DE VA DAP AN TOAN KHOI D 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 Môn: TOÁN – Khối D Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề I.. Tính theo a thể tích của khối chóp S.A

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013

Môn: TOÁN – Khối D

Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7,0 điểm)

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 3 2

2 3 ( 1) 1

y= x − mx + m− x+ (1), với m là tham số thực a) Khảo sát sự biến thiên và đồ thị của hàm số (1) khi m = 1

b) Tìm m để đường thẳng y = - x + 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt

Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình sin 3x+cos 2x−sinx 0=

2

1

2

Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân

2 0

( 1)

1

x

x

+

=

+

∫

Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, canh bên SA vuông góc với

đáy, ¼ D 120BA = o, M là trung điểm của canh BC và ¼SMA=45o Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC)

Câu 6 (1,0 điểm) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy≤ −y 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 6( 2 )

3

P

x y

+

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)

A Theo chương trình chuẩn

Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm 9 3;

2 2

M− 

 là trung

điểm của cạnh AB, điểm H(-2; 4) và điểm I(-1; 1) lần lượt là chân đường cao kể từ B và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ điểm C

Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1; -1; 2), điểm B(0; 1; 1) và mặt

phẳng (P): x + y + z – 1 = 0 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P)

Câu 9.a (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 + i)(z – i) + 2z = 2i Tính môđun của số phức

2

2 1

z z

w

z

− +

B Theo chương trình nâng cao

Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2

(x−1) + −(y 1) =4 và đường thẳng Δ: y – 3 = 0 Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm (C), các đỉnh N và P thuộc đường thẳng Δ, đỉnh

M và trung điểm của cạnh MN thuộc (C) Tìm tọa độ đỉnh P

Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1; 3; -2) và mặt phẳng (P): x – 2y

– 2z + 5 = 0 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và song song với (P)

Câu 9.b (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

2

2 3 3 ( )

1

x x

f x

x

− +

=

+ trên đoạn [0; 2]

Hết

Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm!

Họ và tên thí sinh: SBD:

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1 (2,0 điểm):

a) Khi m = 1, hàm số : y = 2x3 – 3x2 + 1

Tập xác định là: D = R

y’ = 6x2 – 6x; y’ = 0 ⇔ x = 0 hay x = 1;

Hàm số đồng biến trên (−∞; 0) và (1; +∞); hàm số nghịch biến trên (0; 1) Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x = 0; y(0) = 1; hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; y(1) = 0 Giới hạn: limx→−∞y= −∞ và lim

x

y

→+∞ = +∞

Bảng biến thiên:

x −∞ 0 1 + ∞

y’ + 0 − 0 +

y 1 + ∞

−∞ CĐ 0

CT

y" = 12x – 6; y” = 0 ⇔ x = 1/2 Điểm uốn I (1/2; 1/2)

Đồ thị :

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):

2

0

( ) 2 3 0 (1)

=





x

x mx mx

g x x mx m

(d) cắt (C) tại 3 điểm ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

2

0

9 (0) 0

m hay m

∆ = − >

= ≠



Câu 2 (1,0 điểm):

sin 3x+cos 2x−sinx=0

2cos 2 sin cos 2 0 cos 2 2sin 1 0

4 2





Câu 3 (1,0 điểm):

Giải phương trình 2 1 2

2

1

2

Đk : 0 < x < 1

1

y

x 0

1

1

PT ( ) ( )2

Đặt t = −1 x ; ĐK: (0 < t < 1)

PT(1) trở thành ( )4 ( 2 ) 4 3 2

1−t =t t + ⇔ −1 t 5t +6t − + =5 1 0t 2

2

Đặt u t= +1 (u>2)

t

PT (2) trở thành: u2−5u+ = ⇔ =4 0 u 4 (vì u>2)

Vậy 1 2

+ = ⇔ − + = ⇔ = −

t vì (0 < t < 1)

Nghĩa là 1− x = −2 3⇔ x = 3 1− ⇔ = −x 4 2 3

Câu 4 (1,0 điểm):

1

2

+

x

Câu 5 (1,0 điểm):

Tam giác ABC là tam giác đều cạnh bằng a, tam giác SMA vuông cân tại A

2

a

SA AM= =

Thể tích khối chóp: V=

3

=

a a

Vì AD// BC nên

d(D, (SBC))= d(A, (SBC)) = AH = 1 1 3 2 6

2SM = 2 2a =a4

Câu 6 (1,0 điểm):

Từ giả thiết ta có:

