De va dap an Toan khoi A lan 3

Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD theo a 1,00 Gọi H là trọng tâm tam giác BCD.. Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ.[r]

SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG

TRƯỜNG THPT ĐOÀN THƯỢNG

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 3 NĂM 2013

Môn: TOÁN; Khối A, B

Thời gian làm bài: 180 phút

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)

Câu I (2 điểm) Cho hàm số 1

1 2







x

x y

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ điểm I(1;2) tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất

Câu II (2 điểm)

1 Giải phương trình

1

cos

x

2 Giải hệ phương trình

2 2







( ,x y  )

Câu III (1 điểm) Tính tích phân

3

3 0

cos

x x x

x





Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a AD , 2 2a Hình chiếu

vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác BCD Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 450 Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD theo a.

Câu V (1 điểm) Cho x y, là hai số thực khác nhau thỏa mãn x32013yy32013x Tìm giá trị lớn nhất

và nhỏ nhất của biểu thức S x4y4x y xy3  3

PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)

Phần A Theo chương trình chuẩn

Câu VI.a (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của cạnh BC, phương trình đường

thẳng DM: x y 2 0   và C 3; 3  

Xác định toạ độ các đỉnh A, B, D biết đỉnh A thuộc đường thẳng d : 3x y 2 0  

2 Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(0;0; 3), (2;0; 1), (2; 2; 3) B  C   Tìm tọa độ điểm S sao cho hình chóp S.ABC đều và có thể tích bằng 8

Câu VII.a (1 điểm) Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó, 10 câu trung

bình và 15 câu dễ Từ 30 câu hỏi đó rút ngẫu nhiên 5 câu để làm đề thi Tính xác suất để tạo được đề thi có

đủ 3 loại câu hỏi và số câu hỏi dễ không ít hơn 2

Phần B Theo chương trình nâng cao.

Câu VI.b (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A và hai điểm B và C đối xứng nhau

qua gốc tọa độ O Đường phân giác trong góc B có phương trình x2y 5 0 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giácABC, biết đường thẳng AC đi qua điểm K6;2

2 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d:

x y z

và

:

x y z

Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa  sao cho góc giữa d và ( ) lớn nhất

Câu VII.b (1 điểm) Giải phương trình z4 z36z2  8z16 0 trên tập hợp số phức

-Hết -Họ và tên thí sinh: ………Số báo danh: ……… Chữ ký của giám thị 1: ………Chữ ký của giám thị 2: ………

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐH LẦN 3 MÔN TOÁN

I

1

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 1

1 2







x

x

TXĐ: \ 1 , ' 3 2

y x



y    x HS đồng biến trên các khoảng (  ; 1);( 1; )

   

TCN là đường thẳng y 2

   

TCĐ là đường thẳng x 1

0,25

2

Tìm điểm M sao cho khoảng cách từ điểm I(1;2) tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất 1,0 2.Giả sử

) ( 1

3 2

;

0

x x















Tiếp tuyến tại M có pt

) ( ) 1 (

3 1

3

0 0

x x x

x











() hay 3( ) ( 1) ( 2) 3( 0 1) 0

2 0

0      

x

0,25

0 2 0

4 0

0 4

0

0 0

) 1 ( ) 1 ( 9

6 )

1 ( 9

1 6 1

9

) 1 ( 3 ) 1 ( 3































x x

x

x x

x x

d

0,25

Theo bất đẳng thức Côsi

6 9 2 ) 1 ( ) 1 (

0 2 0









Khoảng cách d lớn nhất bằng 6 khi

) 1 ( ) 1 (

9

0

2 0

2 0 2 0



















Vậy có hai điểm M : M1 3;2 3 hoặc M 1 3;2 3

0,25

II

Giải phương trình

1

cos

x

● Điều kiện:

( )

0,25

4

ê = + p

ê

ê

Đối chiếu với ( )* *

ta được họ nghiệm phương trình là: x k , k( )

0,25

Giải hệ phương trình

2 2







( ,x y  ) 1,0

(2)  x2 (y 7)xy2  6y140       

7

3

x

10

3

y

Xét hàm số

4

Vì vậy trên



3

;

4 hàm số f(t) đồng biến

0,25

TH 1 x 2 f x( ) f(2)6

Kết hợp với y 1 f y( )f(1) 3 f x f y( ) ( )(2x2  3x4)(2y2 3y4) 18

TH 2 x 2 hệ trở thành

2

2

1

2





Vậy hệ đã cho vô nghiệm

0,25

III

3

3 0

os

x x x

c x







3

3

0

1

os

c x





2

0

x x

c x

=

2

0 0

=



0,5

IV

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức Sx4y4x y xy3  3 1,00

Ta có x32013yy32013x x3 y3 2013(x y ) 0

(x y x)( xy y 2013) 0 x xy y 2013

4 4 3 3 ( 2 2 2) 2 2 2 ( 2 2)

Sx y x y xy  x y  x y xy x y

Đặt t xy Từ (1) suy ra (x y )2 2013 3 xy 2013 3 xy 0 xy671

2

Lập BBT của hàm số f t( )2t2 2013t2013 ,2 t  2013;671

suy ra

 2013;671   2013;671 

2013

4

0,25

V Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD theo a

1,00

Gọi H là trọng tâm tam giác BCD.

Theo gt SH (ABCD)

Gọi

O AC BD CH  CO AC a

2

AH AC HC a

    SA tạo với đáy góc 450

suy ra SAH 450  SH AH 2a

0,25

3

Gọi M là trung điểm của SB Mặt phẳng (ACM) chứa AC và // SD

Do đó d SD AC( ; )d SD ACM( ;( ))d D ACM( ;( ))

Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ Khi đó

M a

( ; 2 2 ;0)

AC a a

,

AM  a



AC AM  a a  a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,25

Mặt phẳng (ACM) đi qua điểm A và có vtpt n (2 2; 1;  2)



nên có phương trình là

x y  z  d D ACM   

 

0,25

VI.a

1

Xác định toạ độ các đỉnh A, B, D biết đỉnh A thuộc đường thẳng d : 3x y 2 0   1,0 Gọi At; 3t 2  .Ta có d A, DM  2d C, DM  4t 4 2.4 t 3 t 1



hay A 3; 7    A 1;5 

0,25

Mặt khác A,C nằm về 2 phía của đường thẳng DM nên chỉ có A1;5 thoả mãn

Gọi Dm;m 2 DMthì AD m 1;m 7 ,CD   m 3;m 1   0,25

Do ABCD là hình vuông  2  2  2  2

DA.DC 0

DA DC





 

m 5

0,25

Hay D5;3 AB DC    2; 6   B 3; 1  

Kết luận A1;5 ,B 3; 1   , D5;3 0,25

2 Tìm điểm S sao cho hình chóp S.ABC đều biết hình chóp có thể tích là V= 8 1,0

Nhận xét được AB=BC=CA= 2 2 nên đáy ABC là tam giác đều suy ra chóp đều khi và chi

khi SA=SB=SC suy ra S thuộc  (ABC) tại I là tâm đường tròn ngoại tiếp tg ABC 0,25

Có I

suy ra mp(ABC) có VTPT

0,25

M

H O

B

D

C

A

S

(4; 4; 4)

n AB AC    

và cũng là VTCP của  Vậy  :

x t y t z  t

ABC có diện tích là 2 3, hình chóp có V=8  h4 3=d(S,(ABC))=SI 0,25

 Ta có SI2 48 3t2 48 t 4

Do đó có 2 điểm thỏa mãn là

S  

S  

0,25

VII.a Tính xác suất để tạo được đề thi có đủ 3 loại câu hỏi và số câu hỏi dễ không ít hơn 2

Rút ngẫu nhiên 5 câu có C305 cách 5

30

( )

Gọi A là biến cố “ Rút được đề thi 5 câu có đủ 3 loại câu hỏi và số câu hỏi dễ không ít hơn 2”

Ta xét các trường hợp sau

Đề gồm 3 câu dễ, 1 câu TB và 1 câu khó: Có 5.10.C153đề thi

Đề gồm 2 câu dễ, 2 câu TB và 1 câu khó: Có 5.C C102 152 đề thi

Đề gồm 2 câu dễ, 1 câu TB và 2 câu khó: Có 10.C C52 152 đề thi

0,25

( )

n A  5.10.C153+ 2 2

10 15

5 15

Vậy P(A) = 305

( )

n A

VI.b

1

Tìm tọa độ các đỉnh của tam giácABC, biết đường thẳng AC đi qua điểm K6; 2 1,0

 : 2 5 0

B d x y  nên gọi B5 2 ; b b, vì B, C đối xứng với nhau qua O suy ra C b(2  5;b) và

(0;0)

0,25

Gọi I là điểm đối xứng với O qua phân giác trong gócB thì I(2;4) và IAB

Tam giác ABC vuông tại A nên BI 2b 3;4 b

vuông góc với CK 11 2 ;2 b b



5

b

b







0,25

Với b 1 B(3;1), ( 3; 1)C    A(3;1)B loại

Với b 5 B( 5;5), (5; 5) C 

31 17

;

5 5

0,25

Vậy

31 17

5 5

2 Hãy viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa  sao cho góc giữa d và ( ) lớn nhất 1,0

Lấy A(3;2;3) thuộc d, gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên (P) và ta có AHAK

Suy ra góc AMH góc AMK Đẳng thức xảy ra khi H trùng K tức là AK ( )P

0,25

(d) I

O A

B

C K

Như vậy góc giữa d và (P) lớn nhất khi và chỉ khi AK ( )P tại K

Tìm được tọa độ K là hình chiếu của A trên  là K =

12 17 22

Mặt phẳng (P) qua K và nhận

9 3 1

7 7 7

AK  

là VTPT có pt là 9x 3y z  5 0 0,25

VII.b Giải phương trình z4 z36z2 8z16 0 trên tập hợp số phức 1,0

Phương trình đã cho tương đương với (z1)(z 2)(z28) 0 0,25

2

2 8 0 2 2 2 2 2

Chú ý : HS làm cách khác, đúng giáo viên chấm vẫn cho điểm bình thường