Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết rằng tâm I có hoành độ dương... CÂU NỘI DUNG ĐIỂM A... +Trong mặt phẳng SAB gọi J là giao của IM và AB.Trong mặt phẳng ABC Gọi H là gia
Trang 1SỞ GD & ĐT BẮC GIANG
Trường THPT Lạng Giang số 1
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH KHÁ GIỎI LẦN 1
NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn: Toán khối A, A1 – Lớp 11
Thời gian làm bài: 150 phút
-*** -
A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)
Câu I:(2 điểm) 1 Cho hàm số: 2
f x x x m (m là tham số).Tìm m để đồ thị hàm số f x và đường thẳng d y : 2 x 1cắt nhau tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tích các khoảng cách từ hai điểm A,B đến đường thẳng : x y 0 bằng 1
2 Tìm m để phương trình 3 2
x m x mx có 3 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng
Câu II:(1 điểm) Giải phương trình:
2
3 3sin 2sin 3
3 2sin 0 cot
x x
Câu III:(1 điểm) Giải hệ phương trình: 2
2
2x+3 y+2y +x+1=0 (1)
y - 4x-1=2 3x+y (2)
CâuIV:(1 điểm) : Xác định số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân biết: 1 2 3
4 5 6
35 280
Câu V:(1 điểm) Cho hình chóp S.ABC.Gọi E,M lần lượt là trung điểm của AC,SB.I thuộc SA sao cho
3
AI IS.Tìm giao điểm H của BC và mặt phẳng EIM .Xác định thiết diện của hình chóp bị cắt bởi mặt phẳng EIM và tính tỉ số BH
BC
Câu VI:(1 điểm) Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: sin sin sin 2 3
ab bc ca S
Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều
B PHẦN DÀNH RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được chọn 1 trong 2 phần (phần 1 hoặc phần 2)
1 Theo chương trình chuẩn
Câu VIIa:(1 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ABC có G 1;2 là trọng tâm,A B C1, 1, 1 lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB.Biết đường tròn ngoại tiếp tam giác A B C1 1 1 có phương trình
là:x2 y2 4 x 2 y 1 0.Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Câu VIIIa:(1 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 2013 chữ số sao cho tổng các chữ số bằng 3
Câu IXa:(1 điểm) Tìm hệ số của x20 trong khai triển sau thành đa thức : 3 2 2
2 n
x x , biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn: 2 1
1 5
n
A C
2 Theo chương trình nâng cao
Câu VIIb:(1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh A3;5, tâm I thuộc đường thẳng d : y x 5 và diện tích bằng 25 Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết rằng tâm I có hoành độ dương
Câu VIIIb:(1 điểm)Cho hai hộp ,hộp A gồm 4 bi trắng ,5 bi đỏ và 6 bi xanh.Hộp B gồm 7 bi trắng,6 bi đỏ và
5 bi xanh.Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một bi Tính xác suất để hai bi lấy ra cùng màu
Câu IXb:(1 điểm) Tính T 1 C 2 220132 C2 220133 C2 32013 2013 C2 20132013
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
- HẾT -
Trang 2CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)
I
1
f x x x m (m là tham số).Tìm m để đồ thị hàm số
