Phương trình lượng giác cơ bản và PTBN với một hàm số lượng giác 

a) Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định. Ta thường dùng một trong các cách[r]

Trang 1

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

c) sinu= − sinv  sinu= sin( ) −v

d) sin cos sin sin

cosx x a== a Ñieàu kieän x = arccos−  a k+a 2 ( k Z )

c) cosu= − cosv  cosu= cos( −v)

cosx =   1 cos x=  1 sin x = 0  sinx = 0  x k=  (kZ)

3 Phương trình tanx = tan

a) tanx= tan  = +x  k (kZ)

Trang 2

b) tanx= a  x = arctana k k Z+ (  )

c) tanu= − tanv  tanu= tan( ) −v

d) tan cot tan tan

2

u= v  u =  −v



e) tan cot tan tan

5 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Có dạng at b+ =0 với a b,  , a 0 với t là một hàm số lượng giác nào đó

* Phương trình chứa cotx thì điều kiện: x k  (k Z )

* Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện ( )

1 Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện

2 Dùng đường tròn lượng giác để biểu diễn nghiệm

3 Giải các phương trình vô định

c) Sử dụng MTCT để thử lại các đáp án trắc nghiệm

24

29

106

29

106

29

106

29

106

106

29

106

29

106

29

106

Câu 28: Phương trình 2sinx m− =0 vô nghiệm khi m là

A −  2 m 2 B m  −1 C m 1 D m  −2 hoặc 2

5

26

2

23

24

24

Trang 9

A 5

4 6

x=   +k 

B 5

4 3

x=   +k 

C 5

2 6

x=   +k 

D 5

2 3

k k x

x

k k

5

23

Trang 10

C

5

46

5

46



D 73

m m

Trang 11

A −  1 m 1 B m 0 C m  −2 D −  2 m 0 Câu 62: Cho

2

x= + k

là nghiệm của phương trình nào sau đây:

A sinx =1 B sinx =0 C cos 2x =0 D cos 2x = −1 Câu 63: Cho phương trình: 3 cosx m+ − =1 0 Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm

x=   +k 

là họ nghiệm của phương trình nào sau đây ?

A 2cosx − =1 0 B 2cosx + =1 0 C 2sinx + =1 0 D 2sinx − 3=0

3

x=  + k 

là họ nghiệm của phương trình nào sau đây ?

A 2cosx − 3=0 B 2cosx − =1 0 C 2sinx + =1 0 D 2sinx − 3=0

Câu 68: Nghiệm của phương trình sin 3x=cosx là:



C 478



D 4718

Câu 89: Nghiệm của phương trình 3 tan 3 0

4x − = trong nửa khoảng 0; 2 là )

A

26

2 6

Câu 106: Phương trình nào sau đây vô nghiệm

Trang 16

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Câu 1: Phương trình (sinx+1 sin) ( x− 2)= có nghiệm là:0

3

24

34

Trang 17

A

26

Câu 12: Cho phương trình cos cos 7x x=cos3 cos5x x ( )1

Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình ( )1

A sin 5x =0 B cos 4x =0 C sin 4x =0 D cos3x =0

Câu 13: Số nghiệm của phương trình sin 3

0cos 1

x x

− là

A 3

2 ,4

x= −  +k  k

B

2 ,4

3

2 ,4

4 sin x+cos x +2 sin x+cos x = −8 4cos 2x

    tương đương với phương trình:

A cotx = 3 B cot 3x = 3 C tanx = 3 D tan 3x = 3

Câu 20: Giải phương trình :sin4x+cos4x= 1

cos cos5 cos 6

Câu 28: Phương trình sin 3 cos 3 2

cos 2x +sin 2x =sin 3

x x x có nghiệm là:

Chọn trả lời đúng: Nghiệm của phương trình là

cos x−30 −sin x−30 =sin x+60 và các tập hợp số thực:

I x=300+k1200, k  II x=600+k1200, k 

III x=300+k3600, k  IV x=600+k3600, k 

Chọn trả lời đúng về nghiệm của phương trình

Trang 21

PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

Đáp án đúng là A, các đáp án còn lại sai vì thiếu họ nghiệm hoặc sai họ nghiệm

Câu 4: Nghiệm của phương trình sinx = −1là:

Trang 23



26

26

Vì k  nên ta không chọn được giá trị k thỏa mãn

Vậy phương trình đã cho có nghiệm

6

x= 

Câu 10: Nghiệm phương trình

2sin 2

3

24

29

106

29

106

Trang 24

C

11

106

29

106

29

106

Mỗi họ nghiệm có 3 nghiệm thuộc (0;3 nên PT có ) 6 nghiệm thuộc (0;3 )

Câu 14: Nghiệm phương trình

Vậy phương trình có 3 nghiệm trong   ;5 

Câu 17: Nghiệm của phương trình 2sin 4 –1 0

23

Câu 21: Số nghiệm của phương trình sin 1

106

29

106

29

106

29

106

x

k x

29

106

Với k = −1 thì x= −130 , x= −100

Vậy có 4 nghiệm thuộc (−180 ;180 ) là 4

Câu 25: Tìm sô nghiệm nguyên dương của phương trình sau ( 2 )

k x k x k

Câu 26: Nghiệm của phương trình sin2x = là: 1

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Với mọi x  , ta luôn có − 1 sinx1

Do đó, phương trình sin x=m có nghiệm khi và chỉ khi −  1 m 1

Câu 28: Phương trình 2sinx m− =0 vô nghiệm khi m là

A −  2 m 2 B m  −1 C m 1 D m  −2 hoặc 2

m 

m m

2

x =

là:

Trang 30

A

26

5

26

2

23

Trang 31

A

24

3

24

24

x=   +k 

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Trang 32

22

Do các nghiệm của họ ( )1 và họ ( )2 không trùng nhau nên phương trình đã cho có hai nghiệm

Câu 42: Phương trình 2cosx − 3=0 có họ nghiệm là

x=   +k 

B 5

4 3

x=   +k 

C 5

2 6

x=   +k 

D 5

2 3

Trang 33

Câu 45: Giải phương trình

3cos cos

22

k k x

x

k k

22

k

k x

5

23

5

46

x cos 

212

x= −  +k 

: Vì 0 x 2 nên 17

12

x= Vậy tập nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện là

Trang 36

242

3

,4



D 73

3

x k x

Câu 56: Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình: 2

Với mọi x  , ta luôn có − 1 cosx1

Do đó, phương trình cosx=m có nghiệm khi và chỉ khi 1

1

m m

m m

là nghiệm của phương trình nào sau đây:

A sinx =1 B sinx =0 C cos 2x =0 D cos 2x = −1

x=   +k 

là họ nghiệm của phương trình nào sau đây ?

A 2cosx − =1 0 B 2cosx + =1 0 C 2sinx + =1 0 D 2sinx − 3=0

Vậy hai nghiệm theo yêu cầu đề bài là



C 478



D 4718

Câu 72: Gọi X là tập nghiệm của phương trình cos 15 sin

Trang 42

2cos 0

6sin

2

526

Sử dụng công thức nghiệm tổng quát của phương trình tanx=  = x arctan+k,(k ).

Câu 86: Họ nghiệm của phương trình tan 2x−tanx=0 là:

Trang 44

Điều kiện: cos 2 0

x x

k x

Phương trình tan 2x−tanx=0  tan 2x= tanx2x= +x k  =x k,k

Câu 87: Phương trình lượng giác: 3.tanx − = có nghiệm là 3 0

Câu 89: Nghiệm của phương trình 3 tan 3 0

4x − = trong nửa khoảng 0; 2 là )

A

26

2 6

x x

Trang 48

Điều kiện: cos3 0

sin 2 0

x x

Câu 106: Phương trình nào sau đây vô nghiệm

Trang 49

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Câu 1: Phương trình (sinx+1 sin) ( x− 2)= có nghiệm là:0

3

24

34

k x x

6cos

26

22sin

4

x x

4

3

24

24

5

24

x x

Câu 12: Cho phương trình cos cos 7x x=cos3 cos5x x ( )1

Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình ( )1

 = ( Do sin 4x=2sin 2 cos 2x x )

Câu 13: Số nghiệm của phương trình sin 3

0cos 1

x x

− là

A 3

2 ,4

x= −  +k  k

B

2 ,4

3

2 ,4

2 ,4

x= −  +k  k

4 sin x+cos x +2 sin x+cos x = −8 4cos 2x

sinx cosx 1 sin 2x 0

 + =  = (loại) Phương trình vô nghiệm

Câu 18: Số nghiệm thuộc ;69

    tương đương với phương trình:

A cotx = 3 B cot 3x = 3 C tanx = 3 D tan 3x = 3

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Trước hết, ta lưu ý công thức nhân ba: 3

sin 3a=3sina−4sin a; cos3a=4cos3a−3cosa;



 x=  =x k k

cos cos5 cos 6

k x

Trang 57

sin 2

52

Câu 28: Phương trình sin 3 cos 3 2

cos 2x +sin 2x =sin 3

k

x

sin 3 sin 2 cos 2 cos 3 2

sin 2 cos 2 sin 3

sin 2 s in4 sin 42

(sin cos )(1 sin cos ) sin cos (sin cos ) 2sin 2

So sánh điều kiện ta có phương trình vô nghiệm

Câu 31: Cho phương trình cos 2 cosx x+sin cos3x x=sin 2 sinx x−sin 3 cosx x và các họ số thực:

Chọn trả lời đúng: Nghiệm của phương trình là

Hướng dẫn giải:

Chọn C

cos 2 cosx x+sin cos3x x=sin 2 sinx x−sin 3 cosx x

(cos 2 cosx x−sin 2 sinx x) (+ sin cos3x x+sin 3 cosx x)= 0

cos 3 sin 4 0 sin 4 cos 3 sin 4 sin 3

k x

Trang 59

22

cos 3 sin 4 cos 3 cos 4

22

14 72

k x

cos x−30 −sin x−30 =sin x+60 và các tập hợp số thực:

I x=300+k1200, k  II x=600+k1200, k 

III x=300+k3600, k  IV x=600+k3600, k 

Chọn trả lời đúng về nghiệm của phương trình

Phương trình đề bài cos (1 tan ).sin (1 cot ) 1x + x x + x =

(cosx sin )(sinx x cos ) 1x

Câu 36: Trong nửa khoảng 0; 2), phương trình sin 2x+sinx=0 có số nghiệm là:

k x

k x

m x

m m

Trang 62

A

1

.3

(1) Phương trình đã cho tương đương: