ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN THI KHẢO SÁT LẦN 1 MÔN TOÁN 1O KHỐI A,A1 NĂM 2013-2014 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ...
Trang 1SỞ GD & ĐT BẮC GIANG
Trường THPT Lạng Giang số 1 ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH KHÁ GIỎI LẦN 1 Năm học: 2013 – 2014
Môn: Toán lớp 10- Khối A và A1 Thời gian làm bài: 150 phút
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số 2
2 1
yx x
1 Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số
2 Tìm m để đường thẳng d: y 2x m cắt (P) tại hai điểm A, B phân biệt sao cho
AB2 5
Câu II (2 điểm) Phương trình, hệ phương trình đại số
1 Giải phương trình x 2 3 x 5 2 x
2 Giải hệ phương trình:
2
2
x y x xy y x
y
Câu III (1 điểm) Tìm m để phương trình: x42mx2m2 m 1 0 có 4 nghiệm phân biệt
1; 2; 3; 4
x x x x thỏa mãn điều kiện: x14x24x34x445x x x x1 2 3 4 5
Câu IV (1 điểm) Cho tam giác ABC có trung tuyến BD, I là trung điểm BD và J là điểm thỏa mãn
JA JBJC Chứng minh IA2IBIC0 và ba điểm A, I, J thẳng hàng
Câu V (1 điểm) Cho a b c, , là các số dương thỏa mãn a b c 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của:
P
a bc b ca c ab
II PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm phần 1 hoặc phần 2
1 Theo chương trình chuẩn
Câu VIa: (2 điểm)
1) Cho tam giác ABC có BAC600, AB=5, AC=10, trung tuyến AD và M là điểm thỏa mãn
3MA2MC0 Tính độ dài đoạn BM và chứng minh ADBM
2) Cho tam giác ABC với điểm A(1;2), B(2;0), C(0;-4) Tìm tọa độ trực tâm tam H giác và điểm D là chân đường phân giác trong kẻ từ B
Câu VIIa: (1 điểm) Với điều kiện xác định cho trước, rút gọn biểu thức:
t an x cos x cot x sin x P
2 Theo chương trình nâng cao
Câu VIb (2 điểm)
1) Cho tam giác ABC vuông cân có AB=AC= a Gọi M, N, P lần lượt là các điểm trên các
cạnh AB, BC, CA sao cho 1
3
AM BN CP
AB BC CA Chứng minh tứ giác AMNP có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau
2) Cho tam giác ABC với A(2;-1), B(1;3), C(-1;4) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác và tọa độ điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân tại A
Câu VIIb (1 điểm) Với điều kiện xác định cho trước , chứng minh: cot sin 1
1 cos sin
x x
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH KHÁ -GIỎI LẦN 1
MÔN TOÁN LỚP 10- KHỐI A VÀ A1
I Cho hàm số 2
2 1
3 Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số 1 điểm + Chỉ ra tập xác định, tính được 1 0; 1
2
b a
a
+ Kết luận đúng tính đồng biến, nghịch biến vẽ đúng bảng biến thiên
+ Chỉ ra các đặc điểm của đồ thị
+ Vẽ đúng đồ thị
0,25
0,25 0,25 0,25
2 Tìm m để đường thẳng d: y 2x m cắt (P) tại hai điểm A, B phân biệt sao cho
AB2 5
1 điểm
Phương trình hoành độ giao điểm x22x 1 2x m x24x m 1 0 (1)
+Tìm được điều kiện để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt là m 5 0,25 +d cắt (P) tại 2 điểm A x 1; 2 x1m B x , 2; 2 x2m, với x x là các nghiệm của (1) 1; 2
Theo Viet ta có 1 2
1 2
4 1
x x
x x m
0,25
AB x x x x x x x x
16 4 m 1 4 m 4 0,25 +Kết hợp điều kiện ta được kế quả cầ tìm là 5 m 4 0,25
II 3 Giải phương trình x 2 3 x 5 2 x 1 điểm
+Tìm được điều kiện 2 5
2
x
+ Pt x 2 3 x 5 2 x2x 3 3x5 2 x 0,25
