Tính ổn định của một số lớp hệ vi phân có trễ và ứng dụng trong các mô hình sinh thái

Tính ổn định hữu hạn của một lớp phương trình vi phân phi tuyến mô tả mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ Trong hai thập kỉ gần đây, các hệ động lực có cấu trúc mạng nơ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

——————–o0o———————

ĐOÀN THÁI SƠN

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP

HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG

CÁC MÔ HÌNH SINH THÁI

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI-2019

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

——————–o0o———————

ĐOÀN THÁI SƠN

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ

VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH THÁI

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được hoànthành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lê Văn Hiện và TS Trịnh Tuấn Anh.Các kết quả trình bày trong luận án là trung thực, đã được sự nhất trí của cácđồng tác giả khi đưa vào luận án và chưa từng được công bố trong công trình,luận văn, luận án nào khác

Tác giả

mê, giúp tác giả vượt qua những khó khăn trong nghiên cứu.

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm HàNội, Phòng Sau đại học, Ban Chủ nhiệm khoa Toán-Tin cùng các thầy giáo, côgiáo trong bộ môn Giải tích đã luôn giúp đỡ, động viên, tạo môi trường thuậnlợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu của mình Đồng thời, tôi cũngxin chân thành cảm ơn các bạn nghiên cứu sinh và các thành viên trong xeminaPhương trình vi phân và tích phân của bộ môn Giải tích đã quan tâm, trao đổi

và góp ý cho tôi trong quá trình học tập và làm luận án

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám đốc Sở Giáo dục và Đào tạoHải Phòng, Ban Giám hiệu trường Trung học phổ thông Chuyên Trần Phú, cácthầy giáo, cô giáo và các bạn đồng nghiệp tại tổ Toán-Tin, trường Trung họcphổ thông Chuyên Trần Phú, đã luôn tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và độngviên tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Sau cùng, tôi xin dành những tình cảm và lòng biết ơn chân thành tới giađình, những người luôn yêu thương, chia sẻ, động viên tôi vượt qua khó khăn

để hoàn thành luận án này

Tác giả

MỤC LỤC

Trang

Lời cam đoan 1

Lời cảm ơn 2

Kí hiệu 6

MỞ ĐẦU 7

1 SƠ BỘ MỘT SỐ KẾT QUẢ LIÊN QUAN 15

1.1 M-ma trận 15

1.2 Hệ phương trình vi phân có trễ và tính ổn định Lyapunov 16

1.3 Tính ổn định trong thời gian hữu hạn 18

1.3.1 Khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn 18

1.3.2 Mối liên hệ giữa tính ổn định trong thời gian hữu hạn với tính ổn định theo Lyapunov 19

1.3.3 Tính ổn định trong thời gian hữu hạn của lớp hệ tuyến tính với trễ hỗn hợp biến thiên 20

1.4 Tính tiêu hao của một số lớp phương trình vi phân có trễ 22

1.4.1 Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halanay và một số cải biên 23 1.4.2 Tính tiêu hao của một lớp phương trình vi phân với trễ tỉ lệ: Cách tiếp cận bằng phương pháp đổi biến 25

1.5 Một số kết quả bổ trợ 26

1.5.1 Đạo hàm Dini 26

1.5.2 Một số bổ đề bổ trợ 27

2 TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN CỦA LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MÔ TẢ MẠNG NƠRON HOPFIELD VỚI HỆ SỐ BIẾN THIÊN

VÀ TRỄ TỈ LỆ 28

2.1 Mô hình mạng nơron Hopfield với trễ tỉ lệ 28

2.2 Tính ổn định hữu hạn của mô hình mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ không đồng nhất 30

2.3 Dáng điệu tiệm cận: Sự đồng bộ nghiệm của mô hình (2.1) 34

2.4 Ví dụ minh họa 36

2.5 Kết luận Chương 2 42

3 TÍNH TIÊU HAO CỦA LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MÔ TẢ MẠNG NƠRON KHÔNG DỪNG CHỨA TRỄ TỈ LỆ 43

3.1 Thiết lập sơ bộ 44

3.2 Tính tiêu hao toàn cục của mô hình (3.1) 46

3.2.1 Trường hợp hệ số phản hồi chính quy 46

3.2.2 Trường hợp hệ số phản hồi suy biến 50

3.3 Ví dụ minh họa 55

3.4 Kết luận Chương 3 59

4 TÍNH HÚT TOÀN CỤC CỦA NGHIỆM TUẦN HOÀN DƯƠNG CỦA MỘT MÔ HÌNH NICHOLSON CÓ TRỄ 61

4.1 Kết quả sơ bộ 61

4.2 Nghiệm dương toàn cục và tính bền vững 64

4.2.1 Sự tồn tại của nghiệm dương toàn cục 64

4.2.2 Tính bền vững đều 67

4.3 Tính hút toàn cục của nghiệm tuần hoàn dương 69

4.4 Điểm cân bằng dương và tính hút toàn cục 75

4.5 Ví dụ và mô phỏng 78

4.6 Kết luận Chương 4 80

Kết luận chung 82

Danh mục công trình công bố 84

TÀI LIỆU THAM KHẢO 84

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

[n] Tập hợp n số nguyên dương đầu tiên {1, 2, , n}

a,b b là biểu thức định nghĩa của a

R+ Tập các số thực không âm

Rn Không gian Euclide n chiều

kxk ∞ maxi∈[n]|x i |, chuẩn max của vectơ x = (x i ) ∈Rn

diag{a 1 , , a n } Ma trận chéo với các phần tử a 1 , a 2 , , a n trên đường chéo

[A] ij Phần tử tại dòng i và cột j của ma trận A

A  0 Ma trận không âm, tức là [A] ij ≥ 0 với mọi i, j

A ≻ 0 Ma trận dương, tức là [A] ij > 0 với mọi i, j

x  y x i ≥ y i , ∀i ∈ [n], với x = (x i ) ∈Rn và y = (y i ) ∈Rn

Rn

: x  0}

ξ+ (t.ư ξ +) maxi∈[n]ξ i (t.ư mini∈[n]ξ i) với ξ ∈ Rn, ξ ≻ 0

λ(A) Tập hợp các giá trị riêng của ma trận A

λ max (A), λ min (A) max{Reλ : λ ∈ λ(A)}, min{Reλ : λ ∈ λ(A)}

C([a, b],Rn) Tập các hàm giá trị trong Rn liên tục trên [a, b]

D+v(t) lim suph→0+ v (t+h)−v(t)

h , đạo hàm Dini trên bên phải

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Lý thuyết định tính các phương trình vi phân nói chung, lý thuyết ổn địnhnghiệm nói riêng, là một hướng nghiên cứu quan trọng trong lý thuyết điềukhiển hệ thống, góp phần giải quyết nhiều vấn đề đặt ra trong thực tiễn ứngdụng từ cơ học, vật lý, hóa học, công nghệ thông tin đến các mô hình trong sinhthái học quần thể, kinh tế và môi trường [1,21] Trong thực tiễn, rất nhiều môhình ứng dụng được mô tả bởi các lớp phương trình vi phân có trễ [12, 31, 38]

Sự xuất hiện của các độ trễ này ảnh hưởng đến dáng điệu tiệm cận nghiệm của

hệ nói chung và tính ổn định, một trong những tính chất phổ dụng của các hệtrong các mô hình ứng dụng, nói riêng Vì vậy, bài toán nghiên cứu tính ổn địnhcủa các hệ phương trình vi phân có trễ và ứng dụng nó trong các mô hình thựctiễn đã và đang là vấn đề nghiên cứu có tính thời sự thu hút sự quan tâm củanhiều tác giả trong và ngoài nước trong những năm gần đây [13]

Đối với các lớp hệ có cấu trúc tương đối đơn giản như lớp hệ tuyến tínhdừng, hệ có trễ hằng số vv, phương pháp hàm Lyapunov là một công cụ quantrọng và hiệu quả để nghiên cứu tính ổn định Bằng việc xây dựng các phiếmhàm Lyapunov-Krasovskii phù hợp, các điều kiện ổn định của hệ được thiết lậpthông qua các bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs) Khi đó, các công cụgiải số và một số thuật toán tối ưu lồi được vận dụng để tìm nghiệm chấp nhậnđược của lớp điều kiện LMIs đó đảm bảo tính ổn định của hệ

Tuy nhiên, nhiều lớp hệ từ các mô hình thực tiễn và nhân tạo, nhất làcác hệ trong sinh thái, thường có cấu trúc rất phức tạp, dạng phi tuyến khôngdừng [30] Việc nghiên cứu tính chất định tính nói chung, tính ổn định nói riêng,

cho các lớp hệ như vậy đòi hỏi phải tiếp tục phát triển các công cụ và phươngpháp nghiên cứu đặc thù Nhiều vấn đề mở trong hướng nghiên cứu về lý thuyếtđịnh tính và dáng điệu tiệm cận nghiệm nói chung, tính ổn định nói riêng, đốivới các hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ, đặc biệt là lớp phương trình

mô tả các mô hình trong sinh thái học, cần tiếp tục được nghiên cứu và pháttriển Đó cũng là lí do và là động lực chính chúng tôi chọn chủ đề nghiên cứu vềtính ổn định của các hệ phương trình vi phân có trễ và ứng dụng trong các môhình sinh thái

