Trên cạnh BC lấy điểm E.. Tia AE cắt đờng thẳng DC tại F.. Trên cạnh AB, CD lần lợt lấy điểm M, N sao cho MN vuông góc với AE.. Đờng phân giác của ∠DAE cắt CD tại P... Chú ý: HS làm theo
Trang 1Đề thi học sinh giỏi huyện khối 9
Năm học 2010 2100–
Môn: Toán
Thời gian làm bài 120 phút
-Câu1:
Cho biểu thức: P = + −
−
− +
− +
−
−
−
−
−
6
9 3
2 2
3 :
9
3 1
x x
x x
x x
x x
x x
a) Tìm điều kiện và rút gọn P
b) Tìm x để P > 1
Câu2:
a/ Cho các số dơng a,b,c và a+b+c = 3 Chứng minh + ≥169
abc
b a
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 2 2
2 2
2
2
) ( )
b b
a b
a
+ +
+ + +
Câu3:
1 Cho a =
2
2
6 + và b =
2
2
6 − Tính S = 5 5
1 1
b
2 Tìm nghiệm nguyên dơng của: z
y
x+1 =
1
Câu4:
Cho tứ giác ABCD có AB = 3, BC = 3, CD = 2 3, DA = 3 3 và ∠A =
600
Tính các góc còn lại của tứ giác ABCD ?
Câu5:
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 23 AD Trên cạnh BC lấy điểm E Tia AE cắt đờng thẳng DC tại F Trên cạnh AB, CD lần lợt lấy điểm M, N sao cho MN vuông góc với AE Đờng phân giác của ∠DAE cắt CD tại P Chứng minh rằng:
a) MN =
3
2
BE + DP
9
4 1
1
AF AE
Trang 2
-Híng dÉn chÊm thi häc sinh giái huyÖn khèi 9
N¨m häc 2010 2100–
M«n To¸n
Trang 3Câu1: Tổng 5
điểm a) Tìm đợc điều kiện xác định của P là: x > 0, x ≠ 4, x ≠ 9
Qui đồng và rút gọn đợc: P =
2
3
−
x
b) P > 1 =>
2
3
−
x > 1 =>
2
3
−
x - 1 > 0 =>
2
5
−
−
x
x > 0 Giải và kết hợp với ĐK đợc kq: 4 < x < 25 và x ≠ 9 thì P > 1
(Nếu quên không kết hợp với điều kiện thì trừ 1 điểm ở câu b)
1 điểm
2 điểm
1 điểm
1 điểm
đ a/ (2đ) Cho các số dơng a,b,c và a+b+c = 3 Chứng minh + ≥169
abc
b a
(1) (1) ⇔9(a+b)≥ 16abc
Ta có (a+b) 2 ≥ 4ab⇒ 4c(a+b) 2 ≥ 16abc
Ta chứng minh 9(a+b) ≥4c(a+b)2
⇔ 9 ≥ 4c(a+b) ⇔ 9 ≥ 4c( 3 −c) ⇔ 4c2 − 12c+ 9 ≥ 0 ⇔ ( 2c− 3 ) 2 ≥ 0 luôn đúng
Vậy 9(a+b)≥ 16abc Hay + ≥169
abc
b
2 2
2 2
) ( )
b b
a b
a
+ +
+ + +
Ta có (a+b)2 ≤ 2(a2+b2)
B≥ 2( ) 2 2( 2 2)
2 2
2
2
2
b a a
b b
a
b
a
+ +
+ +
2 2
2
2
2 3 ) 3
b b
a
a
+
+ +
2 2 2 2 2
2 2 2
2 3
2 3 3
2
3 2
b a
b a b b a
b a a
+
+ + + +
+
2 3
1 3
2
1
b a b
+
+ + +
+
2
2 3
1 3
2
1 2
3 3
2
5
3
b a b a b a b
a
12 2
3 3 2
1 2
2 3 3
2
2
.
5
3
2 2 2 2 2
2 2
+ +
+ +
≥
b a b a b
a b a
5
12 − =
≥ Vậy B≥52 Dấu “=” xảy ra khi a=b
2 điểm
4đ
1 Theo bài ra ta có : a + b = 6 và ab = 1
Mà: S = 15 15
b
b a
b
a + = a5 + b5 (vì ab = 1) Mặt khác: a5 + b5 = (a + b)5 – 5(a3 + b3) -10a2b2(a + b)
Biến đổi và thay: a + b = 6 và ab = 1 vào đợc S = 11 6 2 điểm
2 2 Ta có: x + y = xyz Vì vai trò của x, y nh nhau nên giả sử : x ≤ y
=> xy z = x + y ≤ y + y = 2y => xz ≤ 2 Vì x, z nguyên dơng nên có thế xẩy
ra: x = 1, z = 1 hoặc x = 1, z = 2 hoặc x = 2, z = 1
Từ đó lập luận ta có nghiệm (x, y, z) = (2, 2, 1); (1, 1, 2)
1 điểm
1 điểm
2,5 đ
Trang 4Chú ý: HS làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa