DE + DA Thi HSG Toan 9 THANH HOA 2011

Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi m.. Chứng minh rằng: B Câu II.. 2,0 điểm: Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB, sao cho BD, CE cắ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HOÁ

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

Năm học 2010- 2011

Môn thi: Toán

Câu I (5,0 điểm):

1) Cho phương trình: x2 – 2mx + 2m – 1 = 0 Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi m Tìm giá trị lớn nhất của 1 2

2(1 )

x x P





   khi m thay đổi 2) (a) Cho ba số hữu tỉ a, b, c thõa mãn 1 1 1

a b c Chứng minh rằng: A a2 b2 c2

là số hữu tỉ

(b) Cho ba số hữu tỉ x, y, z đôi một phân biệt Chứng minh rằng:

B

Câu II (5,0 điểm):

1) Giải phương trình:

10

2) Giải hệ phương trình:

2

2 3

1 4

x x

x x x

y







Câu III (2,0 điểm): Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC,

AB, sao cho BD, CE cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC Tính BPE

Câu IV (4,0 điểm): Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định (O  AB) P là điểm

di động trên đoạn thẳng AB (P A, B và khác trung điểm AB) Đường tròn tâm C đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại A Đường tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại B Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N ( N P)

1) C/m rằng: ANP BNP và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn 2) C/m rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi qua một điểm cố định khi P di động

Câu V (4,0 điểm):

1) Cho a1, a2, a3, a45 là 45 số tự nhiên thỏa mãn a1< a2< a3< <a45 130 Đặt dj = aj+1 – aj, (j = 1,2, 44) Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu dj xuất hiện ít nhất 10 lần

2) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn: a2 b2  b2 c2  c2 a2  2011

Chứng minh rằng: 2 2 2 1 2011

b c c a  a b  _Hết _

HƯỚNG DẪN CHẤM

NĂM HỌC 2010 - 2011 MÔN THI: TOÁN

1)

2,5đ Ta có

2

' (m 1) 0, m

     nên phương trình có hai nghiệm với mọi m.

Theo định lí viet, ta có x1 x2  2 ,m x x1 2  2m 1, suy ra 4 2 1

m P

m







2 2

(2 1)

m

Max P m



2

m 

2a)

1,5đ

Từ giả thiết suy ra 2ab 2bc 2ca  0

A a b c    a b c là số hữu tỉ

2b)

1,0đ Đặt

a b c

Áp dụng câu 2a) suy ra 1 2 1 2 1 2

B

   là số hữu tỉ

1) Đk: x 1. Phương trình tương đương với

2,5đ 2 2 2 2 2

Đặt

2 2

2 , 1

x t x



 ta được phương trình 2 10 5

0

t  t   t hoặc 2

3

t 

Với 5,

3

t  ta được

2 2

1 3

x

x   (vô nghiệm) Với 2,

3

t  ta được

2 2

x

x   suy ra 1.

2

x 

2)

2,5đ

Đk: y 0. Hệ tương đương với

2 2

3 3

4

4.

x











Đặt

1

,

u x

y x v y



 







 



ta được hệ

1.

v



Với 2

1,

u v









 ta được

1 2

1 1.

1

x

x y

y











 



(thoả mãn điều kiện)

Kẻ EF AC tại F, DGBC tại G

Theo giả thiết S(ADPE) S(BPC)

 S(ACE) S(BCD)

Mà AC BC  EF DG và A C 

Suy ra AEF CDG AE CG

Do đó AECCDB c g c(   )  DBCECA

BPE PBC PCB PCD PCB

1)

3,0đ

Gọi Q là giao điểm của các tiếp tuyến

chung của (O) với (C), (D) tại A, B

tương ứng

Suy ra ANP QAP QBP BNP     

Ta có

ANBANP BNP QAP QBP  



0

180 AQB

suy ra NAQB nội tiếp (1)

A

O N

B P

Q E H

Dễ thấy tứ giác OAQB nội tiếp (2)

Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm O, N, A, Q, B

cùng nằm trên một đường tròn

Suy ra các điểm O, N, A, B cùng nằm trên

một đường tròn

Ta có OCN  2OAN  2OBN ODN   ,

suy ra bốn điểm O, D, C, N cùng nằm

trên một đường tròn

2)

1,0đ

Gọi E là trung điểm OQ, suy ra E cố định và E là tâm đường tròn đi qua

các điểm N, O, D, C Suy ra đường trung trực của ON luôn đi qua điểm E cố định 1)

d d  d  a a  a a   a  a a  a    (1)

Nếu mỗi hiệu d j (j 1, 2, , 44) xuất hiện không quá 10 lần thì

1 2 44 9(1 2 3 4) 8.5 130

d d  d       mâu thuẫn với (1)

Vậy phải có ít nhất một hiêụ d j (j 1, ,44) xuất hiện không ít hơn 10 lần (Làm lại khi xem tài liêu)

2)

2,0đ Ta có

2(a b ) (  a b ) Suy ra

b c c a a b      b c  c a  c a

x b c y c a z a b

suy ra

2 2 2 2 2 2 2 2 2

VT

2 2

2 2

1

2 2

VT  x y z  