Xây dựng phép biến đổi fourier trong không gian các hàm suy rộng l schwartz

Em xin thành ơn sự giúp đỡ thầy trong khoa Toán toàn thể thầy trong TrườngĐại Sư PhạmHà Nội2 đã dạy bảo, truyềnđạt kiến em trong suốt thời gian tập tại Trường.. Em xin đoan những kết quả

Bản khóaluận tốtnghiệp này là đầu tiên em làmquen với

nghiên khoa sự giúp đỡ và động viên thầy và

bạn sinh viên trong khoa Em xin thành ơn sự giúp đỡ

thầy trong khoa Toán toàn thể thầy trong TrườngĐại Sư

PhạmHà Nội2 đã dạy bảo, truyềnđạt kiến em trong suốt thời gian

tập tại Trường

biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu tới TS Tạ Trí, người

đã giúp đỡem tận tình, hướng dẫn để em thể hoàn thành khóa luận này

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Nguyễn Thị Phương

Dưới sự hướng dẫn TS.Tạ Trí với sự gắng nỗ

bản thân, em đã hoàn thành bài khóaluận mình Trong quá trìnhnghiên

và hiệnKhóaluậntốtnghiệp,em thamkhảomộtsố tàiliệu tham

khảo giả đã nêu trong Tài liệu tham khảo

Em xin đoan những kết quả trong Khóa luận là kết quả nghiên

em, không trùngvới kết quả giả Nếu sai em xin hoàn

toàn nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Nguyễn Thị Phương

1 Kiến bị 7

1.1 Một vài kí hiệu vàkháiniệm 7

1.1.1 Một vài kí hiệu 7

1.1.2 Một vài kháiniệm 8

1.2 Không gian hàm thửD (Ω) 9

2 Khônggian hàmsuyrộng 13 2.1 Không gian hàm suyrộng D ′ (Ω) 13

2.2 Khônggian hàm giảmnhanhvàkhônggian hàm suyrộngtăng 19

3 BiếnđổiFourier 21 3.1 Biến đổi Fouriertrong L 1 (R) 21

3.2 Php biến đổi Fouriertrong L 2 (R) 24

3.3 Php biến đổi Fouriertrong S (R n ) 29

3.4 Php biến đổi Fouriertrong S ′ (R n ) 34

1 Lý do đề tài

Hàmsuy rộnggópphần quantrọngvào nghiên phươngtrình

đạo hàm riêng.Hàm suy rộng là một khái niệm mở rộng từ khái niệm

hàmsố điển, trongđóngoàilớp hàmthôngthường,ngườita thêm

vào hàm đo khả địa phương và hàm thông thường

mà một đại diện là hàm Delta δ (x)

Nhữnghiểu biết về hàm suyrộng vẫn khá xa lạ đối vớisinh viên Để

tìm hiểu thêm về vấn đề hàm suy rộng, sự hướng dẫn T.S

Tạ Trí, em đã đề tài : "Xây dựng phpbiến đổi Fourier trong

khônggian hàm suy rộng L

Php biến đổi Fourier không xây dựng trên không gian hàm

"L 1 , L 2 " hàmkhả Lebesgue)mà nghiên trong khônggian hàm suy rộng

Chương này nói về php biến đổi Fourier trong L 1 và L 2 biệt đisâu vào php biến đổi Fourier trong không gian hàm suy rộng.

Nghiên vấn đề hàm suy rộng

Nghiên vềphp biếnđổiFourier trong không gian hàm suyrộng

Toán tử vi phân liên kết với đa số α là D α = D α 1

1.1.2 Một vài khái niệm

Một không gian tôpô X trên trường K(với K = R K = C) làmột không gian trên trường K trang bịmột tôpô sao ánhxạ (x, y) 7→ x + y và (λ, y) 7→ λy liên

Trong không gian tôpô X, một tập hợp E ⊂ X gọi là tập bị

E ⊂ tV Nếu O một lân bị thì không gian X gọi là bị

địa phương

Một tập hợp E ⊂ X không gian tôpô X gọi là tập hút nếu

Một không gian tôpô X gọi là không gian lồi địa phương nếu

một sở lân O gồm những tập lồi

Một không gian lồi địa phương gọi là không gian nếu nó là một

không gian đủ với sinh d thỏa mãn:d (x + z, y + z) = d(x, y) (d bất biến với php tịnh tiến)

Một không gian tôpô X gọi là tính Heine- Borel nếu mọi

tập đóng và bị X đều là tập

1.2 Không gian hàm thử D (Ω)

Nếu K là tập trong R n thì ta kí hiệu D k là không gian hàm

f ∈ C ∞ (R n ) sao supp f ⊂ K NếuK ⊂ Ω thì

D k = {f ∈ C ∞ (Ω) : supp f ⊂ K}

Đểxây dựngmộttôpôτ trênC ∞ (Ω)sao C ∞ (Ω)trởthànhmộtkhônggian tính Heine-BorelvàD klàmột tập đóng C ∞ (Ω)

