tính ổn định của hệ động lực tuyến tính trên thang thời gian

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNVŨ THỊ BÍCH HẢO TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH TRÊN THANG THỜI GIAN Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VŨ THỊ BÍCH HẢO

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC

TUYẾN TÍNH TRÊN THANG THỜI GIAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2011

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VŨ THỊ BÍCH HẢO

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC

TUYẾN TÍNH TRÊN THANG THỜI GIAN

Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS TS NGUYỄN HỮU DƯ

HÀ NỘI - 2011

Mục lục

1.1 Một số khái niệm cơ bản 8

1.2 Tính khả vi 10

1.3 Tích phân 11

1.4 Mặt phẳng phức Hilger 17

1.5 Hàm mũ thang thời gian 18

1.6 Bất đẳng thức Gronwall 20

2 Sự ổn định của hệ phương trình động lực tuyến tính trên thang thời gian 22 2.1 Khái niệm về ổn định 22

2.1.1 Các định nghĩa về ổn định của hệ phương trình động lực tuyến tính trên thang thời gian 22

2.1.2 Các định lý về ổn định 24

2.2 Phương pháp hàm Lyapunov xét tính ổn định của hệ phương trình động lực tuyến tính trên thang thời gian 29

2.2.1 Khái niệm hàm Lyapunov toàn phương trên thang thời gian 29

2.2.2 Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov xét tính ổn định đều 32

2.2.3 Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov xét tính ổn định mũ đều 34

2.2.4 Việc tìm ma trận Q(t) 37

2.2.5 Tiêu chuẩn không ổn định 41

3 Áp dụng phương pháp hàm Lyapunov cho một số hệ tuyến tính đặc biệt 43 3.1 Hệ biến thiên chậm 43

3.1.1 Tích Kronecker 44

3.1.2 Tính ổn định mũ của hệ biến thiên chậm 45

3.2 Hệ phương trình có nhiễu 50

Lời nói đầu

Lý thuyết về thang thời gian (time sacle), lần đầu tiên được trình bàybởi Stefan Hilger trong luận án tiến sỹ của ông vào năm 1988 [9] (với sựhướng dẫn của Bernd Aulbach) nhằm thống nhất việc trình bày giải tíchliên tục và rời rạc

Cho đến nay đã có hàng chục quyển sách và hàng ngàn bài báo viết vềthang thời gian Các yếu tố giải tích trên thang thời gian đã được các tácgiả nghiên cứu một cách sâu rộng và tương đối đầy đủ Và từ đó nhiều kếtquả quen thuộc trong trường hợp liên tục và rời rạc đã được "chuyển dịch"sang thang thời gian Chẳng hạn về phương trình động lực trên thang thờigian, đã có những kết quả rất sâu sắc về sự ổn định, tính dao động, bàitoán giá trị biên,

Việc phát triển lý thuyết về phương trình động lực trên thang thời gian,dẫn đến các kết quả tổng quát và khi đó có thể áp dụng cho các thangthời gian hỗn hợp của các trường hợp liên tục và rời rạc

Ta biết rằng, có nhiều kết quả của phương trình vi phân được thực hiệnkhá dễ dàng và tự nhiên cho phương trình sai phân Tuy nhiên có nhữngkết quả dễ dàng trình bày cho phương trình vi phân lại không hề đơngiản cho sai phân và ngược lại Việc nghiên cứu phương trình động lựctrên thang thời gian cho ta một cái nhìn sáng sủa để khắc phục tính khôngnhất quán này giữa phương trình vi phân liệc tục và phương trình sai phânrời rạc Ngoài ra, điều đó cũng tránh được một kết quả được chứng minhhai lần, một lần cho phương trình vi phân và một lần khác cho phươngtrình sai phân

Ta có thể lấy thang thời gian là tập các số thực, kết quả tổng quát thu

được sẽ tương tự với kết quả trong phương trình vi phân Nếu lấy thangthời gian là tập các số nguyên, kết quả tổng quát thu được sẽ tương tự vớikết quả trong phương trình sai phân Tuy nhiên, các thang thời gian cócấu trúc phong phú nên kết quả thu được là tổng quát và hay hơn nhiềukết quả trên tập các số thực và trên tập các số nguyên Do vậy, đặc trưng

cơ bản của thang thời gian đó là thống nhất và mở rộng

Trong luận án của mình vào năm 1892, Lyapunov đã đưa ra hai phươngpháp để phân tích tính ổn định của các phương trình vi phân Từ đó,phương pháp trực tiếp của Lyapunov đã trở thành một công cụ được sửdụng rộng rãi nhất để xem xét tính ổn định của các phương trình vi phâncũng như các phương trình sai phân tuyến tính và phi tuyến Sự tinh tếcủa phương pháp trực tiếp Lyapunov nằm ở chỗ ta không cần tìm đượcnghiệm đúng của hệ mà vẫn có thể xem xét được dáng điệu nghiệm (ổnđịnh hay không ổn định) của hệ

