Định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng tt

Cùng với việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các phương trình vi phân thường,nguyên lý ánh xạ co Banach là trung tâm của lý thuyết điểm bất động trên các khônggian mêtric: "Mỗi ánh xạ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRẦN ĐỨC THÀNH

ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO MỘT SỐ ÁNH XẠ CO SUY RỘNG TRÊN

CÁC KHÔNG GIAN KIỂU MÊTRIC

Tập thể hướng dẫn khoa học:

1 PGS TS Trần Văn Ân

2 TS Kiều Phương Chi

Phản biện 1: GS TSKH Nguyễn Văn Mậu

Phản biện 2: GS TSKH Nguyễn Quang Diệu

Phản biện 3: PGS TS Đinh Huy Hoàng

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trườnghọp tại Trường Đại học Vinh

vào hồi ngày tháng năm

Có thể tìm hiểu luận án tại:

1 Thư viện Nguyễn Thúc Hào, Trường Đại học Vinh

2 Thư Viện Quốc gia Việt Nam

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Lý thuyết điểm bất động và ứng dụng là lĩnh vực nghiên cứu hấp dẫn của toánhọc hiện đại Đây là lĩnh vực đã và đang thu hút được sự quan tâm của rất nhiều nhàtoán học trong và ngoài nước Lý thuyết điểm bất động là một công cụ quan trọng đểnghiên cứu các hiện tượng phi tuyến Nó có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khácnhau của Toán học như sự tồn tại nghiệm của các phương trình vi, tích phân, hệ phươngtrình tuyến tính, phương trình hàm, quỹ đạo đóng của hệ động lực Hơn nữa, nó còn

có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học khác như khoa học máy tính, lý thuyếtđiều khiển, lý thuyết trò chơi, vật lý toán, sinh học, kinh tế Sự phát triển mạnh mẽcủa lý thuyết điểm bất động có thể nói bắt nguồn từ những ứng dụng rộng rãi của nó.1.2 Xuất phát từ ba định lý điểm bất động nổi tiếng: Định lý điểm bất động Brouwer(1911), định lý điểm bất động Banach (1922), định lý điểm bất động Tarski (1955), lýthuyết điểm bất động có thể được chia thành ba hướng nghiên cứu chính: Lý thuyếtđiểm bất động tôpô, lý thuyết điểm bất động mêtric và lý thuyết điểm bất động rờirạc Cùng với việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các phương trình vi phân thường,nguyên lý ánh xạ co Banach là trung tâm của lý thuyết điểm bất động trên các khônggian mêtric: "Mỗi ánh xạ co từ một không gian mêtric đầy đủ (X, d) vào chính nó luôn

có duy nhất điểm bất động" Sự ra đời của nguyên lý ánh xạ co Banach cùng với ứngdụng của nó đã mở ra sự phát triển mới của lý thuyết điểm bất động mêtric

1.3 Hướng nghiên cứu lý thuyết điểm bất động mêtric phát triển chủ yếu theo 3 vấn

đề sau: Mở rộng các điều kiện co cho các ánh xạ; mở rộng các định lý điểm bất động đãbiết lên các không gian có cấu trúc tương tự không gian mêtric; và tìm các ứng dụng củachúng Đối với vấn đề mở rộng điều kiện co của ánh xạ, chúng ta đã biết được nhữnglớp ánh xạ co tiêu biểu được kể đến như của Kannan (1968), Boyd-Wong (1969), Meir-Keeler (1969), Reich (1971), Ciric (1971), Zamfirescu (1972), Hardy - Rogers (1973),Ciric (1974), Berinde (2004) Ngoài ra, người ta còn đề xuất thêm những loại ánh xạ cosuy rộng như: Φ-co, co yếu, tựa co, hầu co Đối với vấn đề mở rộng không gian, người

ta đã đề xuất các định lý điểm bất động đối với các ánh xạ co trên những lớp không

