3 Kĩ năng biến đổi đa về dạng PT tích - Vận dụng các công thức cơ bản, công thức cộng, nhân đôi, hạ bậc - Nhóm các số hạng để áp dụng công thức biến đổi Tổng thành tích - Biến đổi tích t[r]
Trang 1I hàm số lợng giác
1) Định nghĩa các giá trị luợng giác 2) Bảng các giá trị lợng giác đặc biệt
Cho đường trũn lượng giỏc tõm O bỏn kớnh 1,
g n v i h tr c to đ Oxy M i cung ắ ớ ệ ụ ạ ộ ỗ bi u di n ể ễ
b i một đi m M n m trờn (O) ở ể ằ
Ta cú:
sin = y (tung độ của điểm M)
cos = x (hoành độ của điểm M)
tan =
sin cos
y
x
( cos 0)
cot =
cos sin
x
y
( sin 0)
6
2
3 2
1
4
2
2
3
2
1
1 3 2
3) Giá trị lợng giác của các cung có liên quan đặc biệt
+
II các công thức lợng giác
1) Các công thức cơ bản
sin2x + cos2x = 1
tanx.cotx = 1; với x
, 2
k
k Z
1 + tan2x = 2
1
cos x 1 + cot2x = 2
1
sin x
2) Công thức cộng
cos(a -b) = cosa.cosb + sina.sinb
cos(a+b) = cosa.cosb - sina.sinb
sin(a+b) = sina.cosb + cosa.sinb
sin(a -b) = sina.cosb - cosa.sinb
tan(a+b) =
tan tan
1 tan tan
3) Công thức nhân đôi, công thức hạ bậc
cos2a = cos2a - sin2a = 2cos2a - 1 = 1 - 2sin2a
cos2a =
1 cos 2 2
a
; sin2a =
1 cos 2 2
a
sin2a = 2sina.cosa; sina.cosa =
1 sin 2
tan2a = 2
2 tan
1 tan
a a
; tan2a =
1 cos 2
1 cos 2
a a
4) Công thức biến đổi
Tổng thành tích
cos cos 2cos cos
cos cos 2sin sin
sin sin 2sin cos
sin sin 2 cos sin
Tích thành tổng
1 cos cos cos( ) cos( )
2
a b a b a b
1 sin sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b
1 sin cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
1 cos sin sin( ) sin( )
2
a b a b a b
5) Các phơng trình lợng giác cơ bản
sinx = sin
2 2
2
2
k Z
tanx = tan x = + k cotx = cot x = + k ; k Z
Trang 2III Một số phơng trình lợng giác thờng gặp
1) Phơng trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lợng giác
2) Phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Là phơng trình có dạng: a.sinx + b.cosx = c ab 0, (1)
Điều kiện có nghiệm : a2 + b2 c2
Cách giải: biến đổi (1)
sin(x ) c
a b
3) Phơng trình dạng: a.sin 2 x + b.sinx.cosx + c.cos 2 x = d (2)
Cách giải: Với cosx = 0 thì (2) a.sin2x = d a = d
Nếu a = d thì (2)
cos 0 ( ) cos sin
x
Với cosx 0 Chia hai vế cho cos2x ta đợc:
(2)
2
2
(a-d)tan2x + b.tanx + c - d = 0
4) Phơng trình dạng: a(sinx + cosx) + b.sinx.cosx + c = 0 (3)
Cách giải: Đặt t = sinx + cosx = 2sin x 4
, điều kiện - 2 t 2.
Ta có sinx.cosx =
2
t
Suy ra (3) bt2 + 2at + 2c - b = 0
5) Phơng trình dạng: a(sinx - cosx) + b.sinx.cosx + c = 0 (4).
Cách giải: Đặt t = sinx - cosx = 2sin x 4
, điều kiện - 2 t 2.
Ta có sinx.cosx =
2
1 2
t
, suy ra (3) bt2 - 2at - 2c - b = 0
6) Phơng trình dạng: a.sin 3 x + b.sin 2 xcosx + c.sinx.cos 2 x + d.sinx.cos 2 x + c.cos 3 x = 0 (5)
(đẳng cấp bậc ba đối với sinx và cosx) Cách giải: Với cosx = 0 thì pt (5) a.sin3x = 0 (loại)
Với cosx 0 Ta chia hai vế của (5) cho cos3x với chú ý
2 2
1
1 tan cos x x
Ta đa đợc pt (5) về dạng pt bậc 3 đối với tanx (a 0)
Ví dụ: Giải PT: 6sinx - 2cos3x = 5sin2xcosx
cos3x - 4sin3x- 3sin2xcosx + sinx = 0
IV Một số kĩ năng giải phơng trình lợng giác:
1) Kĩ năng nhận dạng và giải những phơng trình lợng giác cơ bản, và phơng trình l-ợng giác thờng gặp Kĩ năng đặt ẩn phụ
2) Kĩ năng biến đổi đa về phơng trình cơ bản, PTLG thờng gặp
- Kĩ năng rút gọn, chú ý điều kiện
- Kĩ năng vận dụng công thức cộng cung, cụng th c bi n đ i.ứ ế ổ 3) Kĩ năng biến đổi đa về dạng PT tích
- Vận dụng các công thức cơ bản, công thức cộng, nhân đôi, hạ bậc
- Nhóm các số hạng để áp dụng công thức biến đổi Tổng thành tích
- Biến đổi tích thành tổng để giản ớc hay kết hợp với các số hạng 4) Kĩ năng đánh giá các phơng trình đặc biệt
- Đánh giá hai vế (theo tập giá trị)
- Đa về dạng tổng các bình phơng 5) Kĩ năng kết hợp nghiệm (thu gọn), kĩ năng loại nghiệm (theo điều kiện)
Trang 3BÀI T P Ậ
Bài t p 1 Ch ng minh các đ ng th c sau: ậ ứ ẳ ứ
1) sin3x = 3sinx – 4sin3x 6) cos3x = 4cos3x – 3cosx
2)
1 t anx tan
4 x 1 t anx
7) cos3xcos3x + sin3xsin3x = cos32x 3) sinx 3 cosx 2sin x 3
8) sinx + cosx = 2 sin x 4
4) cosx - 3sinx 2 osc x 3
9) sinx - cosx = 2 sin x 4
5) cos3xsin3x + sin3xcos3x =
3 sin 4
4 x 10) sin4x + cos4x = 1 -
2
1 sin 2
Bài t p 2 Rút g n các bi u th c sau: ậ ọ ể ứ
1)
4)
1 sin2x-cos2
1 sin 2 os2
x
2) cos osxc 3 x cos 3 x .
5)
sin 3 cos3 2cos
x
x x 3) cotx – tanx – 2tan2x – 4tan4x 6) sin2500 + sin2700 - cos500cos700
Bài t p 3 Ch ng minh các đ ng th c l ậ ứ ẳ ứ ượ ng giác trong tam giác:
Cho A, B, C là các góc c a m t tam giác Ch ng minh: ủ ộ ứ
1) sinA + sinB + sinC = 4cos2 os 2 os 2
2) cosA + cosB + cosC = 1 4sin sin sin2 2 2
3) cos2A + cos2B + cos2C = –1 – 4cosAcosBcosC.
4) sin2A + sin2B + sin2C = 2(1 + cosAcosBcosC).
5) cos2A + cos2B + cos2C = 1 – 2cosAcosBcosC.
6) tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC.
Bài t p 4 Tìm t p xác đ nh c a m i hàm s sau: ậ ậ ị ủ ỗ ố
a) y = 2tanx + 3co2x c) y = tan2x + 3cotx.
b) y =
1 cot sinx cos
x x
1 tan cot 2 3
x x
Bài t p 5 Tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a m i hàm s sau: ậ ị ớ ấ ỏ ấ ủ ỗ ố
a) y =
sinx
2 sinx c) y =
cos 2sin 3 2cos sinx 4
x
b) y = 2sin2x + sin2x – 4cos2x d) y = sinx+ 2 sin x. 2
Bài t p 6 Gi i các ph ậ ả ươ ng trình sau :
1) sin2x =
1 2
5) sin 2x 5 sin x 5 0
2) 2cosx+ 3=0 6) 2sinx + sin2x = 0
3) sin3x + cos2x = 0 7) tanx(sinx + cotx) = 1.
Trang 44) tanx + 3 = 0 8) cos2x – sin2x = - 1.
Bµi tËp 7 Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
1) 3cos2x - 2cosx = 1
2) sinx + 3cosx = -1
3) cos2x - 2cos3x = sin2x
4) sin3x - 3cos3x = 2sin2x
5)
2
x
6) 8sinx =
cosxsinx
7) sin4x + cos4x = cos2x
8) 4(sin4x + cos4x) + 3sin4x = 2
9) cos3xcos3x + sin3xsin3x =
2 4
10)
4cos32x + 6sin2x – 3 = 0
11) 2 2(sin xcos )cosx x 3 cos 2x
1
sin
x
x
13) cotx - tanx + 4sin2x =
2
sin 2x 14)5sinx - 2 = 3tan2x(1 - sinx)
15)cos23xcos2x - cos2x = 0
16)
cos3 sin 3
1 2sin 2
x
17) 4cos3x + 3 2sin2x = 8cosx
18) (2cosx - 1)(2sinx + cosx) = sin2x - sinx 19) 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 20) sinxcos4x - sin22x =
4sin
x
21)
2 2 sin
x
22) 2sin3x - sinx = 2cos3x - cosx + cos2x
23) cos3x + cos2x - cosx - 1 = 0 24) 2sinx(1+cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx 25) 5sin3x = 3sin5x.
26) 3cot2x + 2 2 sin2x(2 3 2)cos x.
27)
2( os sin ) sin cos
0
2 2sin
x
28) sin2xcosx + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx.
1 sin 2 cos 2
2 sin sin 2
1 cot
x
30) (1+cosx)(1+cos2x)(1+cos3x) = 0,5
Bài t p 8 Gi i các ph ậ ả ươ ng trình l ượ ng giác trong m t s đ thi đ i h c ộ ố ề ạ ọ
1) (ĐH-KD-2005)
2) (ĐH-KA-2003)
2
c x
3) (ĐH-KA-2007) (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x
4) (ĐH-KD-2009) 3 os5c x 2sin 3 cos2x x sinx 0.
5) (ĐH-KB-2010) (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = 0
6) (ĐH-KD-2010) sin2x – cos2x + 3sinx – cosx – 1 = 0
7) (ĐH-KD-2011)
sin 2 2cos sin 1
0
x
8) (ĐH-KD-2012) sin3x + cos3x – sinx + cosx = 2 cos2x
9) (ĐH-KA-2012) 3 sin 2xcos2x2cosx 1.
Bài t p 9 Gi i các ph ậ ả ươ ng trình sau:
1) (TTBDVH TL)
sinx(1 cos )
cos
x
x
Trang 5
2) (TTBDVH TL) sin3x = sin2x – cos2x + 2
2
cos
3) (ĐHSP-HN)
1
1 3cos cos2
(cot cot 2 )sin( )
4) (ĐH – Vinh) (1-cosx)cotx + cos2x + sinx = sin2x