Trong luận văn này sẽ sử dụng phương pháp thứ hai của Lyapunov phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của phương trìnhđộng lực tuyến tính trên thang thời gian, đây chính là nội dung của mộtbài báo của Jeffrey J DaCunha [11]

-Nội dung của luận văn được chia làm 3 chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi chỉ liệt kê mà không chứng minh các tínhchất cơ bản nhất về ∆-đạo hàm, tích phân, trên thang thời gian Việcchứng minh chi tiết có thể tìm thấy trong [1, 2, 5]

Chương 2: Sự ổn định của hệ phương trình động lực tuyến tínhtrên thang thời gian

Trong chưong này, chúng tôi sẽ đưa ra các định nghĩa và tính chất vềtính ổn định đều, ổn định mũ đều, ổn định tiệm cận đều của hệ phươngtrình động lực tuyến tính trên thang thời gian Đặc biệt, trong chương này

có nêu ra phương pháp hàm Lyapunov trên thang thời gian và dùng nó đểxét tính ổn định và không ổn định của phương trình động lực tuyến tính.Chương 3: Áp dụng phương pháp hàm Lyapunov cho một số

hệ phương trình tuyến tính đặc biệt

Trong chương này, chúng tôi sẽ đưa ra hai hệ phương trình tuyến tínhđặc biệt là hệ biến thiên chậm và hệ có nhiễu và dùng phương pháp hàmLyapunov để xét tính ổn định của chúng.

Vì khả năng còn nhiều hạn chế nên luận văn không tránh khỏi nhữngthiếu sót và tính chưa hoàn thiện của vấn đề đặt ra, mặc dù bản thân tôi

đã cố gắng rất nhiều trong quá trình thực hiện luận văn Tôi xin tiếp thumọi ý kiến nhận xét của các thầy cô, các nhà toán học, các học viên caohọc và NCS

Nhân đây, tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn GS TSNguyễn Hữu Dư về sự nghiêm túc và nhiệt tình của thầy, tôi cũng gửi lờicảm ơn nhóm seminar Toán Giải tích, trường ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội

về những gợi mở và đóng góp quý báu cho tôi trong suốt quá trình thựchiện luận văn

Hà Nội 12-2011

Vũ Thị Bích Hảo

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Những định nghĩa và định lý dưới đây có thể xem như một giới thiệutổng quan về thang thời gian, ta có thể tham khảo trong [1]

1.1 Một số khái niệm cơ bản

Thang thời gian (time scale) là một tập con đóng tuỳ ý khác rỗng củatập các số thực R, ký hiệu là T Ta giả sử xuyên suốt rằng thang thời gian

T có một tôpô mà nó được cảm sinh từ tôpô trên tập các số thực R vớitôpô tiêu chuẩn

Thí dụ:

(a) R;Z; [0; 1] ∪ [2; 3] là những thang thời gian

(b) Q,R\Q không là thang thời gian vì không đóng.

Định nghĩa 1.1 Cho T là một thang thời gian, với mỗi t ∈ T, ta có các

• Một điểm t ∈ T được gọi là điểm cô lập phải (right-scattered) nếuσ(t) > t; điểm cô lập trái (left-scattered) nếu ρ(t) < t; điểm cô lập(isolated) nếu t vừa là điểm cô lập trái, vừa là điểm cô lập phải; điểmtrù mật phải (right-dense) nếu t < supT và σ(t) = t; điểm trù mậttrái (left-dense) nếu t > infT và ρ(t) = t; điểm trù mật (dense) nếu t

vừa là điểm trù mật phải vừa là điểm trù mật trái

• Hàm hạt (graininess): µ :T → [0; +∞), µ(t) := σ(t) − t

• Tập Tk được xác định như sau: Nếu T có phần tử lớn nhất M là điểm

cô lập trái thì ta đặt Tk := T\{M }, và Tk := T trong các trường hợp

còn lại

Để cho đơn giản, ngoại trừ những trường hợp cần nhấn mạnh, từ đâytrở đi ta viết (a; b]; [a; b); [a; b] thay cho (a; b]T; [a; b)T; [a; b]T

Quy ước:

inf ∅ = supT (nghĩa là, nếu t = maxT thì σ(t) = t),

sup ∅ = infT (nghĩa là, nếu t = minT thì ρ(t) = t)

Định lý 1.1 (Nguyên lý quy nạp trên thang thời gian) Với mọi t0 ∈ T,

1.2 Tính khả vi

Định nghĩa 1.2 Xét hàm số f : T → R. ∆- đạo hàm (còn gọi là đạohàm Hilger) của f tại t ∈ Tk là một số (nếu nó tồn tại), ký hiệu f∆(t),nếu với mọi ε > 0 cho trước tồn tại lân cận U của t sao cho

|[f (σ(t)) − f (s)] − f∆(t)[σ(t) − s]| 6 ε|σ(t) − s|

với mọi s ∈ U

Hàm f được gọi là ∆- khả vi (nói ngắn gọn là khả vi) trên Tk nếu f∆(t)

tồn tại với mọi t ∈ Tk

Định lý 1.2 Xét hàm số : T → R và t ∈ Tk Khi đó ta có:

1 Nếu f khả vi tại t thì f liên tục tại t

2 Nếu f liên tục tại t và t là điểm cô lập phải thì f là khả vi tại t và

1 Nếu T = R thì hàm f :R →R là ∆-khả vi tại t khi và chỉ khi f khả

vi theo nghĩa thông thường tại t và

Sau đây ta ký hiệu:

Định nghĩa 1.3 Với K = R hay C,

• Hàm p : T → K được gọi là hồi quy (regressive) nếu 1 + µ(t)p(t) 6= 0

với mọi t ∈ Tk Ta ký hiệu,

• Hàm ma trận A(·) : T →Kn×n gọi là hồi quy nếu ma trận I +µ(t)A(t)

là khả nghịch với mọi t ∈ T, với I là ma trận đơn vị trong Kn×n.Định nghĩa 1.4 1 Một hàm f : T → R gọi là chính quy (regulated)

nếu tồn tại giới hạn bên phải (hữu hạn) tại tất cả các điểm trù mậtphải trong T và tồn tại giới hạn bên trái (hữu hạn) tại tất cả các điểmtrù mật trái trong T

2 Một hàm f : T →R gọi là rd-liên tục (right-dense continuous) nếu nó

liên tục tại các điểm trù mật phải và giới hạn bên trái là tồn tại (hữuhạn) tại các điểm trù mật trái trong T

3 Cho X là một không gian Banach, ánh xạ

f :Tk × X → X

(t, x) 7→ f (t, x)

gọi là rd-liên tục nếu thoả mãn các điều kiện sau:

(i) f liên tục tại mỗi điểm (t, x) với t là trù mật phải hay t = maxT,

(ii) Các giới hạn f (t−, x) := lim

(s,y)→(t,x),s<tf (s, y) và lim

y→∞f (t, y) tồntại tại mỗi điểm (t, x) với t là trù mật trái

Phần tử khả nghịch của phần tử q của nhóm này là q = 1+µq−q

Định lý 1.5 Xét hàm f : T →R, ta có

1 Nếu f liên tục thì f là rd-liêntục

2 Nếu f là rd-liên tục thì f là chính quy

3 Toán tử nhảy tiến σ là rd-liên tục.

4 Nếu f là chính quy (hay rd-liên tục) thì fσ cũng là chính quy (hayrd-liên tục)

5 Giả sử f là rd-liên tục Nếu g : T → R là chính quy hay rd-liên tục

thì f g cũng có tính chất như vậy

Định nghĩa 1.5 Hàm liên tục f :T → R gọi là tiền khả vi với miền khả

vi D nếu các điều kiện sau đồng thời thoả mãn:

|f∆(t)| 6 g∆(t)

với mọi t ∈ D thì

|f (s) − f (r)| 6 g(s) − g(r),

với mọi r, s ∈ T, r 6 s

Hệ quả 1.0.1 Cho f, g :T → R là tiền khả vi với miền khả vi D

1 Nếu f∆(t) > 0 ∀t ∈ D thì f (t) > f (s) với mọi t, s ∈ T, t > s

2 Nếu U là khoảng compact với các điểm mút là r, s ∈ T thì

3 Nếu f∆(t) = 0 với mọi t ∈ D thì f là hàm hằng

4 Nếu f∆(t) = g∆(t) với mọi t ∈ D thì g(t) = f (t) + C với mọi t ∈ D,với C là một hằng số

Định lý 1.8 (Sự tồn tại tiền nguyên hàm) Cho f là một hàm chínhquy Khi đó tồn tại một hàm tiền khả vi F với miền khả vi D sao cho

ở đây C là một hằng số tùy ý và F là một tiền nguyên hàm của f

Tích phân xác định của một hàm chính quy f là

Z s r

f (t)∆t := F (s) − F (r), (r, s ∈ T)

Một hàm F : T → R gọi là một nguyên hàm của f : T →R nếu

F∆(t) = f (t)

với mọi t ∈ Tk

Định lý 1.9 (Sự tồn tại của nguyên hàm)

(i) Mọi hàm rd-liên tục đều có nguyên hàm

Nếu t0 ∈ T thì F (t) = Rtt

0f (τ )∆τ, t ∈T là một nguyên hàm của f.(ii) Nếu f ∈ Crd và t ∈ Tk thì Rtσ(t)f (τ )∆τ = f (t)µ(t)

Thí dụ:

Khi T = hZ = {hk, k ∈ Z}(h > 0) thì

Z b a

10 Nếu f (t) > 0 với mọi t ∈ [a; b) thì Rabf (t)∆t > 0

Định nghĩa 1.7 Cho a ∈ T, supT = ∞ và f là rd-liên tục trên [a; ∞).Tích phân suy rộng của hàm f liên tục trên [a; ∞) được định nghĩa nhưsau

Với mỗi thang thời gian T tuỳ ý thì tập {t ∈ T, t là điểm cô lập phải}

là không quá đếm được (kết quả này được chứng minh trong [2]) Với

a, b ∈ T, a < b, ta ký hiệu:

Ia,b := {i, ti ∈ [a; b) và là điểm cô lập phải}

Định lý sau đây cho ta mối quan hệ đầy ý nghĩa giữa tích phân Riemanntrên thang thời gian với tích phân Riemann thông thường Cách chứngminh của định lý này có thể được tìm thấy trong [5]

Định lý 1.12 Nếu hàm f : [a; b] → R (với a, b ∈T) là khả tích Riemann

(theo nghĩa thông thường) Ta có,

Z b

a

f (t)∆t =

Z b a

Định lý 1.13 (Về đổi biến đối với tích phân) Giả sử V : T → R là một

hàm tăng chặt và eT := V (T) cũng là một thang thời gian

Nếu f : T → R là một hàm rd-liên tục, V là khả vi và có đạo hàm V∆

Định nghĩa 1.8 Cho h > 0, khi đó ta định nghĩa:

1 Tập các số phức Hilger (Hilger complex numbers):

6 Quy ước: C0 := C,R0 := R,A0 := ∅,I0 := iR, Re0(z) := Re(z)

7 Phần ảo Hilger của z: Imh(z) := Arg(zh + 1)

h , z ∈ Ch.

ở đó Arg(z) là góc giá trị chính của z (tức là, −π < Arg(z) 6 π)

8 Ta định nghĩa dải (strip) Zh := {z ∈ C : π

Khi h = 0, ta định nghĩa ξ0(z) = z với mọi z ∈ C.

Khi đó, phép biến đổi trụ ngược (inverse cylinder transformation) chobởi: ξh−1 : Zh → Ch được xác định như sau:

1.5 Hàm mũ thang thời gian

Định lý 1.14 Nếu p là rd-liên tục và hồi quy thì phương trình

x∆ = p(t)x (1.5.1)với điều kiện ban đầu x(t0) = 1 có nghiệm duy nhất

Khi đó, ta gọi nghiệm của (1.5.1) là hàm mũ ep(·, t0) Sử dụng phépbiến đổi trụ ở trên, ta có

ep(t, s) = exp

Z t s

Định lý 1.16 (Công thức biến thiên hằng số) Cho t0 ∈ T và y(t0) = y0 ∈

R Khi đó hệ hồi quy (1.5.2) có nghiệm duy nhất y :T → R được cho bởi

2 Cho t0 ∈ T và giả sử A(·) là hồi quy Khi đó phương trình ma trận

ΦA(t, r)ΦA(r, s) = ΦA(t, s)

thoả mãn với mọi r, t, s ∈ T.

Định lý 1.18 (Công thức biến thiên hằng số) Cho t0 ∈ T, khi đó hệ hồi

quy (1.5.3) với điều kiện ban đầu y(t0) = y0 ∈ Rn có nghiệm duy nhất

y : T →Rn được cho bởi

a(s)b(s)eb(t, σ(s))∆s với mọi t> t0

Hệ quả 1.0.2 1 Khi b(t) ≡ L > 0 và nếu u(t) 6 a(t) + LRtt

0u(s)∆s

với mọi t> t0 thì u(t) 6 a(t) + LRtt

0eL(t, σ(s))a(s)∆s với mọi t > t0

2 Với u, b ∈ Crd(T,R), b(t) > 0 với mọi t ∈ T Khi đó, nếu

3 Với u, b ∈ Crd(T,R), b(t) > 0 với mọi t ∈ T và a ∈ Crd1 (T,R) Khi

2.1.1 Các định nghĩa về ổn định của hệ phương trình động lực tuyến tính

trên thang thời gian

Đầu tiên, ta nhắc lại các khái niệm sau

• Chuẩn Euclid của n × 1-véc tơ x(t) được xác định bởi:

được gọi là nửa xác định âm (xác định âm) nếu −M là nửa xác địnhdương (xác định dương).

Bây giờ ta định nghĩa các khái niệm ổn định đều và ổn định mũ đều.Hai khái niệm này liên quan đến tính bị chặn của nghiệm của hệ phươngtuyến tính hồi quy với ma trận hệ số biến thiên theo thời gian

x∆(t) = A(t)x(t), x(t0) = x0, t0 ∈ T (2.1.1)Giả sử với mỗi t0 ∈ T, bài toán giá trị ban đầu (2.1.1) có nghiệm duy

nhất x(t) = x(t, t0, x0) với t> t0 Khi đó, ta có các định nghĩa:

Định nghĩa 2.1 Hệ phương trình động lực tuyến tính (2.1.1) được gọi là

ổn định nếu với mỗi t0 ∈ T, tồn tại hằng số γ = γ(t0), nghiệm của nóthoả mãn

kx(t)k 6 γ kx(t0)k, t> t0 (2.1.2)Nếu γ không phụ thuộc vào t0 thì (2.1.1) được gọi là ổn định đều

Trong định nghĩa tiếp theo, ta chỉ ra rằng tính ổn định không chỉ liênquan đến tính bị chặn của nghiệm của (2.1.1) mà còn liên quan đến cácđặc trưng tiệm cận của nghiệm Nếu nghiệm của (2.1.1) là ổn định mũ(theo nghĩa dưới đây) thì nghiệm dần tới 0 với tốc độ mũ khi t → ∞.Định nghĩa 2.2 Phương trình động lực tuyến tính (2.1.1) được gọi là ổnđịnh mũ nếu tồn tại hằng số γ = γ(t0), λ > 0 với −λ ∈ R+ sao cho với

t0 và x(t0) bất kỳ, nghiệm tương ứng x(t) thoả mãn

kx(t)k 6 kx(t0)k γe−λ(t, t0), t> t0 (2.1.3)Nếu γ không phụ thuộc vào t0 thì (2.1.1) được gọi là ổn định mũ đều.Định nghĩa 2.3 Phương trình động lực tuyến tính (2.1.1) được gọi là ổnđịnh tiệm cận đều nếu nó ổn định đều và với δ > 0 bất kỳ, tồn tại số T > 0

sao cho với t0 với x(t0) bất kỳ, nghiệm tương ứng thoả mãn

kx(t)k 6 δ kx(t0)k, t> t0 + T (2.1.4)

2.1.2 Các định lý về ổn định

Bây giờ ta sẽ nghiên cứu các đặc trưng của tính ổn định đều và ổn định

mũ đều của hệ (2.1.1) thông qua ma trận chuyển Đặc biệt, Định lý 2.4cho ta mối quan hệ giữa sự ổn định tiệm cận đều và ổn định mũ đều.Định lý 2.1 Phương trình (2.1.1) ổn định đều nếu và chỉ nếu tồn tại số

Bây giờ giả sử tồn tại γ sao cho kΦA(t, t0)k 6 γ với mọi t > t0 và t,

t0 ∈ T Với bất kỳ t0, x(t0) = x0, nghiệm của (2.1.1) thoả mãn

với mọi t > t0 và t, t0 ∈ T.

Chứng minh Đầu tiên ta giả sử rằng (2.1.1) ổn định mũ Khi đó, tồn tạicác số γ, λ > 0 với −λ ∈ R sao cho với t0 và x0 = x(t0), nghiệm của(2.1.1) thoả mãn

kx(t)k 6 kx0k γe−λ(t, t0), với mọi t> t0,

Vì thế, với t0 và ta > t0 bất kỳ, gọi xa là véctơ sao cho

t

Z

τ

kΦA(t, σ(s))k ∆s 6 β, (2.1.5)với mọi t, τ ∈ T, t> σ(τ )

Chứng minh Giả sử phương trình (2.1.1) ổn định mũ đều Theo Định lý2.2, tồn tại số γ, λ > 0 với −λ ∈ R+ sao cho

Do đó, theo Định lý 2.2 phương trình (2.1.1) là ổn định mũ đều.

Ví dụ về việc chọn hàm λ(t): Khi T= R, nghiệm của bất phương trình