2
3
2 3 0
2 3
2
2
x
x x
x x
x
0,25
2 Giải hệ phương trình:
2
2
x y x xy y x
y
1 điểm
+ Hệ tương đương với
2
x
y
0,25
Trang 3+ Đặt 2
x
y
, ta được hệ 2 0
2 3
u v
u v
Giải hệ, đối chiếu
điều kiện được u 1;v1
0,25
III Tìm m để phương trình: 4 2 2
x mx m m có 4 nghiệm phân biệt x x x x1; 2; 3; 4
thỏa mãn điều kiện: 4 4 4 4
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
x mx m m (1) Đặt tx t2, 0, ta được 2 2
t mtm m (2) + Pt (1) có 4 nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm dương phân biệt
' 0
0, 0
0,25
+ Giải đúng điều kiện trên được kết quả m>1 (*) 0,25
+ Pt (2) có hai nghiệm dương phân biệt t t1; 2 Theo Viet ta có 1 2 2
1 2
2 1
t t m
t t m m
+ Phương trình (1) có 4 nghiệm x1 t x1; 2 t x1; 3 t x2; 4 t2
Do đó x14x24x34x445x x x x1 2 3 4 5 2 2
1 2 1 2
2t 2t 5t t 5
Từ đó tìm được m=2, m=7
0,25
IV Cho tam giác ABC có D là trung tuyến BD, I là trung điểm BD và J là điểm thỏa mãn
JA JBJC Chứng minh IA2IBIC0 và ba điểm A, I, J thẳng hàng
1 điểm
+ Vì D là trung điểm của AC nên IA IC 2ID 0,25 + Vì I là trung điểm của BD nên IBID0, từ đó suy ra IA2IBIC0 0,25 + Từ JA2JBJC0, suy ra JA2JBJC 0,25 + Từ IA2IBIC0, suy ra JA JI 2JBJIJCJI 0
1
2 2
JI JB JC JA JI
Do đó A, I, J thẳng hàng
0,25
V Cho a b c, , là các số dương thỏa mãn a b c 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của:
P
a bc b ca c ab
1 điểm
+ Ta có
3
1 3
a bc
3
1 3
b ca
3
1 3
c ab
+ Từ đó suy ra: 5 1 3
+ Suy ra giá trị nhỏ nhất của P là 3
2, đạt được khi a b c 1 0,25
VIa 1 Cho tam giác ABC có 0
60
BAC , AB=5, AC=10, trung tuyến AD và M là điểm thỏa mãn 3MA2MC0 Tính độ dài đoạn BM và chứng minh ADBM 1 điểm
BM AMAB AM AB AM AB AM AB AM AB
Do đó BM 21
0,25
Trang 4+Chỉ ra 2
5
BM ACAB; 1 1
+Dùng tích vô hướng chỉ ra BM AD 0, suy ra BM AD 0,25
2 Cho tam giác ABC với điểm A(1;2), B(2;0), C(0;-4) Tìm tọa độ trực tâm tam H
giác và điểm D là chân đường phân giác trong kẻ từ B 1 điểm + Giả sử H(x;y), do H là trực tâm tam giác nên . 0
AH BC
BH AC
+ Thay tọa độ tính được 13; 3
2 4
H
+ Tình được BA 5,BC2 5BC2BA, theo tính chất phân giác ta có
+ Từ đó tính được 2; 0
3
D
0,25
VIIa
Rút gọn
t an x cos x cot x sin x P
P
1 1 2
-= + =
VIb 1 Cho tam giác ABC vuông cân có AB=AC=a Gọi M, N, P lần lượt là các điểm trên
các cạnh AB, BC, CA sao cho 1
3
AM BN CP
AB BC CA Chứng minh tứ giác AMNP có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau
1 điểm
+ Dựa vào Pitago và tích vô hướng tính được 5; 5
MP AN , suy ra AN=MP
+ Chỉ ra 1 2
PM AB AC; 1 2
AN AC AB, từ đó dùng tích vô hướng chỉ ra
PM AN
0.5
0.5
2 Cho tam giác ABC với A(2;-1), B(1;3), C(-1;4) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại
tiếp I của tam giác và tọa độ điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân tại A 1 điểm + Giả sử I(x;y) Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp nên IA=IB=IC
+ Thay tọa độ thu được hệ, từ đó có kết quả 23 3;
14 14
I
+ Giả sử D(x;y) Từ giả thiết ta có AB AD. 0
AD AB
+ Thay tọa độ, giải hệ được kết quả D 6;0 hoặc D 2; 2
VIIb
Chứng minh: cot sin 1
1 cos sin
x x
Trang 5
2 cos 1 cos sin sin cos s inx
cot
1 cos s inx 1 cos sin 1 cos
x
sin 1 cos sin
x
0.5
0.5