Điểm bất động của các ánh xạ đơn trị và đa trị trong không gian đối xứng và không gian o mêtric

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinhLê thị mai điểm bất động của các ánh xạ đơn trị và đa trị trong không gian đối xứng... Ta đã biết ánh xạ co trong không gian mêtric đầy đủ có d

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh

Lê thị mai

điểm bất động của các ánh xạ đơn trị

và đa trị trong không gian đối xứng

Bộ giáo dục và đào tạo

Trờng đại học vinh

Lê thị mai

và đa trị trong không gian đối xứng

Mục lục

Mục lục trang

Lời nói

đầu……… 1

Chơng1 Điểm bất động của các ánh xạ đơn trị trong không gian đối xứng và không gian o-mêtric………

3

1.1 Một số khái niệm cơ bản ……… 3

1.2 Không gian o-mêtric……… 5

1.3 Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co trong không gian o-mêtric……… 12

1.4 Sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ tơng thích yếu trong không gian o-mêtric……… 16

Chơng2 Điểm bất động của các ánh xạ đa trị trong không gian đối xứng và không gian o-mêtric……… 25

2.1 Điểm bất động của các ánh xạ đa trị trong không gian đối xứng ………25

2.2 Điểm bất động của các ánh xạ đa trị trong không gian o-mêtric……… 30

Kết luận 38 ………

Tài liệu tham khảo……….

Lời nói đầu

Không gian mêtric là một trong những không gian tôpô đặc biệt có nhiều tính chất và trực quan Vì thế khi nghiên cứu các không gian tôpô tổng quát, ng-

ời ta xét các tính chất tơng tự nh không gian mêtric Một trong những hớng nghiên cứu đó là xây dựng những hàm tơng tự nh mêtric trên các không gian tôpô và nghiên cứu các tính chất sinh ra từ các hàm đó Để xây dựng hàm kiểu này ngời ta mở rộng khái niệm mêtric bằng cách giảm bớt các điều kiện trong định nghĩa của nó Với cách làm nh vậy ngời ta thu đợc các khái niệm về không gian đối xứng, không gian o-mêtric và một số không gian khác Ta đã biết ánh xạ co trong không gian mêtric đầy đủ có duy nhất một điểm bất động, khai thác hớng nghiên cứu này ngời ta đặt ra câu hỏi kết quả tơng tự nh trong không gian mêtric đầy đủ ở trên còn đúng trong các không gian nửa mêtric, không gian đối xứng, không gian o-mêtric hay không? Bên cạnh đó ngời ta cũng nghiên cứu

điểm bất động của ánh xạ đa trị trong không gian đối xứng bằng cách sử dụng khoảng cách Hausdorff và nghiên cứu các điểm trùng nhau của ánh xạ đa trị và

ánh xạ đơn trị trong các không gian nói trên Những ngời đã đạt đợc nhiều kết quả trong lĩnh vực này là: T L Hichs, M Aamri and D EL–Moutawalil, K

B Lee…

Mục đích của Luận văn này là dựa vào các tài liệu tham khảo để tìm hiểu

sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ đa trị và đơn trị trong các không gian đối xứng Từ đó xét xem các kết qủa đã có trong không gian đối xứng có còn đúng

đối với không gian o-mêtric nữa hay không?

Với mục đích đó Luận văn đợc chia làm hai chơng

Chơng 1 Điểm bất động của các ánh xạ đơn trị trong không gian

đối xứng và không gian o-mêtric

Trong chơng này, đầu tiên chúng tôi nhắc tới một số khái niệm và tính chất cơ bản của tôpô đại cơng có liên quan tới nội dung của Luận văn Trình bày khái niệm về không gian o-mêtric, không gian đối xứng, và mối liên hệ của chúng với các không gian tôpô đặc biệt khác

Sau đó, chúng tôi tập trung nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ co trong không gian o-mêtric, chứng minh kết quả tơng tự nh Nguyên lí tồn tại điểm bất động của ánh xạ co trong không gian mêtric đầy đủ vẫn đúng cho không gian o-mêtric đầy đủ

Cuối cùng, chúng tôi trình bày một số điều kiện để các ánh xạ tơng thích yếu trong không gian o-mêtric có điểm bất động chung

Chơng 2 Điểm bất động của các ánh xạ đa trị trong không gian

đối xứng và không gian o-mêtric

Trong chơng này, trớc tiên chúng tôi trình bày sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ đa trị trong không gian đối xứng

Sau đó, chúng tôi đa ra và chứng minh một số kết quả về sự tồn tại điểm bất

động của ánh xạ đa trị và điểm trùng nhau của các ánh xạ đơn trị và ánh xạ đa trị trong không gian o-mêtric Các kết quả này đợc thể hiện trong Định lí 2.2.2, Bổ đề 2.2.9, Bổ đề 2.2.10, Bổ đề 2.2.11, Định lí 2.2.13, Định lí 2.2.14

Luận văn đợc hoàn thành tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn tận tình, chu đáo và nghiêm khắc của thầy giáo, PGS.TS Đinh Huy Hoàng Tác giả xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất của mình đến Thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Ban chủ nhiệm khoa Sau Đại Học và các Thầy giáo, Cô giáo tổ Giải tích trong khoa Toán đã giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thành Luận văn Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhng do còn hạn chế về mặt kiến thức và thời gian nên Luận văn chắc chắn

không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong quý Thầy Cô và bạn đọc góp ý để Luận văn đợc hoàn thiện hơn.

Vinh, tháng 12 năm 2009

Tác giả

chơng 1

Điểm bất động của các ánh xạ đơn trị trong

không gian đối xứng và không gian 0-mêtric

1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản

Mục này dành cho việc giới thiệu các khái niệm cơ bản và kết quả đã có cần dùng trong Luận văn

1.1.1 Định nghĩa Cho tập hợp X Họτ các tập con của X đợc gọi là tôpô

trên X nếu thoả mãn các điều kiện

(T 1 ) φ, X ∈ τ;

(T 2 ) Nếu G i∈ τ, i ∈I thì 

I i i

G

∈ ∈ τ; (T 3 ) Nếu G1, G2 ∈ τ thì G1 G2 ∈ τ.

Tập hợp X cùng với tôpô τ trên nó đợc gọi là không gian tôpô và kí hiệu là

(X,τ ) hay đơn giản là X.

Các phần tử của X đợc gọi là điểm của không gian tôpô.

Các phần tử thuộcτ đợc gọi là tập mở trong X.

1.1.2 Định nghĩa Cho không gian tôpô X, A ⊂ X Tập U⊂ X đợc gọi là lân cận của A, nếu có tập mở V trong X sao cho A ⊂ V⊂ U.

1.1.3 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là T 1 -không gian nếu hai

điểm bất kì x, y ∈ X , x≠ y thì tồn tại các lân cận tơng ứng U x , U y của x, y

sao cho y ∉ U x và x ∉ U y

1.1.4 Định nghĩa Dãy {xn} trong không gian tôpô X đợc gọi là hội tụ

tới x ∈ X nếu với mỗi lận U của x tồn tại n0 ∈ N sao cho

x n ∈ U với mọi n ≥n o

Khi đó ta viết x n → x.

1.1.5 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là T 2 - không gian hay không gian Hausdorff nếu với hai điểm bất kỳ x, y ∈ X, x≠y tồn tại các lân

cận tơng ứng U x , V y của x, y sao cho U x∩U y =φ

Nếu X là không gian Hausdorff thì mỗi dãy trong X mà hội tụ thì hội tụ

tới một điểm duy nhất

1.1.6 Định nghĩa Giả sử X, Y là hai không gian tôpô và f: X → Y ánh

xạ f đợc gọi là liên tục tại điểm x ∈ X nếu mỗi lân cận V của f(x), tồn tại lân

cận U của x sao cho f(U) ⊂ V.

