Phương pháp tựa tuyến tính hoá giải xấp xỉ một lớp bài toán biên đối với hệ phương trình vi phân thường phi tuyến

Trang 1.2 Phương pháp tuyến tính hóa.. Tính chất dương của nghiệmcủa phương trình vi phân.. Nghiên cứu ứng dụng của phươngpháptựa tuyến tínhtrong việc giải xấpxỉmộtlớp bài toán biên đối

LỜI CẢMƠN

TôixinđượcgửilờicảmơnchânthànhvàsâusắctớiPGS.TS.KhuấtV ă

n Ninh,ngườiđãtậntìnhhướngdẫn,chỉbảotôitrongsuốtquátrìnhlàml u ậ n văn.Tôix i n đ ư ợ c gửil ờ i cảmơ n t ớ i c á c thầyc ô giáotrongt ổ g i ả i tích,k h o

a t oá ntrườngĐ H S P H N 2, gi a đ ì n h , bạ nb è, cácb ạn họ c v i ê n lớpK 14 Toángiảitíchđợt2,nhữngngườiđãđộngviêntôitrongsuốtquátrìnhhọcv à làmluậnvăn

HàNội,tháng 12 năm 2012

Tác giả

Nguyễn ThuThùy

LỜI CAM ĐOAN

Tôixincamđoanluậnvănnàylàdotôitựlàm,dướisựhướngdẫncủaPGS.TS.K h u ấ t V ă n N i n h T ô i xinc a m đ o a n c á c t à i l i ệ u n g h i ê n c ứ u t r o n g luậnvănlàtrungthựcvàkhôngtrùnglặpvớicácđềtàikhác.Cácthôngtintríc

hd ẫ n c á c t à i l i ệ u t h a m k h ả o t r o n g l u ậ n v ă n đ ã đ ư ợ c c h ỉ r õ nguồng ố c Luận vănchưađượccôngbố trên bất kì tạpchínào

HàNội,tháng12năm2012

Tác giả

Nguyễn ThuThùy

Trang

1.2 Phương pháp tuyến tính hóa

1.8 Môtsốkiếnthức cơbảnvề giải tíchhàm

1.9 Đạo hàmFrechét trong không gian định chuẩn

1.10 PhươngtrìnhSturm–Liouville

1.11 Định lý Tchaplygin về bấtđẳngthức vi phân

3589101315161718

2.1.3 Mốiquan hệ giữa nghiệmvàcáchệsố

2.1.4 Phép nhân tử hóa đối với toán tử vi phân tuyếntínhcấp 2

2.1.5 Tính chất dương của nghiệmcủa phương trình vi phân

2.1.6 Xét quan hệvới phươngtrìnhđạo hàmriêng parabolic

2.1.7 Bànvềcácgiá trị riêng

19

1919202123252628

2.1.8.Sự hoàn thiện của việcđánh giásựhội tụ 29

Nhàt o á n h ọ c L K a n t o r o v i c h đ ã k h á i q u á t p h ư ơ n g p h á p N

e w t o n g i ả i phương trình vôhướngf(x)= 0trongkhông gianđể giải phương

trình(1).Trongđ ó t ư tưởngt u y ế n t í n h hoáđ ã đ ư ợ c ô n g p h á t t r i ể n v à k h á

i q u á t r ấ t thành công cho phương trình toán tử

Trongluậnvănnàychúngtôinghiêncứumộtlớpbàitoánbiênđốivớihệphươngtrìnhviphânthườngphituyến.Phươngphápnghiêncứuởđâylàápdụngsựtuyếntínhhóavàbấtđẳngthứcviphân.Thôngquabấtđẳngthứcviphânđ ể x â y d ự

Nghiên cứu ứng dụng của phươngpháptựa tuyến tínhtrong việc giải

xấpxỉmộtlớp bài toán biên đối với hệ phương trình viphânthường phi tuyến

Chương1Kiến thức bổ trợ

1.1 Phươngtrình viphân Riccati

Phương trình viphânRiccatilà phương trình vi phânphi tuyến bậc1dạng

vv2

p(t)vq(t)0 (1.1)NóichungphươngtrìnhRiccatikhônggiảiđượcbằngcầuphươngvàcáchàmcơ

bảncủagiải tích với cáchệsốtùyýp(t) vàq(t).

