Chuyên đề 3 biến đổi và giải phương trình lượng giác

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU CHUYÊN ĐỀ 3 BIẾN ĐỔI & GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A.. MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1.. đó khi sử dụng

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

CHUYÊN ĐỀ 3 BIẾN ĐỔI & GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG

1 Đường tròn lượng giác và dấu của các giá trị lượng giác

2π 0 O

-1 -1

1

1

3π 2 π

π 2 sinx

cosx

(IV) (III)

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

cot(  a) cota cot tan

sin 3 3sin 4 sincos 3 4 cos 3cos

3 tan tantan 3

1 3 tan

 

6 Công thức biến đổi tổng thành tích

cos cos 2 cos cos

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

1cos cos cos( ) cos( )

u u'

- 3 -1 - 3 /3

1

1 -1

3

2

22

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

BÀI 1 BIẾN ĐỔI LƢỢNG GIÁC

I Tính giá trị của biểu thức lƣợng giác

BT 1 Tính P (1 3cos 2 )(2 3cos 2 ),   biết sin 2

9

A   

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – Sở GD & ĐT Bạc Liêu

A  

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Vĩnh Phúc

BT 9 Cho tan 2 Tính

3 3

sin 2 coscos 2 sin

A   

47

A 

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Đại học Vinh – Lần 2

BT 10 Cho tan 3 Tính 3sin3 2 cos3

5sin 4 cos

70139

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – Sở GD & ĐT Cần Thơ

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa

A 

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – TTLTĐH Ngoại Thương – Tp Hồ Chí Minh

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Quang Trung – Tây Ninh

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Hai Bà Trưng – Huế – Lần 3

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Chu Văn An – Hà Nội

BÀI 2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I Phương trình lượng giác cơ bản

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

II MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1 Sử dụng thành thạo cung liên kết

Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau

cos( a) cosa sin(  a) sina sin cos

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

sin   x ( k2 )    sinx cos   x ( k2   cosx

tan(x k  ) tan x cot(x k  ) cot x

BT 26 Giải các phương trình lượng giác sau:

Đề thi Đại học khối B năm 2013

e) cos 2 cosx xcosxsin 2 sin x x ĐS: , , ( )

đó khi sử dụng nên nhẩm hai cung mới này trước để nhóm hạng tử thích hợp sao cho xuất hiện

nhân tử chung (cùng cung) với hạng tử còn lại hoặc cụm ghép khác

BT 27 Giải các phương trình lượng giác sau:

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

a) sin 3xcos 2xsinx0 ĐS: , 2 , 7 2

k

x   x   k  x k 

Đề thi Đại học khối D năm 2013

b) sinx4 cosxsin 3x0 ĐS: , ( )

2

x   k k

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Cổ Loa – Hà Nội

c) cos 3x2 sin 2xcosx0 ĐS: , 2 , ( )

k

x  x  k  k

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Chuyên Hà Tĩnh – Hà Tĩnh – Lần 1

d) sin 3xsin 2xsin x ĐS: , 2 , ( )

3

x k x   k  k

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Phan Đình Phùng – Hà Nội

e) sin (1 8cos ) cos 3 3

 Lưu ý đối với công thức hạ bậc của sin và consin:

– Mỗi lần hạ bậc xuất hiện hằng số 1

2 và cung góc tăng gấp đôi

– Hạ bậc để triệt tiêu hằng số không mong muốn và nhóm hạng tử thích hợp để sau khi áp

dụng công thức (tổng thành tích sau khi hạ bậc) sẽ xuất hiện nhân tử chung hoặc làm bài

toán đơn giản hơn

BT 28 Giải các phương trình lượng giác sau:

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

4 Xác định lượng nhân tử chung để đưa về phương trình tích số

Đa số đề thi thường là nh ững phương trình đưa về tích số Do đó, trước khi giải ta phải quan sát xem chúng có những lượng nhân tử chung nào , sau đó định hướng để tách , ghép, nhóm phù hợp Một số lượng nhân tử thường gặp:

– Các biểu thức có nhân tử chung với cosxsinx thường gặp là:

1 sin2 ; cos2 ; 1 tan ; 1 cot ; sin3 x x  x  x xcos3 ; cosx xsin x; cos xsin x;…

– Các biểu thức có nhân tử chung với cosxsinx thường gặp là:

sin x; tan x có nhân tử chung là: 2

(1 cos )(1 cos ) 1 cos x  x   x

cos x; cot x có nhân tử chung là: 2

(1 sin )(1 sin ) 1 sin x  x   x.– Phân tích 2

f X aX bX c a X X  X X với X có thể là sin ,cos , x x … và X X là 2 1, 2nghiệm của ( ) 0.f X 

BT 30 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cos 2 (cosx xsinx 1) 0 ĐS: 2 , 2 , ( ).

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Lý Tự Trọng – Nam Định – Lần 2

e) sinx4 cosx 2 sin 2 x ĐS: 2 , ( )

3

x   k  k

Đề thi Đại học khối A – A 1 năm 2014

f) 2(sinx2cos ) 2 sin 2 x   x ĐS: 3 2 , ( ).

