Hàm sô và phương trình lượng giác - Toán học

- Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên được gọi là chu kì của hàm f.. Xét tính chẵn lẻ của hàm số..[r]

Hàm số Lượng Giác Và Phương Trình Lượng Giác

A Hàm số lượng giác:

I Lý thuyết:

1 Hàm số: ycosx;ysinx;yt anx;ycot x

2 Tính chất:

- Tập xác định, tập gí trị, tính chẵn – lẻ, tuấn hoàn, sự biến thiên và đồ thị

3 Hàm tuần hoàn:

- Hàm số y f x  xác định trên D được gọi là hàm tuần hoàn nếu có số T 0 sao cho  x Dta có:

x T  x T  và f x T   f x 

- Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên được gọi là chu kì của hàm f

II Bài tập:

1 Tìm tập xác định của các hàm số:

1 ycos x 2.y cosx 1

x



 3 sin 1

1

x y

x





 4

2 cos

1 sin

x y

x







5 1 2 cos

sin

x y

x



 6 cot

cos 1

x y

x



 7 y cot 2x 4



   

  8 y tan 2x 5



   

9 sin 2

cos 1

x y

x





 10

2 cos

1

x y

x





 11 2

2 sin

1

x y

x







12 tan 2

3

y  x 

5 sin cos

x y





 14 y = tanx + cotx

2 Tìm tập xác định của các hàm số:

1 1 s

1 sin

inx y

x





 2.

1 s

1 sin

inx y

x





 3 y = tan( x + 2) 4

1 sin

3

y

x 



  

5.y sinx 1 cos 5x 6 1 tan

sin 1

x

 7

cos 1 cos 2 sin 4

x y





8 1

sin

y

x

 9 tan 2

6

y  x 

  10 y cot 2x 6



   

3 Xét tính chẵn lẻ của hàm số

1 y = xcos3x 2 1 cos

1 cos

x y

x





 3 y = x

3

sin2x 4

3 sin cos 2

y

x





5 y cos 2x

x

 6 y = x – sinx 7 y 1 cos x 8 1 cos sin 3 2

2

y  x    x

9 y = cosx + sin2x 10 y = sin2x + cos2x 11 y = cot2x + 5sinx 12 tan

3

y x 

   

4 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

1 2 cos 1

3

y x 

  2.y 1 sin x3 3 y = 2sinx + 1 4 y = 3cosx – 1

5 y = 4cos2x – 4cosx + 2 6 y = sinx + cosx + 2 7 4sin2 sin cos

2

x

8 y 1 cos x2 9 3sin 2 1

6

y  x 

  10 y2 1 cos x3 11 y = 2 + 3cosx

12 y = 3 – 4sin2xcos2x 13

2

1 4 cos 3

x

14 y = 2sin2x – cos2x 15.y 3 2 sinx

16 cos cos

3

  17

2 cos 2cos 2

y x x 18 2 2

5 2cos sin

19 3 1sin cos

4

y  x x 20 y = sin6x + cos6x

B Phương trình lượng giác:

I Lý thuyết:

1 Dạng cơ bản:

1.1 Phương trình: sinx

Cách giải: SGK

1.2 Phương trình: osxc 

Cách giải: SGK

1.3 Phương trình: t anx đk: osx 0 ;

2

Cách giải: SGK

1.4 Phương trình: cot x đk: sinx  0 x k;k

Cách giải: SGK

1.5 Chú ý:

2

u v k



 



     

2 cos cos

2

u v k





 



     

3 tanutanv  u v k,k 4 cotucotv  u v k ;k

2 Dạng thường gặp:

2.1 Phương trình bậc hai đối với một HSLG:

1 a sin2xbsinx c 0 2 acos2xbcosx c 0

3 a tan2xbt anx c 0 4 acot2xbcot x c 0

Cách giải:

đặt tsinx / osx -1c   t 1 hoặc tt anx / cot xt  ta được phương trình bậc hai theo t

2.2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: a sinxbcosx = c a2b20

Cách giải:

 Chia hai vế của phương trình cho a2+ b2 , ta được:

2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2

(1)

Đặt

2a 2 cos

a

= +

;

2b 2 sin

a

= +

Khi đó:

(2)

Pt(2) là pt lượng giác dạng cơ bản nên giải dễ dàng

Nhận xét :

 Phương trình asinx+bcosx= c có nghiệm khi và chỉ khi a2+b2³ c2

 Các phương trình asinx- bcosx= c, acosx± bsinx= c cũng được giải tương tự

2.3 Phương trình dẳng cấp bậc hai: asin2x+bsin cosx x+ccos2x= 0 (a2b2c2 0)

Cách giải:

 Xét xem

2

x= p + k p có là nghiệm của phương trình không

 Với

2

x¹ p + k p (cosx ¹ 0), chia hai vế của phương trình cho 2

cos x ( hoặc sin x2 ) ta được phương

trình bậc 2 theo tan x(hoặc cot x)

Chú ý:

 Áp dụng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi ta có thể đưa phương trình về dạng bậc nhất theo

sin 2x và cos 2x

 Phương trình asin2x+bsin cosx x+ccos2 x= d cũng được xem là phương trình đẳng cấp bậc hai vì

dd sin xcos x

 Làm tương tự cho phương trình đẳng cấp bậc n

2.4 Phương trình đối xứng: asinxcosxbsin x osxc  c 0 (a2b20)

Cách giải:

1 sinx osx 2 sin , 2 sin x osx

t

Chú ý:

 Phương trình asinx- osxc bsin x osxc  c 0 được giải tương tự

tan cot t anx cot x 0

a x x b   c (*)sinx, osxc 0 đặt t t anxcot xt 2tan2xcot2xt22

 Phương trình atan2xcot2xbt anx-cot x c 0 giải tương tự

II Bài tập:

1 Các bài toán cơ bản:

1.1 Giải phương trình :

1 sin sin

6

x 

2 2sinx 2 0 3   2

sin 2

3

x 

4 sinx20osin 60o 5 cos cos

4

x 

6 2cos 2x 1 0

cos 2 15

2

o

x   8 t an3 1

3

x  9 tan 4 x23

tan 2x10o tan 60 11 cot 4x 3 12 cotx21

1.2.Giải phương trình :

1 sin 2 sin

     

    2 cos 2 x 1 cos 2 x1

3 tan2 1 tan1 0

4 sin 3xcos 2x

1.3 Giải các phương trình sau :

1 cos 22 1

4

x 2 4cos 22 x 3 0

3 cos2 2 sin2

4

  

cos 3xsin 2x1

1.4 Tìm các nghiệm của phương trình sau trong khoảng đã cho :

1 2sin 2x 1 0 với 0 x  2 cotx 5 3 với    x 

1.5 Giải các phương trình sau :

1 sinxcosx1 2 sin4xcos4x1

3 sin4xcos4x1 4 sin3xcosxcos3xsinx 2 / 8

1.6 Giải các phương trình sau :

1 cos2x 3 sin cosx x0 2 3 cosxsin 2x0

3 8sin cos cos 2 cos8

16

x x x  x

sin sin sin 4

2

   

1.7 Giải phương trình :

1 cos 7 cosx xcos5 cos3x x 2 cos 4xsin 3 cosx xsin cos3x x

3 1 cos xcos 2xcos3x0 4 sin2xsin 22 xsin 32 xsin 42 x2

1.8 Giải các phương trình sau :

1 sin 2 sin 5x xsin 3 sin 4x x ; 2 sinxsin 2xsin 3xsin 4x0 ;

3 sin2xsin 32 x2sin 22 x ; 4 sinxsin 3xsin 5xcosxcos3xcos5x

1.8 Tìm tập xác định của m i hàm số sau :

1 ytanx 2 ycot 2x

3 2 cos 1

2 cos 1

x y

x





 4

  sin 2 cos 2 cos

x y







5 tan

1 tan

x y

x



 6

1

3 cot 2 1

y

x





1.9 Giải phương trình :

1 2 cos 2 0

1 sin 2

x

x 

tan 3

0

2 cos 1

x x







3 sin 3 cotx x0 4 tan 3xtanx

1.10 Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; ) của phương trình 4cos3 cos 2x x2cos3x 1 0

2 Phương trình bậc hai đối với một HSLG:

2.1 Giải phương trình :

1 2cos2 x3cosx 1 0 2 cos2xsinx 1 0

3 2sin2x5sinx 3 0 4 cot 32 xcot 3x 2 0

2.2 Giải phương trình :

1 2cos2 x 2 cosx 2 0 2 cos 2xcosx 1 0

3 cos 2x5sinx 3 0 4 5 tanx2cotx 3 0

2.3 Giải các phương trình lượng giác sau :

1 sin2 2 cos 2 0

- + = 2 cos 5sin 3 0

2

x

3 cos 4x- sin 2x- 1= 0 4 cos 6x3cos3x 1 0

2.4 Giải các phương trình :

tan x 3 1 tan x 30 2 2  

3 tan x 1 3 tanx 1 0

3 2 cos 2x2 3 1 cos  x 2 30 4 12  

2 3 tan 1 2 3 0 cos x  x  

2.5 Giải các phương trình sau :

1 cos5 cosx xcos 4 cos 2x x3cos2x1 2 2cos6xsin4 xcos 2x0

3

4sin 2 6sin 9 3cos 2

0 cos

x

x

2.6 Giải các phương trình :

cos

x

x

2

3 5sin 2xsinxcosx 6 0 4 2 2  

tan xcot x2 tanxcotx 6

2.7 Giải phương trình: 2 tan xsinx 3 cotxcosx 5 0

3 Phương trình bậc nhất đối với sinx,cosx:

3.1 Giải phương trình :

1 3 sinxcosx1 2 3 cos 3xsin 3x2

3 3cosx4sinx 5 4 sinx7 cosx7

5 2sin 2x2cos 2x 2 6 sin 2x 3 3 cos 2x

3.2 Giải phương trình :

1 2sin2x 3 sin 2x3 2 2cos2x 3 sin 2x 2

3 2sin 2 cos 2x x 3 cos 4x 20 4 4sin2 x3 3 sin 2x2cos2 x4

3.3 Giải các phương trình sau :

1 sin 3x 3 cos 3x2cos 4x 2 cos 3 sin 2 cos

3

 

3 3 sin 2xcos 2x 2 cosx 2 sinx 4 sin 8xcos 6x 3 sin 6 xcos8x

3.4 Giải các phương trình sau :

        

     

3.5 Giải các phương trình sau :

1 3sinx 3 cos 3x 1 4sin3x 2 3 cos5x2sin 3 cos 2x xsinx0

3

2 sin cos 3 cos 2

x

8cos 2

sin cos

x

3.6 Tìm 2 ,6

5 7

x    

  thỏa phương trình cos 7x 3 sin 7x 2

2sin xsin cosx xcos xm

1 Tìm m để phương trình có nghiệm

2 Giải phương trình với m 1

3.8 Cho phương trình sin 2x2 cosm xsinx m Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc

đoạn 0;3

4



 

3.9 Giải các phương trình:

cos sin

x

2 sin 1

x x

x



4 Phương trình đẳng cấp:

4.1 Giải các phương trình sau:

1 sin2x2sinxcosx3cos2x0 2 6sin2xsinxcosxcos2x2

3 sin2x2sin2x2cos2x 4 2sin22x2sin2xcos2xcos22x2

2

3 sin 2 cos ) sin(

4 2 cos

sin









 

















6

2

1 cos 2 cos sin 4 sin

3 2 x x x 2x

4.2 Giải các phương trình sau:

1 2sin3x4cos3x3sinx









 

















 

2 2

sin 2

cos 2

sin 2

cos 2 sin 3 2 2

3 cos

2

sin

3 4sin3x3sin2xcosxsinxcos3x0

4 sin4x3sin2xcos2x4sin x osc 3x3 osc 4x0

5 Phương trình đối xứng:

Giải phương trình sau:

1 cotxtanxsinxcosx 2 2sinxcotx2sin2x1

3 cos3xsin3x1 4 |sinxcosx|4sin2x1

2

3 2 cos 2

sin

1 3  3  6 (1cosx)(1sinx)2

7 1 t anx 2 2 sinx 8 osx 1 sinx 1 10

c

c

9 sinxsin2xsin3xsin4xcosxcos2xcos3xcos4x

10 t anx7 t anx+ cot x+7 cot x 14    0

3 tan xcot x 2 3 1 t anx cot x  4 2 30

12 t anxtan2xcot xcot2x6

6 Các bài toán không mẫu mực :

Giải các phương trình sau:

1 sin (1 cos )x  x  1 cosxcos2x 2 1 1 10

8sin

cos sin

x

  4 2 1 cos

1 sin

x

tg x

x







5 cotgx – tgx = sinx + cosx 6 5sinx 2 3(1 sin ) x tg x2

7 2(cos6 sin6 ) sin cos 0

2 2 sin

x



 8

sin x 3 cos xsin cosx x 3 sin x.cosx

2

x

gx x tgxtg 

2

cos cos

x x

11 tgxtg x2 tg x3 cotgx+cotg2x + cotg3x = 0 12 tgx + cotgx = 2(sinx + cosx)

13 sinx – 4sin3x + cosx = 0 14 cos3x + cos2x + 2sinx – 2 = 0

15 cos3x – 4sin3x – 3cosxsin2x + 3sinx = 0 16.(2cosx – 1)(sinx + cosx) = 1

17 sin cos 2 3 cos 2

x

18 cos2x + cosx – 2sin2x = 2cos2x

19 4cos2x + 1

2 sin2x + 3sin2x – 3 = 0 20 5sin2x – 12 (sinx – cosx) + 12 = 0

21 sinx + cosx – 2 sin2x – 1 = 0 22 – 3cosx + cos2x = 4cos2

2

x

23 sin2x + tgx – 2 = 0 24 3sinx + cosx – 4 tg

2

x+ 1 = 0

25 cos4x + 2sin6x = cos2x 26 2cos3x + cos2x + sinx = 0

27 2tgx + cotgx = 3 + 2

s in2x

28 sin2x + 2cos2x = 1 + sinx – 4cosx

29 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8 30 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4

31 cotgx – tgx + 4sin2x = 2

s in2x

32 3(cotgx – tgx) = sin2x

33 sin3 cos3 cos 2

2 cos sin

x

cosxs in2x s in4x

35 Tìm tổng các nghiệm x  (1;70) của phương trình : cos2x – tg2x = 2 3

2

cos

x x x

36 cotgx + sinx ( 1 + tgxtg

2

x

2

1 cos 2 cos

2(sin cos ) 3 cos

x

x

tgx

2

s in2x

40 (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx 41 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0

42 ( 1+ sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x 43 2sinx ( 1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx

44 cosx + cos2x + cos3x = 0 45 sin2x – sin22x + sin23x = ½

46 sin8x + cos8x = 17 2

cos 2

16 x

47 cos7x - sin5x = 3 ( cos5x – sin7x)

48 2cosx cos2x = 1 + cos2x + cos3x 49 3cosx + cos2x – cos3x + 1 = 2sinxsin2x

50 cos10x + 2cos24x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos33x

1 2sin 2



1 sin sin 2 sin 3 sin 4

4

53 4cosx cos2x cos3x = cos6x 54 sinx + sin2x + sin3x – cosx – cos2x -1 = 0

55 cos3xcos3x + sin3xsin3x = cos34x 56 3 3 1

cos cos 3 sin sin 3

4

cos cos 3

x

x



59 3sin5x = 5 sin3x 60 sin23x – cos24x = sin25x – cos26x

61 Tìm x 0;14 thoả phương trình: cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0

62 cos23x.cos2x – cos2x = 0 63 cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0

64 2sin22x + sin7x – 1 = sinx3tg3x + cotg2x = 2tgx + 2

sin 4x

65 sin 5 cos 2 cos3

x  x  x

66 cos 3sin 2 cos

3

x x  x

67 sin 2 5 3cos 7 1 2sin

      

68 sin3 2 sin

4

  

69 sin 3 s in3 cos 3 cos 3 1

8

tg x  tg x 

tg x



x x x   x  

2006

4 sin 3

sin

2

x x

x



75 2 2.sin .cos 1

12

3

4

7 Các bài toán trong đề thi ĐH – CĐ:

1 A_12. 3 s in2x+cos2x=2cosx-1

2.B_12. 2(cosx 3 sin ) cosx xcosx 3 sinx1

3.D_12 sin3x + cos3x – sinx + cosx = 2 cos2x

4.A_11 1 sin 2 2cos 2 2 sin sin 2

1 cot

x



5.B_11 sin 2 cosx xsin cosx xcos 2xsinxcosx

6.D_11 sin 2 cos sin 1 0

x



7.A_10

1 sin cos 2 sin

1 4

cos

x x



  

8.B_10 sin 2xcos 2xcosx2cos 2xsinx0

9.D_10 sin 2xcos 2x3sinxcosx 1 0

(1 2sin )(1 sin )

11.B_09 sinxcos sin 2x x 3 cos 3x2(cos 4xsin3x)

12 D_09 3 cos5x2sin 3 cos 2x xsinx0

13 CĐ_08 sin 3x 3 cos 3x2sin 2x

3

sin

2

x x

x





15.B_08 sin3x 3 cos3xsin cosx 2x 3 sin2xcosx

16.D_08 2sin (1 cos 2 ) sin 2x  x  x 1 2cosx

17 A_07 (1 sin 2 x) cosx (1 cos2x)sinx 1 sin 2x

18.B_07 2sin 22 xsin 7x 1 sinx

19.D_07

2 sin cos 3 cos 2

x

20.A_06

2(cos sin ) sin cos

0

2 2sin

x



2

x

x x  x 

22.D_06 cos3xcos 2xcosx 1 0

23.A_05 cos 3 cos 22 x xcos2 x0

24.B_05 1 sin xcosxsin 2xcos 2x0

x x x   x  

26.A_04 Tính ba góc của ABC không tù, thoả mãn điều kiện cos 2A2 2 cosB2 2 cosC3 27.B_04 5sinx 2 3(1 sin ) tan x 2x

