BÀI TẬP TÍCH PHÂN TỔNG HỢP THEO ĐANG ÔN THI ĐẠI HỌC NĂM 2016
Trang 1TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG TỔ: TOÁN
I.TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT
1 Tìm nguyên hàm của các hàm số
1 f(x) = x2 – 3x +
x
2
3 3
2 3
2 f(x) = 2
4 3 2
x
x
3
2 3
3 f(x) = 21
x
x
1
+ C
4 f(x) = 2
2 2 ) 1 (
x
x x
3 3
x x
5
4 4
3 3
5 3 4 2 3
6 f(x) =
3 2 1
x
3
7 f(x) =
x
x 1 )2 (
8 f(x) =
3
1
x
2 3 5
9 f(x) =
2 sin
4
1 2
1
13 f(x) =
x
2 cos sin
14 f(x) =
x x
x
2 2 cos sin
2
3
1
5 1
2
1
18 f(x) = ex(2 + )
cos2 x
ex
+ tanx + C
a
3 ln
3 ln
2
3 1
2 Tìm hàm số f(x) biết rằng
+ x + 3
3 2
3
x
Trang 2TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
3
40 2 3
8x x x2
4 f’ (x) = x - 12 2
2
3 2 1 2
2
x
x
5 f’ (x) = 4x3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3 ĐS f(x) = x4 – x3 + 2x + 3
6 f’ (x) = ax + 2 , f' ( 1 ) 0 , f( 1 ) 4 , f( 1 ) 2
x
b
2
5 1 2
2
x x
II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số
Tính I = f[u(x)].u' (x)dx bằng cách đặt t = u(x) Đặt t = u(x)dtu' (x)dx
I = f[u(x)].u' (x)dx f(t)dt
BÀI TẬP
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1.( 5x 1 )dx 2.( 32x) 5
dx
5.( 2x2 1 )7xdx 6.(x3 5 )4x2dx 7. x2 1 xdx 8. dx
x
x
5 2
x
x
3 2 2 5
3
) 1
x
dx
x
x
dx e
x. x2 1
13.sin4 x cos xdx 14. dx
x
x
5 cos
sin
15.cotgxdx 16. tgxdx2 x
cos
17.sindx x 18. dx x
x
e x
3
x x
e
dx e
x
e tgx
2 cos 23. 1 x 2 dx 24. 2
4 x dx
25.x2 1 x2.dx 26. 2
1 x
dx
2
1 x
dx x
x x dx
29.cos3 xsin2 xdx 30.x x 1 dx 31. x 1
e
dx
32.x3 x2 1 dx
2 Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
u(x).v' (x)dxu(x).v(x) v(x).u' (x)dx
Hay
udvuvvdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
BÀI TẬP
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1.x sin. xdx 2.x cos xdx 3.(x2 5 ) sinxdx 4.(x2 2x 3 ) cosxdx
5.xsin 2xdx 6.xcos 2xdx 7.x.e x dx 8.lnxdx
9.x ln xdx 10. 2 x dx
ln 11.lnxdx x 12.e x dx
Trang 3TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG TỔ: TOÁN
x
x
2 cos 14.xtg2xdx 15.sin x dx 16.ln(x2 1 )dx
17.e x cosxdx 18.x3e x2dx 19.xln( 1 x2)dx 20.2x xdx
21.x lg xdx 22.2xln( 1 x)dx 23. dx
x
x
2 ) 1 ln(
24.x2cos 2xdx
B.TÍCH PHÂN
I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
1
1
3
0
(x x 1)dx
1
1 1
e
x x
3
1 2
2
1 1
x dx
5.
2
3
(2sinx 3cosx x dx)
1
0 (e xx dx)
1 3 0 (x x x dx)
2
1 ( x 1)(x x 1)dx
9.
2
3
1 (3sinx 2cosx )dx
x
2
1 (x x x x dx)
1
2 0
(e xx 1)dx
2
1 ( x 1)(x x 1)dx
13
3
3
1
2
e
1
dx x
2
2 2 -1
x.dx
5
2
dx
17
2
2
1
x 1 dx
ln
3 6
x dx x
sin
4 2 0
tgx dx x
cos
0
21
0
e dx
2
2 1
dx
3
0
dx
ln
2
0
dx
25.
1
1
2
) 1 2
( x x dx 26.
2
0
3
) 3
2 2
( x x dx 27.
2
2
) 3 (x dx
4
3
2 ) 4 (x dx
x
x
2
1
3
2
1
1
1 3
2 2
dx x
x x
31 e
e
x dx
1
1
1
.dx
x
x
x x
e
2
1
7 5
2
x x
8
1 4
II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1.
2
3
sin xcos xdx
2
3
sin xcos xdx
2
0
sin
1 3
x dx cosx
4
0
tgxdx
5.
4
6
cot gxdx
6
0
1 4sin xcosxdx
1 2 0
1
x x dx
1
2 0
1
x x dx
9.
1
3 2
0
1
x x dx
3
x dx
x
1
0 1
x x dx
2
3 1
1 1
dx
x x
Trang 4TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
13.
1
2
0
1
1 x dx
1 2 1
1
2 2dx
15.
1 2 0
1 1
dx
x
1
2 2 0
1 (1 3 x ) dx
17.
2
sin
4
x
e cosxdx
2
4
sin
cosx
1 2 0
x
e xdx
2
3
sin xcos xdx
21.
2
sin
4
x
e cosxdx
2
4
sin
cosx
1 2 0
x
e xdx
2
3
sin xcos xdx
25.
2
3
sin xcos xdx
2
0
sin
1 3
x dx cosx
4
0
tgxdx
4
6
cot gxdx
29.
6
0
1 4sin xcosxdx
1 2 0
1
x x dx
1
2 0
1
x x dx
1
3 2 0
1
x x dx
33.
3
x
dx
x
1
0 1
x x dx
2
3 1
1 1
dx
x x
1
1 ln
e
x dx x
37
1
sin(ln )
e
x
dx x
1
1 3ln ln
e
x x dx x
2ln 1
1
e x
e dx x
2
2
1 ln ln
e
e
x dx
x x
41.
2
2
1
(1 ln )
e
e
dx cos x
2
x dx x
1
0 2 1
x dx
x
1
0
1
x x dx
45.
1
0
1
x x
1
0
1
x x
3
1
1
x dx x
1
1 ln
e
x dx x
49.
1
sin(ln )
e
x
dx x
1
1 3ln ln
e
x x dx x
2ln 1
1
e x
e dx x
2
2
1 ln ln
e
e
x dx
x x
53.
2
2
1
(1 ln )
e
e
dx cos x
1
0
5
x x dx 55 2 4
0
56
4
2
0
4 x dx
57
4
2
0
4 x dx
1
2
01
dx x
59.e x dx
0
1
3
2 60.1
0
dx
e x
61
1
3
0
x dx
(2x 1)
1
0
x dx 2x 1
1
0
x 1 xdx
1 2 0
4x 11 dx
x 5x 6
65
1
2
0
2x 5 dx
x 4x 4
2 0
x dx
x 2x 1
3 2
0
4sin x dx
1 cosx
6
0 (sin x cos x)dx
69
4
2
0
1 sin2xdx
cos x
2 4 0 cos 2xdx
1 x 0
1 dx
e 1
2
6
1 sin2x cos2xdx sin x cosx
73 2
0 5 2 sin
cos
dx x
x
0 1 2 sin 2
2 cos
dx x
x
0 2 cos 3 1
3 sin
dx x
x
76 4(cos x sin x)dx
0
4 4
Trang 5
TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG TỔ: TOÁN
77.
0
2
2
3 2
2 2
x x
x
1
1 x2 2x 5
dx
2
0 cos xsin xdx
2 5 0 cos xdx
81
4
2
0
sin 4x dx
1 cos x
1
0
x 1 x dx
4 4 0
1 dx cos x
2
2 3 0
sin2x(1 sin x) dx
85
e
1
1 ln xdx
x
4
0
1 dx cosx
1
1 ln xdx x
6
2 0
cosx dx
6 5sin x sin x
89
1
5 3 6
0
x (1 x ) dx
3 4
0
tg x dx cos2x
4
0
cos sin
3 sin2
x x dx x
2
0 cos2 4 sin2
2 sin
dx x x
x
93
5
ln
3
ln e x 2e x 3
dx
0 ( 2 sin )2
2 sin
dx x
x
4 2 sin
) ln(
dx x
tgx
96. 4
0
8 ) 1
(
dx x
tg
97.
2
4
2 sin
1
cos
sin
x
x x
2
0 1 3 cos
sin 2 sin
dx x
x x
0 1 cos
cos 2 sin
dx x
x x
100.2
0
sin
cos ) cos (
xdx x
101.
2
1 1 x 1dx
x
x
x x
1
ln ln 3 1
103.4
0
2 2 sin 1
sin 2 1
dx x
x
104
2
0
1
1 cosx sinx dx
105
1
2
0
1 dx
1 x
1
2 0
1 dx
4 x
1 2 0
1 dx
x x 1
1
4 2 0
x dx
x x 1
109
1
2
0
1 x dx
2 2 2
2 0
x dx
1 x
2
1
x 4 x dx
2 3 2 2
1 dx
x x 1
113
2
1
9 3x dx
x
1
5 0
1 (1 )
x dx x
2 2 2 3
1
1dx
2
0
cos
7 cos2
x dx x
117
6
0
1
1 x dx
x
0
cos
1 cos
x dx x
0
1x2 2x 2
dx
120.
1
0 1 1 3x
dx
121.2
1
dx x
x
x
8 2 3
1
1dx
0 1
x dx x
3
0 1
x x dx
125
ln2
x
0
1 dx
e 2
7 3 3 0
1
3 1
x
2
2 3 0
1
x x dx
3 2
5 x x2 4
dx
III PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
1.Tính các tích phân sau
1.
3
3
1
ln
e
x
dx
x
1
ln
e
x xdx
1
2
0
1
ln
e
x xdx
5
3
3
1
ln
e
x
dx
x
1
ln
e
x xdx
1
2
0
1
ln
e
x xdx
Trang 6TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
9
2
0
(x cosx) s inxdx
1
1
e
x
2 2
1
ln(x x dx)
3
2
4
tan
13
2
5
1
ln x
dx
x
2
0
cos
1
0
x
xe dx
2
0
cos
x
2.Tính các tích phân sau
1.1
0
3
.e dx
0
cos ) 1 (
xdx
0
3 sin ) 2 (
xdx
0 2 sin
xdx x
5.e x xdx
1
e
dx x x
1
2 ln ).
1
1
ln
4x x dx 8.1
0
2 ).
3 ln(
. x dx x
9.2
1
2
).
1
(x e x dx 10.
0
cos x dx
0
2 cos
dx x
0
2
sin ).
2 (
dx x x x
13
2
5
1
ln xdx
x
2 2 0
x cos xdx
1 x 0
e sin xdx
2
0 sin xdx
17
e
2
1
xln xdx
3 2 0
x sin xdx cos x
0 xsin x cos xdx
4
2 0
x(2cos x 1)dx
21
2
2
1
ln(1 x)dx
x
1
2 2x 0
(x 1) e dx
e
2 1
(x ln x) dx
2
0 cosx.ln(1 cosx)dx
1
ln
( 1)
e
e
x dx
x
1 2 0
xtg xdx
0
2 ) 2 (x e x dx 28.1
0
2 ) 1 ln( x dx x
29.e dx
x
x
1
ln
0
3 ) sin cos (
xdx x
0
) 1 ln(
) 7 2
2
2 ) ln(x x dx
III TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
1.5
3
2
2
3
1
2
dx x
x
x
2.b
a
dx b x a
(
1
3.1
0
3 1
1
dx x
x x
x
x x
1 0
2 3 1 1
5 1
0
3
2
)
1
3
( x dx
x
6.1 0
2 2
) 3 ( ) 2 (
1
dx x
1
2008 2008 ) 1
(
1
dx x
x
x
8.
0
1 2
2 3
2 3
9 9 6 2
dx x
x
x x x
9.3
2
2
2
4
)
1
(x dx
x
10.1 0 2
3 2 ) 1 ( x dx
x
n
n
11 2
1
2 4 2
) 2 3 (
3
dx x
x x
x
12.2
1
4 ) 1 (
1
dx x x
13.2
0
2
4
1
dx
0 4
1 x dx
x
x x
0 2
2 2
1
0
3 2 ) 1 ( x dx x
17.4
2
2
3
2
1
dx x x
2 3 2
2 3
3 3 3
dx x
x
x x
19.2
1 4 2 1
1
dx x
x
20.1
0 3 1
1
dx x
Trang 7TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG TỔ: TOÁN
21. 1
0
2
4
1
2
dx
x
x
22. 1 0
6
4 5 6
1
2
dx x
x x x
23.1 0 6 4 1
1
dx x
x
24.
1
2 0
x
dx
25.
1
2
dx
x x
x
x
2
0
1 2
1 3
x
x
1
0
3 1
2 2
0
1
1 2 1 2
2
dx x x
x
29 3
2
dx
x
x
x
x x
1 0
2 3
3 2
x
x x
0
1
2
1 2 1
1
x
x x
1
0
2
1 1
2 2
0
2
3
4x
x
dx
IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:
1. x 4 xdx
2
0
2
cos
sin
2.2
0
3 2 cos sin
xdx
0
2 2
) cos cos
sin sin
2 (
dx x x
x
4.2
0
3 3
) cos
(sin
dx
0
4 4
) cos (sin
2 cos
dx x x
0
5 4 cos sin
7.2
3
sin
1
dx
0
4 4 10
10
) sin cos cos
(sin
dx x x x
0 2 cos
x dx
10.2
0 2 sin
1
dx
0
2 3 cos 1 sin
dx x
x
12.3
6
4 cos sin
x x dx
13. 2
0 2 cos
cos
dx x
x
14.2
0 1 cos cos
dx x
x
0
2 2
cos cos
sin 2 sin
x x
x x
dx
16.2
0 2 sin
sin
dx x
x
17.2
0
3 cos 1 cos
dx x
x
18.2
0 sin cos 1
1
dx x x
19.2
3
2 ) cos
1
(
cos
xdx
20.
2
2
3 cos 2 sin
1 cos sin
dx x x
x x
21.4
0 3
xdx tg
22.4 g x dx
6
3
cot
23.3
4 4
xdx
0 1 1
dx tgx
25.
4
4 cos(
cos
x x
dx
26.2
0 4 sin 5 cos 5
6 cos 7 sin
dx x x
x x
27.2 0 sin
1 x dx
28.4
0 2 sin 3 cos 13
x x
dx
29.4
0
4 3 cos 1
sin 4
dx x
x
30.2
0 sin cos
2 sin 2 cos 1
dx x x
x x
Trang 8TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
31.2
0 1 cos
3
sin
dx x
x
32.2
4
sin 2 sin
dx
33.4
0 2 3 cos sin
dx x x
34.2
0
3 2 ) sin 1
(
2
sin
dx x
0
sin
4
3
3 3 sin
sin sin
dx xtgx
x x
37.2
0 1 sin cos
x x
dx
38.2
0 2 sin 1
x
dx
39.2
4
5 3 sin cos
xdx
40.4
0
2
cos
1
4
sin
x
xdx
41.2
0 5 sin 3
x
dx
42.6
6
4 cos sin
x x dx
43.
3
6 sin(
sin
x x
dx
3
4 cos(
sin
x x
dx
4 6 2 cos sin
xdx
46. tgxtg x )dx
6 (
3
6
0
3 ) cos (sin
sin 4
x x
xdx
0
2
2 ) sin 2 (
2 sin
x
49.2
0
3
sin
dx
0
2 cos
xdx
0
1 2 2 sin
dx e
x x
x
x x
2
0 1 cos
sin
1
53.4
6
2 cot
4 sin 3 sin
dx x g tgx
x x
0 2
6 sin 5 sin
2 sin
x x
xdx
55.2
1
)
cos(ln dx x 56. 3
6
2 cos
) ln(sin
dx x
x
57.2 x x dx
0
2 cos ) 1 2 (
58.
0
2 cos
sinx xdx
0 2
xdx
0
2 2
sin xdx
e x
61.2
0
3 sin
cos sin
2
xdx x
e x
62.4
0
) 1 ln(
dx
0
2 ) cos 2 (sin
x x
dx
64.2
0
2 ) cos 2 )(
sin
1
(
cos ) sin
1
(
dx x x
x x
65.
2
2
sin 2 sin 7
66.
2
0
cos (sin cos )
67.
0
4sin
1 cos
dx x
2
2
3 cos 5 cos
xdx
2
2
2 sin 7 sin
xdx
Trang 9TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG TỔ: TOÁN
70.4
0
cos
2
sin
xdx x
0
2 sin
xdx
V TÍ CH PHÂN HÀM VÔ TỶ:
1.23
5
2
4
x
x
dx
3
2 x x2 1
dx
2 1
2
1 ( 2x 3 ) 4x2 12x 5
dx
1 x x3 1
dx
2
1
2
2008dx
1 x2 2008
dx
7.1
0
2
2
1 x dx
0
3 2 ) 1
1 2 2
2 1
1
dx x
x x
10 2
2
0 1
1
dx
x
x
11 1 0
3 2 ) 1 ( x
dx
12 2 2
0
3 2 ) 1 ( x dx
13.1
0
2
2
2
1 x
dx x
15.2
0 7 cos 2 cos
x xdx
0
2 cos cos
sin
dx x x
0 2 cos2 cos
x
xdx
18.2
0 1 3 cos
sin 2 sin
dx x
x x
19.7
0 3 2
3
1 x
dx
x
0
2 3
10 x dx
0 2x 1
xdx
3
1
x
x
dx
x
2 2x 1 1
dx
24.1x x dx
0
8 15
3 1
25.2
0
5
cos sin cos
1
xdx x
0 e x 1
dx
1
1 1 x x2 1
dx
28.ln2
0
2
1
x
x
e
dx
e
1
4 5
2 8 4
x
x x
1
ln ln 3 1
31.3
3
5
1
dx x
x
x
32. x x x dx
4
0
2 3
0
1
3 2
) 1 (e x dx
x x
34.ln3
2
ln
2
1 ln
ln
dx x
x
x
0
2 2 cos
3 2 cos
2 cos
dx x
tgx x
x
0
3 ) 1 ( x
x
e
dx e
37.3
0 2 cos 2
cos
x
xdx
38.2
0 1 cos2 cos
x
xdx
x
x
7 0 3 3 2
a
dx a
x
2
0
2 2
VI MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:
a a
a
dx x f x f dx x f
0
)]
( ) ( [ )
(
Trang 10TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP NGUYấN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Ví dụ: Cho f(x) liên tục trên
[-2
3
; 2
3
] thỏa mãn f(x) + f(-x) = 2 2 cos 2x,
a)Tính:
2 3
2 3 ) (
dx x
1
1
2 4 1
sin
dx x
x x
Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó:
a
a
dx x
f( ) = 0
1
1
2 ) 1 ln(x x dx b)
2
2
2 ) 1 ln(
cos
dx x x
x
Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a, a], khi đó:
a
a
dx x
f( ) = 2a f x dx
0 ) (
1
1
2 4
1
x x
dx x
b)
2
2
2
cos
4 sin
dx x
Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a, a], khi đó:
a a
a
x dx f x dx b
x f
0 ) ( 1
) (
(1b>0, a)
3
3
2 2 1
1
dx x
2
2
1
5 cos 3 sin sin
dx e
x x x
x
Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục trên [0;
2
], thì 2
0 2
0
) (cos )
(sin
dx x f x f
0
2009 2009
2009 cos sin
sin
dx x x
x
0 sin cos
sin
dx x x
x
0 0
) (sin 2
) (sinx dx f x dx xf
Ví dụ: Tính a)
0 1 sinx dx
x
b)
0 2 cos
sin
dx x
x x
b
a b
a
dx x f dx x b a
b b
dx x f dx x b f
0 0
) ( )
(
Ví dụ: Tính a)
0
2 cos 1
sin
dx x
x x
0
) 1 ln(
4 sin
dx tgx x
Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T thì:
T T
a
a
dx x f dx x f
0 ) ( )
T nT
dx x f n dx x f
0 0
) ( )
(
Ví dụ: Tính
2008
0
2 cos
1 x dx
Trang 11TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP NGUYấN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG TỔ: TOÁN
Các bài tập áp dụng:
1.
1
1
2
2
1
1
dx
x
4
4
4
3 5 7 cos
1
dx x
x x x x
3.
1
1
2 ) 1 )(
1
dx
x 4
2
2
2 sin 4 cos
dx x
x x
5
2
1
2
1
) 1
1
ln(
2
x
x
x 6 sin(sin x nx) dx
2
0
2
2
5 cos 1 sin
dx x
x
) 1 ( 1
cot
1
2 1
e tga
e
x x
dx x
xdx
(tga>0)
VII TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
1.
3
3
2
1dx
0
2
3
4x dx
0
dx m x
2
2 sin
dx
x
5
dx x
sin
6
2
dx x g x
3
4
2 sin
dx
0 cos
1 x dx
9.
5
2
) 2 2
(x x dx 10.3
0 4
3
2
3 cos cos
cos
dx x x
4 2 1
x 3x 2dx
13
5
3
( x 2 x 2 )dx
2 2 2 1
2
1
x
3 x 0
2 4dx
0
1 cos2xdx
17
2
0
1 sin xdx
0
2
VIII ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN:
C.TÍNH DIỆN TÍCH HèNH PHẲNG
Vớ dụ 1 : Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1
b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1
c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2
Vớ dụ 2 : Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1
b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1
c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2
Bài 1: Cho (p) : y = x2+ 1 và đ-ờng thẳng (d): y = mx + 2 Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đ-ờng trên có diện tích nhỏ nhẩt
Bài 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn bởi (c) và 0x có diện tích ở phía trên 0x
và phía d-ới 0x bằng nhau
Bài 3: Xác định tham số m sao cho y = mx chia hình phẳng giới hạn bởi
0 1 3
y
x o
x x y
Có hai phần diện tích bằng nhau
Bài 4: (p): y2=2x chia hình phẳng giới bởi x2+y2 = 8 thành hai phần.Tính diện tích mỗi phần
