Đề thi thử môn Toán lớp 10 nâng cao được biên soạn với 5 bài tập giúp các bạn học sinh ôn luyện, củng cố kiến thức hiệu quả. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm chi tiết hơn các bài tập.
Trang 1BÀI KIỂM TRA TOÁN
Thời gian làm bài 45 phút
Bài 1:
Cho biểu thức: 𝑃 = 𝑎2+𝑏√𝑎𝑏
𝑎+√𝑎𝑏 +𝑎√𝑎−3𝑎√𝑏+2𝑏√𝑎
√𝑎−√𝑏 , với 𝑎 > 𝑏 > 0 Chứng minh 𝑃 > 0
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau
a) { 𝑥 − 𝑦 − 7 = 0
𝑥2− 𝑦2+ 2𝑥 + 2𝑦 + 4 = 0 b) {
1
|𝑥−1|+ 2𝑦 − 𝑥 = 3 4𝑦 − 2𝑥 + 3
|𝑥−1|= 7
Bài 3:
Tìm tất cả các giá trị của tham số 𝑚 sao cho phương trình: 𝑥2− 2𝑚𝑥 + 𝑚2− 1 =
0 (1) có hai nghiệm 𝑥1, 𝑥2 thỏa mãn: 𝑥1 < 1 < 𝑥2
Bài 4:
Cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau tại O và AD = 3
BC Gọi H là trực tâm tam giác ABD Chứng minh O là trung điểm của CH
Bài 5:
Cho ba số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 thỏa mãn: 𝑎 + 4𝑏 + 9𝑐 = 6 Chứng minh rằng:
𝑎3+ 𝑏3+ 𝑐3 ≥1
6
*** HẾT ***
Trang 2Hướng dẫn giải:
Bài 1:
ĐKXĐ: 𝑎 > 𝑏 > 0
Ta có: 𝑃 =𝑎2+𝑏√𝑎𝑏
𝑎+√𝑎𝑏 +𝑎√𝑎−3𝑎√𝑏+2𝑏√𝑎
√𝑎−√𝑏 =√𝑎(√𝑎
3
+√𝑏3)
√𝑎(√𝑎+√𝑏) +√𝑎(𝑎−3√𝑎𝑏+2𝑏)
√𝑎−√𝑏 =
(√𝑎+√𝑏)(𝑎−√𝑎𝑏+𝑏)
√𝑎+√𝑏 +√𝑎(√𝑎−2√𝑏)(√𝑎−√𝑏)
√𝑎−√𝑏 = 𝑎 − √𝑎𝑏 + 𝑏 + 𝑎 − 2√𝑎𝑏 = 2𝑎 − 3√𝑎𝑏 +
𝑏 = 2𝑎 − 2√𝑎𝑏 − (√𝑎𝑏 − 𝑏) = 2√𝑎(√𝑎 − √𝑏) − √𝑏(√𝑎 − √𝑏)
= (√𝑎 − √𝑏)(2√𝑎 − √𝑏)
Do 𝑎 > 𝑏 > 0, nên √𝑎 − √𝑏 > 0, 2√𝑎 − √𝑏 > 0
Vậy 𝑃 > 0
Bài 2:
a) Từ 𝑥 = 𝑦 + 7 thay vào phương trình (2) ta được:
(𝑦 + 7)2− 𝑦2+ 2(𝑦 + 7) + 2𝑦 + 4 = 0
𝑦2+ 14𝑦 + 49 − 𝑦2 + 2𝑦 + 14 + 2𝑦 + 4 = 0
18𝑦 + 67 = 0
𝑦 = −67
18 => 𝑥 =59
18
KL: Vậy …
b) ĐKXĐ: 𝑥 ≠ 1, 𝑦 ∈ 𝑅
Đặt {
1
|𝑥−1|= 𝑎 (𝑎 > 0)
2𝑦 − 𝑥 = 𝑏 (𝑏 ∈ 𝑅), khi đó hệ trở thành: { 𝑎 + 𝑏 = 3
3𝑎 + 2𝑏 = 7 {
2𝑎 + 2𝑏 = 6 3𝑎 + 2𝑏 = 7
𝑎 = 1 (𝑡𝑚) → 𝑏 = 2(𝑡𝑚)
Hay {|𝑥 − 1| = 1
2𝑦 − 𝑥 = 2 {
[ 𝑥 − 1 = 1
𝑥 − 1 = −1
𝑦 =𝑥+2
2
[
{𝑥 = 2
𝑦 = 2 (𝑡𝑚) {𝑥 = 0
𝑦 = 1(𝑡𝑚) KL: Vậy …
Bài 3:
Ta có: 𝑥2− 2𝑚𝑥 + (𝑚 − 1)(𝑚 + 1) = 0
𝑥2− (𝑚 − 1)𝑥 − [(𝑚 + 1)𝑥 − (𝑚 − 1)(𝑚 + 1)] = 0
𝑥(𝑥 − 𝑚 + 1) − (𝑚 + 1)(𝑥 − 𝑚 + 1) = 0
Trang 3 (𝑥 − 𝑚 + 1)(𝑥 − 𝑚 − 1) = 0
[𝑥 = 𝑚 − 1
𝑥 = 𝑚 + 1
Với mọi 𝑚 ta có: 𝑚 − 1 < 𝑚 + 1
Nên 𝑥1 < 1 < 𝑥2 𝑚 − 1 < 1 < 𝑚 + 1 0 < 𝑚 < 2
Vậy …
Chú ý: Có thể làm 1 trong các cách sau đều được
C1: Tính ∆′> 0, thấy ∆′ chính phương => tính nghiệm => làm tương tự
C2: Áp dụng viet, bài toán (𝑥1− 1)(𝑥2− 1) < 0
Bài 4:
Do ABCD là hình thang cân nên IB = IC
Nên ∆𝐼𝐵𝐶 cân tại I
Lại có BI vuông với IC => 𝐵𝐶𝐼̂ = 45°
Lại có BH vuông AD
Mà BC // AD => BH vuông BC
Vậy ∆BHC vuông cân tại B có BI là đường cao
=> BI là trung tuyến => I là trung điểm HC
Bài 5:
Ta có: 𝑎3+ 2𝑥3 = 𝑎3+ 𝑥3+ 𝑥3 ≥ 3√𝑎3 3𝑥3𝑥3 = 3𝑎𝑥2
Tương tự: 𝑏3+ 2𝑦3 ≥ 3𝑏𝑦2, 𝑐3+ 2𝑧3 ≥ 3𝑐𝑧2
Dấu “=” xảy ra 𝑎 = 𝑥, 𝑏 = 𝑦, 𝑐 = 𝑧
Vậy 𝑎3+ 𝑏3+ 𝑐3 ≥ 3𝑎𝑥2+ 3𝑏𝑦2+ 3𝑐𝑧2− (2𝑥3+ 2𝑦3 + 2𝑧3)
Chọn {
𝑥 + 4𝑦 + 9𝑧 = 𝑎 + 4𝑏 + 9𝑐 = 6
𝑥2
1 =𝑦2
4 =𝑧2
9 = 𝑡2
{
𝑥 =16
𝑦 = 1
3
𝑧 =1
2
Do đó: 𝑎3+ 𝑏3+ 𝑐3 ≥ 3𝑡2(𝑎 + 4𝑏 + 9𝑐) − 2(𝑥3+ 𝑦3+ 𝑧30 =1
6