gian có cấu trúc tương tự không gian mêtric như: Không gian mêtric suy rộng, khônggian mêtric nón, không gian 2-mêtric, không gian b-mêtric Đặc biệt, năm 1992, trong

dự án nghiên cứu về sự hiển thị ngôn ngữ và lưu thông mạng máy tính, S G Matthew

đã đề xuất và xây dựng khái niệm không gian mêtric riêng Sau đó, các định lý điểmbất động đối với các ánh xạ co trên lớp không gian này cũng được thiết lập Và gầnđây, người ta rất quan tâm tới việc thiết lập các định lý điểm bất động của ánh xạ cosuy rộng trên lớp không gian này, xuất phát từ một số ý nghĩa và ứng dụng của chúng.Theo mạch vấn đề về ứng dụng của các định lý điểm bất động mêtric, ngoài những ứngdụng truyền thống đã biết, gần đây, người ta đã tìm được những ứng dụng sâu sắc hơncủa các định lý điểm bất động cho các ánh xạ co suy rộng trên các không gian có cấutrúc kiểu không gian mêtric vào những lĩnh vực khác nhau của toán học, kinh tế và kỹthuật Có thể nói, cả 3 mạch vấn đề trên không phát triển tách rời nhau mà luôn luônđồng hành, gắn bó mật thiết với nhau Những vấn đề trên đang thu hút khá đông nhữngngười làm việc trong lĩnh vực toán giải tích trong và ngoài nước Đặc biệt, cả 3 mạchvấn đề trên vẫn còn những bài toán thời sự đang được đặt ra nghiên cứu và giải quyết.Với các lý do nêu trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là:

"Định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không giankiểu mêtric và ứng dụng"

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận án là mở rộng một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động củamột số lớp ánh xạ trên các lớp không gian như: không gian mêtric, không gian mêtricriêng, không gian mêtric riêng có thứ tự bộ phận và tìm hiểu ứng dụng của chúng trongviệc chứng minh sự tồn tại nghiệm của một số lớp phương trình tích phân và bài toáncân bằng không cộng tác trong lý thuyết trò chơi

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận án là các không gian mêtric, không gian mêtricriêng, các ánh xạ co suy rộng trên không gian mêtric, không gian mêtric riêng, điểm bấtđộng, điểm bất động bộ đôi của một số lớp ánh xạ trong không gian mêtric, không gianmêtric riêng, một số lớp phương trình tích phân

4 Phạm vi nghiên cứu

Luận án nghiên cứu các định lý điểm bất động đối với các ánh xạ trong khônggian mêtric, không gian mêtric riêng và ứng dụng vào bài toán sự tồn tại nghiệm của các

phương trình tích phân và bài toán cân bằng không cộng tác trong lý thuyết trò chơi.

5 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết của Giải tích hàm, Lý thuyếtphương trình vi phân, phương trình tích phân và Lý thuyết điểm bất động trong quátrình thực hiện đề tài

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Luận án đã mở rộng được một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động trong khônggian mêtric, không gian mêtric riêng Đồng thời, áp dụng các kết quả thu được vào việcchứng minh sự tồn tại nghiệm của một số lớp phương trình tích phân và bài toán cânbằng không cộng tác trong lý thuyết trò chơi

Luận án có thể làm tài liệu tham khảo cho các sinh viên, học viên cao học và nghiêncứu sinh chuyên ngành Toán giải tích nói chung, lý thuyết điểm bất động trên các khônggian kiểu mêtric và ứng dụng nói riêng

7 Tổng quan và cấu trúc luận án

Nội dung luận án được trình bày trong 3 chương Ngoài ra, luận án còn có Lời camđoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, Kết luận và Kiến nghị, Danh mục công trìnhkhoa học của nghiên cứu sinh liên quan đến luận án và Tài liệu tham khảo

Chương 1 trình bày mở rộng các định lý điểm bất động của một số lớp ánh xạ trênkhông gian mêtric cho các ánh xạ kiểu T -co Trong Mục 1.1, chúng tôi nghiên cứu điểmbất động của ánh xạ T -co cho các ánh xạ co Meir-Keeler Trong Mục 1.2, chúng tôinghiên cứu điểm bất động của ánh xạ T -co cho các ánh xạ tựa co Ciric Trong Mục1.3, chúng tôi nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ T -co cho các ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-coyếu Các kết quả chính của Chương 1 là Định lý 1.1.5, Định lý 1.1.8, Định lý 1.2.2, Hệquả 1.2.5, Hệ quả 1.2.6, Hệ quả 1.2.7 và Định lý 1.3.2 Các kết quả của chương này đãđược đăng trên các tạp chí Arab Journal of Mathematical Sciences, Abstract and AppliedAnalysis và International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences

Chương 2 nhằm trình bày một số mở rộng các kết quả về điểm bất động cho lớpcác ánh xạ co suy rộng, ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co yếu trong các không gian mêtric riêng.Mục 2.1 dành để trình bày một số khái niệm, tính chất cơ bản của không gian mêtricriêng Trong Mục 2.2, chúng tôi đưa ra các định lý điểm bất động cho các ánh xạ cosuy rộng trong các không gian mêtric riêng Trong Mục 2.3, chúng tôi đưa ra các định

lý điểm bất động chung cho các ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co yếu trong các không gian mêtric

riêng Các kết quả chính của Chương 2 là Định lý 2.2.3, Định lý 2.2.9, Hệ quả 2.2.10, Hệquả 2.2.11, Hệ quả 2.2.12, Hệ quả 2.2.13, Định lý 2.3.3, Hệ quả 2.3.7 và Hệ quả 2.3.8.Các kết quả của chương này đã được đăng và nhận đăng trên các tạp chí Mathematicaland Computer Modelling, Journal of Nonlinear Science and Applications, Bulletin of theIranian Mathematical Society.

Chương 3 dành cho việc nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động bộ đôi của ánh xạ trongcác không gian mêtric riêng có thứ tự bộ phận và các ứng dụng của nó Mục 3.1 dànhcho việc trình bày và chứng minh định lý điểm bất động bộ đôi của một lớp ánh xạkiểu F -co trong không gian mêtric riêng Trong Mục 3.2, chúng tôi đã ứng dụng kết quảtìm được để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân phi tuyến kiểuFredholm Cuối cùng, trong Mục 3.3, chúng tôi áp dụng kết quả tìm được của điểm bấtđộng bộ đôi vào bài toán cân bằng không cộng tác trong lý thuyết trò chơi Các kết quảchính của Chương 3 là Định lý 3.1.4, Định lý 3.1.5, Định lý 3.1.7, Hệ quả 3.1.6 Các kếtquả của chương này đã được đăng trên tạp chí Journal of Inequalities and Applications.Trong luận án này, chúng tôi cũng giới thiệu nhiều ví dụ nhằm minh họa cho các kếtquả thu được và ý nghĩa mở rộng của các định lý được đưa ra

CHƯƠNG 1 ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA MỘT SỐ ÁNH XẠ T -CO SUY

RỘNG TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC

Chương này dành để trình bày khái niệm ánh xạ T -co Đồng thời, chúng tôi phátbiểu và chứng minh một số định lý điểm bất động của ánh xạ T -co cho một số ánh xạ

co Meir-Keeler (1969), tựa co Ciric (1974) và (ψ, ϕ)-co yếu (2009) trong lớp các khônggian mêtric

1.1 Điểm bất động của ánh xạ T -co kiểu Meir-Keeler

Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm ánh xạ T -co, đồng thời phát biểu

và chứng minh một số mở rộng của ánh xạ T -co cho ánh xạ co Meir-Keeler

Trước hết chúng ta đến với định nghĩa sau

Định nghĩa 1.1.1 Cho (X, d) là không gian mêtric và các ánh xạ T, S : X → X Ánh

xạ S được gọi là T -co nếu tồn tại k ∈ [0, 1) sao cho

d(T Sx, T Sy) ≤ kd(T x, T y), với mọi x, y ∈ X (1.1)

Rõ ràng, nếu ta chọn T x = x với mọi x ∈ X thì ánh xạ T -co là ánh xạ co Banach.Định nghĩa 1.1.3 Cho (X, d) là không gian mêtric, ánh xạ T : X → X được gọi là hội

tụ dãy (sequentially convergent) nếu với bất kỳ dãy {yn} ⊂ X mà dãy {T yn} hội tụ thìdãy {yn} hội tụ

Định nghĩa 1.1.4 Cho (X, d) là không gian mêtric, ánh xạ S : X → X được gọi là

co Meir-Keeler nếu với mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho ε ≤ d(x, y) < ε + δ kéo theod(Sx, Sy) < ε với mọi x, y ∈ X

Định lý 1.1.5 Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ Giả sử ánh xạ T : X → X đơnánh, liên tục, hội tụ dãy và nếu ánh xạ S : X → X thỏa mãn điều kiện:

với mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho

ε ≤ d(T x, T y) < ε + δ kéo theo d(T Sx, T Sy) < ε, (1.2)với mọi x, y ∈ X thì S có điểm bất động duy nhất z ∈ X và lim

n→∞Tnx = z với mọi x ∈ X

Nếu ta cho T x = x với mọi x ∈ X trong Định lý 1.1.5 thì ta nhận được định lý sauđây của A Meir và A Keeler.

Định lý 1.1.6 Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và ánh xạ S : X → X Nếu vớimỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho ε ≤ d(x, y) < ε + δ kéo theo d(Sx, Sy) < ε với mọi

x, y ∈ X thì S có điểm bất động duy nhất

Ví dụ 1.1.7 Lấy X = [1, 8] với mêtric thông thường trên R: d(x, y) = |x − y| với mọi

x, y ∈ X Khi đó, (X, d) là không gian mêtric đầy đủ Xét ánh xạ Sx = √8

x với x ∈ X.Khi đó, S không thỏa mãn điều kiện co Meir-Keeler Xét ánh xạ T : [1, +∞) → [1, +∞)xác định bởi

MT(x, y) = maxnd(T x, T y), d(T x, T F x), d(T y, T F y),

1

2[d(T x, T F y) + d(T y, T F x)]

o.Khi đó, F có điểm bất động duy nhất x ∈ X

1.2 Điểm bất động của ánh xạ T -co kiểu tựa co Ciric

Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm ánh xạ tựa co Ciric, đồng thời phátbiểu và chứng minh một số mở rộng của ánh xạ T -co cho ánh xạ tựa co Ciric (1974).Định nghĩa 1.2.1 Cho (X, d) là không gian mêtric, ánh xạ S : X → X được gọi là tựa

co nếu tồn tại 0 ≤ q < 1 sao cho

d(Sx, Sy) ≤ q maxd(x, y), d(x, Sx), d(y, Sy), d(x, Sy), d(y, Sx) , (1.4)với mọi x, y ∈ X

Cho ánh xạ T : X → X, với tập con Y ⊂ X và với mỗi x ∈ X đặt:

1 δ(Y ) = sup{d(x, y) : x, y ∈ Y }

2 O(x, n) = {x, T x, T2x, · · · , Tnx} với n ∈ N

1−qd(T x, T Sx), với mọi x ∈ X,(iii) S có điểm bất động duy nhất b ∈ X,

Ví dụ sau chứng tỏ rằng Định lý 1.2.2 là mở rộng thực sự của Định lý ánh xạ tựa coCiric

Ví dụ 1.2.4 Lấy X = R+ với mêtric thông thường: d(x, y) = |x − y| với mọi x, y ∈ X

Rõ ràng (X, d) là không gian mêtric đầy đủ Xét ánh xạ Sx = x

Hệ quả 1.2.7 Cho (X, d) là không gian mêtric, T : X → X là ánh xạ đơn ánh, liêntục, hội tụ dãy và ánh xạ S : X → X Nếu tồn tại các ai ≥ 0, i = 1, 2, , 5 sao cho5

(a) S có điểm bất động duy nhất b ∈ X

Ký hiệu Ψ:={ψ : R+ → R+} là họ các hàm thỏa mãn các điều kiện

(i) ψ liên tục, không giảm;

(ii) ψ(t) = 0 nếu và chỉ nếu t = 0

và Φ :={ϕ : R+ → R+} là họ các hàm thỏa mãn các điều kiện

(iii) ϕ nửa liên tục dưới;

(iv) ϕ(t) = 0 nếu và chỉ nếu t = 0

Năm 2009, theo hướng mở rộng các kết quả về điểm bất động cho các ánh xạ kiểu coyếu, D Doric đã đề xuất và chứng minh định lý sau đây về điểm bất động chung củahai ánh xạ

Định lý 1.3.1 Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và các ánh xạ f, g : X → X.Nếu tồn tại các hàm ψ ∈ Ψ và ϕ ∈ Φ sao cho

ψ d(f x, gy)
≤ ψ M(x, y)
− ϕ M(x, y)
, (1.10)

với mọi x, y ∈ X, trong đó

M (x, y) = maxnd(x, y), d(x, f x), d(y, gy), d(x, gy) + d(y, f x)

2

o,thì f và g có điểm bất động chung duy nhất

Mở rộng Định lý 1.3.1 cho ánh xạ T -co, chúng tôi thu được kết quả sau

Định lý 1.3.2 Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và T : X → X là đơn ánh, liêntục, hội tụ dãy Cho các ánh xạ f, g : X → X Nếu tồn tại các hàm ψ ∈ Ψ và ϕ ∈ Φ saocho

ψ d(T f x, T gy)
≤ ψ M(T x, T y)
− ϕ M (T x, T y))
, (1.11)với mọi x, y ∈ X, trong đó

M (T x, T y) = maxnd(T x, T y), d(T x, T f x), d(T y, T gy),

d(T x, T gy) + d(T y, T f x)

2

o

thì f và g có điểm bất động chung duy nhất

Nhận xét 1.3.3 1) Trong Định lý 1.3.2, nếu ta chọn T x = x với mọi x ∈ X thì ta nhậnđược Định lý 1.3.1

2) Trong Định lý 1.3.2, nếu ta chọn ψ(t) = t với mọi t ∈ R+ thì ta nhận được dạng

T -co suy rộng cho kết quả sau đây

Định lý 1.3.4 Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và các ánh xạ f, g : X → X.Nếu tồn tại hàm ϕ ∈ Φ sao cho

d(f x, gy) ≤ M (x, y) − ϕ M (x, y)
,với mọi x, y ∈ X, trong đó

M (x, y) = maxnd(x, y), d(x, f x), d(y, gy), d(x, f y) + d(y, gx)

Kết luận Chương 1

Trong Chương này, chúng tôi thu được những kết quả chính sau

• Đưa ra Định lý 1.1.5 và Định lý 1.1.8 khẳng định sự tồn tại duy nhất điểm bấtđộng của ánh xạ T -co kiểu Meir-Keeler trong không gian mêtric đầy đủ Đưa ra Ví dụ1.1.7 minh họa cho Định lý 1.1.5 cũng như để chỉ ra rằng kết quả của chúng tôi là mởrộng thực sự so với kết quả của Meir-Keeler (1969)

Các kết quả này đã được công bố trong bài báo: Kieu Phuong Chi, Erdal Karapinarand Tran Duc Thanh (2012), A generalization of the Meir-Keeler type contraction, ArabJournal of Mathematical Sciences, 18, 141-148

• Đưa ra các Định lý 1.2.2, Hệ quả 1.2.5, Hệ quả 1.2.6 và Hệ quả 1.2.7 khẳng định

sự tồn tại duy nhất điểm bất động cho ánh xạ T -co kiểu tựa co Ciric trong không gianmêtric đầy đủ Đưa ra Ví dụ 1.2.4 minh họa cho Định lý 1.2.2 cũng như để chỉ ra rằngkết quả của chúng tôi là mở rộng thực sự so với kết quả của Ciric (1974)

Các kết quả này đã được công bố trong bài báo: Erdal Karapinar, Kieu Phuong Chiand Tran Duc Thanh (2012), A generalization of Ciric quasi-contraction, Abstract andApplied Analysis, Article ID 518734, 9 pages, doi:10.1155/2012/518734

• Đưa ra Định lý 1.3.2 khẳng định sự tồn tại duy nhất điểm bất động chung của ánh

xạ T -co kiểu (ψ, ϕ)-co yếu trong không gian mêtric đầy đủ Đưa ra Ví dụ 1.3.5 minhhọa cho Định lý 1.3.2 cũng như để chỉ ra rằng kết quả của chúng tôi là mở rộng thực sự

so với kết quả D Doric (2009)

Các kết quả này đã được công bố trong bài báo: T V An, K P Chi, E Karapinar and

T D Thanh (2012), An extension of generalized (ψ, ϕ)-weak contractions, InternationalJournal of Mathematics and Mathematical Sciences, Vol 2012, Article ID 431872, 11pagesdoi:10.1155/2012/431872

CHƯƠNG 2 ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ CO SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC RIÊNG

Chương này dành để nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của một số lớp ánh xạ

co suy rộng trong các không gian mêtric riêng Trong mục thứ nhất, chúng tôi trình bàykhái niệm không gian mêtric riêng, một số tính chất tôpô, sự hội tụ của dãy trong khônggian mêtric riêng và mối quan hệ giữa không gian mêtric riêng với không gian mêtric.Mục thứ hai dành để trình bày một số định lý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộngtrong không gian mêtric riêng Chú ý rằng, các kỹ thuật chứng minh trong các định lý

ở mục trên hoàn toàn khác với các kỹ thuật chứng minh đã có trong các không gianmêtric Trong mục cuối cùng của chương, chúng tôi thiết lập các định lý điểm bất độngđối với ánh xạ co yếu thông qua một số định lý điểm bất động chung cho các ánh xạkiểu (ψ, ϕ)-co yếu

2.1 Không gian mêtric riêng

Năm 1992, trong dự án nghiên cứu về sự hiển thị ngôn ngữ và lưu thông mạngmáy tính, S G Matthew đã đề xuất và xây dựng khái niệm không gian mêtric riêng.Các khái niệm, tính chất tôpô, sự hội tụ của dãy, mối quan hệ giữa không gian mêtricriêng và không gian mêtric, nguyên lý ánh xạ co Banach trong không gian gian mêtricriêng đã được S G Matthew trình bày tại hội nghị quốc tế về Tôpô và ứng dụng lầnthứ 8 (1994)

Khái niệm không gian mêtric riêng nhận được bằng cách thay thế đẳng thức d(x, x) =

0 trong định nghĩa của mêtric bởi bất đẳng thức d(x, x) ≤ d(x, y) với mọi x, y Trướchết, chúng ta nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản cần dùng về sau, mà chúngđược đưa ra bởi S G Matthew

Định nghĩa 2.1.1 Cho X là tập hợp khác rỗng, ánh xạ p : X × X → R+ được gọi làmột mêtric riêng (partial metric) trên X nếu với bất kỳ x, y, z ∈ X các điều kiện sauđược thỏa mãn

(P1) x = y nếu và chỉ nếu p(x, x) = p(y, y) = p(x, y)