28.D_04 (2cosx1)(2sinxcos )x sin 2xsinx

29.A_03 cot 1 cos 2 sin2 1sin 2

x

x



sin 2

x

x



32.A_02 Tìm nghiệm x(0;2 ) của phương trình: 5 sin cos 3 sin 3 cos 2 3

1 2sin 2

x



33.B_02 sin 32 xcos 42 xsin 52 xcos 62 x

34.D_02 Tìm x0;14 nghiệm đúng phương trình: cos3x4cos 2x3cosx 4 0

CÁC ĐỀ DỰ BỊ 1.A_08 tanxcotx4cos 22 x

     

     

2.B_08 3sin cos 2 sin 2 4sin cos2

2

x

1.D_08 4(sin4xcos4x) cos 4 xsin 2x0

2sin sin 2

2.A_07.2cos2x2 3sin cosx x 1 3(sinx 3cos )x

     

2.B_07 sin 2 cos 2 tan cot

cos sin

12

2.D_07 (1 tan )(1 sin 2 ) 1 tan x  x   x

cos 3 cos sin 3 sin

8

6

    

1.B_06 (2sin2x1) tan 22 x3(2cos2x 1) 0

2.B_06 cos 2x 1 2cosxsinxcosx0

1.D_06 cos3xsin3x2sin2x1

2.D_06 4sin3x4sin2x3sin 2x6cosx0

1.A_05 Tìm nghiệm trên khoảng (0; ) của phương trình: 4sin2 3 cos 2 1 2 cos2 3

x



4



1.B_05 sin cos 2x xcos2x(tan2x 1) 2sin3x0

2.B_05 tan 3 tan2 cos 22 1

x

x





1.D_05 tan 3 sin 2

x x

x



2.D_05 sin 2xcos 2x3sinxcosx 2 0

4(sin xcos x)cosx3sinx

2.A _04 1 sin x 1 cos x 1

4 sin cos

x

   



2.B _04 sin 4 sin 7x xcos3 cos 6x x

1.D _04 2sin cos 2x xsin 2 cosx xsin 4 cosx x

2.D _04 sinxsin 2x 3 cos xcos 2x

cos 2xcosx 2 tan x 1 2

2.A _03 3 tan xtanx2sinx6cosx0

3cos 4x8cos x2cos x 3 0

2.B _03

2 3 cos 2sin

2 4

1

2 cos 1

x x

x

  





cos cos 1

2 1 sin sin cos

x





2.D _03 cot tan 2 cos 4

sin 2

x

x

Bài Tập Lớp 11 Chương I: Lượng Giác

Công Thức Lượng Giác

I Cung liên kết:

1 Cung đối: (cos đối)

1.1 cos( ) cos   1.2.sin( )   sin

1.3.tan( )   tan 1.4 cot( )  cot

2 Cung bù: (sin bù)

1.1 cos(  )  cos 1.2 sin(  ) sin 

1.3 tan(  )  tan 1.4 cot(  ) cot

3 Cung phụ: (phụ chéo)

1.1 cos(  ) sin 

2 1.3 tan(  )  

2

4 Cung hơn kém :

1.1 cos(  )  cos 1.2 sin(  )  sin

1.3 tan(  ) tan  1.4 cot(  ) cot 

II Công thức lượng giác:

1 Hằng đẳng thức lượng giác:

1.1 cos2sin2 1 1.2 



1 tg =

cos



1 cotg =

sin 1.4 tg cotg = 1  

2.Công thức cộng:

1.1 cos(  ) cos cos  sin sin 

1.2 cos(  ) cos cos  sin sin 

1.3 sin(  ) sin cos  sin cos 

1.4 sin(  ) sin cos  sin cos 

 



tg +tg tg( + ) =

1 tg tg

 







tg tg tg( ) =

1 tg tg

3 Công thức nhân đôi:

1.1 cos2  cos2 sin2  2cos2   1 1 2sin2

1.2 sin22sin cos 





2tan tan2

1 tan

4 Công thức nhân ba:

1.1 cos34cos33cos 1.2 sin 33sin4sin3

5 Công thức hạ bậc:

1.1 cos2 1 cos 2

2



   1.2 sin2 1 cos 2

2



  1.3 2 1 cos 2

1 cos 2









6 Công thức biến tổng thành tích: