Một số nón đặc biệt trong không gian banach luận văn thạc sỹ toán học

Trong luận văn này, trước hết chúng tôi quan tâm nghiên cứu các loại nón cổ điển trong không gian Banach nói chung, sau đó chúng tôi quan tâm nghiên cứu các loại nón trong không gian¡ và

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGÔ XUÂN TRƯỜNG

MỘT SỐ NÓN ĐẶC BIỆT

TRONG KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Vinh – 2011

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGÔ XUÂN TRƯỜNG

MỘT SỐ NÓN ĐẶC BIỆT TRONG KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

MụC LụC

Trang Mở đầu 2

Chơng 1 Nón trong không gian Banach 6

1.1 Nón 6

1.2 Thứ tự trong không gian Banach 9

1.3 Nón chuẩn tắc ……… 10

1.4 Nón làm trội đợc .… 13

1.5 Nón cân và nón hoàn toàn cân 19

1.6 Mối quan hệ giữa các nón trong không gian Banach 21

Chơng 2 Nón trong không gian ℝn 30

2.1 Các khái niệm và tính chất ……… ……… 30

2.2 Nón đa diện ……… ……… 37

Kết luận ……… ……… 45

Tài liệu tham khảo ……… ……… 46

Më ®Çu

I Lí do chọn đề tài

Khái niệm về nón và các tính chất của nó đóng vai trò rất quan trọng trong toán học nói chung và hình học nói riêng Nón có vai trò cốt lõi trong việc nghiên cứu lý thuyết toán tử, phương trình vi phân, bài toán về điểm bất động, các bài toán về cực trị, lý thuyết động lực, lý thuyết điều khiển…

Nón trong không gian Banach liên quan chặt chẽ với một quan hệ thứ

tự, vì vậy các loại nón khác nhau như tương ứng với các cấu trúc thứ tự khác nhau Trong luận văn này, trước hết chúng tôi quan tâm nghiên cứu các loại nón cổ điển trong không gian Banach nói chung, sau đó chúng tôi quan tâm nghiên cứu các loại nón trong không gian¡ và các tính chất của chúng mà n

nón nói chung trong không gian Banach không có Luận văn nhằm cụ thể hóa, chi tiết hóa các khái niệm và chỉ ra mối quan hệ giữa các loại nón, các dấu hiệu nhận biết các loại nón… Với lí do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu:

“Một số nón đặc biệt trong không gian Banach”.

II Nội dung nghiên cứu

Mục tiêu nghiên cứu của luận văn là:

1, Trình bày khái niệm về các loại nón, các tính chất của nón trong không gian Banach Trình bày chứng minh đầy đủ các dấu hiệu nhận biết nón, các định lý về nón

2, Trình bày mối quan hệ giữa các loại nón trong không gian Banach

3, Trình bày một số loại nón trong không gian ¡ và tính chất của nó.n

4, Trình bày chứng minh một số ví dụ minh họa cho khái niệm nón và các tính chất của chúng

III Phương pháp nghiên cứu

1, Phương pháp suy luận trực tiếp

2, Phương pháp suy luận gián tiếp

3, Phương pháp loại suy

IV Dự kiến cấu trúc của luận văn

Trên cơ sở nhiệm vụ nghiên cứu đã nêu, ngoài phần mở đầu và tài liệu tham khảo, luận văn được trình bày thành 2 chương

Chương 1 Nón trong không gian Banach

Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm về nón, nãn khèi, nãn b¶n sao, nãn chuÈn t¾c, nãn lµm tréi, nãn c©n, nãn hoµn toµn c©n vµ mét sè dÊu hiÖu nhËn biÕt chóng LuËn v¨n tr×nh bµy tÝnh chÊt cña mét sè lo¹i nãn vµ chøng minh c¸c mèi liªn hÖ gi÷a c¸c lo¹i nãn trong kh«ng gian Banach Tr×nh bµy mét sè vÝ dô minh häa cho kh¸i niÖm nãn trong kh«ng gian Banach

1.1 Nón

Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm về một số loại nón, (nón, nón tái tạo (hay còn gọi là bản sao), nón khối, nón K(F).…) và trình bày chứng minh một số ví dụ minh họa về nón, nón khối, nón bản sao, nón K(F)

1.2 Thứ tự trong không gian Banach

Trong mục này, chúng tôi trình bày định nghĩa về thứ tự, không gian

có thứ tự, chúng tôi trình bày một số nhận xét và tính chất về thứ tự

1.3 Nón chuẩn tắc

Trong mục này, chúng tôi trình bày định nghĩa về nón chuẩn tắc, định nghĩa về nửa đơn điệu, mối quan hệ giữa nón chuẩn tắc và thứ tự, giữa nón chuẩn tắc và chuẩn nửa đơn điệu Chúng tôi trình bày chứng minh đầy đủ một

số tính chất và trình bày chứng minh một số ví dụ minh họa cho các nón trên

1.4 Nón làm trội được

Trong mục này, chúng tôi trình bày định nghĩa phiếm hàm tuyến tính đơn điệu, phiếm hàm tuyến tính dương, phiếm hàm tuyến tính dương đều, định nghĩa siêu phẳng, siêu phẳng tách, định nghĩa nón làm trội được, nón compact địa phương Mối quan hệ giữa nón làm trội được với phiếm hàm tuyến tính dương đều, giữa tập compact và nón làm trội được

1.5 Nón cân và nón hoàn toàn cân

Trong mục này, chúng tôi trình bày định nghĩa về nón cân và nón hoàn toàn cân Trình bày chứng minh đầy đủ một số định lý về nón trên

1.6 Mối quan hệ giữa các nón trong không gian Banach

Trong mục này, chúng tôi trình bày mối quan hệ giữa các loại nón trong không gian Banach và trình bày một số ví dụ minh họa cho các mối quan hệ đó

Chương 2 Nón trong không gian ℝn

Chương này, chúng tôi trình bày một số loại nón trong không gian ¡ n

Chúng tôi trình bày chứng minh đầy đủ một số tính chất và mệnh đề về nón

2.1 Các khái niệm và tính chất

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số khái niệm về nón trong không gian ¡ Trình bày khái niệm về tập đối cực Chúng tôi trình bày n

chứng minh đầy đủ một số tính chất và mệnh đề về nón trong không gian ¡ n

Đồng thời chúng tôi trình bày một số ví dụ minh họa cho các tính chất đó

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Khoa Đào tạo Sau đại học Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn khoa học tận tình chu đáo của PGS.TS Phạm Ngọc Bội Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy về sự hướng dẫn tận tâm của thầy Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy cô trong tổ Hình học đã giảng dạy và chỉ dẫn tận tình trong quá trình học tập và nghiên cứu của tôi Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy

cô trong Hội đồng chấm luận văn, các thầy cô trong Khoa Toán, Khoa Đào tạo Sau đại học Trường Đại học Vinh, các thầy cô trong Phòng Quản lý khoa học và Đào tạo Trường Đại học Hải phòng, bạn bè, đồng nghiệp và gia đình

đã giúp đỡ động viên tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này

Mặc dù đã rất cố gắng trong quá trình làm việc, song do điều kiện thời gian và năng lực còn hạn chế nên luận văn không thể tránh khỏi được những thiếu sót Nhiều chỗ có thể không phản ánh được hết dụng ý sư phạm của tác giả Chúng tôi rất mong nhận được những góp ý của quý thầy cô và các bạn

để luận văn được hoàn thiện hơn

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn

Vinh, tháng 12 năm 2011

Tác giả

Chơng 1 nón trong không gian banach

Trong toàn bộ luận văn này chúng tôi luôn kí hiệu E là một không gian Banach thực Kí hiệu || || là chuẩn trên E, khi đó E là không gian Mêtric với mêtric d(x, y) = || y – x ||

1.1 Nón

1.1.1 Định nghĩa

a) Tập K ⊂ E đợc gọi là nún (nói đầy đủ là nún cú đỉnh là θ ) nếu nó thoả

mãn điều kiện sau đây: Nếu u, v ∈ K thì αu + βv ∈ K, với mọi α, β≥ 0

b) Nón K đợc gọi là nún nhọn K nếu nó thỏa mãn thêm các điều kiện:

K ∩ (– K) = {θ} (điều kiện này gọi là điều kiện nhọn) Nón K đợc gọi là nún nhọn đúng nếu K là nón nhọn và K là tập đóng.

c) Nón K đợc gọi là nún khối nếu nó chứa điểm trong, tức là intK ≠∅

1.1.2 Nhận xét

a) Dễ dàng suy ra mỗi nón là một tập lồi

b) Định nghĩa nón còn đợc phát biểu các cách khác nh sau:

i) Tập K là nón khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn:

+) Nếu u ∈ K thì λu ∈ K với mọi λ≥ 0,

1.1.4 Ví dụ Kí hiệu C a; b là không gian các hàm thực liên tục trên [ ]

đoạn [ ]a; b , khi đó KC+ gồm các hàm không âm trong C a; b là nón khối [ ]

thì x0 chính là điểm trong của nón KC+

1.1.5 Định nghĩa Nón K đợc gọi là nún bản sao (hay cũn gọi là nún tỏi

tạo) nếu mỗi x ∈ E đều có thể biểu diễn đợc dới dạng x = u – v (với u, v ∈ K)

1.1.6 Ví dụ Tập KL +p

gồm các hàm không âm trong Lp là nón bản sao.Tơng tự chứng minh cho KC+ trong Ví dụ 1.1.4 là nón, ta cũng dễ dàng

kiểm tra KL +p

là nón trong không gian Lp Và KL +p

là nón bản sao vì mỗi hàm x(t) ∈ Lp đều có thể biểu diễn dới dạng: x(t) = x + (t) – x -(t), trong đó:

x(t) nếu x(t) ≥ 0 0 nếu x(t) ≥ 0

x + (t) = và x - (t) =

0 nếu x(t) < 0 – x(t) nếu x(t) < 0

Rõ ràng x + (t) và x -(t) là các hàm không âm và thuộc Lp.

1.1.7 Nhận xét Trong Định nghĩa 1.1.5 các phần tử u, v xác định không

duy nhất

1.1.8 Ví dụ Bây giờ chúng tôi sẽ lấy ví dụ về một loại nón quan trọng

trong không gian Banach, đó là nón sinh bởi tập F Giả sử F là tập bị chặn, đóng

và lồi, không chứa phần tử θ của không gian E Kí hiệu K(F) = {x ∈ E | x = t z, t

M sao cho: m≤ zn ≤M do đó tn bị chặn nên trong tn tồn tại dãy con hội tụ

c) Ta chứng minh K(F) ∩ (– K(F)) = {θ} Giả sử điều kiện này không

đúng Khi đó tồn tại z0∈ K sao cho:

Vậy K(F) thoả mãn các điều kiện của nón, đóng, nhọn

1.2 Thứ tự trong không gian Banach

1.2.1 Định nghĩa Quan hệ ≤ trên không gian E đợc gọi là thứ tự (nói

đầy đủ là thứ tự bộ phận) nếu nó thoả mãn:

a) Nếu x ≤ y thì tx ≤ ty với t > 0 và tx ≥ ty với t < 0,

a) Nếu x ≤ y ⇔ y – x ∈ K, với t > 0 thì t(y – x) ∈ K nên ty – tx ∈ K

⇒ tx ≤ ty Tơng tự cho trờng hợp t < 0.

a) Nếu x tu≤ 0 thì x≤γu 0 với mọi γ > t.

b) Nếu tồn tại t sao cho 1 x t u≤ 1 0 thì tồn tại giá trị t nhỏ nhất sao cho

Trong KC+ xét các hàm không âm x, y sao cho x ≤ y Khi đó y – x ∈

C

K+ suy ra y(t) – x(t) ≥ 0 Suy ra y(t) ≥ x(t) hay x(t) ≤ y(t) với mọi t ∈[ ]a; b

Do đó t a;bsup x(t)∈[ ] ≤t a;bsup y(t)∈[ ] ⇒ x ≤ y Vậy

C

K+ là nón chuẩn tắc

Chứng minh tơng tự, theo tính chất của tích phân ta có KL +p

cũng là nón chuẩn tắc

1.3.4 Chú ý Từ điều kiện của nón chuẩn tắc ta sẽ suy ra điều kiện nhọn

trong định nghĩa về nón Thật vậy Giả sử điều kiện này không thoả mãn, tức là

tồn tại y ≠θ mà y ∈ K ∩ (– K) Do đó y ∈ K và – y ∈ K Nh vậy y ≠ θ suy

    Điều này là vô lý Vậy K ∩ (– K) = {θ}.

1.3.5 Định nghĩa Chuẩn trong không gian thứ tự E sinh bởi nón K đợc

gọi là nửa đơn điệu nếu tồn tại số dơng N sao cho với mọi x, y ∈ K, từ x ≤ y suy ra x ≤N y

1.3.6 §Þnh lý Điều kiện cần và đủ để nón K chuẩn tắc là thứ tự sinh

bởi K thỏa mãn bất đẳng thức x E ≤M x y y E trong đó x ∈ E y , y ∈ K, y ≠ θ

1.4.1 Định nghĩa Phiếm hàm tuyến tính f xác định trên E đợc gọi là

đơn điệu trên nón K nếu từ x1 ≤ x2 suy ra f(x1) ≤ f(x2) (với x1, x2 ∈ K) Phiếm hàm tuyến tính f xác định trên E đợc gọi là tuyến tớnh dương trên nón K nếu f(x) ≥ 0 với ∀ x ∈ K

1.4.2 Nhận xét Nếu phiếm hàm tuyến tính dơng trên K thì nó đơn điệu

trên K

1.4.3 Nhận xét Giả sử f(x) là phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định

trên E Kí hiệu G= ∈{x E (x) cf = }, ta gọi G là một siờu phẳng Siêu phẳng G

chia không gian E thành hai nửa không gian đóng có biên là G

1.4.5 Định lý Giả sử A và B là cỏc tập lồi trong E, intA ≠∅ Khi đú A

và B tỏch được khi và chỉ khi (intA)∩B =∅.

Chứng minh

a) Điều kiện cần Giả sử (intA) ∩ B = ∅ Khi đó tồn tại f ∈ E*, f ≠ 0 tách

A và B (xem [6]) Vậy f(x) ≤ f(y), ∀x ∈ intA, ∀y ∈ B Do f liên tục, A ⊂ int A

, ta có f(x) ≤ f(y), ∀x ∈ A, ∀y ∈ B, tức là f tách A và B.

b) Điều kiện đủ Giả sử f ∈ E*, f ≠ 0 tách A và B, tức là f(x) ≤ f(y), ∀x ∈

A, ∀y ∈ B Nếu nh tồn tại x∈ intA và y ∈ B thoả mãn f(x) = f(y) thì do f ≠ 0, ta

tìm đợc điểm x1 trong lân cận U của x (U ⊂ intA), sao cho f(x1) > f(y) Bất đẳng

thức này mâu thuẫn với giả thiết Vì vậy f(x) < f(y), ∀x ∈ intA, ∀y ∈ B Suy ra (intA) ∩ B = ∅

Định lý đợc chứng minh

1.4.6 Định lý Trờn mỗi nún K trong khụng gian E luụn luụn tồn tại

phiếm hàm tuyến tớnh dương.

Chứng minh Giả sử K là nón trong E Lấy x0 ∉ K thì do K đóng nên

E \ K mở kéo theo tồn tại hình cầu S = x x− 0 ≤ ρ nằm trong E \ K Nh vậy K

và S là các tập lồi trong E, intS ≠∅ và (intS) ∩ K = ∅ nên nón K và hình cầu S thoả mãn điều kiện của Định lý 1.4.5 suy ra K và S tách đợc Vậy tồn tại phiếm hàm tuyến tính f(x) mà f(x) ≥ c với ∀x ∈ K (c là hằng số)

Suy ra f(nx) ≥ c với ∀n, do đó c

(x)n

f ≥ với ∀n nên f(x) ≥ 0.

1.4.7 Định nghĩa Giả sử f(x) là phiếm hàm tuyến tính dơng Nếu tồn tại

số dơng a sao cho f(x) ≥a x (∀x ∈ E) thì f(x) đợc gọi là phiếm hàm tuyến tớnh dương đều.

1.4.8 Định nghĩa Ta gọi nón K làm trội được đến nón K1 nếu tồn tại nón K1 sao cho mỗi x0 ≠θ, x0 ∈ K đều là điểm trong của nón K1 hơn nữa hình cầu tâm x0 bán kính b x0 nằm trong K1 (với b là hằng số nào đó không phụ thuộc vào x0) Nón K1 đợc gọi là làm trội của nón K.

1.4.9 Định lý Điều kiện cần và đủ để nún K làm trội được là trờn K tồn

tại phiếm hàm tuyến tớnh dương đều.

Chứng minh

a) Điều kiện cần Giả sử nón K làm trội đợc đến nón K1 thì mỗi phiếm hàm tuyến tính dơng f(x) trên K1 (tồn tại theo Định lý 1.4.6) sẽ dơng đều trên K,

điều này có đợc từ (x) cf − = f ρ suy ra f(x ) b x0 ≥ 0 f (với x0∈ K)

b) Điều kiện đủ Giả sử f(x) là phiếm hàm tuyến tính dơng đều trên K và f(x) ≥a x , x ∈ K Kí hiệu N = {x ∈ E | f(x) = 1} Khi đó tập M = K ∩ N = {x

∈ E | f(x) = 1} là lồi và bị chặn Trên M ta lấy một phần tử cố định x* nào đó

Đặt F = {x ∈ N | x x− * ≤2ρ} với ρ lớn hơn số dơng cho trớc.

1.4.10 Bổ đề Giả sử x 1∈ M, x ∈ N thỡ từ x x− 1 ≤ρ suy ra x ∈ F (với

ρ lớn hơn số dương cho trước) Thật vậy, chọn 2

Thật vậy, giả sử x0∈ K, ta chọn h ∈ E sao cho:

≤

Ta có

2 2

Nh vậy intS ≠ θ, (intS) ∩ F = ∅ nên sẽ tồn tại siêu phẳng f(x) = c tách F

và S Do đó f(x) ≥ c (∀x ∈ F) Không mất tính tổng quát có thể giả sử c > 0

Từ định nghĩa nón K(F) suy ra mỗi phần tử khác không x ∈ K(F) có thể

1.4.12 Định nghĩa Nón K đợc gọi là compact địa phương nếu mỗi tập

bị chặn F ⊂ K là tập compact

1.4.13 Định lý Nún compact là nún làm trội được.

Chứng minh Ta cần sử dụng các bổ đề sau.

1.4.14 Bổ đề Cho tập Q gồm cỏc nửa chuẩn trờn E Khi đú E là khụng

gian Hausdorff khi và chỉ khi mỗi vectơ khỏc khụng x thuộc E đều tồn tại nửa chuẩn liờn tục p ∈ Q sao cho p(x) > 0.

Giả sử M = < x >, là không gian vectơ con sinh bởi x

Trên M ta định nghĩa phiếm hàm f1: f1(λx) = λp(x), rõ ràng f1 là ánh xạ tuyến tính, liên tục trên M và f1(x) <p(x)

Vậy các điều kiện của định lý Han - Banach đợc thoả mãn Nên sẽ tồn tại phiếm hàm tuyến tính f trên E mà f M= f1 và f (x) <p(x) với mọi x ∈ E Hiển nhiên khi đó f(x)= f1(x) p(x) 0= > Trái với giả thiết f(x) 0= , vậy x =

θ

Chứng minh Định lý 1.4.13.

