CHUYÊN ĐỀ: BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Với mục đích cung cấp cho học sinh THPT. Đặc biệt là học sinh lớp 10, 11.Các phương pháp về biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác góp phần phát huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh trong học tập. Chuyên đề này gồm: Hệ thống ngắn gọn các kiến thức cơ bản về biến đổi lượng giác và cách giải phương trình lượng giác. Cung cấp các bài tập phong phú về số lượng, đa dạng về các dạng toán về biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác. Hệ thống các bài tập tự luyện giúp học sinh tự luyện tập, củng cố kĩ năng biến đổi lượng giác, giải phương trình lượng giác.

CHUYÊN ĐỀ:

BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Tổng số tiết dạy: 48 tiết = 16 buổi.

MỞ ĐẦU

Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác là nội dung cơ bản và quantrọng trong học tập lượng giác và là một nội dung trong cấu trúc đề thi THPTQG.Thành thạo các phép biến đổi lượng giác giúp các em học sinh thêm tự tin trong kì thiTHPTQG

Với mục đích cung cấp cho học sinh THPT Đặc biệt là học sinh lớp 10, 11.Cácphương pháp về biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác góp phần phát huytính tích cực, sáng tạo của học sinh trong học tập

Chuyên đề này gồm: Hệ thống ngắn gọn các kiến thức cơ bản về biến đổi lượnggiác và cách giải phương trình lượng giác

Cung cấp các bài tập phong phú về số lượng, đa dạng về các dạng toán về biếnđổi lượng giác và phương trình lượng giác

Hệ thống các bài tập tự luyện giúp học sinh tự luyện tập, củng cố kĩ năng biếnđổi lượng giác, giải phương trình lượng giác

PHẦN I: BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC.

A Lí thuyết cơ bản

B Bài tập và phương pháp giải toán

Dạng 1 Bài tập về hệ thức lượng giác cơ bản.

I Tính giá trị lượng giác.Tính giá trị của biểu thức lượng giác.

1 Cho một hàm số lượng giác Tính giá trị các hàm số lượng giác còn lại

2 Biết một hàm số lượng giác hay một phương trình lượng giác.Tính giá trị củamột biểu thức lượng giác

3 Cho một biểu thức lượng giác Tính giá trị lượng giác Tính giá của biểu thứclượng giác

Bài tập tính giá trị của biểu thức lượng giác qua các đề thi thử THPTQG năm 2015.

II Chứng minh đẳng thức lượng giác

III Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến số

IV Rút gọn các biểu thức lượng giác

Dạng 2: Bài tập về công thức quy gọn góc (Công thức biểu diễn góc (cung)

có liên quan đặc biệt).

Dạng 3: Bài tập về công thức lượng giác (Công thức cộng Công thức nhân Công thức biến đổi)

I Chứng minh đẳng thức lượng giác

II Rút gọn biểu thức lượng giác

III.Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến

IV Tính giá trị lượng giác.Tính giá trị biểu thức lượng giác

PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.

Dạng 1 Phương trình lượng giác cơ bản.

Dạng 2: Phương trình lượng giác thường gặp.

I Phương trình bậc nhất, bậc 2, bậc 3 với một hàm số lượng giác

II Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

III Phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 đối với sinx và cosx

IV Phương trình đối xứng và nửa đối xứng đối với sinx và cosx

Dạng 3 Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa về phương trình tích các phương trình lượng giác thường gặp.

I Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

II Phương trình đưa về phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượnggiác

III Phương trình đưa về phương trình đối xứng và nửa đối xứng đối với sinx vàcosx

IV Phương trình đưa về phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 đối với sinx và cosx

Dạng 4 Phương trình lượng giác không mẫu mực với phương pháp khác.

I Phương pháp tổng bình phương

II Phương pháp đánh giá hai vế

PHẦN I BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC

Số tiết dạy:18 tiết = 6 buổi.

A Mục tiêu bài dạy.

1.Mục tiêu bài dạy.

- Học sinh nhớ được các hệ thức lượng giác cơ bản.

-Hiểu được các công thức thu gọn góc.

-Hiểu và nhớ công thức cộng, công thức nhân và công thức biến đổi.

2 Kỹ năng.

-Dùng công thức lượng giác để: +Tính giá trị lượng giác.

+Rút gọn biểu thức lượng giác Chứng minh đẳng thức lượng giác.

III ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC:

2 Định nghĩa các hàm số lượng giác:

a Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM=α

Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x'Ox và y'Oy

T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t'At và u'Bu

Ta định nghĩa:

cos sin

tg cot

OP OQ AT

αααα

− ≤ 1 sin ≤ 1 hay sin ≤ 1

1 cosα 1 hay cosα 1

k k k k

u u'

1

1 -1

&

6

ππ

,…)

4 Cung hơn kém

2

π : và

sin( ) cos2

tan( ) 2

cot( ) tan2

cos cot = ( k )

2

1

1 tan = ( +k )

2 cos

1

1 cot = ( k )

sin tan cot = 1 ( )

tan +tan tan( + ) =

αα

αα

2cos1

2cos1

;2

2cos1sin

;2

2cos1

4

3sinsin

3sin3α = α − α

6 Công thức tính sin ,cos , tan α α α theo tan

21sin sin cos( ) cos( )

21sin cos sin( ) sin( )

cos cossin( )tan tan

cos

4

4cos3sin

cos

6 6

4 4

αα

α

αα

α

+

=+

+

=+

C BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

DẠNG 1 BÀI TẬP HỆ THỨC LƯỢNG CƠ BẢN

I TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

1 Cho 1 hàm số lượng giác Tính giá trị của các hàm số lượng giác còn lại

* Các bước thực hiện:

Bước 1: Kiểm tra dấu của các hàm số lượng giác cần tính

Bước 2: Dùng hệ thức lượng giác cơ bản để tính

Bước 3: Kết luận

* Ví dụ 1:

a) Cho sinα = 4

5 và 2

π α π< < => cosα < 0, tanα < 0, cotα < 0

+ Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản, ta có:

cos2α = 1 – sin2α = 1 - 16 9 3

os

25 = 25 ⇒ c α = − 5tanα = sin 4

c

α

α = −cotα = 3

π α < < => sinα < 0, tanα > 0, cotα > 0

+ Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản, ta có:

sin2α = 1 – cos2α = 15 sin 15

−

π α < < Tính sinα, cosα, tanα.

2 Biết một hàm số lượng giác hay một phương trình lượng giác Tính giá trị của một biểu thức lượng giác

* Phương pháp:

Cách 1: Rút gọn biểu thức lượng giác đã cho chỉ còn hàm số lượng giác đã biết

Cách 2: + Tính các hàm số có trong biểu thức

+ Thay kết quả tìm được vào biểu thức

Cách 3: Giải phương trình để tính giá trị đơn

a) Cho 3sin4α - cos4α = 1

1 0;1 2

t t

Ví dụ 5: Đề thi THPT Quốc gia năm 2015

Tính giá trị của biểu thức p = (1-3cos2α) (2+3cos2α), biết

* Áp dụng:

Ví dụ 1: Cho sinα + cosα = 2

a) Tính sinα , cosα, tanα, cotα

b) Tính giá trị của biểu thức A = sin5α + cos2α

b) Theo kết quả a) sinα = cosα = 2

2 Thay vào A ta được:

Ví dụ 2: Cho tanα + cotα = 2

a) Tính sinα, cosα, tanα, cotα

b) Tính giá trị của biểu thức A = sin2 os 2

Ví dụ 3: Cho sin2αcos2α = 1

4a) Tính sinα, cosα, tanα, cotα

b) Tính giá trị của biểu thức A = sin4α + cos4α

22

BÀI TẬP TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

QUA CÁC ĐỀ THI THỬ THPTQG NĂM 2015

A = cos2α −4cosα + +4 sin2α −4sinα +4

4

π α

Bài 1: Cho sinα - cosα = 2

a) Tính sinα, cosα, tanα, cotα

b) Tính giá trị của biểu thức A = sin6α + cot6α

Bài 2: Cho sinα + cosα = a với a ∈ − 2; 2 Tính giá trị của biểu thức:

a) A = sinαcosα; B = sinα - cosα; C = sin4α + cos4α

D = tan2α + cot2α E = sin2 sin 2 os

Bài 3: Tính sinα, cosα, tanα, cotα, biết

a) asinα + bcosα = 0 với a2 + b2 ≠ 0

c) 5sinα - 20cosα = 4(tanα - 4)

d) 49 – 50sinαcosα = 12(tanα + cotα)

II CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1 Bài toán: CMR: A (sin, cos, tan, cot) = B(sin, cos, tan, cot)

(1 tan ) tan 1 2 tan

2 2

a) (sina + cosa)2 - (sina – cosa)2 = 4sinacosa

b) 1 + 2sinacosa = sinacosa (1 + tana) (1 + cota)2

c) tan2a – sin2a = tan2a sin2a

d)

2

2(sin cos ) 1

2 tancot sin cos

g) sin8a + cos8a = 1 – 4sin2acos2a + 2sin4acos4a

h) sin2a – tan2a = tan6a (cos2a – cot2a)

III CHỨNG MINH BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC BIẾN SỐ

Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến số

Bài 1: a) A = cos4x – sin4x + 2sin2x

= cos2x – sin2x + 2sin2x

= cos2x + sin2x = 1b) B = cos4x + sin2xcos2x + sin2x

= cos2x (cos2x + sin2x) + sin2x = 1c) Tương tự: C = 2(cos6x + sin6x) – 3 (sin4x + cos4x)

d) D = 3(sin8x – cos8x) + 4(sin6x – 2sin6x) + 6sin4x

Bài 2: a) A = (sin4x + cos4x – 1) (tan2x + cot2x + 2)

- Đưa về cùng một hàm số lượng giác và rút gọn đến biểu thức đơn giản nhất

- Nếu gặp dạng phân thức thì phải biến đổi tử và mẫu dưới dạng tích rồi rút gọncho nhân tử chung

- Nếu gặp dạng căn thức thì phải biến đổi biểu thức trong căn dưới dạng lũythừa rồi rút gọn cho chỉ số căn thức

2 Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức

A = cos2a + cos2acot2a = cos2a (1 + cot2a) = cos2a 12

cos cos cot

sin sin tan

++

I BẢNG CÔNG THỨC QUY GỌN GÓC

Góc

HSLG -α 900-α 900+α 1800-α 1800+α 2700-α 2700+α 3600+α

sin -sin cosα cosα sinα -sinα -cosα -cosα sinα

cos cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα cosα

tan -tanα cotα -cotα -tanα tanα tanα -cotα tanα

cot -cotα tanα -tanα -cotα cotα cotα tanα cotα

II BÀI TẬP MINH HỌA

Bài 1: Tính giá trị của các hàm số lượng giác của các góc sau:

a) 4950 b) 43

6 π

Giải:

a) Ta có: 4950 = 3600 + 1800 - 450

sin4950 = sin[3600 + (1800 – 450)] = sin(1800 - 450) = sin450 = 2

2

cos4950 = cos[3600 + (1800 – 450)] = cos(1800 – 450) = -cos450 = - 2

2tan4950 = - 1

c Giải:

cot440 = tan460 ; cos4060 = cos460

tan2260 = tan 460 ; cos3160 = sin460 cot720 = tan180

c

= 2 (tan460 cot460) – 1 = 2 – 1 = 1

Bài 3: Tính a) B = cos200 + cos400 + cos600 + … + cos1600 + cos1800

b) C = tan100tan200 … tan700tan800

Giải:

a) B = (cos200 + cos1600) + (cos400 + cos1400) + (cos600 + cos1200) +

(cos800 + cos1000) + cos1800 = - 1

b) C = (tan100tan800) (tan200 tan700) (tan300 tan600) (tan400tan500) = 1

III BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

−

c

c c

−+

+

c c

Bài 2: Tính:

a) A = tan200 + tan400 + … + tan1600 + tan1800

b) B = sin50 + sin100 + … + sin3550 + sin3600

DẠNG 3: BÀI TẬP VỀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC (CÔNG THỨC CỘNG, CÔNG THỨC NHÂN, CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI)

I CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1 Phương pháp:

Khi gặp các dạng toán này chúng ta có thuận lợi là kết quả đã có trong bài Từ

đó có các phương pháp để giải quyết như sau:

Phương pháp 1: Biến đổi vế phức tạp về vế đơn giản

Phương pháp 2: Biến đổi hai vế của đẳng thức cần chứng minh về một đẳng

thức luôn đúng

Phương pháp 3: Rút gọn hai vế của đẳng thức cần chứng minh về cùng một

biểu thức trung gian thứ ba

Phương pháp 4: Từ một đẳng thức luôn đúng hoặc đẳng thức cho trước qua các

phép biến đổi tương đương để được đẳng thức cần chứng minh

Bởi vì

x ycos

.Nên ta biến đổi vế trái sao cho tử thức và mẫu thức

xuất hiện cos x y

Chứng minh rằng: cos x sin x cos2x

cos x sin x 1 sin 2x

cos x sin x cos x sin x

1 sin 2x cos x sin x 2sinxcosx cos x sin x cos x sin x

tan 1

a

2 2

Bài 3 Chứng minh rằng với mọi x ta có:

a sin x cos x10 10 63 15 cos4x 5 cos8x

Bài 2: Rút gọn biểu thức sau:

a A sin3xsin x cos3x cos x = 3 + 3

b

2 2

Dạng bài tập này cũng không biết trước kết quả cuối cùng nhưng ta hoàn toàn

có thể kiểm tra được kết quả đó như thế nào thông qua một suy luận đơn giản là:Vìbiểu thức không phụ thuộc vào biến nên với mọi giá trị của biến biểu thức không thayđổi,do đó ta chỉ cần thay một giá trị bất kì của biến sẽ kiểm tra được kết quả của biểuthức:

Bài 1: Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x:

a A cos (2 x) cos (2 x) cos (2 2 x) cos (2 2 x) 2sin x2

• Việc sử dụng công thức hạ bậc để có thể thực hiện các phép biến đổi dễ dàng hơn

• Nguyên tắc chung để chứng minh một tổng không phụ thuộc vào biến là ta biến đổi

về cùng một hàm số lượng giác(để các giá trị đó giản ước hết).Trong phép biến đổi ởtrên ta đã tìm cách ghép các biểu thức rồi sử dụng công thức biến đổi tổng thành tíchđưa tất cả các hàm số lượng giác về một hàm số cos2x.Các bạn cũng có thể tách ghéptheo một cách khác,miễn là đưa tất cả về cùng một hàm số lượng giác là được

Ý b, c tương tự

4 Bài tập tương tự

Bài 1: Chứng minh rằng các biể thức sau không phụ thuộc vào biến x:

a A cos (x a) cos x 2cosa cosxcos(a x) = 2 − + 2 − −

b B cos (x a) sin (x b) 2cos(x a)sin(x b)sin(a b) = 2 − + 2 − − − − −

Bài 2: Chứng minh giá trị của các biểu thức sau là một hằng số:

b B sin x(1 sin x) cos x(1 cos x) 5sin xcos x = 4 + 2 + 4 + 2 + 2 2

c C sin x cos x 6sin xcos x 2sin xcos x 1 = 8 + 8 + 4 4 + 2 2 +

d D 3(sin x cos x) 4(sin x cos x) 6sin x = 8 − 8 − 6 − 6 + 4

IV TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC.

π

c) 7 12 π

PHẦN II PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Số tiết dạy:30 tiết= 10 buổi.

A Mục tiêu bài dạy.

1 Kiến thức.

-Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.

-Phương pháp giải phương trình lượng giác thường gặp

-Phương pháp đánh giá.

-Phương pháp tổng bình phương.

2.K ỹ năng.

-Giaỉ phương trình lượng giác cơ bản.

- Giaỉ phương trình lượng giác thường gặp.

-Giaỉ phương trình lượng giác không mẫu mực.

B.C ác dạng phương trình lượng giác.

DẠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

* Nếu |a| > 1 thì (1) vô nghiệm

* Nếu |a| < 1 thì (1) có nghiệm

+ Đặt a = sinα thì (1) trở thành sinx = sinα ⇔ 2

2i) sin ( ) sin ( ) 2 ( )

* Nếu |a| > 1 thì (2) vô nghiệm

* Nếu |a| < 1 thì (2) có nghiệm

Đặt a = cosα thì (1) trở thành cosx = cosα ⇔ 2 ( )

Tổng quát: + cosf(x) = cosα ⇔ ( ) 2 ( )

* a = tanα viết α = arctan a

* Các bước giải phương trình

B1: điều kiện của (4) là sinx ≠ 0 ⇔ x ≠ mπ(*) (m∈ ¢)

B2: Với điều kiện (*) thì (1) ⇔ x = α + kπ hay x = α10 + k1800

(k ∈¢, α10= α , a = cotα)B3: Kết luận nghiệm thỏa mãn (*)

* Tổng quát: + cotf(x) = cotα ⇔ f(x) = α + kπ (k∈ ¢)

3 Bài tập ôn luyện

Bài 1: Giải các phương trình sau:

Bài 2: Giải các phương trình sau

a) sin(3x – 100) = 1

1 4

Bài 3: Giải các phương trình sau:

a) sin2x – cos2x = 0 a1) sin x cot 5

1 os9

x

b) sin3x + 2cos3x = 0 b1) tan3x = tan5x

c) 4sin2x = 1 c1) (2cosx – 1) (sinx + cosx) = 1

d) sin2x + sin22x = 1 d1) sin 2

e) sin 4

1 os6

cos sin

DẠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

I PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT, BẬC 2, BẬC 3 VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1 Phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác

a) Dạng tổng quát: at + b = 0 (a ≠ 0, a, b là hằng số, t là 1 hàm số lượng giác)

b) Cách giải: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản

c) Ví dụ:

* Ví dụ : Giải phương trình sau:

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 2sin2x + 3sinx – 2 = 0

(Đề khảo sát chất lượng ôn thi THPTQG lần 1 năm 2014 – 2015 của Sở GD-ĐT Vĩnh Phúc).

Giải: 2sin2x + 3sinx – 2 = 0

⇔

1 sin

6 sin

2 6

x = π + k π

(k ∈ ¢)

d Bài tập tương tự:

Bài 1: Giải các phương trình sau:

1 sin2x - cos2x = 0 2 sin3x + 2cos3x = 0

3 4sin2x = 1 4 Sin2x + sin22x = 1

5 sin 4

1 os6

x

1 os9

Bài 2: Giải phương trình sau:

1 cos2x + 3sinx = 2 2 4sin4x + 12cos2x = 7

3 25sin2x + 100cosx = 89 4.sin42x + cos42x = sin2xcos2x

5 2 + cos2x = - 5sinx 6 sin3x + 2cos2x – 2 = 0

11 sin6x + cos6x= 1

4sin2x 12 2cos2x + 8sinx – 5 = 0

Bài 3: Giải các phương trình sau:

1 sin4x = tanx (ĐHY khoa Hà Nội 2000)

2 sin3x + sin2x = 5sinx (ĐHY Hải Phòng 2000)

-cos2x = 15 (đề thi thử THPT QG năm 2015 - Sở GD&ĐT TPHCM)

II PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX.

1) Dạng tổng quát: asinx + bcosx = c (a2 + b2 ≠ 0, a, b, c là hằng số)

2) Cách giải: Giải phương trình: asinx + bcosx x= c (1)

Cách 1: Dùng góc trung gian đưa về phương trình lượng giác cơ bản

Bước 1: Kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình: a2 + b2 > c2

Bước 2: Chia cả 2 vế của (1) cho a2 +b2 ta được

Bước 3: Giải phương trình (3) tìm nghiệm x và kết luận

Cách 2: (Dùng công thức biểu diễn t = tan

2

x

để đưa về phương trình bậc 2 một ẩn)

Bước 1: Kiểm tra điều kiện có nghiệm của (1): a2 + b2 ≥c2

1 1

t t

− +Phương trình (1) trở thành (b + c) t2 – 2at + c – b = 0 (*)

- Giải (*) tìm nghiệm t

- Với t tìm được; giải phương trình tan

2

x t

= , tìm nghiệm x.Bước 3: Kết luận nghiệm của phương trình đã cho

3) Áp dụng:

Ví dụ: Giải phương trình sau:

a) sinx ( 3 - sinx) – cosx (1 + cosx) = 0 (1)

(Đề thi thử ĐH lần 3 năm học 2014 – 2015 trường THPT Chuyên Nguyễn Huệ)

(Đề thi khảo sát năm 2014 – 2015 trường THPT chuyên Hùng Vương)

Giải : (1) ⇔ sin2x - 3cos2x = 2sinx

c) 3sinx + cosx + 2cos3x = 0

(Đề thi thử THPT QG năm 2015 Trường THPT Vĩnh Lộc)

Giải: 3sinx + cosx + 2cos3x = 0

1 cos2x + (1 + 2cosx) (sinx – cosx) = 0

(Đề KSCL – THPT QG lần 2 năm 2014 – 2015 – Sở GD&ĐT Hưng Yên)

2 2sin2x – sin2x + cosx – sinx = 0

(Đề thi thử THPT Quốc gia lần 3 năm 2015 – Sở GD&ĐT Nghệ An)

3 2sin2x – sin2x + cosx – sinx = 0

(Đề thi thử THPT QG lần 3 năm 2015 – Trường THPT Quỳnh Châu)

4 cos2x (cosx + sinx – 1) = 0

(Đề thi thửa THPT QG năm 2015 – trường THPT Quỳnh Lưu II)

5 sin2x + 1 = 6sinx + cos2x

(Đề thi thử THPTQG năm 2015 – trường THPT Thanh Chương III)