Chứng minh tứ giác CHOD nội tiếp được đường tròn. Suy ra AB là đường phân giác của góc CHD. Chứng minh A, B, K thẳng hàng.. c) Từ hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có : MH... Ng[r]
Trang 1KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC: 2008 – 2009 TP.HCM
Môn thi : TOÁN
Câu 1: (2 điểm)
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) 2x2 + 3x – 5 = 0
b) x4 – 3x2 – 4 = 0
c) {2x y 1
3x 4y++ == − 1
Câu 2: (2 điểm)
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = -x2 và đường thẳng (D): y = x – 2 trên cùng một hệ trục tọa
độ
b) Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính
Câu 3: (1 điểm)
Thu gọn các biểu thức sau :
a) A= 7 4 3− − 7 4 3+
b) B x 1 x 1 .x x 2x 4 x 8
Câu 4 : (1,5 điểm)
Cho phương trình : x2 – 2mx – 1 = 0 (m là tham số)
a) Chứng minh phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên
Tìm m để x12+x22−x x1 2 = 7
Câu 5 : (3,5 điểm)
Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O), ở đây A, B là các tiếp điểm và C nằm giữa M, D
a) Chứng minh MA2 = MC MD
b) Gọi I là trung điểm của CD Chứng minh rằng 5 điểm M, A, O, I, B cùng nằm trên một
đường tròn
c) Gọi H là giao điểm của AB và MO Chứng minh tứ giác CHOD nội tiếp được đường
tròn Suy ra AB là đường phân giác của góc CHD
d) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O) Chứng minh A, B,
K thẳng hàng
BÀI GIẢI
Câu 1: a) 2x2 + 3x – 5 = 0 có a + b + c = 0 nên có nghiệm là x = 1 hay x c 5
a 2
= = − b) Đặt t = x2≥ 0, phương trình : x4 – 3x2 – 4 = 0 (1) thành t2 – 3t – 4 = 0
Phương trình này có dạng a – b + c = 0 nên có nghiệm là t = −t (loại) hay t c 4
a
= − =
Do đó, (1) ⇔ x2 = 4 ⇔ x = ±2
c) {2x y 1
3x 4y++ == − ⇔ 1
⇔ y 1 2x
5x 5
= −
⎧
⎨− = −
⎩ ⇔ {x 1
y= 1
= −
Câu 2:
a) Vẽ đồ thị : -2 -1 0 1 2
-4 -1
y
x
Trang 2b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D) là −x2 = x – 2 ⇔ x2 + x – 2 = 0
y(1) = 1 – 2 = −1; y(−2) = −2 – 2 = −4
⇒ các tọa độ giao điểm của (D) và (P) là (1; −1); (−2; −4)
Câu 3:
a) A = 4 4 3 ( 3)− + 2 + 4 4 3 ( 3)+ + 2
= (2− 3)2 + (2+ 3)2 = 2− 3 2+ + 3 = 4
2
2
( x 1)( x 2) (x 4)( x 1). x (x 4) 2(x 4)
2
2
( x 1)( x 2) (x 4)( x 1) (x 4)( x 2)
2
( x 1)( x 2) ( x 2)( x 2)( x 1)
x ( x 2)
+ = ( x 1)( x 2) ( x 2)( x 1)
x
= x 3 x 2 (x 3 x 2)
x
= 6 x 6
x =
Câu 4:
a) Ta có : a.c = −1 < 0, ∀m
⇒ phương trình có 2 nghiệm phân biệt trái dấu ∀m
Cách khác: Δ’ = m2 + 1 > 0, ∀m
b) Theo định lý Viet ta có S = x1 + x2 = b 2m
a
− = ; P = x1.x2 = c 1
a= −
x +x −x x = ⇔ (x7 1 + x2)2 – 3x1.x2 = 7
⇔ (2m)2 + 3 = 7 ( vì S = 2m, P = −1) ⇔ 4m2 = 4 ⇔ m2 = 1 ⇔ m = ±1
Câu 5:
a) Chứng minh : MA2 = MC MD
Vì tính chất phương tích của tiếp tuyến nên ta có MA2 = MB2 = MC MD
Cách khác: ΔMAC đồng dạng ΔMDA (góc - góc)
b) Chứng minh :M, A, O, I, B cùng nằm trên đường tròn
Vì ta có OIM 90n = 0 nên 3 điểm B, A, I cùng nhìn OM dưới 1 góc vuông vậy 5 điểm B,
A, I, M, O cùng nội tiếp với đường tròn đường kính MO
c) Từ hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có : MH MO = MB2 = MC MD
M
C
D
A
B
I
O
H
K
Trang 3⇒ MH MC
MD =MO
⇒ ΔMCH đồng dạng ΔMOD (cạnh – góc – cạnh)
⇒ n nCHM CDO=
⇒ H, O, C, D nội tiếp
Ta có : CDO CHMn=n(chứng minh trên)
nDHO DCO=n (cùng chắn cung DO)
mà nOCD CDO=n (tam giác COD cân tại O)
⇒ n nCHM DHO=
Dễ dàng suy ra AB là phân giác của góc CHD
Cách khác: ta có ΔMCH đồng dạng ΔMHD ⇒ MC HC
MD =HD
⇒ MH là phân giác ngoài của nCHD , mà HB ⊥ HM ⇒ HB là phân giác trong của nCHD d) K chính là trực tâm của ΔCDO ⇒ K, I, O thẳng hàng
⇒ nKHO 90= 0 (chắn nửa đường tròn đường kính KO)
mà AHO 90n= 0
dễ dàng ⇒ A, H, K thẳng hàng ⇒ A, B, K thẳng hàng
TS Nguyễn Phú Vinh – Lê Quang Minh (TT Bồi dưỡng văn hóa và Luyện thi Đại học Vĩnh Viễn)