2 2

1

2 4 4

≤ − ⇔ ≤ − = − − ÷ + ≤

x

xy y

2 6( )

3

− +

 

P

y

Đặt t = x

y, điều kiện

1 0

4

< ≤t

2

6( 1) 3

+

− +

P

t

t t

Xét ( ) 2 1 6( 21)

3

+

− +

f t

t

1 0

4

< ≤t

( )3 ( )2

2

( )

− +

+

− +

t

f t

t

t t

H

B

S

A

D

M

C

I

( )3 ( )2 2

t t

t

t t

− +

1

4

⇒ f t > ∀ ∈t   ⇒ f đồng biến trên 0;1

4

1 7 10 5 ( )

+

 

 

f t f

Vậy max 7 10 5

30

+

=

2

=

x , y=2

Câu 7a (1,0 điểm):

Đường thẳng AB đi qua M có vectơ pháp tuyến 1(7; 1)

2

IM = − −

uuur

nên có phương trình AB: 7x y− +33 0= .

Gọi B(b; 7b + 33) M là trung điểm AB ⇒ A(− − − −9 b; 7b 30)

(7 ;34 7 ) ( 2 ; 29 7 )

TH1 : b = -5: B(-5; -2) và A (-4; 5)

Phương trình AH là: x+2y− =6 0 Gọi C (6 - 2c;c) ∈AH

Do 2 2 5 2 30 25 0 1

5 ( )

c

=



= ⇔ − + = ⇔  = Vậy C(4; 1)

TH2 : b = -4 : B(-4; 5) và A (-5; -2)

Phương trình AH là: 2x – y + 8 = 0 Gọi C (c; 2c + 8) ∈AH

Do 2 2 5 2 30 25 0 1

5 ( )

c

= −



= ⇔ + + = ⇔  = − Vậy C(-1; 6)

Do đó có hai điểm thỏa mãn bài toán: C (4; 1) hay C (-1; 6)

Câu 8a (1,0 điểm):

Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với (P) : 1 1 2

Gọi H là hình chiếu của A trên (P) ( ) 2 2; ; 1

Gọi (Q) là mặt phẳng cần tìm thì (Q) đi qua A và có một vectơ pháp tuyến là = , ( )= −( 1;2; 1)−

nr uuur uuurAB n

Vậy ( ) :Q x−2y z+ + =1 0

Câu 9a (1,0 điểm):

Từ giả thiết ta có: (1 + i)(z – i) + 2z = 2i ⇔ (3 + i)z = -1 + 3i 1 3

3

i

i

− +

Ta có: w z 22z 1 i 2 12i 1 3i

B Theo chương trình Nâng cao

Câu 7b (1,0 điểm):

(C) có tâm I(1;1), R=2

Do d I( , )∆ = ⇒ ∆R tiếp xúc (C) tại T

Do I là trực tâm tam giác PMN nên MI vuông góc ∆

1

⇒x M =x I =

I

N P

M O

J T

x y

C

H I

B

M

A

Mà M thuộc (C) nên M(1; -1)

Gọi J là trung điểm MN suy ra IJ là đường trung bình của tam giác MTN

1

⇒ y I =y J =

Mà J thuộc (C) nên J(3; 1) hay J(-1; 1)

Nếu J(3;1) thì N(5;3)

Gọi P(t;3) thuộc ∆ Ta có NIuur ⊥MPuuur⇒ = − ⇒ −t 1 P( 1;3)

Nếu J(-1;1) thì N(-3;3)

Gọi P(t;3) thuộc ∆ Ta có NIuur ⊥MPuuur⇒ = ⇒t 3 P(3;3)

Câu 8b (1,0 điểm):

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P): ( ( ) ) 1 6 4 5 2

,

3

1 4 4

− − + +

+ +

d A P

Gọi (Q) là mặt phẳng cần tìm

⇒ (Q) đi qua A và có một vectơ pháp tuyến là nr =(1; 2; 2− − ) ⇒ (Q): x – 2y – 2z +3 = 0

Câu 9b (1,0 điểm):

Xét hàm số

2

2 3 3 ( )

1

x x

f x

x

− +

=

+ trên đoạn [0; 2]

Tacó:

2 2

2 4 6 ( )

( 1)

+ −

′ =

+

x x

f x

x

f x x hay x = -3 (loại)

f(0) = 3, f(2) = 5/3, f(1) = 1

Vì f liên tục trên [0; 2] nên max ( ) 3[0;2] f x = và

[0;2]

min ( ) 1f x =

Hết