Miền ổn định của hệ động lực liên tục

Ước lượng miền ổn định của hệ động lực liên tục 46 3.1 Tập mức và đặc trưng của điểm cân bằng không ổn định gần nhất.. Cho đến nay, có một số phương phápđược dùng tính toán và xấp xỉ miề

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

——————–o0o——————–

PHẠM HỒNG QUÂN

MIỀN ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC LIÊN TỤC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

——————–o0o——————–

PHẠM HỒNG QUÂN

MIỀN ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC LIÊN TỤC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn: PGS TSKH Vũ Hoàng LinhChủ tịch hội đồng: GS TS Nguyễn Hữu Dư

Mục lục

1.1 Hệ động lực phi tuyến 3

1.2 Tính ổn định 5

1.3 Lý thuyết hàm Lyapunov 12

1.4 Lý thuyết hàm năng lượng 15

1.4.1 Hàm năng lượng 15

1.4.2 Hàm năng lượng cho hệ động lực cấp hai 18

Chương 2 Miền ổn định và tựa ổn định của hệ động lực liên tục 23 2.1 Điểm cân bằng trên biên ổn định 23

2.2 Đặc trưng của biên ổn định 31

2.3 Miền tựa ổn định và đặc trưng của biên tựa ổn định 35

2.4 Thuật toán xác định biên ổn định 39

Chương 3 Ước lượng miền ổn định của hệ động lực liên tục 46 3.1 Tập mức và đặc trưng của điểm cân bằng không ổn định gần nhất 46

3.2 Miền tựa ổn định và hàm năng lượng 50

3.3 Ước lượng miền ổn định theo hàm năng lượng địa phương 52

Kết luận 62

Lời cảm ơn

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên,Đại học Quốc gia Hà Nội và được hoàn thành dưới sự hướng dẫn củaPGS TSKH Vũ Hoàng Linh Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc vàchân thành tới thầy giáo hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt nhữngvấn đề nghiên cứu, dành nhiều tâm huyết, thời gian hướng dẫn và tận tìnhgiải đáp những thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn này

Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoahọc Tự nhiên, Lãnh đạo Khoa Toán - Cơ - Tin học, Bộ môn Toán học tínhtoán và Toán ứng dụng, cùng các giảng viên đã tham gia giảng dạy, đã tạomọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên cứu Đồng thời, tôi cũng xingửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Toán học (khóa 2018-2020), cảm ơn giađình, bạn bè và cơ quan chủ quản đã động viên, giúp đỡ tôi rất nhiều trongquá trình học tập tại đây

Hà Nội, ngày 10 tháng 11 năm 2020

Học viên

Phạm Hồng Quân

Danh sách hình vẽ

1.1 Minh họa định nghĩa ổn định Lyapunov 51.2 Minh họa định nghĩa ổn định tiệm cận 61.3 Mô tả đa tạp ổn định địa phương và đa tạp không ổn định địaphương của một điểm cân bằng 81.4 Quan hệ giữa không gian con ổn định và không gian con không

ổn định với đa tạp ổn định và đa tạp không ổn định tại điểmcân bằng hyperbolic 91.5 Đa tạp ổn định và không ổn định của (0, 0); các không gianriêng ổn định và không ổn định tương ứng 121.6 Minh họa quan hệ giữa hình cầu mở và hình cầu đóng trongchứng minh Định lý 1.11 132.1 Giao giữa đa tạp không ổn định củax1 và đa tạp ổn định của

x2 không thỏa mãn điều kiện hoành 292.2 Miền ổn định của điểm cân bằng ổn định (0, 0) trong Ví dụ 2.1 352.3 Minh họa sự khác nhau giữa miền ổn định và miền tựa ổn định 382.4 Đường cong A và B là giới hạn miền ổn định xác định bởi cácphương pháp khác Đường cong C là biên ổn định thu đượcbằng phương pháp hiện tại 422.5 Bức tranh pha của hệ (2.3) và biên ổn định 432.6 Bức tranh pha của hệ động lực trong Ví dụ 2.3 Biên ổn định

là đường in đậm màu đỏ 453.1 Mối quan hệ giữa mặt mức năng lượng S(r) tại các giá trị

mức khác nhau và miền ổn định A(xs) 483.2 Cấu trúc mặt mức năng lượng khi tăng giá trị mức 51

3.3 Miền ổn định ước lượng theo mặt năng lượng hằng 553.4 Bức tranh pha của hệ trong Ví dụ 3.1 So sánh giữa biên ướclượng và biên ổn định định chính xác 563.5 Miền ổn định chính xác và miền ổn định ước lượng trong Ví

dụ 3.2 593.6 Miền ổn định ước lượng trong Ví dụ 3.3 603.7 Miền ổn định ước lượng và biên ổn định chính xác trong Ví

dụ 3.3 61

Mở đầu

Từ nhiều thế kỷ trước, việc nghiên cứu tính ổn định của hệ động lực

đã được xem là một bài toán khó và hấp dẫn đối với con người, bởi nó xuấthiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau như kinh tế, cơ học, vật lý, kỹ thuật.Cũng vì đây là một chủ đề rất rộng nên khái niệm độ ổn định có thể đượchình thành theo nhiều cách khác nhau tùy thuộc vào mục đích nghiên cứutính ổn định Trong đó, một trong những chủ đề quan trọng liên quan chặtchẽ đến ổn định là miền ổn định của hệ động lực phi tuyến

Trong thực tế, nhiều hệ thống vật lý và kỹ thuật được thiết kế để hoạtđộng ở một trạng thái cân bằng Nói cách khác, nó được cấu tạo để vận hànhtại một điểm cân bằng hoặc xung quanh một điểm cân bằng nào đó và được

mô tả quá trình vận hành bởi một hệ động lực phi tuyến Yêu cầu quan trọngnhất để vận hành thành công các hệ thống này là duy trì sự ổn định củatrạng thái cân bằng này Tính ổn định đòi hỏi sự chắc chắn của điểm cânbằng đối với nhiễu nhỏ do các tác động ở trong và bên ngoài hệ thống gây ra.Nói cách khác, trạng thái của hệ thống sẽ dần về điểm cân bằng dưới nhữngnhiễu nhỏ nhất định Tuy nhiên, hầu hết các hệ thống vật lý và kỹ thuật đềukhông ổn định toàn cục Có thể hiểu rằng các hệ thống này chỉ có thể quaytrở lại trạng thái cân bằng dưới một kích thước có giới hạn của nhiễu Mặc

dù vấn đề này khá quen thuộc nhưng bài toán đặt ở đây là làm thế nào đểtính các miền ổn định xung quanh một điểm cân bằng của hệ động lực chotrước Từ đó, chúng ta cho phép hoặc hạn chế các nhiễu nhỏ chỉ dao động bêntrong miền ổn định đã được tính toán Cho đến nay, có một số phương phápđược dùng tính toán và xấp xỉ miền ổn định của một hệ động lực phi tuyếncho trước nhưng hầu hết các phương pháp này đều dựa trên hàm năng lượnghoặc hàm Lyapunov, [4], [5], [9], [12] Tuy nhiên, một trong những cách tiếp

cận không dựa trên hàm Lyapunov đã được xem xét và trình bày trong [5].Phương pháp này cho phép chúng ta tìm miền ổn định chính xác của một hệđộng lực phi tuyến cho trước Một cách tiếp cận khác dựa trên các phươngpháp mặt mức ẩn và tập mức được nghiên cứu trong [7], [11].

Trong luận văn này, chúng tôi sẽ trình bày về “Miền ổn định của

hệ động lực liên tục” Cụ thể hơn, chúng tôi sẽ trình bày lý thuyết về miền

ổn định và cách tìm miền ổn định bằng các phương pháp số Luận văn nàyđược chia thành ba chương như sau

ˆ Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi sẽ nhắc lạimột số khái niệm về ổn định và các tính chất liên quan Ngoài ra, các lýthuyết về hàm năng lượng, hàm Lyapunov cũng được đề cập đến Các

lý thuyết này được sử dụng để ước lượng miền ổn định của các hệ độnglực phi tuyến có số chiều lớn

ˆ Chương 2: Miền ổn định và tựa như ổn định của hệ động lực liên tục.Chương này sẽ tập trung chủ yếu vào trình bày đặc trưng của biên ổnđịnh và biên tựa ổn định của các hệ động lực Ở cuối chương, chúng tôi

sẽ đưa ra một thuật toán để xác định một biên ổn định một cách hoànchỉnh

ˆ Chương 3: Ước tính miền ổn định của hệ động lực liên tục Trong chươngcuối, chúng tôi sẽ tập trung vào các phương pháp ước lượng miền ổnđịnh của một hệ động lực cho trước dựa trên hàm năng lượng và tậpmức Bên cạnh đó, một số thử nghiệm số được thực hiện cho một số hệđộng lực phi tuyến tiên tục có số chiều thấp cũng được đưa ra

Các tài liệu chính được sử dụng trong luận văn này bao gồm một số sách vàbài báo của các tác giả Hsiao-Dong Chiang và Luís Fernando Costa Alberto,[2], [4], [5], [12] Kết quả của luận văn được báo cáo tại seminar Bộ môn Toánhọc tính toán và Toán ứng dụng, Khoa Toán - Cơ - Tin học và được trìnhbày tại Hội thảo Một số bài toán chọn lọc trong phương trình vi phân và điềukhiển do Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán tổ chức tại Tuần Châu, QuảngNinh, ngày 05-07/11/2020

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương thứ nhất này, chúng tôi sẽ nhắc lại các định nghĩa vàtính chất về tính ổn định và hệ động lực Bên cạnh đó, lý thuyết về hàmLyapunov, hàm năng lượng đối với hệ động lực và ứng dụng của nó cũngđược trình bày trong mục cuối của chương này Đây là các kiến thức cơ sởcho nội dung các chương sau Phần lớn các nội dung ở chương này được trìnhbày dựa trên các tài liệu [1], [2], [4] và [5]

Trong chương này, chúng ta luôn xét hệ động lực phi tuyến (ô tô nôm)sau đây

trong đó x ∈ Rn là một biến véctơ và hàm f : Rn → Rn

thỏa mãn điều kiệnđảm bảo bài toán giá trị ban đầu đối với (1.1) tồn tại và duy nhất nghiệm.Trong luận văn này, chúng ta luôn giả thiết hàm f khả vi r lần và các đạohàm này liên tục Điều kiện này đảm bảo rằng với mỗi giá trị ban đầu x0,tồn tại một khoảng cực đại I = (w−, w+) ⊂ R, 0 ∈ I và tồn tại duy nhấthàm khả vi liên tục x(t) : I → Rn là một nghiệm của phương trình (1.1) saocho x(0) = x0

Định lý 1.1 ([5]) Chox(t) là một nghiệm của phương trình (1.1) và [0, w+]

là một khoảng cực đại tồn tại nghiệm này Khi đó, nếu tồn tại một tập compact

K ⊂ Rn sao cho x(t) ∈ K với mọi t ∈ [0, w+] thì w+ = +∞, tức là nghiệmtồn tại và xác định với mọi t ≥ 0.

Sau đây, ta sẽ trình bày một số khái niệm cần thiết cho các kết quả

về sau Đường cong nghiệm của phương trình (1.1) xuất phát từ x0 tại thờiđiểm t = 0 được gọi là một quỹ đạo nghiệm xuất phát từ x0 và được kýhiệu là φ(., x0) Hơn nữa, quỹ đạo nghiệm xuất phát từ x0 là một hàm theothời gian Việc tham số hóa t → φ(t, x0) sinh ra một đường cong trong Rn,được gọi là một quỹ đạo nghiệm của (1.1) đi qua x0 Quỹ đạo đi qua x0 được

ký hiệu là φt(x0) và được xác định bởi φt(x0) = {φ(t, x0) ∈ Rn, t ∈ R}.Trong một số trường hợp, ta ký hiệu tập {φ(t, x) ∈ Rn, x ∈ A} bởi φ(t, A),

Một điểm p nằm trong tập w-giới hạn của x nếu ứng với mỗi ε > 0

và T > 0, tồn tại t > T sao cho |φ(t, x) − p| < ε Điểm p nằm trong tập

α-giới hạn của x nếu ứng với mỗi ε > 0 và T < 0, tồn tại t < T sao cho

|φ(t, x) − p| < ε Nói cách khác, p được gọi là nằm trong tập w-giới hạn(tập α-giới hạn) của x nếu với mỗi ε > 0, tồn tại một dãy {ti} ∈ R sao choφ(ti, x) → p khi ti → +∞ (ti → −∞)

Định lý 1.2 ([5]) Các tập w-giới hạn và tập α-giới hạn của một quỹ đạo

nghiệm φ(t, x) của hệ (1.1) là các tập đóng, bất biến Ngoài ra, nếu quỹ đạonghiệm φ(t, x) của (1.1) bị chặn với t ≥ 0 (t ≤ 0) thì tập w-giới hạn (tập

α-giới hạn) khác rỗng, compact và liên thông Hơn nữa, d(φ(t, x), w(x)) → 0khi t → ∞

Như ta có thể thấy rằng điểm cân bằng ổn định tiệm cận là loại đơngiản nhất của tập giới hạn Tuy nhiên, tập giới hạn vô cùng phức tạp; nó cóthể là điểm cân bằng, quỹ đạo đóng hay một dạng khác

x được gọi là không ổn định

¯ x V φ(t, x)

Hình 1.1: Minh họa định nghĩa ổn định Lyapunov.

Một cách trực quan, một điểm cân bằng được gọi là ổn định nếu cácquỹ đạo xuất phát từ lân cận của điểm cân bằng vẫn còn nằm gần với điểmcân bằng sau một khoảng thời gian bất kỳ Mặc dù vậy, trong nhiều bài toánthì yêu cầu về quỹ đạo nằm gần với quỹ đạo là chưa đủ Thay vào đó, người

ta đưa ra một yêu cầu mạnh hơn là các quỹ đạo gần với điểm cân bằng vàhội tụ về điểm cân bằng

Định nghĩa 1.4.

(i) Điểm cân bằng x ∈ Rn của hệ (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu

nó ổn định và tồn tại một lân cận mở U của x sao cho mọi quỹ đạoφ(t, x) xuất phát từ lân cậnU đều hội tụ về điểm cân bằngx khi t → ∞hay lim

(ii) Một tập đóng, bất biến γ được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định

và tồn tại một lân cận V của γ sao cho tập w-giới hạn của mọi điểmtrong V chứa trong γ

(iii) Một tập đóng, bất biến γ ⊂ Rn được gọi là một tập hút nếu tồn tại lâncận mở U của γ sao cho với mọi x0 ∈ U, φ(t, x0) ∈ U với mọi t ≥ 0

và φ(t, x) → γ khi t → ∞

Thực tế, tập ổn định và tập hút là một tập bất biến ổn định tiệm cận.Nói cách khác, một tập γ là tập hút nếu mọi quỹ đạo nghiệm trong lân cận

γ đủ gần với γ và hội tụ về γ khi t → ∞

Để xác định tính ổn định của một điểm cân bằngx, ta cần một số công

cụ để mô tả dáng điệu của quỹ đạo nghiệm, ít nhất là về mặt định tính quỹđạo nghiệm xung quanh điểm cân bằng x Đối với hệ động lực tuyến tính

˙x = Ax, việc kiểm tra có thể thực hiện bằng cách tính các giá trị riêng vàvéctơ riêng tương ứng của ma trận A Do đó, dáng điệu động lực địa phươngcủa bài toán phi tuyến có thể được nghiên cứu thống qua bài toán tuyếntính hóa Bây giờ, ta giả thiết rằng x ∈ Rn là một điểm cân bằng của (1.1).Bằng cách đổi biến x(t) = x + y(t) và sử dụng khai triển Taylor tại x, ta có

˙x(t) = ˙y(t) = f (x)+Df (x)y+O(kyk2), trong đóDf là đạo hàm của trườngvéctơ f Vì f (x) = 0 nên phương trình trở thành y = Df (x)y + O(kyk˙ 2)

Do đó, để nghiên cứu dạng điệu quỹ đạo nghiệm, ta xét hệ tuyến tính hóa

˙

Định nghĩa 1.6 Điểm cân bằng x của hệ phi tuyến (1.1) được gọi là perbolic nếu ma trận Jacobi tương ứng Df (x) không có giá trị riêng có phầnthực bằng 0 Ngược lại, nó được gọi là điểm cân bằng không hyperbolic Hơnnữa, một điểm cân bằng hyperbolic được gọi là loại k nếu k giá trị riêng của

hy-ma trận Jacobi Df (x) có phần thực dương và n − k giá trị riêng có phầnthực âm Đặc biệt, nếu Df (x) có đúng một giá trị riêng có phần thực dương,

ta gọi x là điểm cân bằng loại 1

Nói chung, điểm cân bằng loại 1 được xem là tối quan trọng khi nghiêncứu các đặc trưng về biên ổn định và biên tựa ổn định Ta ký hiệu λ là mộtgiá trị riêng của Df (x) và Eλ là không gian véctơ riêng suy rộng ứng vớigiá trị riêng λ Nhắc lại rằng Eλ là bất biến đối với hệ (1.2) Nếu gốc tọa độ

là một điểm cân bằng hyperbolic thì ta có thể viết như sau Rn = Es ⊕ Eu,trong đó Es = ⊕Eλ với Re(λ) < 0 và Eu = ⊕Eλ với Re(λ) > 0 Ngoài

ra, nếu điểm hyperbolic là điểm cân bằng loại k thì Es và Eu lần lượt có sốchiều là n − k và k

Định lý 1.7 (Hartman-Grobman [5]) Xét hệ phi tuyến tổng quát (1.1) cóđiểm cân bằng x Nếu Df (x) không có giá trị riêng 0 và không có giá trịriêng thuần ảo, thì sẽ có một đồng phôi h, xác định trên một lân cận U của

x, biến quỹ đạo φ(t, ) của hệ động lực phi tuyến (1.1) thành nghiệm của hệtuyến tính hóa của (1.2) có dạng etDf (x) Phép đồng phôi bảo toàn các tínhchất của các quỹ đạo nghiệm và cách chọn tham số hóa theo thời gian.

Định lý sau đây đưa ra điều kiện đủ cho một điểm cân bằng của hệ(1.1) là ổn định tiệm cận

Định lý 1.8 (Tính ổn định tiệm cận, [5]) Giả sử rằng mọi giá trị riêng của

ma trận Jacobi Df (x) trong hệ tuyến tính tương ứng (1.2) đều có phần thực

âm Khi đó, nghiệm cân bằng x = x của hệ phi tuyến (1.1) là ổn định tiệmcận

Với x là một điểm cân bằng và U ⊂ Rn là một lân cận của x Ta sẽđịnh nghĩa đa tạp ổn định địa phương và đa tạp không ổn định địa phươngnhư sau

Wlocs (x) := {x ∈ U : φ(t, x) → x khi t → +∞},

Wlocu (x) := {x ∈ U : φ(t, x) → x khi t → −∞}

Chú ý rằngWs

loc(¯ và Wu

loc(¯ lần lượt theo thứ tự là các tập bất biến dương

và bất biến âm Hình 1.3 dưới đây mô tả các đa tạp địa phương này

¯ x

W u loc (¯

W s loc x ¯

Hình 1.3: Mô tả đa tạp ổn định địa phương và đa tạp không ổn định địa phương của một điểm cân bằng.

Định lý 1.9 (Đa tạp ổn định và không ổn định, [5]) Giả sử hệ động lực phituyến liên tục (1.1) có một điểm cân bằng hyperbolic x Các tập Ws

loc(x) và

Wu

loc(x) được gọi là đa tạp ổn định địa phương và đa tạp không ổn định địaphương Khi đó, các đa tạp này lần lượt có chiều ns, nu giống như các khônggian véctơ riêng Es, Eu của hệ tuyến tính hóa (1.2) Hơn nữa, các đa tạpnày cũng tiếp xúc với các không gian riêng Es, Eu tại x; Ws

loc(x) và Wu

loc(x)trơn giống như f (x) of (1.1) Đây là các tập bất biến của hệ phi tuyến (1.1)

và các quỹ đạo nghiệm của hệ phi tuyến trên các đa tạp này có tính chất tiệmcận như nghiệm của hệ tuyến tính hóa trong không gian véctơ riêng tươngứng

Hình 1.4 minh họa định lý đa tạp vừa trình bày

¯ x

Eu

Es

W u (¯

W s (¯

Hình 1.4: Quan hệ giữa không gian con ổn định và không gian con không ổn định với

đa tạp ổn định và đa tạp không ổn định tại điểm cân bằng hyperbolic.

Chú ý 1.10 ([4])

(1) Điểm cân bằng x là tập w-giới hạn của mọi điểm trong Ws(x) và là tập

α-giới hạn của mọi điểm Wu(x) Với điểm cân bằng hyperbolic, chiềucủa Ws(x) bằng số giá trị riêng của Df (x) có phần thực âm Tổng sốchiều Ws(¯ và Wu(¯ bằng số chiều của không gian pha

(2) Sự tồn tại và duy nhất nghiệm đảm bảo rằng cảWs(x) và Wu(x) khôngthể tự giao với chính nó nhưng Ws(x) và Wu(x) có thể giao với nhau

(3) Đa tạp ổn định và đa tạp không ổn định là các tập bất biến Mọi quỹđạo nghiệm trên Ws(¯ hội tụ vềx¯khi t → +∞, trong khi mọi quỹ đạonghiệm trên Wu(¯ hội tụ về x¯ khi t → −∞.

Ví dụ 1.1 Ta xét hệ dao động Duffing như sau

2

!x

),

Eu =

((x, y) : y = −ε +√ε2+ 4

2

!x

)

Các đa tạp ổn định và không ổn định tiếp xúc với không gian riêng ổn định,không ổn định Es, Eu tại điểm cân bằng hyperbolic (0, 0)

Giải f (x, y) = 0, ta có điểm cân bằng hyperbolic (x, y) = (0, 0) Khi đó, hệtuyến tính hóa tương ứng

2

3



Mặt khác, mọi quỹ đạo nghiệm xuất phát từ (0, y) với y ∈ R, nằm trên trục

Oy và tiến đến (0, 0) khi t → ∞ Ngoài ra, không gian riêng con không ổnđịnh Eu là trục Ox, ta có thể suy ra rằng Ws

loc là trục Oy (xem Hình 1.5)

Ý tưởng về “điều kiện hoành1” là cơ sở để nghiên cứu hệ động lực học

và được giới thiệu bởi Palis, 1969; Palis và de Melo, 1981 và Smale, 1967, [4].Trước hết, ta nhắc lại một số khái niệm cần thiết cho việc trình bày điều kiệnnày Cho M là một đa tạp trơn có biên hoặc không có biên Một đa tạp condìm2 của M là một tập con A ⊆ M cảm sinh một cấu trúc tôpô (không cầnkhông gian con tôpô) tương ứng từ đa tạp tôpô (không có biên), và một cấutrúc trơn trong đó A ,→ M là một phép dìm trơn, [8] Bây giờ, ta giả sử A

và B là các đa tạp con dìm thực sự của M, ta nói rằng chúng thỏa mãn điềukiện “hoành” nếu một trong hai điều kiện sau đây được thỏa mãn

1 Tài liệu tiếng Anh: transversality condition

2 immersed manifold

(ii) Chúng hoàn toàn không giao nhau.

Một trong những đặc trưng quan trọng nhất của điểm cân bằng hyperbolic

¯

x đó là các đa tạp ổn định và đa tạp không ổn định của điểm cân bằnghyperbolic giao hoành tại x¯ Điểm giao hoành này rất quan trọng vì nó bảotoàn dưới các nhiễu động của trường véctơ

Trong phần này, chúng tôi trình bày tổng quan về hàm Lyapunov.Trước hết, ta sử dụng ký hiệu sau đây như là đạo hàm theo thời gian củahàm V (x)

Định lý 1.11 ([5]) Giả sử xˆ là một điểm cân bằng của ˙x = f (x), trong đó

f : Rn → Rn Cho V : U → R là một hàm liên tục xác định trong một lâncận U của xˆ, khả vi trên U sao cho

kx − ˆxk = δ} là biên của hình cầu Bδ(ˆ Đặt α = min V (x), x ∈ ∂Bδ(ˆ

Vì V (x) là một hàm liên tục và V (x) > 0 nên cách xác định α như ở trên

là định nghĩa tốt và α là một số dương

Đặt U1 := {x ∈ Bδ(ˆx) : V (x) < α} Bây giờ, ta xét x(0) ∈ U1 bất

kỳ Ta có ngay V (x(0)) < α Ký hiệu x(t) là quỹ đạo nghiệm thu đượcxuất phát từ x(0) Từ giả thiết V (x) ≤ 0˙ , ta suy ra V (x(t)) < α Ta sẽchứng minh điều này suy ra x(t) ∈ Bδ(ˆ Thật vậy, giả sử tồn tạit1 sao chokx(t1) − ˆxk > δ, vì tính liên tục củax(t)nên ta phải có một thời điểmt2 sớm

hơn t1 sao cho kx(t2) − ˆxk = δ và min V (x) = α > V (x(t2)), x ∈ ∂Bδ(ˆ ,mâu thuẫn Do đó, tính ổn định theo nghĩa Lypunov được thỏa mãn.

Để chứng minh tính ổn định tiệm cận khi điều kiện (c) được thỏa mãn,

ta cần chỉ ra x(t) → ˆx khi t → ∞ Vì hàm V (x(t)) đơn điệu giảm dọc theoquỹ đạo nghiệm x(t)và x(t)nằm trong tập compact Bδ(ˆ với t ≥ 0, ta suy

ra V (x(t)) bị chặn dưới với t ≥ 0 Điều này có nghĩa là tồn tại một hằng số

b ≥ 0 sao cho lim

t→∞V (x(t)) = b.Giả sử rằng b > 0 Từ điều kiện (a), ta thấy rằng tồn tại một thờiđiểm T > 0 và một lân cận U ⊂ Bδ(ˆ của xˆ sao cho x(t) ∈ Bδ(ˆ với mọi

t > T Từ điều kiện (c), ta có V (z) < −ε, ε > 0˙ với mọi z ∈ B

δ(ˆx) \ U.Khi đó,

˙

V (x(t))dt < −

Z ∞ T

εdt = −∞,

nhưng

Z ∞ 0

˙

V (x(t))dt = lim

t→∞V (x(t)) − V (x0)

Vì thế, b − V (x0) > −∞, điều này mâu thuẫn Từ đây, ta suy ra b = 0 Do

đó, mọi quỹ đạo nghiệm nằm trong Bδ(ˆ hội tụ về điểm cân bằng và ta kếtthúc chứng minh

Nói chung, nhiều hàm Lyapunov có thể cùng tồn tại đối với một hệđộng lực phi tuyến Chẳng hạn, nếu V là một hàm Lyapunov của một hệ phituyến thì V1 = pVα cũng là một hàm Lyapunov của hệ này với p > 0 và

α > 1 Hơn nữa, các lựa chọn cụ thể của hàm Lyapunov có thể mang lại kếtquả có độ chính xác khác nhau khi xác định miền ổn định trên cùng một bàitoán Ngoài ra, cần nói thêm rằng không có cách xây dựng hàm Lyapunovmột cách có hệ thống cho các hệ động lực phi tuyến tổng quát