V N = 

f ∈ C ∞ (Ω) : p N (f ) < N 1

, (N = 1, 2 ).Nếu {f i } là dãy trên C ∞ (Ω), N định thì f i − f j ∈ V N với i, j

đủ lớn

Do đó: |D α f i − D α f j | < N 1 trên k N nếu |α| ≤ N

Điều này tỏ D α f i hội t trên tập Ω tới g α,biệt f i (x) → g o (x) Hiển nhiên:g o ∈ C ∞ (Ω) sao g α = D α g o vàf i → g o

theotôpô C ∞ (Ω) Do đó,C ∞ (Ω)là khônggian Điều này

đúng với mỗi không gian đóng D k

Giả sử: E ⊂ C ∞ (Ω) là tập đóng và bị Vì E bị nên tồn tại

M N < ∞ sao p N (f ) ≤ M N , N = 1, 2, 3 với mọi f ∈ E

Bất đẳng |D α f | ≤ M N đúng trên k N khi |α| ≤ N, là liên đồng



D β (f ) : f ∈ E trên k N −1 nếu |β| ≤ N − 1 Theo định lí

và nguyênlí thì mọi dãy trong E đều một dãy {f i } sao

Vậy C ∞ (Ω) tính Heine- Borel

Địnhnghĩa1.1 Hợp tất không gianD k khik trên tậptất

tập Ω, gọilà khônggian hàm thử(hay khônggian hàmbản) trên Ω , kí hiệu là D (Ω)

Hiển nhiên D (Ω) là một không gian với php và php nhânvới vô hướng thông thường hàm nhận giá trị

là tập trong Ω Với mỗi φ ∈ C ∞ (Ω)vàSuppφlà tập trong

Ω thì:

kφk N = Max {|D α φ (x)| : x ∈ Ω, |α| ≤ N} , N = 1, 2

Định nghĩa1.2 Cho Ω là một tập không rỗng và mở trong R n:

D k

mọi tập K ⊂ Ω

đó tất suppφ j và D α φ j hội t đều tới 0 khi j → 0 với mọi đa

số α

f) Trong D (Ω), mọi dãy đều hội t

Chứng minh Định lí minh trong [5℄ trang 140

Hệ quả 1.1 Mọi toán tử vi phân D α là một ánh xạ liên từ D (Ω)vào

nó

sup |∂ α φ |, ∀ φ ∈ D (Ω)

một không gian, gọi là không gian hàm suy rộng trên Ω , và kí hiệu là

D ′ (Ω)

Dựa vào định nghĩa (2.1) ta xt một số ví d sau:

Ví d 2.1 hàm số liên trên Ω là hàm suy rộng Thật vậy, giả sử

Ω

f (x) φ (x) dx

≤

trong R n lµ mét hµm suy réng (gäi lµ hµm suy rénghay hµm Delta

V× |hδ, φi| = |φ (0)| ≤ 1 sup |φ (x)| , ∀φ ∈ D (R n ) mµ suppφ ⊂ K, K −

|h|x| , φi| =

Z

R

|x| φ (x) dx

≤ c n,l

với C n,l là một hằng số

Để f m ∈ S (R), và dễ dàng thấy nó hội t Bây giờđể hoàn thành

minh , ta phải xây dựng X không phải là hàm trơn

Chúng ta minh điều này bằng phương pháp quy nạp Ta

b f − b ϕ n

≤ kf − ϕ n k 1 → 0

3.3 Php biến đổi Fourier trong S (R n )

Định nghĩa3.3 Giả sử f ∈ S (R n ) Biến đổi Fourier hàm f kí hiệu là

Chøng minh a Ta

D ξ α  b

Cho ε → 0 thì f (x) = 

b

f  ∨ (x).Vậy (f ∧ ) ∨ = f với mọi f ∈ S (R n )

Mệnh đề 3.6 Giả sử f, ϕ ∈ S (R n ), khi đó

a,

(f ∗ ϕ) ∧ (ξ) = (2π) n 2 f b (ξ) b ϕ (ξ) (f ∗ ϕ) ∨ (ξ) = (2π) n 2

∨

f (ξ) ϕ (ξ) ∨

b,

(2π) n 2 (f ϕ) ∧ (ξ) = b f (ξ) ∗ b ϕ (ξ) (2π) n 2 (f ϕ) ∨ (ξ) = f ∨ (ξ) ∗ ϕ (ξ) ∨

Chứng minh a Theo định lý Fubini ta

 ∨

f ∗ ϕ ∨

 (ξ) = (2π) n 2

 ∨ f

 ∧  ∨

ϕ  ∧  ∨

(ξ) = (2π) n 2 (f ϕ) ∨ (ξ)

Với f ∈ L 1 (R n ) ta địnhnghĩa và tính tươngtựnhư trên.Hơn nữa, với f ∈ L 2 (R n ) ta tính sau

Mệnh đề 3.7 Định lí

ánh xạ φ : S (R n ) → S (R n ) thể triển duy nhất tới một toán tủ

đơn vị trên f ∈ L 2 (R n )

Mệnh đề này minh tiết trong [7℄ trang 15

3.4 Php biến đổi Fourier trong S ′ (R n )

Định nghĩa3.4 Cho f ∈ S ′ (R n ) Biến đổi Fourier hàm suy rộng f, kíhiệu là f b f ∧ F f là hàm suy rộngtăng định bởi:

h b f , ϕ i = hf, b ϕ i, ϕ ∈ S (R n )

vàbiếnđổiFourier kíhiệu là

b, Với mọi đa số β thì:

(ξ)

Mệnh đề 3.9 Giả sử f ∈ S ′ (R n ) , ϕ ∈ S (R n ) Khi đó:

a,

(f ∗ ϕ) ∧ (ξ) = (2π) n 2 ϕ b (ξ) b f (ξ) (f ∗ ϕ) ∨ (ξ) = (2π) n 2 ∨

ϕ (ξ) f ∨ (ξ)

b,

(2π) n 2 (f ϕ) ∧ (ξ) = b f (ξ) ∗ b ϕ (ξ) (2π) n 2 (f ϕ) ∨ (ξ) = f ∨ (ξ) ∗ ϕ ∨ (ξ)

Chứng minh a Với f ∈ S ′ (R n ) , ϕ ∈ S (R n ) thì f ∗ ϕ ∈ S ′ (R n ) Khi đó,biến đổi Fourier (f ∗ g) ∧ là hàm suy rộng tăng định bởi

Trong giải hiện đại, hàm suy rộng là một trong những kiến mới

mẻ,đã nhữngđónggópkhá quantrọngtrongnghiên phươngtrình

đạo hàm riêng tuyến tính Thông qua giới thiệu một số kí hiệu và khái

niệm sở, điểm vàmột số tính khônggian hàmthửD (Ω)

ở I, không gian hàm suy rộng S (Ω) và S ′ (Ω) ở II đểtìm hiểu về php biến đổiFourier ở III

Khóa luận này đã giúp em tiếp thu, nâng kiến hiểu biết về hàm

suy rộng, php biến đổiFourier trong không gian hàm suy rộng và thấy

vai trò quan trọng nó trong Toán Thông qua hiện

khóa luận này em đã trình bày một đề tài nghiên khoa

trình bày nội dung kiến một hệ thống theo

sự hiểu biết mình Trongkhóa luận này em đã đưa ra một số ví d minh

họa khái niệm như một số kết quả Tuy nhiên do thời gian

hạn nên khóa luận em nhiều thiếu xót, rất mong nhận sự

góp ý, giúp đỡ thầy và bạn để khóa luận em hoàn

thiện hơn

Với phạm vi và thời gian hạn, luận văn không tránh khỏi

những thiếu sót Mong quý thầy và bạn góp ý để luận văn

hoàn thiện hơn Xin thành ơn !

A Tµi liÖu tiÕng ViÖt

[1℄ NguyÔn Ph Hy (1992), Gi¸otr×nh gi¶i hµm, §¹i S­ ph¹m Hµ

Néi 2

[2℄ §ÆngAnhTuÊn(2005),LýthuyÕthµmsuyréngvµkh«nggian Sobolev

B Tµi liÖu tiÕng Anh

[3℄ Gerd Grubb (2009), Distributions and Operators, Springer

Business Media, LLC

[4℄ WalterRudin(1921), Analysis,Tata Graw-Hill,

Delhi

[5℄ Ta Tri (2004), The Colombeau theory of generalized

KdVinstitute, of UniversityofAmsterdamThe

Nether-lands

[6℄ I.F Wilde, Distribution Theory (Generalized Notes

[7℄ M.W.Wong(1998), WeylTransforms, Springer-VerlagNewYork,

Biến? ?ổi Fourier< /p>

3.1 Biến đổi Fourier L 1 (R)

Định nghĩa3.1 Biến đổi Fourier hàm f ∈ L 1... giúp em tiếp thu, nâng kiến hiểu biết hàm

suy rộng, php biến đổiFourier không gian hàm suy rộng thấy

vai trị quan trọng Tốn Thơng qua

khóa luận em trình bày đề tài nghiên khoa... class="page_container" data-page="23">

3.2 Php biến đổi Fourier L 2 (R)

Không gian hàm giảm nhanh S (R) trù mật L 2 (R)

Không gian