2 Đối tượng và nội dung nghiên cứu

2.1 Tính ổn định hữu hạn của một lớp phương trình vi phân phi tuyến

mô tả mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ

Trong hai thập kỉ gần đây, các hệ động lực có cấu trúc mạng nơron đã đượcnghiên cứu và ứng dụng thành công trong nhiều lĩnh vực như xử lí tín hiệu số,nhận dạng mẫu, ước lượng tham số và đặc biệt trong lĩnh vực về trí tuệ nhântạo [28,34] Trong các mô hình đó, việc đảm bảo tính ổn định của mạng nơron

đã được thiết kế là hết sức quan trọng [40] Mặt khác, trong các mô hình mạngnơron, yếu tố trễ truyền tải là không tránh khỏi do quá trình xử lí và truyền tínhiệu qua các kênh với băng thông hạn chế Sự xuất hiện của trễ thời gian thườngdẫn đến hiệu suất kém và nguy cơ làm mất tính ổn định của mạng Trong cáccông trình đã công bố, tính ổn định và tính đồng bộ mới chỉ được nghiên cứucho một số mô hình mạng nơron với trọng số kết nối các nơron là hằng và trễ

bị chặn Các kết quả đó hầu như không áp dụng được cho các mô hình mạngnơron với trễ tỉ lệ, một lớp trễ được sử dụng rất phổ biến trong mô tả động lựccác hệ có cấu trúc mạng [41] Chẳng hạn, với cấu trúc một mạng nơron có nhiềutầng (layers), quá trình xử lí và truyền tín hiệu giữa các tầng thường được mô

tả bằng các tín hiệu trễ mà thời gian trễ tỉ lệ với thời gian hiện tại Về dángđiệu tiệm cận, trễ tỉ lệ thuộc lớp trễ biến thiên không bị chặn, tăng trưởng tỉ lệ

với khoảng thời gian Bởi vậy, việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm các

mô hình mạng nơron với trễ tỉ lệ thường gặp nhiều khó khăn so với các lớp trễkhác, kể cả lớp trễ không bị chặn ở dạng phân phối

Mặc dù khái niệm ổn định theo Lyapunov đã được ứng dụng rất thànhcông trong nhiều bài toán thực tiễn và đã được phát triển một cách sâu rộng,khái niệm ổn định với thời gian hữu hạn (hay tính ổn định trong khoảng thờigian ngắn) mang ý nghĩa thực tiễn quan trọng [2] Ra đời từ nửa sau của thế kỉ

XX [20], khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn tìm thấy nhiều ứng dụngtrong thực tiễn kĩ thuật, đặc biệt là trong các mô hình điều khiển cơ học [2] Một

hệ động lực gọi là ổn định trong thời gian hữu hạn nếu cho trước một ngưỡngcủa điều kiện đầu (chẳng hạn một lân cận của trạng thái cân bằng), mọi quỹđạo nghiệm tương ứng của hệ không vượt quá một ngưỡng cho trước trên mộtkhoảng thời gian xác định trước Như vậy, khác với tính ổn định theo Lyapunov(LS), một khái niệm thiên về định tính, xác định dáng điệu của nghiệm tại vôhạn, ổn định hữu hạn (FTS) là khái niệm có tính định lượng Hơn nữa, LS vàFTS là hai khái niệm độc lập theo nghĩa một hệ là FTS nhưng có thể không ổnđịnh theo Lyapunov và ngược lại (xem phản ví dụ trong [16]) Trước bài báo [1]trong Danh mục công bố của luận án này, chúng tôi chưa tìm thấy một kết quảnghiên cứu nào đề cập đến tính ổn định hữu hạn của mô hình mạng nơron với

hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ Đây sẽ là chủ đề được chúng tôi nghiên cứu và trìnhbày trong Chương 2 của luận án này Cụ thể hơn, dựa trên bài báo [1] trongDanh mục công trình công bố, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định hữu hạn của

mô hình mạng nơron Hopfield với hệ số kết nối biến thiên chứa đa trễ tỉ lệ dạngsau đây

thiết lập các điều kiện đảm bảo tính ổn định của hệ (1) trong một khoảng thờigian hữu hạn cho trước.