f x và đường thẳng d y : 2 x 1cắt nhau tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tích các khoảng cách từ hai điểm A,B đến đường thẳng : x y 0 bằng
1
HD:
+)Xét phương trình hoành độ giao điểm chung của đồ thị f x và d y: 2x1
2
x x m x (1).Biến đổi phương trình (1) tương đương với phương trình: 2
x x m (2) +)Tìm được điều kiện d cắt đồ thị f x tại hai điểm phân biệt A,B là: 15
(*) 4
m
+)Với điều kiện (*) giả sử A x A;2 xA 1 ; B xB;2 xB 1 với x xA, B là hai
nghiệm của (2).Theo Viet có: 8
A B
+)Theo giả thiết
2
1
9
d A d B
m
m
Kết hợp điều kiện (*) KL
0.25
0.25
0.25
0,25
2
x m x mx có 3 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng
HD:
+)Biến đổi phương trình:
0
2
x
x m x
+)Điều kiện để (1) có 3 nghiệm phân biệt là: 0
2
m m
(*)
+)Khi đó 3 nghiệm của (1) lập thành cấp số cộng là
Th1) 0,m,2 lập thành csc ta có:2 m 0 2 m 1(t/m)
Th2) 0,2,m lập thành csc ta có:2.2 m 0 m 4(t/m)
Th3) m,0,2 lập thành csc ta có:2.0 m 2 m 2(t/m)
+)KL
0.25
0.25
0.25
0.25
II ĐK:sin 2 x 0
Ta có:
0.25
Trang 3III
3cos 1 sin cos 2
2
2
2
3
1 cos
2
x
Kết hợp điều kiện Kết luận:
0.5
0.25
Giải hệ phương trình: 2
2
2x+3 y+2y +x+1=0 (1)
y - 4x-1=2 3x+y (2)
HD:+)Điều kiện:3 x y 0
+)Biến đổi phương trình 1 2 1 1 0 1 2
1
y
2
Pt vô nghiệm +)Với y x 1 ta có phương trình:x2 2 x 2 2 x 1
x x x x x ĐK 1
2
x
Đặt: 2 x 1 y 1.Có hệ
2
2
Giải hệ phương trình tìm được x 2 2.KL
0.25
0.25
0.5
IV Xác định số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân
4 5 6
35 280
HD:
Gọi q là công bội của cấp số nhân ta có:
0.25
0.5
Trang 4
2
1
2
1 1
1
2 5
q u
KL…
0.25
V
Cho hình chóp S.ABC.Gọi E,M lần lượt là trung điểm của AC,SB I thuộc SA sao cho
3
AI IS.Tìm giao điểm H của BC và mặt phẳng EIM ,xác định thiết diện của hình chóp bị cắt bởi mặt phẳng EIM và tính tỉ số BH
BC
+)Trong mặt phẳng SAB gọi J là giao của IM và AB.Trong mặt phẳng ABC
Gọi H là giao điểm của JE và BC.Chứng minh được H là giao điểm của BC và
mặt phẳng EIM
+)Xác định được thiết diện của hình chóp bị cắt bởi EIM là tứ giác IMHE
+)Gọi K là trung điểm AB suy ra KE song song với BC.Và MK song song với
2
KM
IA JA Mà AK=KB nên KB=BJ
2
BH
2
KE
4
BH
BC
0.25
0.25
0.5
VI Đưa giả thiết đã cho về dạng tương đương sau:
S
0.25
Trang 52 3
Theo bất đẳng thức Cosi, ta có:
(2)
Dấu bằng trong (2) xảy ra khi và chỉ khi ABC là tam giác đều
Theo bất đẳng thức cơ bản ta có:
3 3 cos cos cos
(3) (Phải chứng minh (3) )
Từ (2) (3) suy ra:
2 3
A B C
(4)
Dấu bằng trong (4) xảy ra khi và chỉ khi ABC là tam giác đều
Vì thế từ giả thiết (1) suy ra ABC là tam giác đều (đpcm)
0,25
0,25
0,25
B PHẦN RIÊNG (3 điểm)
1 Theo chương trình chuẩn
VIIa
VIIIa
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ABC có G 1;2 là trọng
tâm,A B C1, 1, 1 lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB.Biết đường tròn ngoại tiếp
tam giác A B C1 1 1 có phương trình là:x2 y2 4 x 2 y 1 0.Viết phương
trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
HD:
+)Theo tính chất trọng tâm của tam giác suy ra
1
1
1
2 2 2
.Suy ra A,B,C lần lượt
là ảnh của A B C1, 1, 1 qua phép vị tự tâm G tỉ số -2
+)Theo giả thiết A B C1, 1, 1 thuộc đường tròn 2 2
C x y x y có tâm I1 2;1 và bán kính R1 2
+)Từ đó khẳng định ba điểm A,B,C thuộc đường tròn C là ảnh của C1 qua
, 2
V G
+)Gọi I và R lần lượt là tâm và bán kính của C Khi đó có
2
G
R R
I V I
Từ đó tìm được
2 7;4
R I
.Viết được phương trình đường tròn
C x y
0.25
0.25
0.25
0.25
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 2013 chữ số sao cho tổng các chữ số bằng 3
Trang 6HD:
Trường hợp 1:Số tạo thành gồm 1 chữ số 3 và 2012 chữ số 0
Chỉ có 1 số thỏa mãn
2012 ô
3000 0
s
Trường hợp 2:số tạo thành gồm 1 chữ số 1 , 1 chữ số 2 và 2011 chữ số 0
Chọn chữ số đầu tiên có 2 cách chọn số 1 hoặc số 2
Chữ số còn lại có 2012 vị trí để đặt,còn các vị trí khác đặt số 0
Trường hợp này có:2.2012 4024 số
Trường hợp 3:Số tạo thành gồm 3 chữ số 1 và 2010 chữ số 0
Chọn chữ số đầu tiên là 1
Chọn 2 trong 2012 vị trí để đặt chữ số 1, các vị trí còn lại đặt chữ số 0
có C20122 2023066số
Vậy có:1 4024 2023066 2027091 số thỏa mãn
0.25
0.25
0.25
0.25
IXa
Tìm hệ số của x20 trong khai triển sau thành đa thức : 3 2 2
2 n
x x , biết rằng n
là số nguyên dương thỏa mãn: 2 1
1 5
n
A C HD:
+)Giải phương trình 2 1
1 5
n
A C tìm được n=5
+)Với n=5 có khai triển:
3 10
k k
k
k
+)Hệ số của 20
x trong khai triển trên thành đa thức là tổng các số có dạng
10k. k i.2i
C C với i,k thỏa mãn:
10. 10.2 10. 8.2 10. 4.2 10. 6.2
(Tính ra số cụ thể)
0.5
0.25
0.25
0.25
2 Theo chương trình nâng cao
VIIb
S = AB.AD = 2AI 25 nên AI 5 2
2
Điểm Id : y x 5 I a;5 a với a0, 2 2
AI 2a 6a 9 Khi đó a nghiệm phương trình 2 25 7
(loại), a 1
2
(tm điều kiện)
+)Tọa độ tâm I 1 9;
2 2
, vi I trung điểm AC nên tọa độ đỉnh C 4; 4
+) Đường thẳng vuông góc AI có n 7; 1 nên phương trình
là: 7x y 1 0 Vì điểm B thuộc : 7x y 1 0 nên B b;1 7b Ta
có
b 1
+) Với b 0 B 0;1 do I trung điểm BD nên D 1;8 ;
0.25
0.25
0.25
Trang 7Vậy tọa độ các đỉnh B, C, D là: B 1;8 ,C 4;4 và D 0;1 hoặc B 0;1 ,C 4;4 và
D 1;8
0.25
VIIIb Cho hai hộp ,hộp A gầm 4 bi trắng ,5 bi đỏ và 6 bi xanh.Hộp B gồm 7 bi trắng,6
bi đỏ và 5 bi xanh.Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một bi Tính xác suất để hai bi lấy ra
cùng màu
HD:
+)Tính được số phần tử của không gian mẫu là: 1 1
15. 18
n C C
+)Gọi A là biến cố lấy ra 2 bi cùng màu.Khi đó số phần tử của biến cố A là:
4. 7 5. 6 6. 5
n A C C C C C C +)Từ đó tính được xác suất của biến cố A
là: 151 181
1 1 1 1 1 1
4 7 5 6 6 5
.
P A
0.25
0.25
0.5
IXb Ta có số hạng tổng quát của tổng
2013k 1 1 2013k , 1,2, ,2013
k
a k C k k C k
2013 2013 2013
2011 2012
! 2013 ! ! 2013 !
1, 2,3, , 2013
k
k
Vậy
2011 2011 2011 2012 2012 2012
2011
2013.2014.2
T T
(Trên đây là sơ lược lời giải Học sinh có thể làm bằng nhiều cách khác nhau,cách làm đúng cho điểm tương ứng)