Chú ý: Các cách giải khác đúng và gọn đều cho điểm tối đa của câu.[r]
Trang 1KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2011 - 2012
Môn thi : Toán lớp 9
Thời gian: 120 phút
ĐỀ RA
Bài 1 Cho biểu thức: P=(a −4 a+4 − √
a
2+√a):(1+2√a
a −2√a −
1
√a) ( a > 0, a 4 )
a, Rút gọn P
b, Tìm các số nguyên a sao cho P nhận giá trị nguyên
Bài 2 Giải các phương trình:
a, √9 − x2−√x2− 6 x+ 9=0
b, 3 x2+4 x+10=2√14 x2−7
Bài 3
a, Tìm số tự nhiên n sao cho n + 13 và n – 76 đều là số chính phương
b, Cho dãy số a 1 , a 2 , ,…,a 2012 Biết
n2+n¿3
¿
a n=3 n2+3 n+1
¿
n = 1 ,2, ,2012
Tính tổng: S = a 1 + a 2 + a 3 + … + a 2012
Bài 4 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH ( HBC) Gọi D và E lần lượt là
hình chiếu của H trên hai cạnh AB, AC
a, So sánh DE với AH
b, Chứng minh: EC=DH
3
DB2
c, Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E cắt BC theo thứ tự ở M và N Tính diện tích tứ giác DENM theo diện tích tam giác ABC
Bài 5 Cho các số x, y thỏa mãn x ≥ 1 , y ≥ 4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
M = y√x −1+x√y − 4
xy
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO CAN LỘC.
ĐÁP ÁN TOÁN 9:
Trang 2Bài 1 ( 5 đ) Với a > 0, a 4 , ta có:
a, ( 2đ)
P=((a+4 − a+2√a −2)(√a+2)√a ):(1+2√a (√a−√a −2)√a+2)(0,5 đ )
P= 2(2+√a)
(√a −2)(√a+2):
√a+3
√a(√a −2)(0,5 đ )
P= 2√a
√a+3(1 đ )
b, ( 2đ) P=√2a+3√a 2√√a+6 −6 a+3 =2−√a+36 (0,5)
Để P nguyên thì 6 ⋮(√a+3) hay √a+3 là Ư(6) (0,5)
Mà với a > 0, a 4 thì √a+3 > 3 nên √a+3 = 6 (0,5)
Suy ra a = 9 ( thỏa mã ĐKXĐ) (0,25)
Vậy với a = 9 thì P nhận giá trị nguyên (0,25)
Bài 2 (4đ)
a, (2đ) ĐK : - 3 ≤ x ≤ 3 3− x¿2 (0,5đ)
¿
¿0 (0 , 25 đ )
¿
⇔√3 − x(√3+ x −√3 − x)=0(0 , 25 đ )
¿
⇔
¿
√3 − x=0
¿
√3+ x −√3 − x=0(0 , 25 đ )
¿
x=3
¿
x=0
¿
(0 , 25 đ )
¿
¿
¿
¿⇔√(3− x)(3+x )− √ ¿
Vậy PT có tập nghiệm S = {0; 3} (0,5đ)
b, (2đ) ĐK: x ≤ −√22; x ≥√22 (0,5đ)
¿x +2=0
√2 x2
−1 −√7=0 (0 , 25 đ )
¿⇔ x=− 2(TMĐK)(0,5 đ )
⇔ x2
+4 x +4+2 x2−1+7=2√(2 x 2−1) 7(0,5 đ )
¿
√2 x2−1 −√7 ¿2=0(0 , 25 đ )
¿
⇔
¿
x+2¿2+ ¿
⇔¿
(0,25đ)
(0,5đ)
Ta có: Với 2,5 ≤ x < 7 PT (*) vô nghiệm (0,5đ) Với x ≥ 7 PT (*) ⇔√2 x −5=4 ⇔ x=10 , 5 ( Thoả mãn) (0,5đ)
Trang 3Vậy PT có nghiệm duy nhất : x = 10,5 (0,25đ)
Bài 3 (4đ)
a, ( 2đ) Đặt n + 13 = k2 và n – 76 = h2 ( k, h N)
Ta có : k2 – h2 = 89 (0,5đ)
<=> ( k – h )( k + h) = 1.89 (0,5đ)
<=>
¿
k −h=1
k +h=89
¿ {
¿
Giải ra ta được k = 45, h = 44 (0,5đ)
Vậy số cần tìm là: n = 2012 (0,5đ)
b, (2đ) Ta có:
n2+n¿3
¿
n(n+1)¿3
¿
n+1¿3− n3
¿
n+1¿3
¿
n+1¿3
¿
n3¿
¿
¿
¿
a n=3 n2+3 n+1
¿
(1đ)
Suy ra S = 113− 1
23+
1
33−
1
33+ .+
1
20123−
1
20133=1 −
1
8157016197=
8157016196
8157016197 (1đ)
Bài 4 (5đ)
a, (2đ) Xét tứ giác AEHD có:
A = E = D = 900
Nên tứ giác AEHD là hình chữ nhật (1đ)
Suy ra DE = AH ( 0,5 đ)
b,(2đ) Áp dụng hệ thức cho tam giác
vuông HAC có đường cao HE, ta có:
HE2 = EA.EC => EC=EH2
A
H
E
D
Tương tự ta có: AD=DH2
DB (0,5đ) Mà EH = AD, EA = DH (0,5đ) Suy ra:
EC=AD2
DH =
(DH2
DB )2
DH
DH 3
DB 2
(0,5đ)
c,(2đ) Ta có: MDH = EDA ( Cùng phụ với HDE)
Mà EDA = MHD ( cùng bằng DAH)
Suy ra MDH = MHD Do đó MH = MD (0,5đ)
Tương tự ta cũng có: MB = MD (0,5đ)
Suy ra M là trung điểm đoạn BH Chứng minh tương tự ta lại có N là trung điểm HC
Do đó: SDMH = ½ SDBH ; SENH = ½ SEHC .Mà SDEH = ½ SAEHD (0,5đ)
Suy ra SDENM = ½ SABC (0,5đ)
Trang 4Bài 5 (2đ) Ta có: M = √x − 1
x +√
y − 4
y (0,5đ)
Áp dụng bất đẳng thức Cosy ta có: √x −1=√1(x −1)≤ 1+x −12 =x
2 Suy ra: √x − 1
x ≤
1 2 Tương tự: √y − 4
y =
√4 ( y − 4)
2 y ≤
1 4 Cộng vế theo vế hai BĐT cùng chiều ta được: M 34
Dấu “=” xảy ra khi x = 2 và y = 8
Vậy M đạt giá trị lớn nhất là 34
Chú ý: Các cách giải khác đúng và gọn đều cho điểm tối đa của câu