Định lý điểm bất động cho lớp ánh xạ kiểu SUZUKI trên không gian kiểu Metric

Định lý điểm bất động cho lớp ánh xạ kiểu SUZUKI trên không gian kiểu Metric MÖC LÖC Thæng tin k¸t qu£ nghi¶n cùu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi Mð ¦u 1 1 Têng quan t¼nh h¼nh nghi¶n cùu . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 T½nh c§p thi¸t cõa · t i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 Möc ti¶u nghi¶n cùu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 C¡ch ti¸p cªn v  ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu . . . . . . . . . 3 5 èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu . . . . . . . . . . . . . . 3 6 Nëi dung nghi¶n cùu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 Khæng gian kiºum¶tric 4 1.1 ành ngh¾a v  t½nh ch§t cõa khæng gian kiºum¶tric . . . 4 1.2 ành l½ iºm b§t ëng kiºu Suzuki cho mët ¡nh x¤ tr¶n khæng gian kiºum¶tric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 ành l½ iºm b§t ëng kiºu Suzuki cho hai ¡nh x¤ tr¶n khæng gian kiºum¶tric v  ¡p döng 9 2.1 ành l½ iºm b§t ëng cho hai ¡nh x¤ kiºu Suzuki tr¶n khæng gian kiºum¶tric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 ii iii 2.2 V½ dö minh håa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 K¸t luªn v  ki¸n nghà 29 1 K¸t luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2 Ki¸n nghà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Phö löc 33

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP CƠ SỞ

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO HAI ÁNH XẠ

KIỂU SUZUKI TRÊN KHÔNG GIAN

KIỂU-MÊTRIC

Mã số: CS2013.01.15

Chủ nhiệm đề tài: ThS Nguyễn Thị Thanh Lý

Đồng Tháp, 5/2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP CƠ SỞ

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO HAI ÁNH XẠ

KIỂU SUZUKI TRÊN KHÔNG GIAN

KIỂU-MÊTRIC

Mã số: CS2013.01.15

Xác nhận của Chủ tịch HĐ nghiệm thu Chủ nhiệm đề tài

Xác nhận của Chủ tịch HĐ nghiệm thu

Nguyễn Thị Thanh Lý

Đồng Tháp, 5/2014

Thông tin kết quả nghiên cứu iv

Summary vi

Mở đầu 1 1 Tổng quan tình hình nghiên cứu 1

2 Tính cấp thiết của đề tài 2

3 Mục tiêu nghiên cứu 2

4 Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu 3

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

6 Nội dung nghiên cứu 3

1 Không gian kiểu-mêtric 4 1.1 Định nghĩa và tính chất của không gian kiểu-mêtric 4

1.2 Định lí điểm bất động kiểu Suzuki cho một ánh xạ trên không gian kiểu-mêtric 7

2 Định lí điểm bất động kiểu Suzuki cho hai ánh xạ trên không gian kiểu-mêtric và áp dụng 9 2.1 Định lí điểm bất động cho hai ánh xạ kiểu Suzuki trên không gian kiểu-mêtric 9

ii

bộ giáo dục & đào tạo

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

TÓM TẮT KẾT QUẢ ĐỀ TÀI KH & CN CẤP CƠ SỞTên đề tài: Định lí điểm bất động cho hai ánh xạ kiểu Suzuki trênkhông gian kiểu-mêtric

Mã số: CS2013.01.15

Chủ nhiệm đề tài: Nguyễn Thị Thanh Lý

Tel.: 0939654465 E-mail: nguyenthithanhly@dthu.edu.vn

Cơ quan chủ trì đề tài: Trường Đại học Đồng Tháp

Cơ quan và cá nhân phối hợp thực hiện: Không

Thời gian thực hiện: 4/2013 đến 5/2014

- Không gian kiểu-mêtric

- Một số định lí điểm bất động trên không gian kiểu-mêtric và ứng dụng

3 Kết quả chính đạt được (khoa học, ứng dụng, đào tạo,kinh tế - xã hội, ):

- 2 định lí điểm bất động cho hai ánh xạ kiểu Suzuki trên không giankiểu-mêtric được thiết lập và chứng minh

- 3 hệ quả được rút ra từ định lí và 2 ví dụ được xây dựng để minhhọa cho kết quả đạt được

- Các kết quả chính này cũng được công bố trên tạp chí Journal ofNonlinear Analysis and Optimization Kết quả đề tài là một tài liệutham khảo bổ ích cho giảng viên, sinh viên Khoa Sư phạm Toán - Tin,Trường Đại học Đồng Tháp trong giảng dạy, nghiên cứu và học tập giảitích hiện đại.

Chủ nhiệm đề tài

Nguyễn Thị Thanh Lý

ministry of education and training

DONG THAP UNIVERSITY Independence - Freedom - Happiness

SUMMARY

Project Title: Suzuki type fixed point theorems for two maps inmetric-type spaces

Code number: CS2013.01.15

Coordinator: Nguyen Thi Thanh Ly

Tel.: 0939654465 E-mail: nguyenthithanhly@dthu.edu.vn

Implementing Institution: Dong Thap University

Cooperating Institution(s): No

Duration: from 2013, April to 2014, May

1 Objectives:

- To state some Suzuki type fixed point theorems on metric-type spaces

- To give some examples to demonstrate the validity of the results

metric Three corollaries are obtained from these theorems

- Two examples illustrate the results

- An article published on Journal of Nonlinear Analysis and Optimization

- A reference for lecturers and students of Faculty of Mathematicsand Information Technology Teacher Education, Dong Thap University

in studying, lecturing and researching advanced analysis

Coordinator

Nguyen Thi Thanh Ly

MỞ ĐẦU

Lí thuyết điểm bất động là một trong những vấn đề quan trọng trongtoán học Nó có nhiều ứng dụng trong giải tích nhất là trong việc khảosát sự tồn tại nghiệm của các bài toán liên quan đến các phương trìnhphi tuyến Vấn đề này đã và đang được nhiều tác giả quan tâm nghiêncứu Năm 1922, Nguyên lí ánh xạ co Banach được giới thiệu trong [3]được xem là một trong những kết quả cơ bản nhất trong lí thuyết điểmbất động Từ đó, việc mở rộng Nguyên lí co Banach cho lớp các ánh

xạ khác nhau trên các không gian khác nhau được nhiều tác giả quantâm nghiên cứu Nhiều dạng ánh xạ co và định lí điểm bất động đượcnghiên cứu, chứng minh và đạt được một số kết quả nhất định khôngchỉ trên không gian mêtric [4], [6], [8], [18], [23], [24] mà còn trên khônggian mêtric suy rộng [7], [20], [21]

Gần đây, trong [17] Khamsi và Hussain đã nêu lại một lớp không gianđối xứng đã được giới thiệu trong [2] và là tổng quát của không gianmêtric với tên gọi mới là không gian kiểu-mêtric Qua đó, các tác giảcũng đề cập đến một số vấn đề về định lí điểm bất động trên lớp khônggian này Vấn đề nảy sinh một cách tự nhiên là mở rộng các dạng ánh

xạ co và định lí điểm bất động trên không gian mêtric cho không giankiểu-mêtric Hiện nay, hướng nghiên cứu này đang được nhiều tác giảquan tâm nghiên cứu và đạt được một số kết quả [15], [17], [22] Hiện

tại, nhóm nghiên cứu Giải tích toán học và áp dụng của Khoa Sư PhạmToán Tin - Trường Đại học Đồng Tháp đang thảo luận một số vấn đề vềkhông gian mêtric và những suy rộng của nó và bước đầu đã thu đượcmột số kết quả [9], [10], [12].

Trong [13], Husan, Doric, Kadelburg và Radenovic mở rộng các định

lí điểm bất động kiểu Suzuki [23] và [24] trên không gian kiểu-mêtric

Đề tài này chúng tôi tiếp tục mở rộng các định lí chính trong [13] chohai ánh xạ trên không gian kiểu-mêtric

2 Tính cấp thiết của đề tài

Từ tình hình tổng quan đề tài và kết quả các công trình nghiên cứuliên quan đến đề tài thể hiện đề tài mà chủ nhiệm đang nghiên cứu được

sự quan tâm nhất định của các tác giả cùng lĩnh vực Hơn nữa, vấn đề

về mở rộng các định lí chính trong [13] cho hai ánh xạ trên không giankiểu-mêtric chưa được thực hiện trước đó Do đó, kết quả đề tài sẽ gópphần làm phong phú thêm các định lí điểm bất động trên không gianmêtric suy rộng Bên cạnh đó, đề cập cũng nhật các tài liệu có liên quannên là một tài liệu tham khảo tốt cho các tác giả quan tâm nghiên cứu

Thiết lập và chứng minh định lí điểm bất động cho cặp ánh xạ trênkhông gian kiểu-mêtric

Xây dựng các ví dụ minh họa để chứng minh các kết chính của đề tài

là mở rộng của một số kết quả trước đó

4 Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu

Cách tiếp cận: Trên cơ sở nghiên cứu định lí điểm bất động trênkhông gian mêtric và kiểu-mêtric trong một số tài liệu tham khảo,chúng tôi thiết lập định lí điểm bất động cho cặp ánh xạ trên khônggian kiểu-mêtric

Phương pháp: Từ việc nghiên cứu các tài liệu tham khảo, sử dụngphương pháp tương tự hóa, khái quát hóa để thiết lập các định lí điểmbất động trên không gian kiểu-mêtric Các kết quả này được thảo luậnchi tiết với một số tác giả cùng lĩnh vực nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu lớp ánh xạ co kiểu Suzuki trên không gian mêtric thuộc lĩnh vực lí thuyết điểm bất động trên không gian mêtricsuy rộng

Nội dung đề tài được trình bày trong hai chương

Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần sử dụng chochương sau gồm một số khái niệm và tính chất của không gian kiểu-mêtric

và hai định lí điểm bất động kiểu Suzuki trên không gian kiểu-mêtric.Chương 2 trình bày kết quả chính của đề tài gồm hai định lí điểmbất động kiểu Suzuki cho hai ánh xạ trên không gian kiểu-mêtric và ví

dụ minh họa cho kết quả đạt được

CHƯƠNG 1

KHÔNG GIAN KIỂU-MÊTRIC

1.1 Định nghĩa và tính chất của không gian kiểu-mêtric

Trong mục này, chúng tôi trình bày định nghĩa và một số tính chấtcủa không gian kiểu-mêtric cần sử dụng cho chương sau

1.1.1 Định nghĩa ([17], Definition 6) Cho X là tập khác rỗng, số thực

K ≥ 1 và hàm D : X × X −→ [0, ∞) thỏa mãn các điều kiện sau

1 D(x, y) = 0 nếu và chỉ nếu x = y

2 D(x, y) = D(y, x) với mọi x, y ∈ X

3 D(x, z) ≤ KD(x, y) + D(y, z) với mọi x, y, z ∈ X

Khi đó D được gọi là kiểu-mêtric trên X và (X, D, K) được gọi là mộtkhông gian kiểu-mêtric

1.1.2 Nhận xét 1 Mỗi không gian mêtric (X, d) là một không giankiểu-mêtric (X, d, 1) và ngược lại

2 Không gian kiểu-mêtric cũng được nghiên cứu với tên gọi là khônggian b-mêtric trong [2] Hơn nữa, trong [17], Khamsi đã giới thiệukhông gian kiểu-mêtric với điều kiện (3) của Định nghĩa 1.1.1 được

thay bởi điều kiện sau

1.1.4 Định nghĩa ([25], Mệnh đề 2.2.4) Không gian kiểu-mêtric (X × X, D, K)

trong Mệnh đề 1.1.3 được gọi là không gian kiểu-mêtric tích với không gian

kiểu-mêtric đã cho

Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất về sự

hội tụ trong không gian kiểu-mêtric

1.1.5 Định nghĩa ([17], Definition 7) Cho (X, D, K) là một không gian

kiểu-mêtric Khi đó

1 Dãy {xn} được gọi là hội tụ đến x ∈ X, kí hiệu xn −→ x hay

lim

n→∞xn = x nếu và chỉ nếu lim

n→∞D(xn, x) = 0 Khi đó x được gọi làđiểm giới hạn của dãy {xn}

2 Dãy {xn} được gọi là Cauchy nếu và chỉ nếu lim

n,m→∞D(xn, xm) = 0

3 Không gian (X, D, K) được gọi là đầy đủ nếu và chỉ nếu bất kì dãy

Cauchy trong X là một dãy hội tụ

1.1.6 Nhận xét 1 Tôpô trên không gian kiểu-mêtric (X, D, K) đượchiểu là tôpô sinh bởi sự hội tụ của nó, tức là, tập Gmở trong khônggian kiểu-mêtric (X, D, K) nếu và chỉ nếu với mỗi x ∈ G và mọi dãy

{xn} trong X mà xn −→ x thì tồn tại n0 ∈ N sao cho xn ∈ G vớimọi n ≥ n0

2 Kiểu mêtric D : X × X −→ [0, ∞) trên không gian (X, D, K) là liêntục tại (x, y) khi và chỉ khi lim

n,m→∞D(xn, yn) = D(x, y) với mọi dãy

1.1.7 Mệnh đề Cho (X, D, K) là không gian kiểu-mêtric Nếu dãy {xn}

trong X hội tụ thì điểm giới hạn của nó là duy nhất

Chứng minh Giả sử x, y là hai điểm giới hạn của dãy {xn} trong X.Khi đó

D(x, y) ≤ KD(x, xn) + D(xn, y)

Cho qua giới hạn ta được D(x, y) = 0 hay x = y Vậy giới hạn của dãy

{xn} là duy nhất

1.1.8 Định nghĩa ([19], Definition 1.2) Cho không gian mêtric(X, D, K)

và ánh xạ T : X −→ X Khi đó T được gọi là thương dãy nếu {yn} hội

tụ với mỗi dãy {T yn} hội tụ

1.1.9 Bổ đề ([15], Lemma 3.1) Giả sử {yn} là một dãy trong khônggian kiểu-mêtric (X, D, K) thỏa mãn điều kiện sau

D(yn, yn+1) ≤ λD(yn−1, yn) (1.1)

với λ ∈ [0, 1

K) và mọi n ∈ N Khi đó {yn} là một dãy Cauchy trongkhông gian (X, D, K)

1.2 Định lí điểm bất động kiểu Suzuki cho một ánh

xạ trên không gian kiểu-mêtric

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số kết quả về định lí điểmbất động trong [13] Các kết quả này là tổng quát của một số kết quảtrong [23] và [24]

1.2.1 Định nghĩa ([14], page 2) Một ánh xạ T : X → X được gọi là cótính chất (P ) nếu F (T ) = F (Tn) với mọi n ∈ N, với

1.2.3 Định lí ([13], Theorem 4) Giả sử(X, D, K) là không gian kiểu-mêtric

và T : X −→ X là một ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau

CHƯƠNG 2

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KIỂU SUZUKI CHO

HAI ÁNH XẠ TRÊN KHÔNG GIAN

KIỂU-MÊTRIC VÀ ÁP DỤNG

Trong chương này chúng tôi trình bày các kết quả chính của đề tàigồm hai định lí điểm bất động kiểu Suzuki cho hai ánh xạ trên khônggian kiểu-mêtric, một số hệ quả và ví dụ cho kết quả đạt được Các kếtquả chính này được công bố trong [11]

Suzuki trên không gian kiểu-mêtric

Trước hết chúng tôi thiết lập bổ đề về điều kiện đủ cho một ánh xạtrên không gian kiểu-mêtric có tính chất (P ) Nếu K = 1 thì ta được [14,Theorem 1.1]

2.1.1 Bổ đề Giả sử (X, D, K) là không gian kiểu-mêtric và T : X −→ X

là ánh xạ thỏa mãn điều kiện

D(T x, T2x) ≤ λD(x, T x) (2.1)với 0 ≤ λ < 1 và mọi x ∈ X Khi đó T có tính chất (P )

Chứng minh Nếu u ∈ F (Tn), tức là Tnu = u, thì sử dụng (2.1) ta có

D(u, T u) = D(T Tn−1u, T2Tn−1u) ≤ λD(Tn−1u, T Tn−1u) ≤ ≤ λnD(u, T u)

Vì 0 ≤ λn < 1 nên D(u, T u) = 0, tức là u ∈ F (T ) Nếu u ∈ F (T ), tức là

T u = u, thì

D(u, Tnu) = D(u, Tn−1u) = = D(u, T u) = 0

Khi đó Tnu = u, hay u ∈ F (Tn) Vậy bổ đề được chứng minh

Sau đây là định lí điểm bất động kiểu Suzuki cho hai ánh xạ trênkhông gian kiểu-mêtric Những kết quả này là sự tổng quát của một sốkết quả trong [13], [23] và [24]

2.1.2 Định lí Giả sử (X, D, K) là không gian kiểu-mêtric đầy đủ; T, F :

X −→ X là hai ánh xạ và θ = θK : [0, 1) −→ 1

K + 1, 1

i

được định nghĩabởi (1.2) và thỏa mãn các điều kiện sau

M (x, y) = max

nD(F x, F y), D(F x, F T x), D(F y, F T y),

12KD(F x, F T y) + D(F y, F T x)o;

3 F là đơn ánh, liên tục và thương dãy

Khi đó

1 T có duy nhất điểm bất động a ∈ X

2 Với mỗi x ∈ X, dãy {F Tnx} hội tụ đến F a

3 Nếu T F = F T, thì T có tính chất (P ) và F, T có duy nhất một điểmbất động chung

Chứng minh (1) Với mỗi x ∈ X, vì θ(r) ≤ 1 nên

2KD(F x, F T2x) + D(F T x, F T x)o

≤ r

Kmax

nD(F x, F T x), D(F T x, F T2x),1

Ta xét hai trường hợp sau

Trường hợp 2 maxnD(F x, F T x), D(F T x, F T2x)o = D(F x, F T x).

Sử dụng (2.3) ta được

D(F T x, F T2x) ≤ r

KD(F x, F T x). (2.5)Đặt xn+1 = T xn và yn = F T xn với mọi n ∈ N trong đó x0 = x Ta cũng

kiểu-yn−1 = F T xn−1 = F xn −→ F a = z (2.7)Bây giờ ta chứng minh bất đẳng thức sau

D(F T x, z) ≤ r

Kmax

nD(F x, z), D(F x, F T x)o (2.8)với mỗi x 6= a Thật vậy, vìF xn → z,F T xn → z và D liên tục nên ta được

D(F xn, F T xn) → 0 và D(F xn, F x) → D(z, F x) 6= 0 (2.9)Khi đó tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi n ≥ n0,

θ(r)D(F xn, F T xn) < D(F xn, F x) (2.10)

Sử dụng (2.2) và (2.10) ta có

D(F T xn, F T x) ≤ r

Kmax

nD(F xn, F x), D(F xn, F T xn), D(F x, F T x),1

2KD(F xn, F T x) + D(F x, F T xn)o (2.11)Cho n → ∞ trong (2.11) và sử dụng (2.9) và tính liên tục của D ta được

D(z, F T x)

≤ r

Kmax

nD(z, F x), D(F x, F T x), 1

2KK D(z, F x) + D(F x, F T x)

+

12KD(F x, z)

o

≤ r

Kmax

nD(z, F x), D(F x, F T x)o

Vì vậy (2.8) được chứng minh

≤ r

Kmax

nD(F T a, z),

Ta xét hai trường hợp nhỏ sau

Trường hợp 2.1 0 ≤ r < bK Điều này kéo theo θ(r) ≤ 1 − r

n = 2, (2.15) được suy ra từ (2.12) Giả sử rằng (2.15) đúng với n > 2

2K D(F a, F T

n+1

a) + D(F Tna, F T a)

o

Tiếp tục sử dụng (2.12), (2.13) và giả thiết qui nạp ta được

D(F T a, F Tn+1a) ≤ r

KD(F T a, z).

Vậy (2.15) được chứng minh Sử dụng (2.14) ta được F Tna 6= z với mỗi

n ∈ N Nếu F Tna = z với n ∈ N nào đó thì sử dụng (2.15) ta được

D(z, F T a) = 0 Điều này mâu thuẫn với (2.14) Do đó F Tna 6= z với mỗi

n

KnD(z, F T a)o

n−n 1 +1

D(F Tn1a, z)

(2.18)Cho n → ∞ trong (2.18) ta được F Tna → z và cho n → ∞ trong (2.15)

θ(r)D(F xnj+1, F T xnj+1) = θ(r)D(ynj, ynj+1) ≤ D(ynj, z) (2.19)với mỗi j ∈ N Nếu

Điều này vô lí Do đó

θ(r)D(yn−1, yn) ≤ D(yn−1, z) hoặc θ(r)D(yn, yn+1) ≤ D(yn, z)

với n ∈ N Đặc biệt

θ(r)D(y2n−1, y2n) ≤ D(y2n−1, z) hoặc θ(r)D(y2n, y2n+1) ≤ D(y2n, z)

với mọi n ∈ N Nói cách khác, tồn tại dãy con {ynj} của {yn} thỏamãn (2.19) với mỗi j ∈ N Nhưng từ điều kiện (2.2) suy ra

D(F T xnj+1, F T a)

≤ r

Kmax

nD(F xnj+1, F a), D(F xnj+1, F T xnj+1), D(F a, F T a),r

2KD(F xnj+1, F T a) + D(F a, F T xnj+1)o (2.20)Cho qua giới hạn khi j → ∞ trong (2.20) ta được

(2) Kết quả trực tiếp của (2.7).

(3) Sử dụng (2.4) và (2.5) ta được

D(F T x, F T2x) ≤ r

KD(F x, F T x). (2.21)Tính chất (P ) được suy ra từ (2.5) và Bổ đề 2.1.1 Ta chỉ cần chứngminh T và F có điểm bất động chung duy nhất Gọi a là điểm bất độngduy nhất của T Giả sử ngược lại tức là F a 6= a Vì F đơn ánh nên

Từ Định lí 2.1.2 ta có các hệ quả sau

2.1.4 Hệ quả Giả sử (X, D, K) là một không gian kiểu-mêtric đầy đủ;

2.1.5 Hệ quả Giả sử (X, D, K) là một không gian kiểu-mêtric đầy đủ;

3 F đơn ánh, liên tục và thương dãy.

Khi đó

1 T có duy nhất một điểm bất động z ∈ X

2 Với mỗi x ∈ X, dãy {F Tnx} hội tụ về F z

3 Nếu T F = F T thì T có tính chất (P ) và F, T có điểm bất độngchung duy nhất

2.1.6 Hệ quả Giả sử (X, D, K) là một không gian kiểu-mêtric đầy đủ;

T, F : X −→ X là hai ánh xạ và θ = θK : [0, 1) −→  1

K + 1, 1

i

được địnhnghĩa bởi (1.2) và thỏa mãn các điều kiện sau