Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 2A-2007Vận dụng một số kiến thức về nhóm các phép biến đổi điểm trong không gian nhằm bồi dưỡng cho sinh viên khả năng tìm tòi lời giải và p
Trang 1Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 2A-2007
Vận dụng một số kiến thức về nhóm các phép biến đổi
điểm trong không gian nhằm bồi dưỡng cho sinh viên khả năng tìm tòi lời giải và phát hiện các bài toán mới
thông qua dạy học Hình học sơ cấp
Đào Tam (a)
Tóm tắt Trong bài báo này chúng tôi trình bày mối liên hệ giữa việc dạy học các phân môn toán và dạy học Hình học sơ cấp ở trường Đại học sư phạm Cụ thể chúng tôi đưa ra một số kiến thức về nhóm các phép biến đổi trong không gian, nhằm giúp sinh viên sư phạm toán tìm tòi lời giải và các bài toán mới thông qua dạy học Hình học sơ cấp
1 Trong những năm gần đây nhiều nhà sư phạm trong nước và nước ngoài đã quan tâm nghiên cứu mối liên hệ giữa dạy học Toán ở các trường sư phạm và dạy học Toán ở trường phổ thông Tiêu biểu trong số họ như: Nguyễn Cảnh Toàn, Nguyễn Đăng Phất, Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Đỗ Đức Thái, Nguyễn Văn Mậu,
N I-A.Vilenkin, L A Kalurin, A A Stolia, K I Dunhitrev…
Các tác giả trên đã nghiên cứu các vấn đề toán học cao cấp, toán học hiện đại soi sáng các tư tưởng nền tảng của giáo trình Toán phổ thông, xem xét các ứng dụng của toán cao cấp, toán hiện đại vào các nội dung bồi dưỡng học sinh giỏi như: Lý thuyết tập hợp, quan hệ, ánh xạ, các phép biến hình, phương trình hàm…
Trong bài viết này chúng tôi đề cập một số phương thức tiếp cận việc dạy học toán cơ bản ở trường Đại học theo hướng tăng cường ứng dụng vào việc dạy học Hình học sơ cấp và dạy học Hình học ở trường phổ thông
Việc nghiên cứu cách thức tiếp cận nói trên nhằm mục tiêu bồi dưỡng năng lực thích nghi nghề nghiệp gắn với chuyên môn của sinh viên sư phạm ngành Toán, bước đầu làm sáng tỏ khả năng gắn kết việc dạy học khoa học cơ bản với khoa học giáo dục Việc dạy Toán hướng vào mục tiêu nói trên sẽ góp phần tích cực vào việc thực hiện mục đích đổi mới dạy học Toán ở trường đại học
2 Các phương thức tiếp cận một số kiến thức về lý thuyết nhóm các phép biến
đổi điểm trong không gian khi dạy học Hình học sơ cấp
Chúng tôi cho rằng để tư tưởng gắn kết việc dạy học các môn toán cơ bản với dạy học các môn toán sơ cấp, toán phổ thông được thực thi triển khai nhằm nâng cao hiệu quả bồi dưỡng giáo viên Toán, đòi hỏi sự nghiên cứu công phu cả về phương diện khoa học và phương diện phương pháp
Trước hết các phương thức được đề ra trên cơ sở khắc phục những khó khăn liên quan đến năng lực truyền tải các tri thức khoa học cơ bản sang tri thức phổ thông Khó khăn nổi bật gắn với việc giải quyết tốt mối quan hệ giữa cái cụ thể và cái trừu tượng, liên quan tới quan hệ giữa nội dung và hình thức trong phạm trù cú pháp và ngữ nghĩa; Việc giải quyết các mâu thuẫn trên cho phép thực hiện sự lồng ghép các tri thức muôn màu muôn vẻ vào các sơ đồ nhận thức trừu tượng của toán học cao cấp, toán học hiện đại
Trang 2Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 2A-2007
C
Từ những cơ sở lý luận về việc khắc phục những khó khăn thuộc phạm trù phương pháp luận nhận thức Toán học nói trên và từ cơ sở kinh nghiệm dạy học Toán của các chuyên gia và bản thân, chúng tôi đề xuất các phương thức khai thác, các ứng dụng, các kiến thức về nhóm các phép biến đổi điểm trong không gian để tìm tòi lời giải, phát hiện các bài toán, các vấn đề Toán học trong dạy học môn Hình học sơ cấp Đồng thời việc thực hiện tốt các phương thức đề ra sẽ góp phần dạy học theo hướng tích hợp các môn Toán, góp phần rèn luyện năng lực, nghề nghiệp gắn với chuyên môn cho sinh viên
Sau đây chúng tôi trình bày các phương thức và các biện pháp thực hiện các phương thức đó
Phương thức thứ nhất: Lựa chọn các nội dung Hình học sơ cấp có thể nhìn nhận chúng theo quan điểm nhóm; Khai thác các bài toán theo các nội dung trên có thể giải được nhờ sử dụng các kiến thức về nhóm, sau đó chuyển sang cách giải sơ cấp, phổ thông, đề xuất các bài toán mới và cách giải chúng
Ví dụ 1: Khi nghiên cứu các kiến thức về khối đa diện trong Hình học sơ cấp, chúng ta có thể chứng minh mệnh đề sau về các nhóm với phép toán tích các phép dời: “Điều kiện ắt có và đủ để tồn tại nhóm các phép dời hình trong không gian, khác với nhóm chỉ có một phần tử đơn vị <e>, biến tứ diện thành chính nó, là tứ diện đó có
ít nhất hai cặp cạnh, không có cạnh chung, mỗi cặp có độ dài các cạnh bằng nhau” Tuỳ thuộc vào vị trí tương đối giữa các cặp cạnh của tứ diện và quan hệ bằng nhau xác định trên tập hợp 6 cạnh của tứ diện chúng ta có một tập hợp hữu hạn các nhóm khác với nhóm đơn vị
Chẳng hạn: Xét tứ diện ABCD có AC = BD = AD = BC = a; AB + CD = 2a (xem hình 1)
Từ quan điểm nhóm có thể xem xét các vấn đề sau:
ABDC
ABCD
f :1 là phép đối xứng qua mặt phẳng trung trực của đoạn CD, đó là mặt phẳng (AMB), với M là trung điểm cạnh CD;
BACD
ABCD
f là phép đối xứng qua mặt phẳng trung trực của AB, đó là mặt phẳng (CND), N là trung điểm của đoạn AB
BADC
ABCD
f :3 là phép đối xứng trục MN
• Do tích các phép dời trong không gian có tính chất kết hợp, phần tử đơn vị là phép biến đổi đồng nhất, từ định nghĩa phép đối xứng mặt và đối xứng trục suy ra:
• Tìm các phép dời biến tứ diện
ABCD thành chính nó
Do AB ≠ CD nên các phép dời khác
phép biến đổi đồng nhất tương ứng các
khả năng sau, viết ở dạng các hoán vị các
đỉnh:
A
B
N
D
M
Hình 1
Trang 3Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 2A-2007
1
1
1
1
f Vậy để kiểm tra tập hợp gồm các phép dời {f1; f2; f3; e} với phép toán tích các phép dời lập thành một nhóm chỉ cần kiểm tra điều kiện khép kín phép toán
Có thể kiểm tra f2 f1 = f3; f3 f1 = f2; f3 f2 = f1
Chứng minh tính đúng đắn của các tích trên có thể bằng hai cách:
Cách 1: Dựa vào tích các hoán vị (thực chất là các song ánh);
Cách 2: Dựa vào các mệnh đề sau đây:
Mệnh đề 1 Tích của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng (P), (Q) cắt nhau theo giao tuyến ∆ là một phép quay xung quanh trục ∆ (với ∆ được định hướng) và góc quay bằng hai lần góc nhị diện cạnh ∆, hướng xác định từ mặt phẳng (P) đến mặt phằng (Q): ĐQ ĐP = Q (∆, ϕ); ϕ = 2α; Với α là độ lớn góc phẳng nhị diện [(P), (Q)]
có định hướng
Mệnh đề 2: Với mọi phép quay Q (∆, ϕ) đều phân tích được thành tích của hai phép đối xứng mặt qua hai mặt phẳng (P), (Q) đi qua ∆ đã định hướng và góc nhị diện tạo bởi (P) và (Q) có góc phẳng bằng (1/2) ϕ và hướng từ mặt phẳng thứ nhất
đến mặt phẳng thứ hai, đồng thời có vô số cách phân tích như vậy Việc chứng minh hai mệnh đề nêu trên có thể xem [3]
• Chúng ta khảo sát bài toán sau đây theo quan điểm nhóm: “Chứng minh rằng tứ diện đã cho xét trong ví dụ 1 có tâm mặt cầu ngoại tiếp O, tâm mặt cầu nội tiếp I và trọng tâm G thuộc một đường thẳng”
Có thể giải bài toán dựa vào các quan điểm nhóm như sau:
ABDC
ABCD
f :1 thì f1: (O) → (O); f1: (I) → (I); f1: G → G
Từ đó suy ra f1: (O, I, G) → (O, I, G);
BACD
ABCD
f :2 thì f2: (O, I, G) → (O, I, G)
Vậy bộ ba điểm (O, I, G) biến thành chính nó qua phép tích f2 f1 Từ đó suy
ra f3: (O, I, G) → (O, I, G) Từ đó bộ ba điểm (O, I, G) thuộc trục đối xứng MN
- Cách 2: Chứng minh trực tiếp
BADC
ABCD
f :3 nên f3: (O) → (O); f3: (I) → (I); f3:
G → G Từ đó suy ra trục đối xứng MN đi qua O, I, G
• Có thể diễn đạt theo cách giải phổ thông theo tương ứng với hai cách giải nêu trên như sau:
- Qua phép đối xứng mặt f1 mặt cầu (O) biến thành chính nó nên tâm O thuộc mặt phẳng (CDN) Tương tự O thuộc mặt phẳng (ABM), suy ra O thuộc giao tuyến
MN của hai mặt phẳng trên Tương tự, suy ra I và G thuộc giao tuyến MN của hai mặt phẳng đó
- Có thể lập luận cách khác: Do phép đối xứng trục MN biến tứ diện thành chính nó nên mặt cầu (O), mặt cầu (I) và G biến thành chính nó Từ đó suy ra các
điểm O, G, I thuộc trục đối xứng MN
Trang 4Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 2A-2007
• Chúng ta có thể đề xuất bài toán ở mức độ khó khăn hơn bài toán xét ở ví dụ
1 và yêu cầu sinh viên khảo sát lời giải theo quan điểm nhóm và chuyển sang ngôn ngữ của cách giải phổ thông: “Cho tứ diện ABCD có AC = BD = AD = BC = a” và AB + CD = 2a, với AB ≠ CD Chứng minh:
1) Tứ diện đó có mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh;
2) Tâm mặt cầu ngoại tiếp, tâm mặt cầu nội tiếp, tâm mặt cầu tiếp xúc với các cạnh và trọng tâm G thuộc một đường thẳng
Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng chéo nhau a, b Xác định các phép dời trong không gian biến cặp đường thẳng chéo nhau đó thành chính nó Chứng minh rằng tập hợp các phép dời nói trên với phép toán tích các phép dời lập thành một nhóm (xem hình 2)
2) f: (a, b) → (b, a) Do đường vuông góc chung AB là duy nhất nên phép dời f chính là phép đối xứng trục f2: A → B, có trục đối xứng là ∆2 đi qua trung điểm O của
đoạn AB Do f2: ∆2 →∆2 và f2: a → b, nên góc giữa ∆2 và a bằng góc giữa ∆2 và b Từ
điều kiện cuối cùng suy ra ∆2 là đường thẳng đi qua O tạo với a, b hai góc bằng nhau
và đường thẳng ∆2 thuộc mặt phẳng (R) đi qua O và vuông góc với ∆1 Lập luận tương
tự suy ra tồn tại phép đối xứng trục f3: a → b; f3: b → a có trục là ∆3 thuộc mặt phẳng (R), đi qua O và vuông góc với ∆2
Từ dạng chính tắc của phép dời trong không gian suy ra tập hợp các phép dời biến cặp đường thẳng chéo nhau (a, b) thành chính nó là (e; f1; f2; f3)
Từ định lí về sự phân tích một phép đối xứng trục thành tích của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng vuông góc cùng đi qua trục đã cho và góc giữa hai mặt phẳng bằng 90o và chú ý rằng, ba trục ∆1; ∆2; ∆3 đôi một vuông góc Suy ra: f2.f1 = f3;
f3.f1 = f2; f3.f2 = f1 Kiểm tra các dấu hiệu còn lại của nhóm ta có: {e; f1; f2; f3} lập thành một nhóm với phép toán tích các phép dời
• Từ cách nhìn nhận trên có thể đề xuất cho sinh viên sử dụng quan điểm nhóm, giải và mở rộng các bài toán sau, đồng thời chuyển sang ngôn ngữ cách giải phổ thông:
Bài toán 1: Cho hai đường thẳng chéo nhau a, b có đường vuông góc chung là
AB, với A ∈ a; B ∈ b Các điểm M, N di động, lần lượt thuộc a, b sao cho AM = BN Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn cắt và vuông góc với một trong hai đường
• Cặp đường thẳng (a, b) biến thành chính
nó qua phép dời f, ứng với các khả năng sau:
1) f: (a, b) → (a, b):
- Phép đồng nhất e: a → a; e: b → b, sao
cho mọi điểm của a, b đều là điểm kép (điểm có
ảnh là chính nó)
- f1 là phép đối xứng trục, có trục là đường
vuông góc chung ∆1 của hai đường thẳng chéo
nhau: f1: a → a; f1: b → b; trong đó chỉ có A, B là
các giao điểm của ∆1 với a và b là cặp điểm kép
O
B
∆3
∆2
A
∆1
b b'
a a'
Trang 5Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 2A-2007
Bài toán 2: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 Các điểm M, N di động lần lượt thuộc các cạnh AD và BB1 sao cho AM = BN Chứng minh rằng đường thẳng
MN luôn cắt và vuông góc với một đường thẳng cố định
Phương thức hai: Sử dụng các bất biến của các nhóm các phép biến đổi nhằm
định hướng phát hiện lời giải các bài toán, từ đó chuyển đổi ngôn ngữ sang cách giải phổ thông
Ví dụ: Chúng ta có thể lập luận chứng tỏ rằng tích của phép tịnh tiến Tv và phép đối xứng tâm ĐO trong không gian là một phép đối xứng tâm
Tích của hai phép tịnh tiến là một phép tịnh tiến:
2 1 1
v v v
Tích của hai phép đối xứng tâm trong không gian là một phép tịnh tiến
Từ những kiến thức cơ bản trên suy ra tập hợp các phép tịnh tiến và các phép
đối xứng tâm trong không gian lập thành một nhóm với phép toán tích hai phép dời hình
Do phép đối xứng tâm và phép tịnh tiến có tính chất biến một vectơ thành vectơ cùng phương nên phép tịnh tiến và đối xứng tâm biến mặt phẳng thành mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng đó Nói cách khác, phương trong không gian là bất biến qua phép tịnh tiến và đối xứng tâm
Từ các kết quả trên chúng ta có thể rút ra kết luận bổ ích sau: Nếu gặp dạng toán chứa đựng điều kiện phương không đổi thì cần quan tâm sử dụng phép tịnh tiến hoặc phép đối xứng tâm để giải chúng
Chẳng hạn, xét bài toán sau: “Cho hai mặt cầu (O1), (O2) và mặt phẳng (P) Hãy dựng mặt phẳng (α) sao cho (α) song song với (P) và (α) cắt các mặt cầu (O1), (O2) theo hai đưòng tròn bằng nhau”
Có thể lập luận cách tìm lời giải như sau:
Điều kiện mặt phẳng (α) cần dựng song song với (P) gợi cách chọn phép tịnh tiến để giải
- Gọi (C1), (C2) là giao của (α) cần dựng với (O1), (O2) Kí hiệu H1, H2 lần lượt là các hình chiếu của O1, O2 lên mặt phẳng (P) Khi đó H1O1 đi qua tâm I1 của (C1) và
H2O2 đi qua tâm I2 của (C2)
- Phép tịnh tiến
2
1H H
T biến mặt cầu (O1) thành mặt cầu (O'1) Mặt cầu (O'1) giao với (O2) theo đường tròn C2 Khi đó mặt phẳng (α) cần dựng là mặt phẳng chứa giao (O'1) với (O2)
Phương thức thứ ba: Biến đổi bài toán thành bài toán mới nhờ sử dụng các hình tương đương (các hình sai khác một phép biến đổi của một nhóm nào đó)
Ví dụ: Có thể tổng quát bài toán trên mô hình hình lập phương sang bài toán trên mô hình hình hộp nhờ bỏ qua các bất biến của phép biến đổi trực giao không thuộc các bất biến afin và giữ nguyên các bất biến của phép biến đổi afin
Chẳng hạn, xét bài toán sau trên mô hình hình lập phương: “Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 Chứng minh rằng đường chéo AC1 vuông góc với mặt phẳng (BDA1) tại trọng tâm G của tam giác BDA1 và AG = (1/3)AC1”
Trang 6Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 2A-2007
Do hình lập phương tương đương afin với hình hộp bất kì; khái niệm trọng tâm
và tính chất
3
1
= 1
AC
AG
là khái niệm và tính chất afin Khi bỏ qua tính chất AC1 vuông góc với mặt phẳng (BDA1) có thể chuyển sang bài toán tổng quát sau: “Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 Chứng minh rằng đường chéo AC1 đi qua trọng tâm G của tam giác BDA1 và AG = (1/3)AC1”
Trên đây là một số phương thức xem xét, nghiên cứu Hình học sơ cấp theo quan điểm nhóm Khả năng sử dụng toán học cao cấp, toán học hiện đại vào việc nhìn nhận sâu sắc các môn toán sơ cấp và toán học phổ thông còn phong phú, đa dạng, thể hiện trên nhiều tuyến kiến thức khác nhau
Tài liệu tham khảo
[1] Văn Như Cương, Tạ Mân, Hình học Afin và hình học Ơclit, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 1998
[2] Nguyễn Đặng Phất, Bài giảng chuyên đề các phép biến hình, Đại học Sư phạm
Hà Nội, 2002
[3] Đào Tam, Hình học sơ cấp, NXB Đại học Sư phạm, 2004
[4] Đào Tam, Nguyễn Huỳnh Phán, Các cơ sở Toán học của giáo trình toán phổ thông, Đại học Vinh, 1995
[5] N I-A Vilenkin và các tác giả khác, Các cơ sở toán học hiện đại của giáo trình toán phổ thông, Matxcơva, NXB Giáo dục, 1980
[6] Đặng Quang Việt, Tăng cường tính nghiệp vụ khi dạy đại số đại cương ở trường sư phạm, Tạp chí Giáo dục, Số 9/2004
Summary Using some knowledge of transformation groups in space
to foster the students’ ability of finding solutions and new problems through teaching and learning elementary
geometry
In this article, we present the connections between teaching and learning mathematics divisions and elementary geometry in Pedagohical Universities To be specific, we propose some knowledge of transformational groups in space with an aim of fostering the ability of students of pedagogical maths of finding solutions and new problems through teaching and learning elementary geometry