ánh xạ f đợc gọi là liên tục trên X ( nói gọn là liên tục ) nếu nó liên tục

tại mọi điểm của X.

1.1.7 Định lý Giả sử X, Y là các không gian tôpô, f : X →Y Khi đó các điều kiện sau là tơng đơng:

(1) f liên tục;

(2) Nếu E mở trong Y thì f -1 (E) mở trong X;

(3) Nếu E là tập đóng trong Y thì f -1 (E) đóng trong X.

1.1.8 Định nghĩa Giả sử V⊂ X, V đợc gọi là lân cận dãy của x ∈ X

nếu mỗi dãy {xn} hội tụ về x tồn tại n o ∈ N sao cho

{x} ∪ {x n: n ≥ n o}⊂ V

1.1.9 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là không gian Frechet nếu

mỗi tập con A của X và x∈ A tồn tại dãy {xn} trong A sao cho dãy {xn} hội

tụ tới x.

1.1.10 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là không gian Frechet

mạnh nếu mỗi dãy giảm các tập con {A n} của X và x A∈ n với mọi n ∈ N * đều tồn tại dãy {xn} trong X sao cho x n ∈ A n với mọi n và {xn} hội tụ tới x.

Không gian tôpô đợc gọi là không gian dãy nếu tập con A của X là đóng

trong X khi và chỉ khi mỗi dãy trong A mà hội thì hội tụ tới một điểm thuộc A.

1.1.11 Định nghĩa Giả sử X là không gian tôpô, hàm f : X →(-∞,+∞)

đợc gọi là nửa liên tục trên tại x o∈ X nếu

lim sup ( ) ( )

x x f x f x

Hàm f đợc gọi là nửa liên tục trên trên X nếu nó liên tục tại mọi x∈ X.

Hàm f đợc gọi là nửa liên tục dới nếu hàm (-f ) nửa liên tục trên, trong đó

1.1.13 Định lí Giả sử X là không gian tôpô và f : X → R Khi đó, f

liên tục tại x ∈ X khi và chỉ khi f liên tục trên và liên tục dới tại x

1.2 Không gian o-mêtric

1.2.1 Định nghĩa ([5]) Giả sử X là không gian tôpô, d: XìX → R

1) Hàm d đợc gọi là một o-mêtric trên X nếu thoả mãn các điều kiện:

(i) d(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X;

(ii) d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y ;

(iii) Tập con U⊂ X là mở khi và chỉ khi d(x, X \U) > 0 với mọi x∈ U,

trong đó

d(x, X \U) = inf{d(x, y): y ∈X \U}.

2) Hàm d đợc gọi là một o-mêtric mạnh nếu d là o-mêtric và với mỗi x ∈ X,

với mỗi r > 0 hình cầu

Không gian tôpô X cùng với một o-mêtric (tơng ứng o-mêtric mạnh,

symmêtric, nửa mêtric) d trên nó gọi là không gian o-mêtric (tơng ứng

o-mêtric mạnh, đối xứng, nửa mêtric) và kí hiệu là (X, d) hoặc X nếu không cần

d(x,y) = |1- e x-y |; x,y ∈ X.

Giả sử X là một không gian o-mêtric Đặt

τd ={ U⊂ X : ∀x∈ U, ∃B(x,ε ) ⊂ U}.

1.2.2 Mệnh đề ([1]) 1) Tập con U là mở khi và chỉ khi U∈ τd Tức là τd

trùng với tôpô trên X

2) Nếu dãy {x n} ⊂ X và x ∈ X sao cho d(x, x n) → 0 thì x n → x.

Chứng minh 1) Giả sử U là tập mở trong X và x ∈ U Khi đó, theo

Định nghĩa của o-mêtric ắt tồn tại r > 0 sao cho d(x, X \U) = r Từ đó suy ra B(x, 2r ) ⊂ U Thật vậy, với mỗi y ∈ B(x,2x ) ta có d(x, y) < 2r Do đó y ∉

X \U, tức là y ∈ U Nh vậy U∈ τd.

Ngợc lại, giả sử U∈ τd và x ∈ U Khi đó tồn tại ε > 0 sao cho B(x,ε ) ⊂

U Với y ∈ X \U ta có x ∉U Do đó d(x, y) ≥ε Từ đó suy ra

d(x, X \U) ≥ ε > 0.

Theo định nghĩa của o-mêtric thì U là tập mở trong X.

(2) Giả sử {xn} ⊂ X, x ∈ X sao cho d(x, xn) → 0 Với bất kỳ lân cận U

của x ắt tồn tại r > 0 sao cho B(x, r ) ⊂ U Vì d(x, x n) → 0 nên tồn tại số tự nhiên n o sao cho d(x, x n) < r với mọi n ≥ n 0 Do đó x n∈ B(x, r )⊂ U với mọi

1.2.4 Bổ đề ([1]) Nếu X là không gian o-mêtric Hausddorff thì B(x, r) là

lân cận dãy của x với mọi x ∈ X và mọi r > 0.

Chứng minh Giả sử B(x, r) không là lân cận dãy của X Khi đó tồn tại

dãy {xn} trong X \B(x, r) sao cho {xn} hội tụ tới x Không mất tính tổng quát ta

có thể giả thiết các x n đôi một khác nhau Đặt E = {x 1 ,x 2 ,…}.Vì X là không

gian Hausdorff nên E ∪ {x} là tập con đóng trong X Do đó X \(E∪ {x}) là tập

mở

Giả sử y ∈ X \E Nếu y = x thì B(y, r) = B(x, r) ⊂ X \E.

Nếu y ≠ x thì y ∈ X \(E∪ {x}) Vì X \(E∪ {x}) là tập mở nên tồn tại ε > 0 sao cho

B(y,ε ) ⊂ X \(E∪ {x}) ⊂ X \E.

Từ mệnh đề 1.2.2 suy ra X \E là tập mở hay E là tập đóng Điều này mâu thuẫn

với {xn} ⊂ E, {xn} hội tụ tới x ∉E Vậy B(x, r) là lân cận của x.

1.2.5 Mệnh đề ([1]) Nếu (X, d) là không gian o-mêtric Hausdorff thì

x n   →d x khi và chỉ khi x n → x

Chứng minh Giả sử x n → x Khi đó, vì X là không gian Hausdorff nên với

mỗi ε > 0, B(x,ε ) là lân cận dãy của x Do đó tồn tại n 0 ∈ N sao cho x n∈ B(x,ε ) với mọi n ≥ n 0, tức là

Chứng minh Nhờ mệnh đề 1.2.2, ta chỉ cần chứng minh rằng nếu x n →x

thì d(x, x n) →0 Thật vậy, giả sử x n → x và ε > 0 Khi đó tồn tại n o ∈ N sao

cho x n ∈ B(x,ε) với mọi n ≥ n 0 Từ đó suy ra

0 ≤ d(x, x n) <ε với mọi n ≥ n 0.Vì ε bất kì nên d(x, x n) → 0

1.2.7 Bổ đề ([1]) Giả sử X là không gian o-mêtric, A ⊂ X Khi đó A

đóng khi và chỉ khi

{x ∈ X : d(x, A) = 0} ⊂ A.

Chứng minh Giả sử A đóng thì X \A mở Khi đó, mọi x ∈ X \A đều có

là đóng trong X với mỗi r > 0,

2) d(x, ) là nửa liên tục trên khi và chỉ khi

B(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) < r }

là mở trong X với mỗi r > 0.

Chứng minh.(1) Giả sử d(x, ) là nửa liên tục dới và z ∈ X sao cho d(z, B[x, r]) = 0 Khi đó, từ tính chất của inf ta suy ra tồn tại dãy {y n} trong

B [x, r] = 0 sao cho lim ( , ) 0 n d z y n

→∞ = Theo mệnh đề 1.2.2(2) ta có y n → z Vì d(x, ) là hàm nửa liên tục dới nên

Ngợc lại, nếu B [x, r] đóng với mỗi r > 0 thì tập {y ∈ X : d(x, y) > r} mở

trong X với mỗi r > 0 Do đó theo Định lí 1.1.12, hàm d(x, ) nửa liên tục dới

(2) Giả sử d(x, ) nửa liên tục trên nhng tồn tại r > 0 mà B(x, r) không

mở trong X Khi đó, từ Mệnh đề 1.2.2 (1) suy ra tồn tại điểm y∈ B(x, r) sao

Bất đẳng thức này mâu thuẫn với (1) Do đó B(x, r) là mở trong X.

Ngợc lại, nếu B(x, r) mở trong X với mỗi r > 0 theo Định lí 1.1.12 ta kết

luận đợc d(x, ) là nửa liên tục trên trên X

1.2.9 Mệnh đề ([1]) Nếu X là không gian o-mêtric mạnh thì X là không

gian Frechet.

Chứng minh Giả sử A⊂ X và x A∈ Vì X là không gian o-mêtric mạnh

nên B(x, n1 ) là lân cận của x với mọi n = 1,2, Vì thế

B(x, n1 )  A ≠φ với mọi n = 1,2,

Từ đó, tồn tại dãy {x n} sao cho

x n ∈ B(x, n1 )  A với mọi n = 1,2,

Do đó d(x n , x) → 0 Theo Mệnh đề 1.2.2, x n → x Vậy X là không gian Frechet

1.2.10 Mệnh đề Nếu (X, d) là không gian o-mêtric thì X là không gian dãy.

Chứng minh Giả sử (X, d) là không gian o-mêtric nhng nó không là không

gian dãy Khi đó, tồn tại tập Y⊂ X sao cho mỗi dãy trong Y mà hội tụ thì hội tụ

tới điểm thuộc Y nhng Y không đóng trong X Đặt Z = X \Y Khi đó Z không mở

trong X Vì thế tồn tại x ∈ Z sao cho B(x, n1 ) ∩ Y ≠φ với mỗi

n = 1,2, Do đó tồn tại dãy {… x n} ⊂ Y sao cho x n ∈ B(x, n1 ) với mọi n = 1,2,…

Ta có d(x, x n) < n1 ; n = 1,2, Do đó … x n   →d x Theo Mệnh đề 1.2.2 thì x n → x Vì

{x n}⊂ Y nên x ∈ Y Ta có một điều mâu thuẫn Vậy X là không gian dãy

1.2.11 Định nghĩa ([5]) Tập con Y của không gian tôpô X đợc gọi là

compact dãy nếu mỗi dãy trong Y đều có một dãy con hội tụ tới một điểm của Y.

Y đợc gọi là tập compact nếu mọi phủ mở của Y đều có phủ con hữu hạn.

1.2.12 Hệ quả ([5]) Mọi tập compact trong không gian o-mêtric đều là

compact dãy.

Chứng minh Theo Mệnh đề 1.2.10, mọi không gian o-mêtric là không

gian dãy Do đó theo Định nghĩa 1.2.11 ta có điều cần chứng minh

1.2.13 Định lí Giả sử (X, d) là không gian o-mêtric sao cho với mỗi

x ∈ X hàm y  d(x, y) là nửa liên tục dới trên X Khi đó, nếu E là tập con

đóng và compact trong X và a ∈ X thì tồn tại b ∈ E sao cho

d(a, b) = d(a, E) = inf{d(a, y): y ∈ E }.

Chứng minh Đặt r = d(a, E) ∈ [0, ∞) Nếu r = 0 thì do E đóng nên a ∈ E

Lấy b = a ta có điều phải chứng minh

Giả sử r > 0 Khi đó, từ tính chất của inf suy ra tồn tại dãy {y n} trong E

sao cho d(a, y n) → r Theo Hệ quả 1.2.12, E là compact dãy Do đó tồn tại dãy

con { }y n k của {y n} sao cho y n k → b ∈ E Từ tính nửa liên tục dới của hàm

y  d(a, y) suy ra

lim ( , ) ( , )

k k

n n

n n

r d a y d a b

→∞

Từ b ∈ E suy ra r ≤ d(a, b) Vậy r = d(a, b).

1.3 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ co trong không gian o-mêtric

1.3.1 Định nghĩa ([1]) Giả sử X là không gian o-mêtric và f : X → X

ánh xạ f đợc gọi là ánh xạ co nếu tồn tại hằng số α ∈ [0,1) sao cho

d(f(x), f(y)) ≤ α d(x, y) với mọi x, y ∈ X.

Rõ ràng rằng nếu f liên tục thì không thể kết luận đợc f là ánh xạ co

(ánh xạ đồng nhất trên X là liên tục nhng không là ánh xạ co) Câu hỏi đợc đặt

ra là ánh xạ co trong không gian o-mêtric có liên tục không? Để trả lời câu hỏi này, đầu tiên ta cần bổ đề sau

1.3.2 Bổ đề ([1]) Giả sử X là không gian o-mêtric mạnh, Y là không

gian o-mêtric và f : X → Y Khi đó f liên tục khi và chỉ khi với mỗi dãy {x n}

trong X mà x n → x ∈ X thì f(x n) → f(x).

Chứng minh Giả sử f liên tục và {x n} là dãy trong X hội tụ tới x ∈ X

Khi đó, với mỗi lân cân mở V của f(x) thì f -1(V) là lân cận mở của x Vì x n →x

nên tồn tại n 0 ∈ N sao cho x n ∈ f -1(V) với mọi n ≥ n 0 Do đó, f(x n) ∈ V với

mọi n ≥ n 0 Vậy f(x n) → f(x)

Ngợc lại, giả sử với mọi dãy {x n} trong X mà x n → x ∈ X thì f(x n) → f(x)

nhng f không liên tục Khi đó, theo Định lý 1.1.7 ắt tồn tại tâp F đóng trong Y

sao cho E= f -1(F) không đóng trong X, tức là tập X \E không mở trong X Từ đó

suy ra tồn tại điểm x ∈ X \E, x E∈ Theo Mệnh đề 1.2.9, X là không gian

Frechet Do đó tồn tại dãy {x n} trong E sao cho x n → x Theo giả thiết ta có f(x n) → f(x) Mặt khác {f(x n)} ⊂ f(E) = F và F là tập đóng nên f(x) ∈ F, tức là

x ∈ f -1(F) = E Ta có điều mâu thuẫn Vậy f liên tục

1.3.3 Mệnh đề ([1]) Nếu X là không gian o-mêtric mạnh thì mọi ánh

xạ co f : X → X đều liên tục.

Chứng minh Giả sử {x n} là dãy trong X và x n → x Vì f là ánh xạ co nên

tồn tại α ∈ [0,1) sao cho

d( f(x), f(y)) ≤ α d(x, y) với mọi x, y ∈ X

Do đó ta có

0 ≤ d( f(x), f(x n)) ≤ α d(x, x n) (1)

Mặt khác, vì x n → x và X là không gian o-mêtric mạnh nên theo Mệnh đề 1.2.6

d(x, x n) → 0 và do đó vế phải của (1) dần tới 0 Từ đó d(f(x), f(x n))→ 0 Theo Mệnh đề 1.2.2 ta có f(x n) → f(x) Theo Bổ đề 1.3.2 thì f là ánh xạ liên tục.

1.3.4 Định nghĩa ([6]) Giả sử X là không gian o-mêtric Ta nói X là

Không gian X đợc gọi là S- đầy đủ nếu {x n} là dãy d- Cauchy trong X ,

tồn tại x ∈ X sao cho lim ( , ) 0 n d x x n

1.3.5 Định nghĩa ([1]) Giả sử f : X → X Điểm a ∈ X đợc gọi là

điểm bất động của f nếu f(a) = a.

1.3.6 Định nghĩa ([2]) Cho (X, d) là không gian o-mêtric với d( X ) < ∞.1) X đợc gọi là thoả mãn điều kiện (W 3) nếu với x, y và dãy {x n} trong X

Ta biết rằng mỗi ánh xạ co trong không gian mêtric đầy đủ có điểm bất

động duy nhất Định lí sau đây cho thấy điều này cũng đúng cho không gian o-mêtric đầy đủ

1.3.7 Định lí ([1]) Nếu (X, d) là không gian o-mêtric S- đầy đủ, d- bị

chặn và thoả mãn (W 3 ) thì mỗi ánh xạ co f : X → X có điểm bất động duy nhất

Chứng minh Giả sử f : X → X là ánh xạ co, nghĩa là tồn tại α ∈ [0,1) sao cho

d(f(x), f(y)) ≤ α d(x, y) với mọi x, y ∈ X.

Lấy x 1 ∈ X và đặt x 2 = f(x 1) Nếu d(x 1 , x 2) = 0 thì x 1 = x 2 = f(x 1), do đó x1 là

điểm bất động của f Giả sử d(x 1 , x 2) > 0 Ta xây dựng dãy {xn} nh sau

x n +1 = f(x n); với n = 1,2…

Khi đó, nếu tồn tại n 0 mà x n0+1 = f x( n0)=x n0 thì x là điểm bất động của f Do n0

đó ta chỉ cần xét trờng hợp x n ≠ x n+1, với mọi n ∈ N Với mọi n và p ∈ N ta có

C = d( f(X )) = sup{d(x, y): x, y ∈ f( X )} < ∞.

Từ α ∈ [0,1), C hữu hạn và bất đẳng thức trên suy ra {x n} là dãy Cauchy

trong X Do X là S- đầy đủ nên tồn tại x ∈ X sao cho d(x, x n) → 0

Bây giờ ta chứng minh x là điểm bất động của f Với mọi n ta có

0 ≤ d( f(x), f(x n)) ≤ α d(x, x n)

Do đó d( f(x), f(x n)) → 0 khi n → ∞ Từ x n = f(x n-1) suy ra d( f(x), x n) → 0

Kết hợp với d(x, x n) → 0 và X thoả mãn (W 3) ta kết luận đợc x = f(x) Vậy x là

điểm bất động của f.

Cuối cùng, ta chứng minh tính duy nhất của điểm bất động Giả sử tồn tại '

x ∈X cũng là điểm bất động của ánh xạ f Khi đó, nếu ( , ') 0 d x x = thì

0≤d x x( , ')=d f x f x( ( ), ( '))≤αd x x( , ').

Điều mâu thuẫn này dẫn đến ( , ') 0d x x = , tức là x x= '.

1.3.8 Mệnh đề ([1]) Với không gian o-mêtric (X, d) các điều kiện sau

đây là tơng đơng.

a) Mọi dãy d-hội tụ là dãy Cauchy,

b) Nếu {x n}, {y n} là các dãy trong X và x ∈ X sao cho x n   →d x,

Do đó lim ( , ) 0n d x y n n

b) Ngợc lại, giả sử điều kiện (b) đợc thoả mãn và {x n} là dãy d-hội tụ tới x

∈ X Ta cần chứng minh {xn} là dãy Cauchy Giả sử {x n} không là dãy Cauchy Khi đó tồn tại ε > 0 sao cho với mỗi n ∈ N tồn tại m n > n và k n ∈ N thoả mãn d( , )

n n

n m k

m x

x + > ε Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết m n +k n < m n+1 với mọi n Khi đó

{ }x m n và {x m n+k n} là dãy con của dãy { }x n Từ d(x, x n) → 0 suy ra

Điều này mâu thuẫn Do đó {x n} là dãy Cauchy

1.4 Sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ tơng thích yếu trong không gian o-mêtric

1.4.1 Định nghĩa ([2]) Giả sử A và B là hai tự ánh xạ của không gian

o-mêtric (X, d) với d( X ) < ∞ Ta viết Ax, Bx thay cho A(x), B(x) tơng ứng Khi

với t nào đó thuộc X.

2) A và B đợc gọi là tơng thích yếu nếu với mỗi u ∈ X mà Au = Bu thì ABu = BAu.

1.4.2 Định lí ([1]) Cho không gian o-mêtric (X, d) với d(X) < ∞ Giả

sử X là không gian Hausdorff và d- bị chặn Cho hai tự ánh xạ A và B của X, tơng thích yếu thoả mãn

1) d(Ax, Ay) ≤ kd (Bx, By), ∀x, y ∈ X; k ∈ [0,1);

2) AX ⊆ BX.

Khi đó, nếu miền giá trị của A hoặc B là không gian con S- đầy đủ của X, thì

A và B có chung một điểm bất động.

Chứng minh Lấy x o ∈ X Do AX ⊆ BX nên tồn tại x 1 ∈ X sao cho Ax o =

Bx1 Tơng tự, tồn tại x 2 ∈ X sao cho Ax 1 = Bx 2 Tiếp tục quá trình này, ta chọn

đợc dãy {x n} trong X sao cho Ax n-1 = Bx n Ta sẽ chứng minh {Ax n} là một dãy Cauchy trong X.

Thật vậy, với mọi n, m ∈ X ta có

đó dãy {Ax n} là một dãy Cauchy Giả sử BX là không gian con đầy đủ của X

Khi đó, từ AX ⊆ BX suy ra {Ax n} hội tụ trong BX, tức là tồn tại u ∈ X sao cho

Ax n → Bu Vì X là Hausdorff nên theo Mệnh đề 1.2.5 ta có

Bây giờ, ta chứng minh BBu = Bu Thật vậy, giả sử d(Bu, BBu) ≠ 0 Khi đó, từ (1) ta có

d(Bu, BBu) = d(Au, ABu) ≤ kd(Bu, BBu) < d(Bu, BBu),

điều này vô lí Do đó d(Bu, BBu) = 0 và ta có BBu = Bu Suy ra ABu = BAu = BBu = Bu hay ta có Bu là điểm bất động của A và B.

Trong trờng hợp AX là không gian con đầy đủ của X, tồn tại x ∈ X sao

cho lim (n d Ax Ax, n) 0

→∞ = Từ AX ⊆ BX, ắt tồn tại u ∈ X sao cho AX = Bu

Chứng minh hoàn toàn tơng tự nh trờng hợp BX là không gian con đầy đủ của

X ta cũng có Bu là điểm bất động của A và B.

Bây giờ ta chứng minh tính duy nhất của điểm bất động Giả sử tồn tại u,

v ∈ X sao cho Au = Bu = u và Av = Bv = v Khi đó, nếu d(u, v) ≠ 0 thì

d(u, v) = d(Au, Av) ≤ kd(Bu, Bv) = kd(u, v) < d(u, v),

điều này vô lí Vậy d(u, v) = 0, suy ra u = v Định lí đợc chứng minh

1.4.3 Định nghĩa ([1]) Cho (X, d) là không gian o-mêtric Giả sử A và B

là hai tự ánh xạ của X Khi đó A và B đợc gọi là thoả mãn điều kiện (E.A) nếu

tồn tại dãy {x n} trong X sao cho

lim ( , n) lim ( , n) 0

n d t Ax n d t Bx

với t nào đó thuộc X.

1.4.4 Định nghĩa ([1]) Cho (X, d) là không gian o-mêtric với ( ) d X < ∞

X đợc gọi là thoả mãn điều kiện (H E) nếu với {x n}, {y n} và x trong X mà