Không gian siêu mêtric

Trong lý thuyết này, chúng ta gặp một lớp khônggian - không gian siêu mêtric mà vẫn giữ đợc phần lớn các kết quả trong khônggian mêtric.. Trong không gian mêtric, ngời ta nghiên cứu sự h

Trường đại học Vinh

Mục lục

Trang

Lời nói đầu

2

Các ký hiệu dùng trong khoá luận

4

Chơng 1 Không gian mêtric

5

1.1 Không gian mêtric và sự hội tụ trong không gian mêtric

5

1.2 Dãy Côsi và không gian mêtric đầy đủ

6

1.3 Tập đóng - tập mở

6

1.4 Không gian mêtric compact

8

Chơng 2 Không gian siêu mêtric

10

2.1 Không gian siêu mêtric

10

2.2 Không gian con

2.3 Tôpô của không gian siêu mêtric

15

2.4 Phần trong của một tập hợp

17

2.5 Giới hạn trong không gian siêu mêtric

19

2.6 Tập đóng - bao đóng

20

2.7 Tập mở và tập đóng trong không gian con

25

2.8 ánh xạ liên tục

26

2.9 Dãy Côsi

29

2.10 Không gian siêu mêtric đầy đủ

30

2.11 Không gian siêu mêtric compact

33

Kết luận

35

Tài liệu tham khảo

36

Lời nói đầu

Trong các giáo trình Giải tích, lý thuyết về không gian mêtric đợc trìnhbày một cách có hệ thống và đợc sử dụng nh một công cụ hiệu lực để nghiên cứucác khái niệm có liên quan Trong lý thuyết này, chúng ta gặp một lớp khônggian - không gian siêu mêtric mà vẫn giữ đợc phần lớn các kết quả trong khônggian mêtric Bên cạnh đó còn có các kết quả khác mà trong không gian mêtrickhông có, nh các mệnh đề 2.1.12, mệnh đề 2.6.7, mệnh đề 2.9.4 Tuy nhiên, cáckhông gian siêu mêtric lại đợc trình bày rải rác dới các dạng bài tập trong [1] và[2] Khoá luận này trình bày lại một cách tơng đối có hệ thống lý thuyết khônggian siêu mêtric

Trong không gian mêtric, ngời ta nghiên cứu sự hội tụ, tập đóng và tập mở,

ánh xạ liên tục, không gian mêtric đầy đủ, tập compact Tơng tự, khoá luận nàycũng nghiên cứu những vấn đề đó nhng ở trong không gian siêu mêtric Vớimục đích nhằm mô phỏng lại các khái niệm, các định lý đã biết trong khônggian mêtric cho không gian siêu mêtric và một số kết quả khác mà trong khônggian mêtric không có đợc trình bày dới dạng các mệnh đề

Khoá luận này gồm hai chơng:

Chơng 1 Không gian mêtric.

Trong chơng này, tác giả trình bày một số định nghĩa và kết quả đã đợc họctrong không gian mêtric có liên quan đến việc nghiên cứu ở chơng 2 nh: khônggian mêtric và sự hội tụ trong không gian mêtric, tập đóng và tập mở trongkhông gian mêtric, ánh xạ liên tục tập compact trong không gian mêtric vàkhông gian mêtric đầy đủ

Chơng 2 Không gian siêu mêtric.

Chơng này tác giả mô phỏng lại các khái niệm và các kết quả đã biết trongkhông gian mêtric, đợc trình bày dới dạng các định nghĩa, các mệnh đề, các hệ

quả và chứng minh các mệnh đề, các hệ quả đó Ngoài ra, tác giả còn đa ra các

ví dụ về một không gian mêtric nhng không phải là không gian siêu mêtric nh

ví dụ 2.1.5, ví dụ 2.1.6; ví dụ về không gian siêu mêtric đầy đủ nh ví dụ 2.10.2

Đề tài này đợc hoàn thành với sự giúp đỡ tận tình của các thầy giáo, côgiáo trong khoa Toán - Trờng Đại học Vinh; các thầy giáo, cô giáo trong tổ Giảitích và sự hớng dẫn chu đáo của thầy giáo hớng dẫn Trần Văn Hữu Tác giả xinbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc về sự giúp đỡ quý báu đó

Vì trình độ có hạn nên khoá luận này không tránh khỏi những thiết sót, tácgiả rất mong đợc sự chỉ bảo và góp ý của quý thầy cô giáo cùng bạn đọc

Vinh, tháng 4 năm 2004.