(xx0)

(x,x0).

thức bậc nhấtđối vớix.

Dựavào(1.4)ngườitathaythếbiểuthứcphituyếnbởibiểuthứcbậcnhấtđối

vớix.

Ýtưởngcủa phươngpháptiếptuyếncủaNewton làgiảixấpxỉ phươngtrì

nh phituyếnthôngqua việcgiảimộtdãynhững phương trìnhtuyếntính

b Xét hàmhaibiến

Xétphương trình:

f(x,y)0t rongđófxácđịnhtrêntậpmởU 2,

vàx (x,x,,x),

1 2 n

Giảsửhàmsốfcó đạo hàmtại điểm

x(0) (x(0),x(0), ,

x(0))

U.Khi

điều kiệnsau:

i) Phương trình f(x)0cónghiệmduynhấttrên[a,b]

ii) fC2

[a,b]và

f(x) tạiđiểmM (x0, f(x0))yf(x)

(xx)  f(x0)

(x )(xx

f''( )) n1(

(xx

)2≥0

iới hạn

f(x n)0.Nhưvậysuyratồnt ạ i

Giảsửcho trước xấp xỉ đầu

tiênta giải hệ phương trình

ẩn

hệ phương trình(1.13)đơn giản hơn nhiều,vì (1.13)tuyến tính đối vớix.

Nếux (m)tìmđượcthìx (m+1)tínhtheocôngthức:sốg

ia (m) (m) (m) (m) x (m1)

x(m)

x

(m),véct ơ

Thaythế phươngtrình(1.16) bởiphươngtrình tươngđươngsau:

P(x)P(x0)P(x0),

gọix*lànghiệmđ ú n g c ủ a p h ư ơ n g trình(1.16),g i á trị

P(x)P(x0) được

thayb ở i g i á t r ị g ầ n đúng

phương trình:

P'(x0)(xx0).Cóthểsuyluậnrằngnghiệmc ủ a

P(y n ), n1,2, ,

Phươngphápxâydựngdãy{y n}nhưtrêngọilàphươngphápNewton–Kantorovichcải biên

Kantorovichđã chứngminhđược công thức đánh giá tốc độ hội tụ

a Hệ phương trìnhvi phânthườngtuyến tínhthuầnnhất

Hệphươngtrìnhviphânthườngtuyếntínhthuầnnhấtlàhệphươngtrìnhcó dạng:

Đểđ ơ n g i ả n cáchv i ế t v à t h u ậ n lợic h o n g h i ê n cứut a đ ư a r a t o á n tửv i ph

ân tuyến tínhsau:

L[Y] dYp(x)Y

dx Khi đó hệ (1.19)viết được dưới dạng: L[y]0



dx p(x)YF(x),hoặcviết dưới dạng toántửLnhưsau: L[y]

Hệphương trình vi phân tuyến tínhvới hệsốhằngsốlà hệcódạng:

liêntụctrên khoảng (a, b) nào đấy.

Nếu ta dùng kí hiệu nhưcácphần trước thì hệ (1.21)viết được dưới dạng:

2

a,b



làtậphợpcáchàmxácđịnhvàcóđạohàmliêntụcđếncấp2 

n1,thỏamãnđiều kiện:

1 i (t)vàj (t)trựcgiaovớinhau,i≠j,

Địnhl ý 1 1 Mộtt oá nt ử đ ư ợ c đ ịn hn gh ĩa trê n mộtt ập c o n mởc ủ a mộtkh

ông gianBanchlà khả vi Frechét tạimộtđiểmthì nóliên tục tại điểmđó



A ( h )   B ( h )

- 1855) vàJosephLiouville (1809–1882) phát hiện và những năm1930

Chương2 Phương pháp tựatuyếntínhhóagiảixấp

xỉbàitoán biên đối vớihệphươngtrìnhvi

phânthường phi tuyến.

2.1 Xâydựngdãynghiệmxấpxỉcủabàitoánbiênđốivớiphươngtrìnhvi

phânthườngphi tuyến.

2.1.1 Tính chất đơn điệu

Bâygiờchúngtahãynghiêncứucáctínhchấtđơnđiệucủadãycácxấpxỉthuđượcbằngcáchsửdụngtuyếntínhhóa.Việcnghiêncứunàyrấtcóýnghĩa,

vì vài lý dosau:

Thứnhất,theoquanđiểmgiảitíchlàquantrọng,vìchúngchotanhững phương phápmớicho việc thiết lập tính bịchặnvà hội tụ củadãycácxấp xỉ.Thứhai,đốivớitínhtoánthìviệchộitụđơnđiệuthìkháhữuhiệutrongtínhtoánvìnóchophépchứngminhsựchặntrêncủanghiệmvàkiểmsoátkết quảtính toán

Việcnghiêncứutínhchấtđơnđiệucủacácxấpxỉđốivớiphươngtrìnhviphânphituyếncấp2thìtươngđươngvớiviệcnghiêncứubấtđẳngthứcviphândạng

up(t)u

q(t)u

Tasẽnghiên cứucácđiềukiệnđể từ đó suyra đượcu≥ 0 hoặcu≤0.

Trongq u á t r ì n h á p d ụngtuyếntínhh ó a đ ố i v ớ i p h ư ơ n g t r ì n h Riccatichúngtađãápdụngnhiềulầngiảthiếtsựtồntạinghiệmcủaphươngtrìnhviph

ân tuyến tínhcấp1

ua(t)

ub(t)

Trongp h ầ n này,c h ú n g t a t r ì n h bầymộtsốmẹo,t h ủ t h u ậ t , k ĩ x ả o , củaph

ép toán biến phântới phươngtrìnhvi phân đạo hàmriêng

Để bắtđầuchúngta chỉcầnnghiên cứu bất đẳng thức:

vìvớicáchđặt:

u

 q(t) u

(0) 0thìsuyrarằngu(t)0 với0 tb 

2.1.3 Mối quan hệ giữa nghiệmvà các hệsố

Đển g h i ê n cứubấtđẳngthứcviphân(2.1)đượcsâurộnghơn,chúngtasẽxétvàimốiquanhệgiữanghiệmvàcáchệsốtươngtựnhưmốiquanhệgiữanghiệmvà các hệsốcủa phương trình đa thức

Chou1v àu2l à 2nghiệmđộc lập tuyến tính củaphươngtrình

up(

Vìsựxuất hiện w(t)ởmẫusố,nên tasẽchứngminhrằng w(t) 0.

Trước hết ta nhớcông thức củaAbelrằng

w(u1,u2) w(u1

(0),u2(0))e

t

 p (s)ds

u1''u2u2''u1

(p(t)u1q(t)u1)u2u1(p(t)u2

q(t)u2)

(u1u2 u1u2) p(t)w. (2.11)

Giảsửrằngu1,u2saochow(t)≠0.Bâygiờtahãynhắclạivàikếtquảcủađịnh thức

đơn giản sau

ChoAlàmatrậncỡ3×3và A=(aij),

(2.15)vớimatrận nghịch đảo là

ỞđóAijlàphầnbùđạisốcủaaijt r o n gkhaitriểnđịnhthứcvàA

làđịnhthức củaA, vì(A-1)-1=Anên ta cóđồngnhất thứcsau:

2.1.5 Tínhchấtdương củanghiệmcủa phươngtrìnhvi phân

Từkếtquả cuốicùngđãnói trongphầntrước(2.23) ,chúngtadễdàngchứngminhrằngđiều kiện đủ để hệthức

u p(t)uq(

t)u

0,

w(u1,u2)dt u1



0w(u1,u 2)vìgiả thiết chou1,rl à k h ô n g â m vàw>0.

Tac h ứ n g minhr ằ n g g i ớ i h ạ n c ủ a n g h i ệ m c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h ( 2 3

1 )k h i

tlànghiệmcủaphươngtrình(2.30)

Dođó,nếuchúngtacóthểthiếtlậptínhkhôngâmcủanghiệmcủa(2.31)khit ≥

0 , t h ì t a s ẽ chứngminhđược tínhkhôngâmcủa nghiệmcủa(2.30)

Ởđâychúng tasửdụng phương pháp nhúng

Chúngtagiảsửrằng,chúngtathiếtlậpđượcđịnhlývềsựtồntạivàduynhất nghiệmvàtachỉ quan tâmđếntính chất dương củanghiệm

Trước tiên, taxétphương trình :

0,

,….Tax á c đ ị n h h à m2

Ta xét phươngtrìnhtổng quát hơn :

u tuxx q(x,t)u

trong đó q(x,t)0vớix,t0

ó n h ữ n g g i ả t h i ế t đ ặ c b i ệ t mớic ó n g h i ệ m d ư ơ n g Điềun à y đượcl à m sáng

tỏ qua việcphân tích dưới đây

Chúngtachỉrarằng,cáckếtquảđơnđiệuthiếtlậpởtrênchophépchúngtathiếtlậptínhchấtnàychophươngpháptuyếntínhhóatrongmộtsốtrườnghợp đơngiản.

Ví dụ:

Xét phương

trình: u''  e u , u(0) u

nghiệmu1(t),u2(t) u

N (t) của hệ(2.49)thỏamãnđiều kiện:

Sau đâytasẽxét hệ phi tuyếnsau:

dx i

gi (x1,x2, ,x N ),

dt

(2.50)

Ởđó các giátrịx iđ ư ợ c đ ặ c biệt hóa bởicácđiều kiệnkhit=0 vàt=b.

cđiều kiện biêncó dạng :

xácđịnhbởicácphươngtrìnhtuyếntính

g(xn )

J(xn ) (

x= Xc, (2.58)

X u1(x) u2(x) u3(x) u4(x)

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0.20312 -0.375572×10-1 -0.394922×10-1 -0.394976×10-1 -0.394976×10-10.40625 -0.128544 -0.135598 -0.135617 -0.135617

ởđó,mỗixnt h ỏ amãnđiều kiện biên của (2.62)

Giảsửx0(t)là xấp xỉ banđầuvà nó chiếmsốlượng không đáng kể

củabộnhớ.Chẳnghạnmộtvéctơmàcácthành phần củanó là

cáchằngsố,hoặcmộtđa thức biếnsốt,hayhàmsốmũ.

Giảsửxấp xỉ đầutiênx1(t)đượcxácđịnh từ (2.62)và(2.63) vớin= 0.

Bâygiờtatínhxấpxỉx1(t).NếunhậnX1l àmatrậnnghiệmcủaphươngtrình:

dX1

dt J(x0)X1,

a cómộtbộ đầyđủ chocácgiá trị ban đầu

x1(0)X1(0)c1

p1(0)c1

Đểthựchiệnphéptoánnày,taphảigiảihệN2+Nphươngtrìnhviphânbậcnhất

và giải hệNphương trình đạisố.

Để tìmx2c h ú n g t acầnphải giải hệphương trình

J(x0)x1g(x0)J(x0)x0,

x1(0)=c1, (2.69)ởđóc1l à g i á t r ị b a n đ ầ u đ ư ợ c x á cđịnh bởi (2.67)

+NphươngtrìnhviphâncộngthêmN p h ư ơ n g t r ì n h đ ạ i số,đ ể x á c đ ị n h v é c t

ơ h ằ n g c2trongbiểut h ứ c x2X2c2p2.Véctơc2điềukiệnbanđầuđểxácđịnhx2.

chúng tacầnphải giải hệ đạisốtuyến tính cấpN.

2.2.5 Thảo luận

Vìđâylàsựhộitụbậchai,chúngtacóthểhivọngrằngRsẽkhôngmấykhivượt quá5hoặccùnglắmlà10.Dođó,nếuN=2,chúngtaphảisửdụngnhiềunhấtở24phư

Điều nàycầnphảigiải hệN+RNphương trình với sốlầnbằngN.

2.2.6 Tính chất đơn điệuđối với hệ.

x i



y i ,i 1,2, ,N,Tasẽđặtvào A(t)nhữngđiềukiệnđơngiản,đảmbảorằng

trong lâncậncủakhai triểnt= 0.

Chúngtathiếtlậptínhđủtrongtrườnghợptổngquátkhicáchàmhệsốbiến thiên, thông qua lý luận đơn giản sau

Đưa vào định thức Wronkian củacấpn

v, i uyrau1,2, ,N1,s vtrênkhoảng(0,b).

KếtquảnàylàsựmởrộngcủađịnhlýTchaplyginvềbấtđẳngthứcviph

ân đãthiếtlập ở trước

2.2.8 Phươngtrìnhparabolic

,0

x1,

vàcácđiều kiện biên dạng: u(0,t) u(b,t)0

Bằngphương pháp tựa tuyến tínhhóata xây dựngdãynghiệmxấp xỉ

Chương3 Ứngdụngphươngpháptựa tuyến tínhhóagiảimộtsốb à i toán biên đối vớihệphươngtrìnhviphânthường phi tuyếncấp

một

3.1 Đặt vấn đề

Theolýthuyếtcủaphươngtrìnhviphân,tacóthểđưamộtphươngtrìnhviphâncấpnvềhệnphươngtrìnhviphâncấpmộtdạng(1.18),vàngượclạihệnphươngtrìnhviphâncấpmộtdạngchuẩntắcvớimộtsốđiềukiệnnàođó có thểđưa vềphương trình viphâncấpn dạng:

y (n)  f(t,y,y, ,y (n1)

).Trongchươngnàychúngtasẽsửdụngmốiliênhệđótrongviệcphân tíchlời giảicủamộtsố ví dụ dưới đây

1(x,y),g2(x,y) làcáchàmphituyến

đốivớix,y.

Đểc ó sựp h â n t í c h n ề n t ả n g , đ ồ n g t h ờ i c h ứ n g minhc á c t h u ậ t t o á n tínhtoán, ta phải sửdụng các phươngphápxấp xỉ.

ỉ của bài toánbiênđối với phương trình vi phântuyếntính cấphai

Cứ tiếp tục như vậy tasẽxácđịnh được lời giải củabài toán

y

2 2

với cácđiều kiện biên:

d 2 x

dx

Đếnđâytasẽlầnlượttìmcácxấpxỉ,vớixấpxỉbanđầu x

0(t), y0(t)

chotrước,vàtadùngphươngphápGalerkintìmnghiệmxấpxỉcủaphươngtrình(3.9)

 

n

thườngtuyếntính.màtacóthểsửdụngđượcnhiềuphépbiếnđổikhácnhauđể giải nó

Việcgiảinhữnghệphituyếnởtrêntađãthưchiệntuyếntínhhóađểđưahệp h

ư ơ n g t r ì n h v i p h â n p h i tuyếnv ề g i ả i x ấ p x ỉ h ệ p h ư ơ n g t r ì n h v i p h â n tuyến tính Saudâytasẽgiải hệ tuyến tính

Vídụ 3.4.

Giải hệ phương trình sau

vớiđiều kiện biên

Bằngphương pháp tuyến tính hóatagiải hệ trên nhưsau

Thayhệ phituyếntrên bởi dãycácphương trìnhtuyếntínhsau:

vàx1,y1t h ỏ amãnđiều kiện biên (3.11).

Xét phương trìnhtương đương:

với cácđiều kiện biên

độclậptuyếntínhvàthỏamãn: 0 1 2

Xét bài toán tương đươngsau:

y2(3t3

2t2



t4)yvới điều kiện biên:

3,…,xấpxỉ thứn.

Luậnvăntrìnhbầycóhệthốngcácvấnđềvềphươngpháptựattuyếntínhhóavàứngdụngvàogiảibàitoánbiênđốivớihệphươngtrìnhthườngphituyến.Cụthểluậnvăn trìnhbầy:

Chương I: Kiếnthức bổ trợ.

ChươngII:Phươngpháptựatuyếntínhhóagiảixấpxỉbàitoánbiênđối với hệphươngtrình vi phânthườngphituyến.

ChươngIII:Ứngdụngphươngpháptựatuyếntínhhóagiảimộtsốbài toán biên đốivới hệ phươngtrìnhvi phânthườngcấp 1.

Dothờigiancóhạn,luậnvănkhôngtránhkhỏinhữngthiếu sót.Tácgiảmongnhậnđượcsựchỉbảo,gópýcủacácquýthầy(cô),vàbạnđọcđểvấnđềnghiêncứuđượchoànthiệnhơnvàluậnvăntrở thành mộttàiliệukhoahọchữu ích

Tácgiảxintrântrọngcảmơnsựgiúpđỡnhiệttình,chuđáocủathầygiáoPGS.TS.KhuấtVănNinh,cảmơncác

thầy(cô)giáoPhòngSauđạihọc,Bangiámhiệunhàtrường,KhoatoántrườngĐạihọcSưphạmHàNội2cùnggiađình,bạnbè,đồngnghiệpđãđộngviênkhíchlệvàtạođiềukiệntốtnhấtgiúphoàn thành đềtàinày

TÀI LIỆUTHAM KHẢO