Các không gian với chuẩn dương và chuẩn âm

M ƠN “ ác không gian với chuẩn dương và với chuẩn âm” PGS.TS.GVCC... Không gian Hilbert .... Không gian với chuẩn dương và với chuẩn âm ..... Mộ số không gian Hilber :... huẩn dương v

M ƠN

“ ác không gian với chuẩn dương và với chuẩn âm”

PGS.TS.GVCC yễ P ụ y

ề ầ ê , ô ố ó l ả ơ ữ â

ì , ó l ồ , bố, ẹ ô , ữ l ô bê , ê , ị , ú ỡ ô ố q á ì ê ứ

T ế e , tô b y l b ế ơ â , â PGS.TS.GVCC yễ P ụ y, l ô q â , ê

ì ô q á ì l y

Cù ó, ô ử l ả ơ G á , P S , á ầy á , ô á S 2, á

M

i c m ơn 2

i cam an 3

M u 4

hương 1 Không gian Hilbert 6

1.1 Khá ô lbe 6

1.1.1 K ô ề lbe 6

1.1.2 M ố ấ ơ ả 10

1.1.3 K á ô Hilbert 11

1.2 M ố ô Hilbert 12

1.2.1 K ô n E 12

1.2.2 K ô l2 15

1.3 M ố ị lý q 18

1.3.1 ị lý ề ì ế lê ô 18

1.3.2 ị lý R e z ề ế yế l ê ụ 20

1.3.3 ị lý ề á ử l ê ụ 22

1.3.4 M ố ị lý 23

hương 2 Không gian với chuẩn dương và với chuẩn âm 25

2.1 C ẩ ơ ẩ â 25

2.2 K ô ẩ â 27

2.3 Vector y 31

2.4 Á ụ ố á ô L a b2 , , 2  2 W a b, 32

2.4.1 K ô L a b2 , 32

2.4 K ô 2 

2 W a b, 38

2.4.3 T ế l ô   2 

2 2 L a b, , W a b, 42

K lu n 45

Tài li u ham kh 46

MỞ ĐẦU

1 ý d chọn ề ài:

K ô ẩ ơ lầ ầ ê á J e y P.D ê ứ ô bố á ế q ả á 195 1954 [5, 6]

á ả é ế á ô ẩ ơ Xôbôle Tuy

ê , á ấ ề lâ á ế q ả ê á M.G.K e

é 1937 ô bố á ế q ả 1947 [7]

K ô ẩ â lầ ầ ê á I M Berez ê ứ ô bố á ế q ả á 1958, 1963, khi

4 Đối ượng và phạm vi nghiên cứu:

K ô lbe , á ế yế l ê ụ ê ô lbe , e y , ô L a b2 ,

5 Phương pháp nghiên cứu:

q ả ô L a b2 ,

hương 1 KHÔNG G AN H BERT

1.1 Khái ni m không gian Hilbert:

1.1.1 Không gian tiền Hilbert:

Định nghĩa 1.1.1: C ô yế X ê K K l

ố ặ ố ứ . T l ô ê ô gian X á De e X K, ý  ., ,

Xé  

2

,

Ax y,   x Ay, , x y, H.

T á ử l ê l á ử ố ứ

1.2 Mộ số không gian Hilber :

C ẩ ê n

E á ị b ứ  ( , ),   n

x x x x E ( ị lý 1.1 ) ê ta ỉ ầ ứ n

x ụ x ô E n. Nê ô gian n

E l ô ẩ :

2 1

n k k

1 0 1

2  2  , 1, 2, ,



k k

(Ax y, )  ( ,x A y x ), X y Y, 

T e ị ĩ , A l á ử l ê á ử A.

hương 2 KHÔNG G AN VỚ HUẨN DƯƠNG VÀ VỚ HUẨN ÂM

2.1 huẩn dương và chuẩn âm:

( , ) ( , )

lê b H ô lbe H ô ó

l ô Hilbert ẩ â ể ê , ứ ( 1.7), ô lbe ẩ â H t ù ô ẩ â

H. D ó H H0 H H ù H0, H0 ù trong H.

ô H ( ị ĩ ụ .1 , ô ẩ â ) l ô

á ế yế l ê ụ ê ô H. Vì y, ô gian H l ô á e r y

2.4 Áp dụng ối với các không gian   2 

8) f g, L2,    K (f g)  f  g ì:

  ( (  f g))( )x   (f g x)( )   ( ( )f x g x( ))  f x( )  g x( )  f  g x

ê  a b, ;

y L2 ù é á ó ê l ô e r

l ô lbe

Chứng minh:

Cô ứ ( 4.3) ù ô ứ ẩ b ô (2.4 ) ê L2 l ô ị ẩ , ẩ á ị b ô

sao cho: 1 1  

1, 2, 2

L l ô

ể nhiê , c ẩ b ô ( 4.3) ù ẩ (2.4 ) ê L2 l ô lbe

T e ả ế á ấ ê ầ ụ .4.3 ê ó 0

H H H ù H0. K ô H l á l ầy ô

0

H e ẩ , ê HH0 H H0 ù H, H ù trong H0.

Vì H ù H nê ồ y ấ á ể yế , l ê

ụ , y ấ I I0 lê ô H ẩ ô (T e yê lý á ể Hahn-Banach)

TÀ ỆU THAM KH O

A Tài li u i ng Vi :

[1] yễ P ụ y ( 006), G ả íc m, X K [2] yễ P ụ y ( 007), B ập G ả íc m, X K

B Tài li u i ng nước ng ài:

[5] Leray J (1952), Lectures on hyperbolic equations with variable coefficients, Princeton, Inst For Adv Study

[6] Lax P.D (1954), Symmetrizable linear transformations, Comm Pure a

Appl Math., T.7, (№4), 633-647

[7] Крейн М.Г (1947), Об линейных непрерывных операторах в функциональных пространствах, Зборник трудов института

математика АН УРСР, Т.9, 104 – 129

[8] Березанский Ю.М (1958), О красивых задачах для общих дифференциальных оператороы в частных производных, ДАН

СССР, Т.1 , (№ 6), 959-962

[9] Березанский Ю.М (1963), Пространства с негативской нормой,

УМН, Т.18, (№1), 63-96

[10] Березанский Ю.М (1965), Разложение по собственным функциям -самосопряженных операторов, Наукова дупка, Киев