Tác giả

Các ký hiệu dùng trong khoá luận

B(x, r)là hình cầu mở tâm x, bán kính r > 0.B[x, r]là hình cầu đóng tâm x, bán kính r > 0.S(x, r) là mặt cầu tâm x, bán kính r > 0.intA là phần trong của tập hợp A

A là bao đóng của tập hợp A.

 là kết thúc chứng minh

Chơng 1 không gian mêtric

Mêtric

1.1.1 Định nghĩa Không gian mêtric là một cặp ( X, d ) , trong đó X là một tập

hợp, d : X ì X → R là hàm số xác định trên X ì X thoả mãn các điều kiện :

M1) d( x,y ) ≥ 0 , ∀ x , y ∈ X,

M2) d( x,y) = 0 ⇔ x = y,

M3) d( x,y ) = d( y, x ),

M4) d( x,y ) ≤ d( x,z) + d(z,y) , ∀ x , y, z ∈ X

d đợc gọi là mêtric trong X, (X,d) đợc gọi la không gian mêtric,

d(x,y) đợc gọi là khoảng cách giữa x và y

1.1.2 Định lí Giả sử (X,d) là không gian mêtric; x, y, u, v ∈ X , khi đó

d(x,y) - d(u,v)≤d(x,u) + d(y,v) 

1.1.3 Định nghĩa Giả sử A, B là các tập con của không gian mêtric (X,d), số

d(A,B) đợc cho bởi công thức: d(A, B)= inf { d(x,y) : x∈ A , y∈ B } đợc gọi làkhoảng cách giữa hai tập hợp A và B

Đặc biệt khi A={ x } thì d(A, B) = d(x, B) và gọi là khoảng cách từ điểm

1.1.6 Định lí Trong không gian mêtric, một dãy hội tụ thì hội tụ đến một điểm

duy nhất.

1.1.7 Định lí Nếu xn→ x và yn→ y, khi n →∞ trong không gian mêtric thì d(xn yn) → d(x,y) khi n →∞.

1.2 Dãy Côsi và không gian mêtric đầy đủ

1.2.1 Định nghĩa Dãy { xn } trong không gian mêtric (X,d) đợc gọi là dãyCôsi nếu ∀ε> 0 , ∃ n0 ∈ N sao cho ∀ n, m ≥ n0 ta có : d (xn, xm) < ε

1.2.2 Định lí Mọi dãy { xn } hội tụ trong không gian mêtric đều là dãy Côsi Chú ý Điều ngợc lại của định lí 1.2.2 là không đúng

1.2.3 Định lí Nếu dãy Côsi { xn } có mọi dãy con { xnk } hội tụ về x ∈ X thìdãy Côsi đó cũng hội tụ về x

1.2.4 Định nghĩa

i) Không gian mêtric (X,d) đợc gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Côsi trong X

đều hội tụ

ii)Tập con Y ⊂ X đợc gọi là đầy đủ nếu không gian con Y với mêtric cảmsinh là một không gian mêtric đầy đủ

1.3 Tập đóng - Tập mở - Tập bị chặn

1.3.1 Định nghĩa Cho không gian mêtric (X,d) , a ∈ X , r ∈ R , r > 0

i) Tập B(a,r) = {x∈ X : d(x,a) < r }đợc gọi là hình cầu mở tâm a bánkính r

ii) Tập B[a,r] = { x ∈ X : d(x,a) ≤ r } đựơc gọi là hình cầu đóng tâm abán kính r

1.3.2 Định nghĩa Cho không gian mêtric (X,d) ; A ⊂ X , a ∈ X ;

i) Điểm a đợc gọi là điểm trong của A nếu ∃ B (a,r ) ⊂ A , ∀ r > 0 ii) Tập G của không gian mêtric (X, d) đợc gọi là mở nếu mọi điểmthuộc G đều là điểm trong của G

1.3.3 Nhận xét Điểm a là điểm trong của A và A ⊂ B thì a cũng là điểm trongcủa B

1.3.4 Định lí Trong không gian mêtric (X, d), U là tập tất cả các tập con mở

1.3.6 Nhận xét Nếu U là lân của điểm x và U ⊂ V thì V cũng là lân cận của điểm x

1.3.7 Định lí Giao hữu hạn các lân cận của điểm x trong không gian mêtric là

một lân cận của điểm x

1.3.8 Định lí Mọi tập con A của không gian mêtric X thì phần trong của A là

tập mở lớn nhất đợc chứa trong A

1.3.9 Định nghĩa Trong không gian mêtric ( X, d), tập hợp F ⊂ X đợc gọi làtập đóng nếu X \ F là tập mở trong X

1.3.10 Định lí F là họ tất cả các tập đóng của không gian mêtric X, khi đó :

1.3.12 Định nghĩa Giả sử (X,d) là không gian mêtric, A ⊂ X

i) Điểm a∈ X đợc gọi là điểm dính của A nếu tồn tại dãy {xn} ⊂ Asao cho xn→ a, khi n→∞

ii) Tập tất cả các điểm dính của A đợc gọi là bao đóng của A, kí hiệu là

1.3.13 Định lí Giả sử (X, d) là không gian mêtric, F ⊂ X thì x ∈ F khi và chỉ khid( x, F) = 0

1.3.14 Định lí Điểm a ∈ X là điểm dính của A khi và chỉ khi mọi lân cận Vcủa a ta có V ∩ A ≠∅

1.3.15 Định lí Với mọi tập con A trong không gian mêtric X thìA là tập

đóng bé nhất chứa A

1.4 Không gian mêtric compact.

1.4.1 Định nghĩa Không gian mêtric (X, d) đợc gọi là compact nếu mọi dãy

{xn}nằm trong X đều chứa dãy con { xnk} hội tụ trong X

Tập con Y ⊂ X đợc gọi là compact nếu không gian con (Y, dY) là khônggian mêtric compact

1.4.2 Định nghĩa Cho không gian mêtric (X, d) ; A ⊂ X , tập A đợc gọi làcompact tơng đối nếu A là compact

Tập A ⊂ X đợc gọi là hoàn toàn bị chặn nếu ∀ε > 0, tồn tại hữu hạn điểm:

ii) X là không gian đầy đủ và hoàn toàn bị chặn

1.4.4 Định lí X là không gian mêtric, E là tập con trong X, khi đó

i) Nếu E là compact thì E là đóng và đầy đủ,

ii) Nếu E là tập đóng trong X và X là tập compact thì E là tập compact

1.4.5 Định lí Tập A ⊂ Rn là tập compact khi và chỉ khi A là tập đóng và bị chặn

1.4.6 Định lí.

i) Hợp hữu hạn các tập compact là tập compact,

ii) Giao tuỳ ý các tập compact là tập compact.

1.4.7 Định lí Giả sử (X, d) là không gian mêtric thì các khẳng định sau đây là

tơng đơng :

i) X là tập compact,

ii) Mỗi phủ mở của X chứa một phủ con hữu hạn

1.4.8 Định lí X,Y là các mêtric , ánh xạ f : X → Y liên tục, khi đó nếu X làtập compact thì f(X) cũng là compact

1.4.9 Định lí Giả sử X, Y là các mêtric nếu f : X → Y là ánh xạ liên tục, X làcompact thì f là liên tục đều

Chơng 2 không gian siêu mêtric

2.1 không gian siêu mêtric

2.1.1 Định nghĩa Một siêu mêtric ( hay mêtric phi Acsimet) trong một tập

hợp X khác rỗng là một ánh xạ ρ : X ì X → R thoả mãn các điều kiện sau:

Các phần tử thuộc (X, ρ) đợc gọi là các điểm

2.1.2 Ví dụ Giả sử X là tập số thực R, E là tập tất cả các dãy vô hạn x = (xn)những phần tử của X Với mỗi cặp phần tử khác nhau x = (xn) và y = (yn) củatập hợp E, giả sử k(x, y) là số n nhỏ nhất sao cho xn ≠ yn Ta đặt :ρ(x, y) = 1/ k(x, y) nếu x ≠ y và ρ(x, y) = 0 nếu x = y, khi đó ρ là một siêumêtric trong E

Chứng minh Để chứng minh ρ là một siêu mêtric trong E, chúng ta lầnlợt kiểm tra các tiên đề của siêu mêtric

Do n ∈ N nên k(x, y) ≥ 0 Suy ra ρ(x, y) ≥ 0, ∀ x, y ∈ E Suy ra tiên đề

Nếu x = y hoặc y = z hoặc z = x thì (1) đúng

Nếu x ≠ y , y ≠ z , z ≠ x thì gọi k' = min { k(x, z) , k(z, y) }

Lúc đó theo định nghĩa k(x,y) ta có xn = yn ( = zn ), với mọi n < k'

Do đó ρ(x, y) = 1/ k' = max { ρ(x, z) , ρ(z, y) }, suy ra (1) đúng

Vậy ρ là một siêu mêtric trên E và (E, ρ) là không gian siêu mêtric

2.1.3 Mệnh đề Mọi không gian siêu mêtric đều là không gian mêtric

Chứng minh Giả sử (X, ρ) là một không gian siêu mêtric, khi đó chúng

ta có: các tiên đề S1), S2), S3) đợc thoả mãn, ta xét tiên đề S4), ∀ x, y, z ∈ Xchúng ta có: ρ(x, y) ≤ max { ρ(x, z) , ρ(z, y) } ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y)

Suy ra ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y) , ∀ x, y, z ∈ X Vậy ( X, ρ) là khônggian mêtric 

2.1.4 Nhận xét Điều ngợc lại của mệnh đề 2.1.3 là không đúng, tức là (X,

d) là không gian mêtric nhng (X, d) có thể không phải là không gian siêumêtric

2.1.5 Ví dụ Cho R là tập số thực, với d(x, y) = x- y, ta thấy d là một mêtric,nhng d không phải là siêu mêtric

Thậy vậy, a) Ta chứng minh d là một mêtric Từ tính chất của giá trị tuyệt

đối, ta có:

d(x, y) =  x- y ≥ 0, ∀ x, y ∈ R

d(x, y) =  x- y = 0 khi và chỉ khi x - y = 0 ⇔ x = y

d(x, y) =  x- y =  y - x = d(y, x), với mọi x, y ∈ R

Với mọi x, y, z thuộc E ta có

, suy ra

d(x, y) > max{d(x, z), d(z, y)} Do đó d không phải là siêu mêtric.

2.1.6 Ví dụ Giả sử X = [ 0 , 1]; d(x, y) = sin( x- y ) , ∀ x, y ∈ X

Ta có d là một mêtric trên X nhng d không phải là siêu mêtric trên X

a) Ta chứng minh d là một mêtric trên X Thật vậy, kiểm tra các tiên đềcủa mêtric ta có

d(x, y) = sin(x- y)≥ 0, ∀ x, y ∈ X Suy ra tiên đề M1) đợc thoả mãn.d(x, y) = 0 ⇔ sin(x- y) = 0 ⇔ x - y = kπ⇔ x = y + kπ , do x, y ∈ X khi k = 0 thì d(x, y) = 0 ⇔ x = y Suy ra tiên đề M2) đợc thoả mẵn.Ta có sin(x- y) = - sin(y- x) = sin(y- x), ∀ x, y ∈ X, hay là

d(x, y) = d(y, x) , ∀ x, y ∈ X Suy ra tiên đề M3) đợc thoả mãn

Chúng ta có sin(a+b) = sina.cosb +sinb.cosa

≤sina.cosb + sinb.cosa

≤sina+ sinb , ∀ a, b ∈ R

Suy ra sin(x- y) = sin[(x- z)+(z- y)]≤ sin(x- z) + sin(z- y), vớimọi x, y, z thuộc X, hay là d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀ x, y, z ∈ X Suy ratiên đề (M4) đợc thoả mãn

Vậy d là một mêtric trên X

b) Bây giờ ta chứng minh d không phải là một siêu mêtric trên X Thậtvậy, d(x, y) ≤ max { d(x, z) , d(z, y) } không thoả mãn ∀ x, y, z ∈ X , chẳng hạn : tồn tại x = π/4 , y= 0 , z = π/6 ∈ X mà sin(x-y) = sinπ/4 = 2/ 2 ; sin(x-z)=sinπ/4.cosπ/6 - sinπ/6 cosπ/4= 2/ 4.( 3-1)

= ( 3-1)/2 2 < 2/ 2 ;

sin(z-y) = sinπ/6 = 1/2 < 2/ 2 ;

Suy ra sin(x-y) > max{sin(x-z),sin(z-y)}

Do đó tiên đề S4) không đợc thoả mãn Vậy (X,d) không phải là khônggian siêu mêtric

2.1.7 Mệnh đề Giả sử (X, ρ) là một không gian siêu mêtric; x1, x2,…, xn∈ X,với mọi n ≥ 2, khi đó ρ(x1, xn) ≤ max{ρ(x1, x2) , ρ(x2, x3), …, ρ(xn-1, xn)} (1).

Chứng minh Do (X, ρ) là không gian siêu mêtric nên theo tiên đề S4) ta

Suy ra (1) đúng đến n Vậy theo quy nạp thì (1) đúng với mọi n ≥ 2 

2.1.8 Mệnh đề Giả sử (X, ρ) là một không gian siêu mêtric; x, y, u, v ∈ X , khi

đó, ρ(x, y) -ρ(u, v)≤ ρ(x, u) + ρ(y, v)

Chứng minh Do (X, ρ) là không gian siêu mêtric nên ta có

ρ(x, y) ≤ max{ρ(x, u), ρ(u, v), ρ(v, y) }≤ ρ(x, u) + ρ(u, v) + ρ(v, y) Khi và chỉ khi ρ(x, y) - ρ(u, v) ≤ ρ(x, u) + ρ(y, v) (1)

Mặt khác: ρ(u, v) ≤ max {ρ(u, x) , ρ(x, y) , ρ(y, v) }≤ ρ(u, x) + ρ(x, y) + ρ(y, v)Khi và chỉ khi ρ(u, v) - ρ(x, y) ≤ ρ(x, u) + ρ(y, v) (2)

Từ (1) và (2) suy ra ρ(x, y) - ρ(u, v)≤ ρ(x, u) + ρ(y, v) 

2.1.9 Định nghĩa Giả sử A, B là hai tập hợp không rỗng trong không gian siêu

mêtric (X, ρ), số ρ(A, B) = inf {ρ(x, y) : x ∈ A, y ∈B } đợc gọi là khoảng cáchgiữa tập hợp A và B

2.1.10 Nhận xét 0 ≤ ρ(A, B) < ∞ và ρ(A, B) = ρ(B, A)

Nếu ρ(A, B) > 0 thì A ∩ B = ∅ , nhng điều ngợc lại nói chung làkhông đúng, tức là A ∩ B = ∅ mà không nhất thiết ρ(A, B) > 0

Chẳng hạn: A =[ 0 , 1] , B = (2 , 3) thì A ∩ B =∅ nhng ρ(A, B) = 0

Nếu A = { x } thì thay ρ(A, B) bởi ρ(x, B) và gọi là khoảng cách từ

điểm x đến tập hợp B

Tuy nhiên ρ(A, B) không phải là siêu mêtric

2.1.11 Mệnh đề Giả sử (X, ρ) là không gian siêu mêtric , A ≠∅ là tập hợp tuỳ

ý nằm trong X và x, y ∈ X, khi đó ρ(x, A) - ρ(y, A) ≤ ρ(x, y)

Chứng minh Lấy z bất kì , z ∈ A, ta có

ρ(x, z) ≤ max{ ρ(x, y), ρ(y, z) } ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z)

Suy ra ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z) (1)

Vì ρ(x, A) ≤ ρ(x, z) , ∀ z ∈ A (2)

Từ (1) và (2) ⇒ ρ(x, A) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z) (3)

Vì (3) đúng ∀ z ∈ A nên ρ(x, A) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, A)

Suy ra ρ(x, A) - ρ(y, A) ≤ ρ(x, y) (I)

Mặt khác : ρ(y, z) ≤ max{ ρ(y, x) , ρ(x, y) } ≤ ρ(y, x) + ρ(x, z), mà

ρ(y, A) ≤ ρ(y, z) ⇒ ρ(y, A) ≤ ρ(y, x) + ρ(x, z) (4) Vì (4) đúng ∀ z ∈ A ⇒ ρ(y, A) ≤ ρ(y, x) + ρ(x, A) Suy ra

ρ(y, A) - ρ(x, A) ≤ ρ(x, y) (II)

Từ (I) và (II) ⇒ρ(x, A) - ρ(y, A) ≤ ρ(x, y) , (đpcm)

2.1.12 Mệnh đề Giả sử (X, ρ) là không gian siêu mêtric, khi đó:

nếu ρ(x, z) ≠ ρ(z, y) thì ρ(x,y) = max { ρ(x, z) , ρ(z, y) }

Chứng minh Chúng ta có thể giả thiết : ρ(x, z) < ρ(z, y)

Nếu ρ(x, y) < ρ(z, y) thì max { ρ(x, z) , ρ(x, y) } < ρ(z, y), ta thu đợc

điều vô lí

Do đó ρ(x, y) ≥ ρ(z, y) ⇒ ρ(x, y) ≥ max { ρ(x, z) , ρ(z, y) } (1)

Mà ρ(x, y) ≤ max { ρ(x, z) , ρ(z, y) } ∀ x, y, z ∈ X (2)

Từ (1) và (2) ⇒ ρ(x, y) = max { ρ(x, z) , ρ(z, y) } 

2.2 Không gian con

2.2.1 Định nghĩa Giả sử (X, ρ) là một không gian siêu mêtric, Y⊂ X, Y ≠∅ ,nếu chỉ xét ρ trong Y với mỗi cặp (x, y) ∈ YìY ta đặt : pY(x, y) = ρ(x, y) Với pY : YìY → R là một ánh xạ Khi đó pY là một siêu mêtric trên Y vàkhông gian (Y, pY ) là không gian siêu mêtric con của không gian siêu mêtric (X, ρ)

pY gọi là siêu mêtric cảm sinh bởi ρ trên Y

2.3 Tôpô của không gian siêu mêtric

2.3.1 Định nghĩa Cho (X, ρ) là một không gian siêu mêtric, với a ∈ X , r là sốdơng bất kì , chúng ta gọi :

Hình cầu mở tâm a bán kính r là tập hợp : B(a, r) = { x ∈ X / ρ(a, x) < r }, Hình cầu đóng tâm a bán kính r là tập hợp : B[a, r] = {x ∈ X / ρ (a, x) ≤ r},

Mặt cầu tâm a bán kính r là một tập hợp : S(a, r) = { x∈ X / ρ (a, x) = r }

2.3.2 Định nghĩa Giả sử A là một tập tuỳ ý trong không gian siêu mêtric (X, ρ),

i) Điểm a ∈ X đợc gọi là điểm trong của A nếu ∃ B(a, r) ⊂ A,

ii) Tập hợp G ⊂ X , G ≠ ∅ đựơc gọi là mở nếu mọi điểm của G đều là

điểm trong của G Ngoài ra chúng ta còn xem ∅ là tập mở

2.3.3 Mệnh đề Họ ح là tập tất cả các tập mở trong một không gian siêumêtric khi đó :

i) X ∈ح , ∅∈ ح ,

ii) Nếu Gm∈ح ,( m∈ I - là họ chỉ số bất kì ) thì m∈I Gm ∈ح ,

iii) Nếu Gk∈ح , ( k = 1, 2, , n) thì n

k= 1 Gk ∈ح .Chứng minh

i) Đợc suy trực tiếp từ định nghĩa 2.3.2

ii) Đặt G = 

I

m∈ Gm , I là họ chỉ số bất kỳ Giả sử x0 là điểm bất kỳ trong

G do đó ∃ m0∈ I sao cho x0∈ Gm0 Theo giả thiết Gm0 ∈ ح nên Gm0 làtập mở Suy ra tồn tại hình cầu mở B(x0,r) sao cho

B(x0,r) ⊂ Gm0 ⊂ G = m∈I Gm , suy ra B(x0, r) ⊂ G, tức là x0 là điểm trong của G

Do x0 là bất kỳ trong G khi đó theo định nghĩa 2.3.2 thì G là tập mở hay

2.3.6 Mệnh đề Giao của một số hữu hạn các lân cận của điểm x trong không

gian siêu mêtric cũng là lân cận của điểm x

Chứng minh Giả sử {Ui: i = 1 ,n} là các lân cận của điểm x Khi đó,với mỗi i ∈ {1, …, n }tồn tại ri > 0 sao cho B(x, ri ) ⊂ Ui

Đặt r = min{ ri : i = 1 ,n } Ta thu đợc x ∈ B(x,r) ⊆ n

i

i

r x B

1

) , (

U



1

= là lân cận của x 

2.3.7 Định nghĩa Một họ S là những lân cận của điểm x đợc gọi là một cơ sở

lân cận của điểm x nếu với mọi lân cận U của x đều tồn tại lân cận V∈ S saocho V ⊂ U

2.3.8 Mệnh đề Trong không gian siêu mêtric (X, ρ) , mọi điểm x ∈ X đều cómột cơ sở lân cận S gồm một số đếm đợc những lân cận của điểm x

Chứng minh: Giả sử U là một lân cận tuỳ ý của điểm x, theo địnhnghĩa 2.3.4 thì tồn tại tập mở chứa x và nằm trong U suy ra x là điểm trongcủa U Do đó tồn tại hình cầu mở B(x, r) ⊂ U Khi đó, chúng ta có thể chọn

họ S là họ đếm đợc các hình cầu {B(x, 1/n ): n=1, 2, } Đây là họ đếm đợcnhững lân cận của điểm x, vì mỗi hình cầu là một lân cận của điểm x Khi đó,tồn tại

2.4.1 Định nghĩa Nếu A là một tập hợp tuỳ ý trong không gian siêu mêtric

(X, ρ) thì phần trong của A là tập tất cả các điểm trong của A và kí hiệu làintA

2.4.2 Mệnh đề Trong không gian siêu mêtric (X, ρ) , với mọi tập hợp A nằm

trong X thì int A là một tập mở lớn nhất đợc chứa trong A

Chứng minh Trớc hết ta chứng minh int A là tập mở

Thật vậy, nếu int A = ∅ thì int A là tập mở vì ∅ là tập mở