4

x  k  k

Đề thi Đại học khối B năm 2014

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

g) sinxcosxcos 2 x ĐS: 3 , 2 , 2

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Hồng Quang – Hải Dương – Lần 3

i) cos 3xcosx2 3 cos 2 sin x x ĐS: , , ( )

k

x   x   k k

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Chuyên Đại học Vinh – Lần 1

j) cos 3xcosx2 sin cos 2 x x ĐS: , , ( )

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – Sở GD & ĐT Đồng Tháp

m) sin 2xsinx 2 4 cos x ĐS: 2 , ( )

3

x   k  k

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Hậu Lộc II – Thanh Hóa – Lần 2

n) sin 2x2 cosxsinx 1 0 ĐS: 2 , 2 , ( )

x   k  x   k  k

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Nguyễn Trung Thiên – Hà Tĩnh – Lần 1

o) sin 2x2 sinx2 cosx 2 0 ĐS: 2 , 2 , ( )

2

xk  x  k  k

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Nguyễn Thị Minh Khai – Hà Tĩnh – Lần 1

p) sin 2x 1 6 sinxcos 2 x ĐS: x k , (k )

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Thanh Chương III – Nghệ An

q) sin 2xcos 2x2 sinx1 ĐS: , 2 , ( )

2

x k x  k  k

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Tĩnh Gia 1 – Thanh Hóa – Lần 2

r) sin 2x2 sinx 1 cos 2 x ĐS: 2 , , ( )

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Lê Quí Đôn – Đà Nẵng

u) 2(cosxsin 2 ) 1 4 sin (1 cos 2 ).x   x  x ĐS: 2 , , 5

x   k  x   k x  k

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Thuận Thành Số 2 – Bắc Ninh – Lần 2

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

v) cos 2x (1 2 cos )(sinx xcos ) 0.x  ĐS: , 2 , 2

x   k x  k  x  k 

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Minh Châu – Hƣng Yên – Lần 2

w) sin 2xsinx2 cos 2x1 ĐS: 2 , 2 , ( )

x   k  x   k  k

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Nguyễn Duy Trinh – Nghệ An

x) sin 2x(sinxcosx1)(2sinxcosx3) 0. ĐS: 2 , 2 , ( )

2

xk  x  k  k

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Nguyễn Xuân Nguyên – Thanh Hóa – Lần 4

y) cosx2sin (1 cos )x  x 2 2 2sin x ĐS: , ( ).

4

x    k k

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Nguyễn Hiền – Tp Đà Nẵng

z) tan 2 2 cos 2 cos sin 1 cos 3

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Lạng Giang Số 1 – Bắc Giang – Lần 3

BT 31 Giải các phương trình lượng giác sau:

BT 32 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin (1 cos 2 ) sin 2x  x  x 1 cos x ĐS: 2 , , ( )

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

(cosx1)(cos 2x2cos ) 2sinx  x0 ĐS: x  k2 , ( k )

g) tanxsin 2x2 cot 2 x ĐS: , ( )

III MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

1 Phương trình lượng giác đưa về bậc hai hoặc bậc cao cùng một hàm lượng giác

Quan sát và dùng các công thức biến đổi để đưa phương trình về cùng một hàm lượng giác với cung góc giống nhau, chẳng hạn:

t x t x hoặc t sin , x t cosx thì điều kiện lúc này là 0 t 1

BT 33 Giải các phương trình lượng giác sau:

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – Sở GD & ĐT Lào Cai

h) 3cos2x2 cos 2x3sinx1 ĐS: 2 , ( )

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Bắc Yên Thành – Nghệ An – Lần 1

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – Sở GD & ĐT Quảng Ngãi

m) (1 sin )(2 sin 2 6 cos 2 sin 3) 2

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Khánh Hòa – Lần 1

n) 32 4 2sin 2 2 3 2(cot 1)

sin 2cos

x

x x

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Trường Xuân III – Thanh Hóa

p) sin 3xcos 2x 1 2 sin cos 2 x x ĐS: , 2 , 5 2 , ( )

x k x  k  x k  k

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Nam Yên Thành – Nghệ An – Lần 1

q) 2cos 5 cos 3x xsinxcos8 x ĐS: 2 , 2 , 7 2

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Triệu Sơn – Thanh Hóa – Lần 1

u) sin 4x 2 cos 3x4 sinxcos x ĐS: 2 , 2 , 5 2

xk  x  k  x k 

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Vĩnh Phúc – Lần 3 (Ban D)

BT 35 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 2 3(sin 2x3sin ) cos 2x  x3cos x ĐS: , ( )

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – Tạp Chí Toán Học & Tuổi Trẻ Số 449

BT 36 Giải các phương trình lượng giác sau:

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

3 2 sin 0cot

x x

Từ đó thu được phương trình bậc 2 hoặc bậc cao theo ,t giải ra sẽ tìm được tx

BT 37 Giải các phương trình lượng giác sau:

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

d) (1 tan )(1 sin 2 ) 1 tan x  x   x ĐS: , , ( )

BT 38 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 2 sin 2 sin cos 3 2 cos 2 cos

2 Phương trình lượng giác đối với sinx và cosx (phương trình cổ điển)

Dạng tổng quát: asinx b cosx c ( ) ,  a b,  \ 0  

Điều kiện có nghiệm của phương trình: 2 2 2

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

Lưu ý Hai công thức sử dụng nhiều nhất là: sin cos cos sin sin( )

cos cos sin sin cos( )

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Trần Cao Vân – Bình Định

3

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Chuyên Nguyễn Huệ – Hà Nội – Lần 3

c) sin (sinx x 1) cos (1 cos ).x  x ĐS: 2 , 2 , ( )

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Hồng Quang – Hải Dương – Lần 1

BT 40 Giải các phương trình lượng giác sau đây:

e) cos7 cos 5x x 3 sin 2x 1 sin7 sin 5x x ĐS: , , ( )

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

BT 41 Giải các phương trình lượng giác sau dạng:

2 2

2 2

cos.sin cos

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh – Lần 3

d) sin 3x 3 cos 3x2sinx0 ĐS: , , ( )

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Hùng Vương – Phú Thọ

i) 2cos ( 3 sinx xcosx 1) 1 ĐS: 2 , 2 , ( )

k

x  k  x   k

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Nguyễn Văn Trỗi – Hà Tĩnh – Lần 1

j) 3 cos 5x2sin 3 cos 2x xsinx0 ĐS: , , ( )

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Nguyễn Du – Bình Định

k) 3 cos 5x2sin 3 cos 2x xsinx0 ĐS: , , ( )

Đại học khối D năm 2009

BT 42 Giải các phương trình lượng giác sau dạng: sin a mx b cosmx c sinnx d cosnx

a) sin 2xcosxcos 2xsin x ĐS: 2 2 , ( ).

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

d) cos7xsin 5x 3(cos 5xsin7 ).x ĐS: , ( )

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Trần Phú – Tp Hồ Chí Minh

n) cos 2 1 tan tan tan 2sin 1

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – Tạp chí Toán học & Tuổi Trẻ số 448

BT 43 Giải các phương trình lượng giác sau:

sin 2x2 3 cos x2cosx0 ĐS: 7 2 , , ( )

x k  x   k k

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – Sở GD & ĐT Bắc Ninh

b) sin 2xcosxsinx1 ĐS: , 2 , 3 2 , ( )

x   k xk  x k  k

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Mạc Đỉnh Chi – Tp Hồ Chí Minh

c) 3 sin 2x 1 cos 2x2cos x ĐS: , 2 , 2 2

x   k xk  x  k 

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Đa Phúc – Hà Nội – Lần 1

d) cos 2x (1 2cos )(sinx xcos ) 0.x  ĐS: , 2 , 2

x   k x  k  x  k 

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Đông Sơn I – Thanh Hóa

e) cos 2x2sinx 1 3 sin 2 x ĐS: , 2 , 2

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

g) 3 sin 2xcos 2x4sinx1 ĐS: , 2 , ( )

6

x k x  k  k

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Quỳnh Lưu III – Nghệ An – Lần 1

h) 2sin 6x2sin 4x 3 cos 2x 3 sin 2  x ĐS: , ,

x k x     x   

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Lục Ngạn Số 1 – Bắc Giang – Lần 2

i) cos cos 3 1 2 sin 2

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh – Lần 2

j) 2cos6x2cos 4x 3 cos 2xsin 2x 3 ĐS: , ,

x   k x     x   

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Vĩnh Phúc – Lần 3

k) ( 3 1)sin cos x x( 3 1)cos 2xsinxcosx1 ĐS: , 2 , 2

S k  k   k 

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Trần Quốc Tuấn – Phú Yên

BT 44 Giải các phương trình lượng giác sau dạng: m.sin 2x n cos 2x p sinx q cosx r  0

a) sin 2xcos 2xsinxcosx1 ĐS: 2 2 , , ( )

x  k  x   k k

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Hùng Vương – Gia Lai – Lần 2

b) cosxsinxsin 2xcos 2x1 ĐS: , 2 , ( )

x    k x   k  k

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Gang Thép – Thái Nguyên – Lần 1

c) 2 sin 2 3sin cos 2

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Nguyễn Huệ – Đăk Lăk – Lần 1

f) sin 2xcos 2x3sinxcosx 1 0 ĐS: 2 , 5 2 , ( )

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

 có phải là nghiệm hay không ?

 Bước 2 Khi , ( ) cos2 0

sin sin cos cos

 Bước 3 Đặt ttanX để đưa về phương trình bậc hai mà biết cách giải

 Lưu ý Giải tương tự đối với phương trình đẳng cấp bậc ba và bậc bốn:

 Kiểm tra và chia hai vế cho 3 4

cos X0 (hay cos X)

BT 45 Giải các phương trình lượng giác sau:

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU