Chứng minh rằng ba điểm A, O, M thẳng hàng Bài 5 4 điểm Qua đỉnh A của hình bình hành ABCD, người ta vẽ một đường thẳng cắt BC và CD theo thứ tự ở M và N... Một đường thẳng song song với[r]
Trang 1a) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức sau có giá trị nguyên:
2
x 4
B
x 2
+
=
+ b) Tìm tất cả các số tự nhiên a, b khác 0 sao cho:
(a, b) = 1 và a2 b2 7
+
= + Bài 2 (4,5 điểm)
Giải các phương trình:
a) x 1- - 5x 1- = 3x- 2
b) 2x- +2 2 2x-3+ 2x 13 8 2x+ + -3 = 7
x-4+ 6-x =x -10x+ 27
Bài 3 (4 điểm)
a) Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện x 2 + y 2 = 5. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
P = x + y
b) Chứng minh rằng:
+ + + + <
2
2 4 6 (2 n) (n Î N, n ≥ 1)
Bài 4 (3,5 điểm)
Cho ∆ABC trung tuyến AM. Một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại D và E,
BE cắt CD tại O. Chứng minh rằng ba điểm A, O, M thẳng hàng
Bài 5 (4 điểm)
Qua đỉnh A của hình bình hành ABCD, người ta vẽ một đường thẳng cắt BC và CD theo thứ tự ở M
và N. Chứng minh rằng BM.DN không đổi khi đường thẳng quay quanh điểm A
********************************************
Bài 1 (4 điểm)
a) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức sau có giá trị nguyên:
2
x 4
B
x 2
+
=
+ b) Tìm tất cả các số tự nhiên a, b khác 0 sao cho:
(a, b) = 1 và a2 b2 7
+
= + Giải:
a) Với mọi giá trị của x thì x 2 + 2 > 0 nên biểu thức B luôn có nghĩa
Ta có: B Î Z Û x + 4 M x 2 + 2 Û (x + 4)(x – 4) M x 2 + 2 Û x 2 – 16 M x 2 + 2
Tức là:
Vì x 2 + 2 ≥ 2 Þ x 2 + 2 Î {2; 3; 6; 9; 18}
– Với x 2 + 2 = 2 Û x = 0
– Với x 2 + 2 = 3 Û x = ±1
– Với x 2 + 2 = 6 Û x = ±2
– Với x 2 + 2 = 9 (không có giá trị nguyên nào của x thỏa mãn)
– Với x 2 + 2 = 18 Û x = ±4
Trang 2Vậy: Với x Î {–4; –2; –1; 0; 1; 2; 4} thì biểu thức B có giá trị nguyên
b) Vì (a, b) = 1 suy ra: (a + b, a 2 + b 2 ) = 1
Thật vậy, giả sử (a + b, a 2 + b 2 ) = d (d ≠ 1). Suy ra:
ab d (2)
M
– Vì (a, b) = 1 nên từ (2) suy ra: a M d hoặc b M d
+ Nếu a M d thì từ (1) suy ra b M d (vô lí vì a, b nguyên tố cùng nhau)
+ Nếu b M d thì từ (1) suy ra a M d (vô lí vì a, b nguyên tố cùng nhau)
– Vậy: (a + b, a 2 + b 2 ) = 1
Vì (a + b, a 2 + b 2 ) = 1 Kết hợp giả thiết suy ra:
hoặc a 4
b 3
=
ì
í
=
î Vậy: Có hai cặp số thỏa mãn điều kiện đầu bài là a = 3; b = 4 hoặc a = 4; b = 3
Bài 2 (4,5 điểm)
Giải các phương trình:
a) x 1- - 5x 1- = 3x- 2
b) 2x- +2 2 2x-3+ 2x 13 8 2x+ + -3 = 7
c) x-4+ 6-x =x2 -10x+ 27
Giải:
a) x 1- - 5x 1- = 3x- 2 (1)
Điều kiện: x ≥ 1
Ta có: (1) Û x 1- = 5x 1- + 3x- 2
Û x – 1 = 8x – 3 + 2 (5x 1)(3x- - 2)
Û 2 – 7x = 2 (5x 1)(3x- - 2) (2)
Ta thấy: Với điều kiện x ≥ 1 thì
– vế trái = 2 – 7x < 2 – 7.1 = –5 Þ vế trái luôn âm "x ≥ 1
– vế phải = 2 (5x 1)(3x- - 2) ≥ 2 (5.1 1)(3.1 2)- - = 4 Þ vế phải luôn dương "x ≥ 1 Vậy: phương trình đã cho vô nghiệm
b) 2x- +2 2 2x-3 + 2x 13 8 2x+ + -3 = 7 (1)
Điều kiện: x 3
2
³ Ta có:
(1)Û 2x- +3 2 2x- + +3 1 2x- +3 8 2x- +3 16 = 7
Û ( 2x- +3 1)2 + ( 2x- +3 4)2 = 7
Û | 2x- +3 1 |+| 2x- +3 4 | 7 =
Û 2x- + +3 1 2x- +3 4= 7
Û 2 2x-3= 2
Û 2x-3= 1
Û 2x – 3 = 1
Û x = 2
Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 2
c) x-4+ 6-x =x2 -10x+ 27 (1)
Điều kiện: 4 ≤ x ≤ 6
– Xét P= x-4+ 6- x
Với mọi số thực a, b, x, y ta có: ax + by ≤ (x2+y )(a2 2+ b ) 2 (2)
Trang 3Thật vậy: (2) Û a 2 x 2 + b 2 y 2 + 2abxy ≤ a 2 x 2 + a 2 y 2 + b 2 x 2 + b 2 y 2
Û a 2 y 2 + b 2 x 2 – 2abxy ≥ 0
Û (ay – bx) 2 ≥ 0
Dấu “=” xảy ra Û ay = bx Û a x
b = y
Áp dụng bất đẳng thức vừa chứng minh với: a= x-4 ; b= 6- x ; x = 1 và y = 1. Ta có:
P ≤ (x- + -4 6 x)(12+1 )2 = 2
Dấu “=” xảy ra Û x 4 1 x 4 6 x x 5
6 x
-
- Mặt khác: Xét vế phải của phương trình x 2 – 10x + 27 = (x – 5) 2 + 2 ≥ 2
Dấu “=” xảy ra Û x = 5
Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 5
Cách 2: Ta có x = 5 là nghiệm của phương trình
– Nếu 4 ≤ x < 5: vế trái = x-4+ 6-x < 5 4- + 6 5 - = 2
Và "x ≠ 5 vế phải = x 2 – 10x + 27 = (x – 5) 2 + 2 > 2 – Nếu 5 < x ≤ 6: vế trái = x-4+ 6-x £ 6 4- + 6 6- = 2 < 2 và vế phải > 2 " x ≠ 5
Vậy: x = 5 là nghiệm duy nhất của phương trình
Bài 3 (4 điểm)
a) Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện x 2 + y 2 = 5. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P = x + y
b) Chứng minh rằng:
+ + + + <
2
2 4 6 (2 n) (n Î N, n ≥ 1)
Giải:
a) Với mọi số thực x, y ta có: (x + y) 2 ≤ 2(x 2 + y 2 ) (1)
Thật vậy: (1) Û x 2 + y 2 + 2xy ≤ 2x 2 + 2y 2 Û (x – y) 2 ≥ 0 (đúng). Dấu “=” xảy ra Û x = y
Do đó: P 2 = (x + y) 2 ≤ 2(x 2 + y 2 ) = 2.5 = 10
Hay: P 2 ≤ 10 Û |P| ≤ 10 Û - 10£P£ 10
Vậy: minP = - 10 Û x = y = 10
2
-
maxP = 10 Û x = y = 10
2 b) Ta có:
+ + + + = ç + + + + ÷ <
< ç + + + + ÷ = ç + - ÷ < =
Bài 4 (3,5 điểm)
Cho ∆ABC trung tuyến AM. Một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại D và E,
BE cắt CD tại O. Chứng minh rằng ba điểm A, O, M thẳng hàng
Giải:
Gọi N là giao điểm của AM và DE
Do DN // BM nên: DN AN
BM = AM
Do EN // CM nên: EN AN
CM = AM Suy ra: DN EN
BM = CM . Do BM = CM (gt) Þ DN = EN
N
O
E
D
M
A
Trang 4Mặt khác: SDNO = SENO; SDBO = SCOE; SBOM = SCMO
Suy ra: SDNO + SDBO + SCMO = SENO + SCOE + SCMD
Do đó: Đường gấp khúc MON chia hình thang BCED thành
hai phần có diện tích bằng nhau. Đoạn NM cũng chia hình thang
thành hai phần có diện tích bằng nhau. Suy ra: N, O, M thẳng hàng Þ A, O, M thẳng hàng
Bài 5 (4 điểm)
Qua đỉnh A của hình bình hành ABCD, người ta vẽ một đường thẳng cắt BC và CD theo thứ tự ở M và
N. Chứng minh rằng BM.DN không đổi khi đường thẳng quay quanh điểm A
Giải:
Từ AB // CN Theo Ta lét ta có:
CN = AB (1)
Từ AD // MC. Theo Ta lét ta có:
CN = DN (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
AB = DN Þ BM.DN = AB.AD (không đổi)
Vậy: Tích BM.DN không đổi khi đường thẳng quay quanh điểm A
****************************************************************
N
B
A
M