2.2 Tính tiêu hao của lớp phương trình vi phân với trễ tỉ lệ trong mô hình mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên

Rất nhiều bài toán trong vật lí và kĩ thuật được mô tả bởi các hệ phươngtrình vi phân hàm có tính tiêu hao [32] Đặc tính tiêu hao của các hệ vi phân

đó được thể hiện qua sự tồn tại của một compact gọi là tập hấp thụ bị chặn màmọi quỹ đạo trạng thái của hệ đi vào và ở nguyên trong đó sau thời gian hữuhạn Các nghiên cứu về tính tiêu hao của hệ cũng cho biết dáng điệu tiệm cậncủa nghiệm, một trong những vấn đề trọng tâm trong nghiên cứu định tính các

hệ phương trình vi phân và ứng dụng

Trong Chương 3 của luận án chúng tôi nghiên cứu bài toán phân tích tínhtiêu hao của lớp hệ phương trình vi phân trong mô hình mạng nơron Hopfieldvới hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ không đồng nhất dạng sau đây

cả hai trường hợp: (i) các hệ số tự phản hồi (tốc độ tự ức chế của nơron) thỏamãn điều kiện chính quy, a i (t) ≥ a i > 0, và (ii) các hệ số tự phản hồi suy biến,tức là a i (t) > 0 và inf t ≥0 a i (t) = 0 Nội dung của chương này được trình bày dựatrên bài báo [2] trong Danh mục công trình công bố

2.3 Sự tồn tại và tính hút toàn cục của nghiệm tuần hoàn dương của một mô hình Nicholson có trễ với hàm suy giảm phi tuyến

Các mô hình toán học đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả động lựccác mô hình thực tiễn [11,30] Ví dụ, trong [29], Nicholson sử dụng phương trình

vi phân

ở đó α, β, γ là các hằng số dương, để mô tả sự sinh trưởng của quần thể loài vechâu Úc Mô hình (3) sau đó thường được gọi là mô hình Nicholson và được sửdụng rất phổ biến trong các lĩnh vực về động lực học dân số và sinh thái họcquần thể

Trong những năm gần đây, lý thuyết định tính về mô hình Nicholson và cácbiến thể của nó đã được nghiên cứu và phát triển một cách rộng rãi [3,4] Chẳnghạn, dáng điệm tiệm cận của nghiệm tuần hoàn dương của một số mô hìnhNicholson có trễ đã được nghiên cứu trong [22,25,26] và [17] Mô hình Nicholsonvới số hạng mô tả yếu tố đánh bắt hay thu hoạch cũng đã được nghiên cứutrong [10, 23, 27, 35] Gần đây, trong bài báo [6], các vấn đề về tính ổn định vàtính hút đã được nghiên cứu cho một lớp hệ Nicholson n chiều với hệ số hằng

số và trễ biến thiên

Hầu hết các kết quả đã công bố đều được nghiên cứu cho mô hình Nicholsonvới tốc độ suy giảm (mortality rate) số lượng cá thể (sau đây gọi tắt là dân số)tuyến tính Như chỉ ra trong [3], một mô hình với tốc độ suy giảm phụ thuộctuyến tính vào mật độ thường chỉ đúng đối với các quần thể có mật độ thấp.Theo các nhà hải dương học, nhiều mô hình trong thủy sản như khu bảo tồnbiển được mô tả bằng các phương trình vi phân trễ trong mô hình Nicholsonvới tốc độ suy giảm phụ thuộc phi tuyến vào mật độ [3] dạng

N′(t) = −D(N(t)) + βN(t − τ)e−γN(t−τ ),

ở đó tỉ lệ tử vong D(N) có một trong các dạng D(N) = a − be−N (type-I) hoặc

D(N) = b+NaN (type-II) với a, b là các hằng số dương.

Trong Chương 4 của luận án này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại duy nhất

và tính hút toàn cục của nghiệm tuần hoàn dương đối với mô hình Nicholson cótrễ

mô hình Nicholson (4) Trên cơ sở tính tiêu hao và bền vững đều, chúng tôichứng minh sự tồn tại và tính hút toàn cục của nghiệm tuần hoàn dương duynhất của phương trình vi phân phi tuyến dạng (4) Áp dụng kết quả tổng quátcho mô hình Nicholson với hệ số hằng số, chúng tôi thu được một số kết quả về

sự tồn tại, duy nhất và tính hút toàn cục của điểm cân bằng dương của mô hìnhtương ứng Nội dung chương này được viết dựa trên bài báo [3] trong Danh mụccông trình công bố

3 Phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng kết hợp các công cụ trong giải tích cổ điển, phương trình

vi phân thường, lý thuyết bất đẳng thức vi-tích phân và nguyên lí so sánh, lýthuyết ổn định Lyapunov và phương pháp sử dụng phiếm hàm năng lượng kiểuLyapunov Đặc biệt, trong luận án, chúng tôi phát triển một số kĩ thuật so sánhmới để thiết lập các điều kiện thông qua lý thuyết M-ma trận đảm bảo tính ổnđịnh, tính tiêu hao cũng như các điều kiện cho sự tồn tại của nghiệm tuần hoàndương đối với các lớp phương trình vi phân được nghiên cứu trong luận án

4 Kết quả đạt được của luận án

Luận án đã đạt được các kết quả sau đây:

1 Thiết lập được các điều kiện thông qua tính chất phổ của M-ma trận đảmbảo tính ổn định hữu hạn và tính đồng bộ với tốc độ lũy thừa của mô hìnhmạng nơron Hopfiled với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ.

2 Chứng minh được tính tiêu hao toàn cục của lớp hệ phương trình vi phân

mô tả lớp mạng nơron dạng Hopfiled trong cả hai trường hợp khi các hệ sốphản hồi thỏa mãn điều kiện chính quy và khi các hệ số phản hồi suy biến

3 Chứng minh sự tồn tại toàn cục, tính bền vững và tính tiêu hao đều củanghiệm dương đối với một mô hình Nicholson có trễ với hàm suy thoái phituyến

4 Đưa ra điều kiện và chứng minh sự tồn tại duy nhất của nghiệm tuần hoàndương hút toàn cục đối với mô hình Nicholson nói trên Một áp dụng với

mô hình Nicholson hệ số hằng số và chứng minh sự tồn tại của điểm cânbằng dương hút toàn cục cũng được đưa ra

Các kết quả trên đây của luận án được công bố trong 03 bài báo trên cáctạp chí quốc tế trong danh mục ISI và đã được báo cáo tại:

• Xemina Phương trình vi phân và tích phân, Bộ môn Giải tích, khoa Tin, trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Toán-• Hội nghị khoa học của nghiên cứu sinh, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học

Sư phạm Hà Nội

• Xemina Phòng Tối ưu và Điều khiển, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoahọc và Công nghệ Việt Nam

5 Cấu trúc của luận án

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục công trình công bố và tài liệutham khảo, luận án gồm 4 chương

• Chương 1 trình bày một số kết quả liên quan về tính ổn định hữu hạn, tínhtiêu hao của hệ phương trình vi phân có trễ và một số kết quả bổ trợ choviệc trình bày nội dung chính trong các chương sau của luận án.

• Chương 2 nghiên cứu tính ổn định hữu hạn của một lớp phương trình viphân phi tuyến mô tả mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệkhông đồng nhất

• Chương 3 trình bày các kết quả nghiên cứu tính tiêu hao toàn cục của lớpphương trình vi phân trong mô hình mạng nơron Hopfiled với hệ số biếnthiên và trễ tỉ lệ

• Chương 4 nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm tuầnhoàn dương của một mô hình Nicholson có trễ với tốc độ suy thoái phituyến

Chương 1

SƠ BỘ MỘT SỐ KẾT QUẢ LIÊN QUAN

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả bổ trợ về giải tích

ma trận, phương trình vi phân và lý thuyết ổn định theo Lyapunov Đồng thời,chúng tôi cũng trình bày sơ bộ một số kết quả liên quan về tính ổn định trongthời gian hữu hạn đối với lớp phương trình vi phân hàm tuyến tính làm cơ sởcho việc trình bày nội dung chính của luận án trong các chương sau

1.1 M-ma trận

Trong mục này chúng tôi giới thiệu sơ bộ một vài tính chất của M-matrận từ cuốn sách [5] Ma trận A = (a ij ) ∈ Rn×n được gọi là một M-ma trậnnếu a ij ≤ 0 với mọi i 6= j và các định thức con chính của A dương Ma trận

B = (b ij ) ∈ Rm×n là một ma trận không âm, kí hiệu B  0, nếu b ij ≥ 0 với mọi

i, j Tính chất sau được sử dụng trong chứng minh kết quả ở Chương 2

Mệnh đề 1.1.1 Cho A = (a ij ) là một ma trận với a ii > 0, i ∈ [n] Các khẳngđịnh sau là tương đương:

(i) A là một M-ma trận không suy biến;

(ii) Reλ j > 0 với mọi giá trị riêng λ j của ma trận A;

(iii) Tồn tại một ma trận B  0 và hằng số s > ρ(B) sao cho A = sI n − B, ở đó

ρ(B) = max{|λ j | : λ j ∈ λ(B)} là bán kính phổ của ma trận B;

(iv) Tồn tại một vectơ ξ ∈Rn , ξ ≻ 0, sao cho Aξ ≻ 0;

(v) Tồn tại một vectơ η ∈Rn , η ≻ 0, sao cho A T η ≻ 0

Mệnh đề 1.1.2 Giả sử A ∈ Rn ×n là một M-ma trận không suy biến Khi đó,tồn tại một vectơ χ ∈Rn, χ ≻ 0, sao cho kχk∞= 1 và Aχ ≻ 0.

1.2 Hệ phương trình vi phân có trễ và tính ổn định Lyapunov

Với số thựcr ≥ 0 cho trước, kí hiệuC = C([−r, 0],Rn )là không gian Banachcác hàm liên tục trên đoạn [−r, 0] với chuẩn kφkC = sup−r≤s≤0kφ(s)k Xét bàitoán giá trị ban đầu cho phương trình vi phân hàm sau đây

(ii) Trên mọi đoạn [t 0 , t 1 ] ⊂ [t 0 , t φ ), nghiệm x(t, φ) là duy nhất;

(iii) [t 0 , tφ) là khoảng tồn tại cực đại của nghiệm x(t, φ);

(iv) Nghiệm x(t, φ) phụ thuộc liên tục vào φ, f

Trong Định lí 1.2.1, nếu hàm f thỏa mãn thêm điều kiện kiểu tăng trưởngtuyến tính

ở đó ặ), b(.) là các hàm liên tục, thì nghiệm x(t, φ) tồn tại toàn cục, tức là

t φ = ∞ Tổng quát hơn, nếu hàm f thỏa mãn điều kiện dạng Nagumo

thì nghiệm x(t, φ) tồn tại và xác định trên [t 0 , ∞).

Giả sử hàm f (t, φ) thỏa mãn các điều kiện sao cho với mỗi t 0 ∈ [0, ∞) và

φ ∈ C, bài toán (1.1) có nghiệm duy nhất xác định trên [t 0 , ∞) Để xét tính ổnđịnh của một nghiệm x∗(t) nào đó của hệ (1.1), sử dụng phép biến đổiz = x − x∗

ta đưa đến hệ dạng (1.1) với hàm vế phải là f (t, z˜ t) = f (t, zt+ x∗

t ) − f(t, x∗t ) Rõràng f (t, 0) = 0˜ Do đó, để đơn giản kí hiệu, chúng tôi giả sử rằngf (t, 0) = 0, tức

là (1.1) có nghiệm x = 0

Định nghĩa 1.2.1 ([13, 15]) Nghiệm x = 0 của (1.1) được gọi là ổn định (theonghĩa Lyapunov) nếu với mọi ǫ > 0, t 0 ∈ R+, tồn tại δ(t 0 , ǫ) > 0 sao cho kφkC < δ(t 0 , ǫ) kéo theo kx(t, φ)k < ǫ với mọi t ≥ t0 Nghiệm x = 0 của (1.1) được gọi là

ổn định đều nếu số δ nói trên không phụ thuộct 0

Định nghĩa 1.2.2 ([13]) Nghiệm x = 0 của (1.1) được gọi là ổn định tiệm cậnđều nếu x = 0 ổn định đều và tồn tại một sốδ a > 0 sao cho với mọiη > 0 tồn tại

T = T (δ a , η) > 0 sao cho kφkC < δ a kéo theo kx(t, φ)k < η với mọit ≥ t0 + T (δ a , η).Hơn nữa, nếu số δ a có thể chọn tùy ý thì nghiệm x = 0 được gọi là ổn định tiệmcận toàn cục đều

Định nghĩa 1.2.3 Nghiệm x = 0 được gọi là ổn định mũ toàn cục đều (GES)nếu tồn tại các hằng số dương α, β sao cho mọi nghiệm x(t, φ) của (1.1) thỏamãn đánh giá mũ

kx(t, φ)k ≤ βkφk C e−α(t−t0 ) , t ≥ t 0 (1.4)Giả sử V :R+ × C → R là hàm liên tục và x(t, φ) là một nghiệm của (1.1)

đi qua (t 0 , φ) Đạo hàm của V (t, φ) dọc theo nghiệm x(t, φ) được xác định bởi

V′(t, φ) = lim sup

h →0 +

1 h

h

V (t + h, xt+h(t, φ)) − V (t, φ)i

,

ở đó x t (.) là kí hiệu đoạn quỹ đạo {x(t + θ) : θ ∈ [−r, 0]}

Định lí 1.2.2 (Định lí Lyapunov-Krasovskii [13]) Giả sử f : R× C → Rn biếnmỗi tập R× Ω, ở đó Ω là tập bị chặn trong C, thành tập bị chặn trong Rn và

u, v, w :R+→R+ là các hàm liên tục, không giảm, u(0) = 0,v(0) = 0 vàu(s) > 0,

v(s) > 0 khi s > 0 Nếu tồn một phiếm hàm liên tục V :R× C →R+ thỏa mãn

thì nghiệm x = 0 là ổn định tiệm cận toàn cục đều

1.3 Tính ổn định trong thời gian hữu hạn

1.3.1 Khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn

Ra đời từ nửa sau của thế kỉ XX [20], khái niệm ổn định trong thời gianhữu hạn tìm thấy nhiều ứng dụng trong thực tiễn kĩ thuật, đặc biệt là trong các

mô hình điều khiển cơ học [2] Khác với tính ổn định theo Lyapunov, một kháiniệm thiên về định tính, xác định dáng điệu của nghiệm tại vô hạn, ổn định hữuhạn là khái niệm có tính định lượng Cụ thể hơn, một hệ là ổn định trong thờigian hữu hạn nếu cho trước một ngưỡng của điều kiện đầu, mọi quỹ đạo nghiệmtương ứng của hệ không vượt quá một ngưỡng cho trước trên một đoạn thờigian xác định trước Để minh họa rõ hơn, ta xét lớp hệ phương trình vi phânthường sau đây

x′(t) = f (t, x(t)), x(t 0 ) = x 0 , (1.7)

ở đó x(t) ∈Rn là vectơ trạng thái của hệ

Định nghĩa 1.3.1 ([2]) Cho trước một số dương T và các tập X0, Xt trong Rn,

hệ (1.7) được gọi là ổn định hữu hạn đối với(t0, T, X 0 , X t )nếu với bất kì x0 ∈ X 0,quỹ đạo nghiệm tương ứng x(t; t 0 , x 0 ) của (1.7) thỏa mãn

x(t; t 0 , x 0 ) ∈ X t , ∀t ∈ [t 0 , t 0 + T ].

Trong Định nghĩa 1.3.1, để đảm bảo tính đặt chỉnh ta giả thiết X0 ⊂ X t0.Chú ý rằng, nói chung, ta không cần hạn chế X0 ⊂ X t với t > t 0 Tuy nhiên,trong nhiều trường hợp, các tập X0 (trạng thái đầu) và Xt (tập quỹ đạo) đượccho dưới dạng các ellipsoid ER (ρ) = {x⊤Rx < ρ : x ∈Rn }, ở đó R ∈Sn

+ là một matrận đối xứng xác định dương Định nghĩa 1.3.1 có thể phát biểu dưới dạng sau.Định nghĩa 1.3.2 ([2]) Cho trước một cận T > 0 (xác định khoảng thời gian),một ma trận R ∈Sn+ và các số dương r 1 < r 2 Hệ (1.7) được gọi là ổn định hữuhạn đối với(t0, T, r1, r2, R) nếu với bất kìx0∈ E R (r1), quỹ đạo nghiệm tương ứng

x(t) = x(t; t 0 , x 0 ) của (1.7) thỏa mãnx⊤(t)Rx(t) < r 2 với mọi t ∈ [t0 , t 0 + T ]

Về ý nghĩa hình học, khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn chỉ ra rằngvới các tập trong X0 và tập ngoài Xt cố định, mọi quỹ đạo nghiệm của hệ xuấtphát từX0 sẽ không vượt ra ngoài vùngXt trên toàn khoảng thời gian [t 0 , t 0 + T ]

cho trước Hình 1.1 dưới đây minh họa cho khái niệm ổn định trong thời gianhữu hạn Cụ thể, với chuẩn k.k∞ trên Rn, cho trước các hình cầu B r 1, B r 2 trong

Rn với bán kính r 1 < r 2, bất kì quỹ đạo nghiệm của hệ xuất phát từ B r1 sẽ luônchứa trong B r 2 trên toàn khoảng thời gian hữu hạn [0, T ] xác định trước từ cácbài toán ứng dụng thực tiễn

1.3.2 Mối liên hệ giữa tính ổn định trong thời gian hữu hạn với tính ổn

định theo Lyapunov

Khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn (viết tắt là FTS) và khái niệm

ổn định theo Lyapunov là hai khái niệm độc lập Cụ thể hơn, một hệ là FTS,thậm chí với bất kì thời gian T > 0, có thể không ổn định theo Lyapunov [2,16].Ngược lại, tính ổn định, ổn định tiệm cận theo Lyapunov không suy ra tính ổnđịnh hữu hạn của hệ

Ví dụ 1.3.1 ([16]) Xét các phương trình vi phân có trễ sau

x′(t) = −1.2x(t) + t + 2t + 1x(t − 1), t ≥ 0, (1.8)

φ(t) = 1, t ∈ [−1, 0], được minh họa trong Hình 1.2 và Hình 1.3.

