đối chiều hữu hạn của tập SNC 8

2.3 Tính chất SNC qua ảnh ngược của ánh xạ khả vi ngặt 17

2.4 Tính chất SNC qua ảnh ngược của toán tử tuyến tính liên tục 20

2.5 Tính chất SNC của tập compact epi-Lipschitzian 21

KẾT LUẬN 26

TÀI LIỆU THAM KHẢO 27

MỞ ĐẦU

Như chúng ta đã biết một trong những điểm khác biệt cơ bản giữa giải tích biến phân hữu hạn chiều và giải tích biến phân vô hạn chiều là sự cần thiết phải đặt ra các yêu cầu về tính compact pháp tuyến theo dãy (SNC) khi ta xét các tập hợp trong không gian vô hạn chiều Nếu những yêu cầu đó được thõa mãn thì khi lấy giới hạn theo dãy tôpô yếu* ta mới có những kết quả không tầm thường Vấn

đề này đã được nhiều nhà Toán học quan tâm và nghiên cứu như Nguyễn Đông Yên [3], B S Mordukhovic [5]…

Vì những lí do trên nên chúng tôi đã chọn đề tài “Các tính chất SNC của một tập hợp” nhằm nghiên cứu các tính chất SNC của các tập hợp, từ đó đưa ra

những kết quả không tầm thường về tính chất địa phương của các tập con trong không gian Banach vô hạn chiều

Luận văn được trình bày gồm 2 chương

Chương I Các khái niệm và tính chất cơ sở.

Chương II Các tính chất SNC của một tập hợp.

Phần lớn các kết quả trình bày trong luận văn đã thu được bởi tác giả B S Mordukhovic trong tài liệu [5] và được trích dẫn trong khoá luận Các Bổ đề 2.1.1, 2.2.2, 2.2.3, Chú ý 2.3.1, Nhận xét 2.5.1,… đã được Mordukhovic [5] sử dụng nhưng tác giả chưa tìm thấy các kết quả này được chứng minh trong các tài liệu mà tác giả đã tham khảo Khoá luận này tập trung chứng minh để làm sáng tỏ các kết quả trên Tuy nhiên, do thời gian và trình độ có hạn nên tác giả không thể tránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận được sự góp ý, chỉ bảo của độc giả

Nhân dịp này xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ThS Nguyễn Thị Toàn, người đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu và viết bài

khoá luận này Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong

tổ Giải tích, trong khoa Toán đã tận tình giảng dạy, động viên, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Vinh

Vinh, tháng 5 năm 2010

Tác giả

CHƯƠNG I

CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ SỞ

Định nghĩa 1.1 Giả sử E là một không gian định chuẩn trên trường K Không gian ℒ(E,K) = E* là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào

K được gọi là không gian liên hợp hay không gian đối ngẫu (tôpô) của E.

Nhận xét 1.1 Với mọi không gian định chuẩn E, không gian liên hợp E * là Banach.

Định nghĩa 1.2 Tôpô yếu nhất trên E để các ánh xạ f ∈ E* liên tục được

gọi là tôpô yếu trên E.

Định nghĩa 1.3 Dãy {xn} được gọi là hội tụ yếu đến x ∈ E, kí hiệu xn ω

→x

nếu mọi lân cận yếu U của x tồn tại n0 sao cho xn ∈U với mọi n ≥ n0

Nói cách khác, xn →ω x nếu mọi f 1 , f 2 ¸…,f n ∈E*, ε > 0, tồn tại số n0 sao cho

x n∈ U(f 1 , f 2 ¸…, f n , x, ε) với mọi n ≥ n0 Ở đây

Sự hội tụ yếu có đặc trưng sau

Dãy {xn} trong không gian định chuẩn E hội tụ yếu đến x∈ E nếu và chỉ

nếu f(xn ) → f(x) với mọi f ∈ E*

Định nghĩa 1.4 ( Pháp tuyến tổng quát) Giả sử Ω là tập con khác rỗng của

X

i) Cho ε ≥ 0, ta định nghĩa tập các véc tơ ε- pháp tuyến Fréchet của Ω tại

x∈Ω bởi

Khi ε= 0, mỗi phần tử của ˆ ( ; )Nε x Ω được gọi là pháp tuyến Fréchet của Ω tại x

và tập hợp Nˆ ( ; ) :ε x Ω =N xˆ( , )Ω được gọi là nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại x.

ii) Cho x ∈Ω Lúc đó, mỗi phần tử x*∈ X* là pháp tuyến cơ sở / pháp

tuyến Mordukhovic của Ω tại x nếu tồn tại các dãy εk ↓0, x k →Ωx và x k x

Khi đó

Nˆ ( ; )ε x Ω ={x*∈X* x*,x x− ≤ε x x x− , ∈Ω} ,

với mọi ε ≥ 0 và x∈ Ω

Tức là, ˆ ( ; ) N x Ω đồng nhất với nón pháp tuyến của giải tích lồi.

Định nghĩa 1.5 Cho f : X → Y là ánh xạ giữa các không gian Banach

và Θ là tập con của Y Ảnh ngược của Θ dưới f được định nghĩa bởi:

Bổ đề 1.3 Cho f : X → Y, Θ⊂Y và y = f x( )∈Θ Nếu f khả vi ngặt tại

x thì tồn tại các hằng số c 1 > 0, η >0 sao cho với bất kì y *∈Nˆ ( ( ); )ε f x Θ

Bổ đề 1.4 (Tính chất của toán tử tuyến tính liên hợp) Cho A * : Y * → X * là toán tử tuyến tính liên hợp với toán tử tuyến tính liên tục A : X → Y Giả sử A là toàn ánh, khi đó với bất kì y *∈ Y * ta có

quy quanh x khi và chỉ khi toán tử đạo hàm ∇f x( ) :Χ →Y là toàn ánh.

Định lí 1.6 (Định lí Josefson – Nissenzweig) X là không gian Banach vô

hạn chiều khi và chỉ khi tồn tại dãy { }x*n ⊂Χ*: x*n =1 và x*n→ω* 0.

Định nghĩa 1.7 Tập Ω ⊂ ¡ được gọi là tập affin nếu n

CHƯƠNG II

CÁC TÍNH CHẤT SNC CỦA MỘT TẬP HỢP

2.1 Tính compact pháp tuyến theo dãy của các tập hợp

Định nghĩa 2.1.1 Tập Ω ⊂ Χ được gọi là compact pháp tuyến theo dãy (SNC) tại x∈Ω nếu với dãy (εk, ,x x k k*)∈ ∞ × Ω×[0, ) X* thỏa mãn

Định nghĩa 2.1.2 Cho Ω ⊂ X Bao affin của Ω được định nghĩa như sau

Thật vậy, ∀x x0, 1∈aff Ω và V, V′là các không gian con của X mà

Phần trong tương đối của Ω ⊂ Χ là phần trong của Ω tương ứng với aff Ω

(tức là phần trong của Ω đối với tôpô trong aff Ω) Ký hiệu là riΩ

2.2 Đối chiều hữu hạn của tập SNC

Định lý 2.2.1 Tập Ω ⊂ Χ là SNC tại x∈Ω nếu codimaff (Ω ∩U) < ∞,

với mọi lân cận U của x Cụ thể, tập một điểm trong X là SNC nếu và chỉ nếu X là hữu hạn chiều Hơn nữa, khi Ω là tập lồi và riΩ ≠φ, tính chất SNC của Ω tại x∈

Ω tương đương với điều kiện codim aff Ω < ∞.

Để chứng minh định lý, trước hết ta chứng minh các bổ đề sau

Đầu tiên ta chứng minh Ф là một đẳng cấu

Thật vậy, dễ dàng kiểm tra được Φ là một ánh xạ tuyến tính Ta chứng minh Ф đơn ánh Giả sử ( )*

= x*,αx+β ′x

=α x x*, +β x x*, ′ (do ,α β ∈¡ ) =αϕ x L+ +βϕ ′x +L

Ta chứng minh ϕ là ánh liên tục ∀{x n+L} ⊂ Χ/L mà x n + → +L x L,

thì x x*, n → x x*, (vì x* liên tục)

Suy ra ϕ( x n+L) →ϕ(x L+ )

Như vậy ta đã chứng minh được ∃ ∈ Χϕ ( / L) * và Φ( )ϕ =x* Do đó Φ toàn ánh

Vậy Ф là một song ánh tuyến tính

Tiếp theo ta chứng minh Ф đẳng cự

sup

1

L x

Chứng minh Trước hết ta chứng minh nếu Y, Z là các không gian Banach

sao cho Χ = ⊕Y Z thì X* đẳng cấu với Y* × Z*

,sup

= x* Suy ra ϕ* liên tục và ϕ ≤* 1.

Ta chứng minh từ sự hội tụ yếu trong X kéo theo sự hội tụ yếu trong *

= ( ( y z*, *), ,( )y z ).

tuyến tính đóng của X (theo Bổ đề 2.1.1)) và

Sử dụng Định lý Josefson - Nissenzweig, ta tìm dãy * ( )*

Điều này mâu thuẫn với tính chất SNC tại 0 của Ω

Vậy codimΩ =dim( X L/ ) < ∞

Bây giờ ta chứng minh điều kiện đủ với tập lồi có phần trong tương đối khác rỗng Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử 0∈Ω, từ đó aff Ω là không

gian con đóng của X Từ codim aff Ω < ∞ nên tồn tại không gian con hữu hạn chiều Z ⊂ X sao cho

aff

X = Ω ⊕Z Nghĩa là: X =aff Ω +Z và aff Ω ∩ =Z { }0

Do Ω lồi nên

x x x− ≤ε x x− ∀ ∈Ω ∈x k ¥ Lấy x x= +0 ru với u∈Β, ta có

2.3 Tính chất SNC qua ảnh ngược của ánh xạ khả vi ngặt

Định lý 2.3.1 Cho : f X →Y khả vi ngặt tại x với đạo hàm ∇f x( ) là toàn ánh, và Θ ⊂Y sao cho y: f= ( )x ∈Θ Khi đó, f −1( )Θ là SNC tại x nếu và chỉ

Sử dụng Bổ đề 1.3 (với ε ε= k) ta tìm được các dãy ˆεk ↓0, ε%k ↓0 và

Từ tính chất SNC của tập Θ tại y và tính liên tục của f tại x , ta có y k* →0

quy của f quanh x (do f khả vi ngặt tại x và ∇f x( ) toàn ánh), ta có thể tìm được 0

µ > và x k ∈f−1( )y k sao cho

x − ≤x µ y − y (do y k → ⇒y d y y( )k, <γ với γ >0 bất kỳ), nghĩa là x k →x với y k = f x( )k

Chú ý 2.3.1 Nếu f(x) = Ax là toán tử tuyến tính liên tục giữa các không

gian Banach X và Y thì Định lý 2.3.1 đảm bảo sự tương đương giữa tính SNC của

Y

Θ ⊂ và nghịch ảnh A-1( )Θ tại điểm tương ứng nếu A toàn ánh.

Chứng minh Do A: X →Y tuyến tính liên tục nên A khả vì ngặt và

( )

Khi A là toàn ánh thì theo Định lý 2.3.1 ta có điều phải chứng minh.

2.4.Tính chất SNC qua ảnh ngược của toán tử tuyến tính

Mệnh đề 2.4.1 Cho A: X → Y là toán tử tuyến tính liên tục với ảnh

{

AX:= y Y∈ | ∃ ∈x X để Ax = y}

là đóng trong Y Lấy tập Θ ⊂AX sao cho Θ SNC tại : y = Ax∈Θ Khi đó, nghịch ảnh A−1( )Θ là SNC tại x

Chứng minh Trước hết ta chứng minh rằng tập bất kỳ Θ ⊂ AX là SNC tại

y tương ứng với Y cũng SNC tại y tương ứng với AX Khi đó ta sẽ sử dụng Định

lý 2.3.1 cho toán tử toàn ánh A : X→ AX.

Thật vậy, sử dụng điều kiện cần của Định lý 2.2.1 ta có

codim AX < ∞ (vì affΘ ⊂AX)

nghĩa là tồn tại không gian con đóng Z ⊂Y để Y = ⊕Z AX

Ký hiệu Nˆ ;ε( Θ|AX) là ε - pháp tuyến của Θ tương ứng với AX và lấy tùy ý

Lúc đó, từ tính chất SNC của Θ tương ứng với Y ta có

Thật vậy, từ Ω là CEL quanh x∈ Ω nên U∃ lân cận của x , O lân cận của

0, tập compact C và γ >0 sao cho

( )

Vậy Ω ∩ +U tO⊂ Ω +tC hay Ω là CEL quanh x W

Mệnh đề 2.5.1 (Tính epi – Lipschitzian của tập lồi) Tập lồi Ω ⊂ X là

epi – Lipschitzian quanh x khi và chỉ khi intΩ ≠φ.

Chứng minh Trước hết ta chứng minh rằng tập lồi Ω ⊂ X là

epi-Lipschitzian quanh x khi và chỉ khi tồn tại v X∈ sao cho x+ ∈ Ωγv int , với 0

γ > Thật vậy,

Điều kiện cần Giả sử Ω là tập epi-Lipschitzian quanh x∈Ω

Lúc đó ∃ lân cận U của x , O lân cận của 0 và v X∈ ,γ >0 sao cho

Lấy γ >0 và lân cận V của 0 trong X để x+γv+γV ⊂ Ω (lúc đó x+γv+γV là

Ta có Ω là epi – Lipschitzian quanh x

Việc còn lại là chứng minh intΩ ≠φ khi và chỉ khi ∃ ∈v X,γ >0 sao cho

Định lý 2.5.2 (Tính chất SNC của tập CEL) Cho tập Ω ⊂ X là CEL quanh

Từ (6) ta có x*k →0 khi k → ∞.

Hay Ω là SNC tại x W

KẾT LUẬN

Luận văn đã trình bày được các vấn đề sau

1) Trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản của nón pháp tuyến, ε - pháp tuyến.

2) Trình bày các tính chất của tập SNC

• Đối chiều hữu hạn của tập SNC;

• Tính chất SNC qua ảnh ngược của ánh xạ khả vi ngặt;

• Tính chất SNC qua ảnh ngược của toán tử tuyến tính liên tục;

TÀI LIỆU THAM KHẢO

TIẾNG VIỆT

[1] TS Đậu Thế Cấp, 2002, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Giáo dục

[2] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, 2001, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học

Quốc gia Hà Nội

[3] Nguyễn Đông Yên, 2007, Giáo trình Giải tích đa trị, Nhà xuất bản khoa học

tự nhiên và công nghệ

TIẾNG ANH

[4] B.S Dacorogna, 2004, Introduction to the Calculus of Variational, Imperrial

College Press

[5] B S Mordukhovic, 2006, Variational analysic and Generalized

differentiation I, Basis Theory, Spring, trang 3 – 32.

[6] B S Mordukhovic, 2006, Variational analysic and Generalized

differentiation II, Spring.

[7] J – P Aubin and I Ekeland, 1984, Applied Nonliear Analysic, Wiley,