Với điểm cân bằng ổn định tiệm cậnxˆ, tồn tạiδ > 0sao chokx0− ˆxk <

δ: φ(t, x0) → ˆx khi t → ∞ Nếu δ lớn tùy ý thì xˆ được gọi là một điểm ổnđịnh toàn cục Tuy nhiên, rất nhiều điểm cân bằng ổn định xˆ không phải làđiểm cân bằng ổn định toàn cục Tiếp theo, chúng tôi trình bày khái niệm vềmiền ổn định và biên ổn định của một điểm cân bằng ổn định

Định nghĩa 1.12 Miền ổn định của một điểm cân bằng ổn định xs đối với

hệ động lực phi tuyến (1.1) được ký hiệu là A(xs) và được xác định như sau

A(xs) := {x ∈ Rn : lim

t→+∞φ(t, x) → xs} (1.3)Biên ổn định của điểm cân bằng ổn định xs là biên của miền ổn định A(xs)

và được ký hiệu là ∂A(xs)

Rõ ràng, miền ổn định có thể được biểu diễn như là A(xs) = {x ∈

Rn : w(x) = xs}, trong đó w(x) ký hiệu tập w-giới hạn của x

Thực tế, miền ổn định của điểm cân bằng ổn định là đa tạp ổn định.Theo các tính chất tôpô của đa tạp ổn định của xs trong [4], [6], miền ổnđịnh A(xs) là một tập mở, bất biến và vi phôi với Rn Nói cách khác, mọiquỹ đạo nghiệm xuất phát từ một điểm trong miền ổn định đều nằm trọnvẹn trong miền ổn định theo thời gian và số chiều của miền ổn định là n Vìbiên của một tập bất biến cũng bất biến và biên của một tập mở là một tậpđóng nên ta có thể kết luận rằng biên ổn định ∂A(xs) là một tập đóng bấtbiến có số chiều < n Nếu miền ổn định A(xs) không trù mật trong Rn thìbiên ổn định ∂A(xs) có số chiều là n − 1

Hàm năng lượng đóng một vai trò quan trọng trong việc xác định cácmiền ổn định của một hệ động lực phi tuyến Dựa vào đây, người ta đưa raphương pháp hiệu quả để ước lượng miền ổn định Lý thuyết về hàm nănglượng cho các hệ động lực phi tuyến tổng quát sẽ được trình bày trong phầnnày Các lý thuyết hàm năng lượng này cũng có thể được áp dụng rộng rãitrong các vấn đề khác về hệ động lực phi tuyến

1.4.1 Hàm năng lượng

Xét hệ động lực phi tuyến tổng quát được mô tả như sau

Giả sử hàm V : Rn →R thuộc vào lớp Cr với r ≥ 1 Khi đó, V được gọi làmột hàm năng lượng của hệ động lực phi tuyến (1.4) nếu thỏa mãn ba điềukiện sau đây.

(1) Đạo hàm của hàmV (x)dọc theo quỹ đạo nghiệmx(t)bất kỳ luôn khôngdương, tức là

˙

V (x(t)) ≤ 0

(2) Nếu x(t) là một quỹ đạo nghiệm không tầm thường (tức là x(t) khôngphải là một điểm cân bằng) thì dọc theo quỹ đạo nghiệm không tầmthường x(t) này, tập {t ∈R : ˙V (x(t)) = 0} có độ đo bằng 0 trong R.(3) Nếu với x(t) có giá trị V (x(t)) bị chặn với t ∈ R+ thì suy ra quỹ đạonghiệm x(t) cũng bị chặn với t ∈ R+

Các điều kiện (1) và (2) suy ra V (t) đơn điệu giảm thực sự dọc theo quỹ đạonghiệm bất kỳ trong khi điều kiện (3) phát biểu rằng hàm năng lượng là mộtánh xạ tương thích dọc theo quỹ đạo nghiệm bất kỳ Một cách trực quan, ta

có thể hiểu rằng năng lượng của một chất điểm tại điểm xuất phát giảm giầntheo thời gian Điều này là phù hợp với các mô hình năng lượng trong vật

lý, được mô tả trong các phương trình truyền nhiệt, truyền sóng Tuy nhiên,

ta không yêu cầu bắt buộc hàm năng lượng nhận giá trị dương trong địnhnghĩa này Từ định nghĩa trên, dễ dàng quan sát thấy rằng một hàm nănglượng có thể không phải là một hàm Lyapunov và ngược lại

Ví dụ 1.3 Xét một lớp hệ động lực được mô tả như sau

˙x = f (x) = −∇V (x),trong đó V : Rn → R là một hàm vô hướng, tương thích thuộc lớp C1 Rõràng, V thỏa mãn điều kiện (3) đối với định nghĩa hàm năng lượng Bây giờ,

ta sẽ đi kiểm tra các điều kiện (1)-(2) Đạo hàm V (x(t)), ta có

Do đó, điều kiện (1) được đảm bảo Ngoài ra, V (x) = 0˙ khi và chỉ khi

f (x) = 0 Nói cách khác, V (x) = 0˙ khi và chỉ khi x là một điểm cân bằng.

Do đó, điều kiện (2) được thỏa mãn và V (x) là một hàm năng lượng

Định lý 1.13 ([5]) Giả sử tồn tại một hàm thỏa mãn các điều kiện (1)-(2)của hàm năng lượng trong hệ động lực phi tuyến (1.4) và mọi điểm cân bằng

là cô lập Khi đó, mọi quỹ đạo nghiệm bị chặn của hệ (1.4) đều hội tụ tớimột trong số các điểm cân bằng

Chứng minh Giả sử S là tập w-giới hạn của quỹ đạo bị chặn x(t) TheoĐịnh lý 1.2, đây là tập khác rỗng Để chứng minh S chỉ chứa điểm cân bằng,

Bây giờ, ta giả sử rằng x ∈ Sˆ và x /ˆ ∈ E Từ phần (a) và S là tập bấtbiến, tồn tại một khoảng I mà tại đó, đạo hàm của nghiệm đi qua x ∈ Sˆbằng 0 Mặt khác, V (ˆ˙ x(t)) = 0 với mọi t ∈ I, điều này mâu thuẫn với giảthiết (2) của hàm năng lượng Do đó, x ∈ E Do tính liên thông của S vàmọi điểm cân bằng đều là điểm cô lập suy ra mọi quỹ đạo nghiệm bị chặncủa hệ (1.4) đều hội tụ đến một điểm cân bằng

Định lý 1.13 khẳng định quỹ đạo nghiệm của hệ (1.4) hoặc hội tụ đếnmột điểm cân bằng hoặc tiến đến vô cùng Trong khi đó, định lý sau đâykhẳng định mọi quỹ đạo trên biên ổn định hội tụ đến một trong số các điểmcân bằng không ổn định trên biên ổn định

Định lý 1.14 ([4]) Nếu tồn tại một hàm năng lượng đối với hệ phi tuyếntổng quát (1.4) thì mọi quỹ đạo nghiệm trên biên ổn định ∂A(xs) đều hội tụđến một điểm cân bằng trên biên ổn định ∂A(xs).

Hệ quả sau đây của Định lý 1.14 cho phép ta sử dụng các khái niệm

đã trình bày để xấp xỉ biên ổn định Nói riêng, đây cũng là một đặc trưngcủa biên ổn định

Hệ quả 1.15 ([4]) Nếu tồn tại một hàm năng lượng đối với hệ phi tuyến(1.4) có điểm cân bằng ổn định tiệm cận xs (không phải là điểm cân bằng ổnđịnh toàn cục) thì biên ổn định ∂A(xs) chứa trong miền là hợp các đa tạp ổnđịnh của các điểm cân bằng không ổn định trên biên, tức là

∂A(xs) ⊆ ∪Ws(xi), xi ∈ {E ∩ ∂A(xs)}

Định lý tiếp theo đưa ra cấu trúc của các điểm cân bằng trên biên ổnđịnh Ngoài ra, đây là điều kiện cần thiết để tồn tại một số loại điểm cânbằng đặc biệt trên biên ổn định bị chặn

Định lý 1.16 ([4]) Giả sử tồn tại một hàm năng lượng đối với hệ động lựcphi tuyến tổng quát (1.4) với điểm cân bằng ổn định xs (không phải là điểmcân bằng ổn định toàn cục) thì biên ổn định ∂A(xs) phải chứa ít nhất mộtđiểm cân bằng loại 1 Hơn nữa, nếu miền ổn định bị chặn thì biên ổn định

∂A(xs) phải chứa ít nhất một điểm cân bằng loại 1 và một điểm nguồn

Hệ quả sau đây của Định lý 1.16 được sử dụng để dự đoán tính không

bị chặn của miền ổn định

Hệ quả 1.17 Nếu tồn tại một hàm năng lượng đối hệ phi tuyến tổng quát(1.4) với điểm cân bằng ổn định tiệm cận xs (không phải là điểm ổn địnhtoàn cục) và nếu ∂A(xs) không chứa điểm nguồn thì miền ổn định A(xs) làkhông bị chặn

1.4.2 Hàm năng lượng cho hệ động lực cấp hai

Mặc dù các hàm năng lượng có thể cung cấp thông tin rõ nét về quỹđạo nghiệm toàn cục của các hệ động lực phi tuyến phi tuyến, nhưng vấn đề

quan trọng đặt ra đó là việc tìm một hàm năng lượng không hề dễ Bên cạnh

đó, việc xác định một hệ động lực cho trước có tồn tại hàm năng lượng haykhông cũng khá khó khăn Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày cách tínhhàm năng lượng cho một lớp hệ động lực phi tuyến tổng quát

Nhiều mô hình vật lý được mô tả bởi một hệ động lực học phi tuyếnbậc hai dưới dạng

sử số điểm cân bằng trong hệ động lực này là hữu hạn Định lý sau đây chỉ

ra điều kiện đủ về sự tồn tại của hàm năng lượng và cũng chỉ rõ cách suy ramột hàm năng lượng đối với hệ (1.5)

Định lý 1.18 Nếu f (x) là một trường véctơ bảo toàn, tức là tồn tại mộthàm thuộc lớp C1, vô hướng Vp : Rn → R sao cho f = ∇Vp thì tồn tại mộthàm V : R2n →R for (1.5) thuộc lớp C1 sao cho

Do đó, phần (a) được chứng minh Để chứng minh phần (b), ta giả thiết phảnchứng rằng kết luận trong phần (b) là không đúng Khi đó, có một khoảng

T = (t1, t2) với t2 > t1 ≥ 0 sao cho V (x(t), y(t)) = 0˙ với mọi t ∈ T Vì

˙

V (x, y) = − hy, Dyi ≤ 0 và D là ma trận đối xứng, chéo trội và có phần

tử trên đường chéo dương nên ta suy ra y(t) = 0 với mọi t ∈ T Điều nàysuy ra rằng y(t) = 0 và x(t) là một hằng số với t ∈ T Từ (1.5), ta suy rarằng f (x(t)) = 0 Do đó, ta có (x(t), y(t)) ∈ E với mọi t ∈ T (E là tập cácđiểm cân bằng của (1.5)) Tuy nhiên, hệ (1.5) là một hệ ô tô nôm, nên suy

ra (x(t), y(t)) ∈ E với mọi t ∈ R Điều này có nghĩa là (x(0), y(0)) ∈ E,nhưng mâu thuẫn với giả thiết (x(0), y(0)) /∈ E Do đó, phần (b) cũng đãđược chứng minh

Định lý trên chỉ ra rằng (1.6) thỏa mãn các điều kiện (1)-(2) của hàmnăng lượng Định lý sau đây đưa ra sự tồn tại của hàm năng lượng

Định lý 1.19 (Sự tồn tại của hàm năng lượng, [5]) Xét hệ phi tuyến tổngquát (1.5) Nếu hàm f bị chặn và Vp(x) là một hàm tương thích thì tồn tạimột hàm năng lượng thuộc lớp C1 như sau V : R2n → R đối với hệ (1.5).Chứng minh Ta chú ý rằng hàm V được mô tả trong (1.6) thỏa mãn cácđiều kiện (1)-(2) của hàm năng lượng được suy ra từ định lý trên Bây giờ,

ta chỉ cần chứng minh hàm V trong (1.6) cũng thỏa mãn điều kiện (3) củahàm năng lượng là đủ Từ hệ (1.5), ta có

keA(t−s)kkM−1kkf (x(s))kds

VìM vàD là các ma trận đường chéo với phần tử trên đường chéo dương nên

ma trận A = −M−1D có các giá trị riêng nằm ở bên trái mặt phẳng phức

Do đó, tồn tại một hằng số thực C > 0 và α > 0 sao cho keAtk ≤ Ce−αt vớimọi t ≥ 0 Nếu kf k ≤ b, ta có

ky(t)k ≤ Cky0ke−αt+

Z t 0

bị chặn và Vp(x) phải bị chặn Điều này mâu thuẫn với giả thiết Vp là mộthàm tương thích Như vậy, hàm V (x, y) trong (1.6) thỏa mãn điều kiện (3)của một hàm năng lượng và ta kết thúc chứng minh

Tiếp theo, ta xét lớp các hệ động lực cấp hai như sau

g :Rn → Rn

không là một trường véctơ gradient

Hệ động lực phi tuyến tổng quát có dạng (1.7) không có hàm nănglượng Các hệ dạng này xuất hiện nhiều trong các hệ thống vô tuyến điện,[5] Sau đây, ta sẽ xét một ví dụ

Ví dụ 1.4 Xét hệ được mô tả như sau

˙x1 =y1

˙x2 =y20.053 ˙y1 =1.78 − 3.16 sin x1− 0.28 cos x1− 0.9 sin(x1 − x2)

− ε cos(x1− x2) − 0.1y10.079 ˙y2 =3.83 − 7.85 sin x2− 0.255 cos x2 − 0.9 sin(x2− x1)

− ε cos(x2− x1) − 0.1y2.Bây giờ, ta chuyển hệ đã cho về dạng (1.7) bằng cách chọn

W (x) = − 1.78x1− 3.83x2− 3.16 cos x1+ 0.28 sin x1− 7.85 cos x2

0 0.1

!and g(x) = cos(x1 − x2)

cos(x2 − x1)

!

Rõ ràng, hàm W thuộc lớp C2 và g(x) bị chặn đều, thuộc lớp C1 Do đó, hệtrên không có hàm năng lượng

Chương 2

Miền ổn định và tựa ổn định của hệ động lực liên tục

Chương này đưa ra các đặc trưng về miền ổn định và tựa ổn định Sau

đó, chúng tôi đề xuất thuật toán xác định chính xác miền ổn định Các kiếnthức này chủ yếu dựa trên [4], [5], [12]

Ngày này, các kỹ thuật dùng để xấp xỉ miền ổn định của hệ động lựcphi tuyến ngày càng trở nên quan trọng trong các mô hình tính toán như vật

lý, xây dựng, kiến trúc, Vì thế, chúng tôi sẽ trình bày cách xác định miền

ổn định trong chương này Đây là một trong số ít các phương pháp khôngdựa trên hàm năng lượng Một lần nữa, ta lại xét hệ động lực phi tuyến nhưsau

Xuyên suốt chương này, ta luôn giả thiết hàm f : Rn → Rn thỏa mãn điềukiện đảm bảo bài toán giá trị ban đầu đối với (2.1) tồn tại và duy nhất nghiệmtrên toàn không gian

Trong phần này, chúng tôi sẽ đưa ra các đặc trưng động lực và tínhchất tôpô của biên ổn định Bên cạnh đó, chúng tôi đề cập đến đặc trưng củađiểm tới hạn trên biên ổn định Ta sẽ bắt đầu với các đặc trưng địa phương,sau đó mở rộng ra đặc trưng toàn cục của biên ổn định

Những đặc trưng quan trọng nhất của một điểm cân bằng nằm trênbiên ổn định của một hệ động lực phi tuyến tổng quát (2.1) sẽ được đưa ratrong định lý sau đây.

Định lý 2.1 ([5]) Xét hệ động lực phi tuyến tổng quát được mô tả bởi (2.1).Giả sử A(xs) là miền ổn định của điểm cân bằng ổn định tiệm cận xs Choˆ

x 6= xs là một điểm cân bằng hyperbolic Khi đó,

(a) Nếu{Wu(ˆx)−ˆx}∩A(xs) 6= ∅ thìx ∈ ∂A(xˆ s); ngược lại nếu x ∈ ∂A(xˆ s)thì {Wu(ˆx) − ˆx} ∩ A(xs) 6= ∅.

(b) Giả sử xˆ không phải là một điểm nguồn (tức là {Ws(ˆx) − ˆx} 6= ∅) thìˆ

x ∈ ∂A(xs) khi và chỉ khi {Ws(ˆx) − ˆx} ∩ ∂A(xs) 6= ∅.

(c) Giả sử x ∈ ∂A(xˆ s) Khi đó, xˆlà một điểm nguồn khi và chỉ khi {Ws(ˆx)−ˆ

x} ∩ ∂A(xs) =∅.

Chứng minh

(a) Nếu y ∈ Wu(ˆx) ∩ A(xs) thì lim

t→∞φ(−t, y) = ˆx Nhưng vì A(xs) là tậpbất biến nên ta có

φ(−t, y) ∈ A(xs) với mọi t ∈ R

Để chứng minh chiều ngược lại, ta giả sử rằng x ∈ ∂A(xˆ s) Ký hiệu

G ⊂ {Wu(ˆx) − ˆx} là miền cơ bản của Wu(ˆ Điều này có nghĩa G làmột tập compact sao cho

[

t∈R

φ(t, G) = {Wu(ˆx) − ˆx}

Ký hiệu Gε là một ε-lân cận của G trong Rn Tập Gε là một lân cận

cơ bản tương ứng với Wu(ˆ Suy ra với t < 0, ∪φ(t, Gε) chứa tập có

dạng {U − Ws(ˆx)}, trong đó U là một lân cận của xˆ Do đó, ta suy ra

U ∩ A(xs) 6=∅ từ x ∈ ∂A(xˆ s) Thật vậy, từ Ws(ˆx) ∩ A(xs) = ∅, ta có

Gε∩ A(xs) 6=∅

Vì Glà một tập compact vàε là bất kỳ nên ta suy raGchứa ít nhất mộtđiểm của A(xs) Vì thế, {Wu(ˆx) − ˆx} ∩ A(xs) 6= ∅ và phần (a) đượcchứng minh

(b) Chứng minh phần này tương tự như ở trên Từ giả thiết xˆ không phải

là một điểm nguồn, ta có {Ws(ˆx) − ˆx} 6= ∅ Trước hết, ta giả sử rằng{Ws(ˆx)− ˆx}∩∂A(xs) 6= ∅ Khi đó, tồn tạiy ∈ {Ws(ˆx)− ˆx}∩∂A(xs) 6=

∅ sao cho

lim

t→+∞φ(t, y) = ˆx

Vì ∂A(xs) cũng là tập bất biến nên ta có

φ(t, y) ∈ ∂A(xs) với mọi t ∈ R

Do đó, xˆ nằm trên biên ổn định

Chiều ngược lại, ta giả sử rằngx ∈ ∂A(xˆ s) ĐặtH ⊂ {Ws(ˆx)−ˆx}là mộtmiền cơ bản của Ws(ˆ Điều này được đảm bảo vì {Ws(ˆx) − ˆx} 6= ∅.Điều này cũng có nghĩa H là một tập compact sao cho

{U − Wu(ˆx)}, với U là một lân cận của xˆ Do đó, ta cóU ∩ ∂A(xs) 6=∅

vì x ∈ ∂A(xˆ s) Thật vậy, từ Wu(ˆx) ∩ ∂A(xs) =∅, ta có

[

t>0

φ(t, Hε) ∩ ∂A(xs) 6= ∅,

vì{U −Wu(ˆx)} ⊂ ∪φ(t, Hε), t > 0 Điều này cũng có nghĩa làφ(t, Hε)∩

∂A(xs) 6= ∅ với t > 0 Mặt khác, biên ổn định cũng là tập bất biến đốivới các dòng nghiệm nên ta suy ra

Hε ∩ ∂A(xs) 6= ∅

Vì H là một tập compact và ε là bất kỳ nên ta suy ra H chứa ít nhấtmột điểm của ∂A(xs) Do đó, {Ws(ˆx) − ˆx} ∩ ∂A(xs) 6= ∅ và phần (b)được chứng minh

(c) Nếu xˆ là một điểm nguồn, suy ra {Ws(ˆx) − ˆx} = ∅ Hiển nhiên,

{Ws(ˆx) − ˆx} ∩ ∂A(xs) = ∅∩ ∂A(xs) =∅.Chiều ngược lại, giả sử {Ws(ˆx) − ˆx} ∩ ∂A(xs) = ∅ Giả thiết phảnchứng rằng xˆ không phải là điểm nguồn Khi đó, vìx ∈ ∂A(xˆ s) nên theophần (b) thì {Ws(ˆx) − ˆx} ∩ ∂A(xs) 6= ∅, mâu thuẫn Do đó, xˆ phải làmột điểm nguồn

Định lý sau đây đưa ra đặc trưng cho quỹ đạo đóng (chu trình giớihạn1) trên biên ổn định Nhắc lại rằng, một chu trình giới hạn γ được gọi làhyperbolic nếu với mọi p ∈ γ, ma trận Jacobi Df tại p có đúng một giá trịriêng có môđun bằng 1 và n − 1 giá trị riêng có môđun khác 1 Chứng minhđịnh lý này tương tự như định lý trên

Định lý 2.2 ([5]) Xét hệ động lực phi tuyến liên tục tổng quát có dạng (2.1)

và giả sử A(xs) là miền ổn định của điểm cân bằng tiệm cận ổn định xs Giả

sử γ là một quỹ đạo đóng hyperbolic Khi đó,

1 limit cycle

(a) γ ⊆ ∂A khi và chỉ khi {Wu(γ) − γ} ∩ A(xs) 6=∅.

(b) Giả sử {Ws(γ) − γ} 6=∅ thì γ ⊆ ∂A(xs) khi và chỉ khi {Ws(γ) − γ} ∩

∂A(xs) 6= ∅.

Cho tới nay, ta mới chỉ giả thiết các điểm tới hạn là hyperbolic Đây

là tính chất chung đối với hệ động lực Bên cạnh đó, một tính chất chungkhác đó là giao của đa tạp ổn định và đa tạp không ổn định của điểm tới hạnthỏa mãn điều kiện hoành Trong phần tiếp theo của mục này, ta sẽ trìnhbày định lý chính về đặc trưng của điểm cân bằng trên biên ổn định theo cả

đa tạp ổn định và không ổn định Hơn nữa, định lý này được dùng để kiểmtra điểm cân bằng nằm trên biên ổn định hay không bằng các tính toán số.Định lý 2.3 ([5]) Giả sử A(xs) là miền ổn định của điểm cân bằng tiệmcận ổn định xs trong hệ động lực phi tuyến tổng quát (2.1) và xˆ là một điểmcân bằng Giả thiết rằng ba điều kiện sau đây được thỏa mãn

(A1) Tất cả các điểm cân bằng trên biên ∂A(xs) là hyperbolic

(A2) Đa tạp ổn định và đa tạp không ổn định của điểm cân bằng trên biên

∂A(xs) thỏa mãn điều kiện hoành

(A3) Mọi quỹ đạo nghiệm trên biên ổn định ∂A(xs) đều tiến đến một điểmcân bằng khi t → ∞

Khi đó,

(1) x ∈ ∂A(xˆ s) khi và chỉ khi Wu(ˆx) ∩ A(xs) 6=∅,

(2) x ∈ ∂A(xˆ s) khi và chỉ khi Ws(ˆx) ⊆ ∂A(xs)

Để chứng minh định lý này, ta cần một số bổ đề sau đây

Bổ đề 2.4 ([4]) Giả sử xi và xj là các điểm tới hạn của hệ động lực phituyến tổng quát dạng (2.1) Hơn nữa, giả thiết thêm rằng giao các đa tạp ổnđịnh và không ổn định của xi, xj thỏa mãn điều kiện hoành và {Wu(xi) −

xi} ∩ {Ws(xj) − xj} 6= ∅ Khi đó, dim Wu(xi) ≥ dim Wu(xj), dấu bằngchỉ xảy ra khi xi là một điểm cân bằng còn xj là một quỹ đạo đóng

Bổ đề 2.5 ([4]) Giả sử ˆ là một điểm tới hạn của hệ động lực phi tuyến tổngquát (2.1) với dim Wu(ˆυ) = m Nếu ˆ là một điểm cân bằng, đặt D là một

m-đĩa trong Wu(ˆ Nếu ˆ là một quỹ đạo đóng, đặt D là một (m − 1)-đĩatrong Wu(ˆυ) ∩ S, với S là một đoạn cắt tại p ∈ ˆυ Giả sử N là một m-đĩa(nếu ˆ là điểm cân bằng) hoặc (m − 1)-đĩa (nếu ˆ là một quỹ đạo đóng)

có một điểm giao hoành với Ws(ˆ Khi đó, D nằm trong bao đóng của tập

∩φ(t, N ), t ≥ 0

Chứng minh định lý 2.3

(1) Ký hiệu nu loại điểm cân bằng xˆ, tức là số chiều đa tạp không ổn địnhcủa xˆ bằng nu Từ giả thiết (A1), suy ra rằng nu(ˆx) ≥ 1 với mọi điểmcân bằng x ∈ ∂A(xˆ s) Giả sử xˆ là một điểm cân bằng trên ∂A(xs) và

nu(ˆx) = h Theo Định lý 2.1, tồn tại một điểmy ∈ {Wu(ˆx)− ˆx}∩A(xs).Nếu y ∈ A(xs), chứng minh kết thúc Do đó, ta chỉ cần chứng minh chotrường hợp y ∈ ∂A(xs) là đủ Từ giả thiết (A3), tồn tại một điểm cânbằng z ∈ ∂A(xˆ s) sao cho y ∈ {Ws(ˆz) − ˆz} Đặt nu(ˆz) = m Khi đó,

Wu(ˆ và Ws(ˆz) giao hoành tại y Theo Bổ đề 2.4, ta có h > m

Bây giờ, ta xét hai trường hợp

(a) Nếu h = 1 thì m phải bằng 0 (tức là zˆphải là một điểm cân bằng

ổn định), điều này mâu thuẫn với giả thiết không có điểm cân bằng

ổn định nào trên biên Như vậy, Wu(ˆx) ∩ A(xs) 6= ∅.

(b) Nếu h > 1, không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết quy nạprằng Wu(ˆz) ∩ A(xs) 6= ∅ Vì Wu(ˆ và Ws(ˆz) giao hoành tại y,

Wu(ˆ chứa một m-đĩa N tâm tại y, nằm ngang so với Ws(ˆz) Sửdụng Bổ đề 2.5 với υ = ˆˆ z, ta có φ(t, N ) ∩ A(xs) 6= ∅ với t > 0 VìA(xs) là tập bất biến nên ta suy ra N ∩ A(xs) 6= ∅ Điều này cónghĩa là Wu(ˆx) ∩ A(xs) 6= ∅.

Từ các lập luận trên và Định lý 2.1, phần thứ nhất của Định lý 2.3 đượcchứng minh

(2) NếuWs(ˆx) ⊆ ∂A(xs), ta suy ra x ∈ ∂A(xˆ s)vì xˆ thuộc Ws(ˆ Bây giờ,

ta giả thiết rằng x ∈ ∂A(xˆ s) Giả sử D ⊂ Wu(ˆx) ∩ A(xs) là một m-đĩa