Do nón K compact địa phơng nên K sẽ nằm trong một không gian con Hausdorff nào đó E1⊂ E Mặt khác K là nón nên trên K sẽ xác định phiếm hàm tuyến tính f(x) ≥ 0 với mọi x thuộc K

Do K ⊂ E1 Hausdorff, nên theo Bổ đề 1.4.15 ta có f (x) > 0 với ∀x ∈ K,

x ≠ θ Phiếm hàm này dơng đều bởi vì hiển nhiên (z) a zf ≥ với a =

Thật vậy, vì E là không gian mêtric do đó hiển nhiên nó là không gian n

Hausdorff Vì vậy K ⊂ E nên theo chứng minh Định lý 1.4.13, phiếm hàm n

tuyến tính dơng trên K sẽ dơng đều nên K làm trội đợc

1.5 Nón cân và nón hoàn toàn cân

1.5.1 Định nghĩa Giả sử {xn} là dãy các phần tử thuộc E, ≤ là thứ tự sinh bởi K Dãy {xn} đợc gọi là khụng giảm nếu x1≤ x2 ≤ ≤ xn Dãy {xn} đ-

ợc gọi là bị chặn nếu tồn tại y sao cho xn≤ y (với n = 1, 2, )

1.5.2 Định nghĩa Thứ tự trong E đợc gọi là cõn nếu mọi dãy không

giảm, bị chặn trong E đều có giới hạn

1.5.3 Định nghĩa Dãy {xn} ⊂ E đợc gọi là bị chặn theo chuẩn nếu tồn

tại hằng số M sao cho xn ≤ M

1.5.4 Định nghĩa Nón sinh ra thứ tự cân đợc gọi là nún cõn.

1.5.5 Định nghĩa Nón K trong E đợc gọi là nún hoàn toàn cõn nếu mọi

dãy không giảm, bị chặn theo chuẩn đều có giới hạn

1.5.6 Định nghĩa Phiếm hàm tuyến tính dơng f(x) đợc gọi là tăng ngặt

nếu tổng {xn} ⊂ K (với n = 1, 2, .) mà từ xn ≤ ε >0 0, suy ra

1 2

n

lim (xf x x )n

1.5.7 Định lý Nếu trờn nún K xỏc định phiếm hàm tăng ngặt và bị chặn

trờn mỗi hỡnh cầu thỡ nún K là nún hoàn toàn cõn.

Chứng minh Giả sử {xn} là dãy không giảm, bị chặn theo chuẩn, nghĩa

là x1 ≤ x2≤ ≤ xn và xn ≤ M (với n = 1, 2, ), nhng nó không hội tụ theo chuẩn Kết hợp với giả thiết trên nón K xác định phiếm hàm tăng ngặt nên ta có

dãy con có tính chất này)

Nên KL +p

là nón hoàn toàn cân

1.5.9 Định lý Nếu trờn nún K xỏc định phiếm hàm tăng ngặt và đơn

điệu thỡ nún K là nún cõn.

Chứng minh Giả sử {xn} là dãy không giảm, bị chặn: x1 ≤ x2 ≤ ≤ xn

≤ và xn ≤ z (với n = 1, 2, ), nhng nó không hội tụ theo chuẩn Do f(x)là

phiếm hàm đơn điệu nên f(x )n ≤ f(z) Từ chứng minh của Định lý 1.5.7 ta có

1.6 Mối quan hệ giữa các nón trong không gian Banach

Trong phần đầu chúng tôi đã xét các loại nón: nón khối, nón bản sao, nón chuẩn tắc, nón làm trội, nón cân, nón hoàn toàn cân và một số dấu hiệu nhận biết chúng Phần này chúng tôi tiếp tục xét mối quan hệ giữa các nón đó

1.6.1 Định lý Mỗi nún khối là nún bản sao.

Chứng minh Giả sử K là khối, khi đó intK ≠∅, giả sử v0 là điểm trong của nón Khi đó sẽ tồn tại ρ đủ bé sao cho u = v0 + ρx ∈ K với mọi x ∈ E suy ra

0

x= −

ρ ρ , với mọi x ∈ E Vậy K là nón bản sao.

1.6.2 Định lý Mỗi nún cõn là nún chuẩn tắc.

Chứng minh Giả sử K là nón cân nhng không phải là nón chuẩn tắc Khi

đó theo định nghĩa của nón chuẩn tắc ta có thể chỉ ra tồn tại dãy xn∈ K, yn∈ K

1 1 2 2 k