1.3.3 Tính ổn định trong thời gian hữu hạn của lớp hệ tuyến tính với

trễ hỗn hợp biến thiên

Trong mục này chúng tôi trình bày một kết quả về tính ổn định hữu hạncủa lớp hệ tuyến tính với trễ biến thiên dạng phân phối từ bài báo [16] Sử dụngcác hàm dạng Lyapunov-Krasovskii, các điều kiện ổn định hữu hạn được thiếtlập thông qua bất đẳng thức ma trận tuyến tính

Time (sec)

0 0.5 1 1.5 2 2.5

(1.10)

ở đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, φ ∈ C([−h, 0],Rn ) là hàm ban đầu, A, D, G ∈

Rn ×n là các ma trận thực cho trước, τ (t), k(t) là các hàm trễ thỏa mãn điều kiện

Định lí 1.3.1 ([16]) Với các số dương cho trước T, r 1 , r 2, r 1 < r 2, hệ (1.10) là

ổn định hữu hạn đối với (r 1 , r 2 , T ) nếu tồn tại các số dương α, ρ i, i = 1, 2, 3, 4, vàcác ma trận đối xứng xác định dương P, Q, R ∈Rn ×n thỏa mãn các điều kiện sau

1.4 Tính tiêu hao của một số lớp phương trình vi phân có trễ

Rất nhiều bài toán trong vật lí và kĩ thuật được mô tả bởi các hệ phươngtrình vi phân hàm có tính tiêu hao [32] Đặc tính tiêu hao của các hệ vi phân

đó được thể hiện qua sự tồn tại của một tập hấp thụ bị chặn mà mọi quỹ đạotrạng thái của hệ đi vào và ở nguyên trong đó sau thời gian hữu hạn Các nghiêncứu về tính tiêu hao của hệ cũng cho biết dáng điệu tiệm cận của nghiệm, mộttrong những vấn đề trọng tâm trong nghiên cứu định tính các hệ phương trình

vi phân và ứng dụng Trong mục này, chúng tôi trình bày một số kết quả về tínhtiêu hao của một số lớp phương trình vi phân có trễ bổ trợ cho việc trình bàykết quả chính trong Chương 3 của luận án

Xét hệ phương trình vi phân có trễ sau đây

x′(t) = F (t, x(t), x(t − τ 1 (t)), , x(t − τ m (t))), t ∈ [0, ∞),

x(t) = φ(t), t ∈ [−τ, 0],

(1.12)

ở đó τ k (.) là các hàm trễ liên tục thỏa mãn 0 ≤ τk (t) ≤ τ với mọi t ≥ 0, k ∈ [m],với τ > 0 là một hằng số Hàm F : [0, ∞) ×Rn × (C([−τ, ∞),Rn ))m →Rn liên tục

và thỏa mãn điều kiện [19,36]

2hu, F (t, u, ψ 1 (.), , ψ m (.))i ≤ γ(t) + α(t)kuk2+

m

X

k=1

β k (t)kψ k (t − τ k (t))k2 (1.13)với mọi t ∈ [0, ∞), u ∈ Rn và ψ k (.) ∈ C([−τ, ∞),Rn), ở đó h., i là tích vô hướngtrên Rn, ha, bi = a⊤ b = Pn

i=1 a i b i với a = (a i ) ∈ Rn và b = (b i ) ∈ Rn Giả thiếtthêm rằng hàm F thỏa mãn điều kiện sao cho với mỗi φ(.) ∈ C([−τ, 0],Rn), bàitoán (1.12) có nghiệm duy nhất x(t, φ) trên [−τ, ∞)

Định nghĩa 1.4.1 ([36]) Hệ (1.12) được gọi là tiêu hao toàn cục nếu tồn tạimột tập bị chặnB ⊂ Rn sao cho với bất kì tập bị chặn B ⊂Rn, tồn tạit∗ = t∗(B)

có tính chất với mọi hàm ban đầu φ(.) ∈ C([−τ, 0],Rn) mà φ(t) ∈ B với mọi

t ∈ [−τ, 0] thì nghiệm x(t, φ) ∈ B với mọi t ≥ t∗(B) Tập B như vậy được gọi làmột tập hấp thụ của (1.12)

1.4.1 Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halanay và một số cải biên

Để chứng minh sự tồn tại của tập hấp thụ đối với các hệ phương trình viphân có trễ dạng (1.12), một cách tiếp cận rất phổ biến là sử dụng bất đẳngthức Halanay và một số cải biên của nó [19, 36] Trước hết, theo Mệnh đề 3.1trong [36], nếu hàm F (.) ở (1.12) thỏa mãn điều kiện (1.13) thì γ(t) ≥ 0 và

β k (t) ≥ 0 với mọi t ∈ [0, ∞) Bây giờ, cho x(t) là một nghiệm bất kì của (1.12).Trong một số áp dụng, x(t) có thể mở rộng trên (−∞, ∞) bằng cách thác triểnhàm ban đầu x(t) = φ(−τ) với t ∈ (−∞, −τ] Đặt u(t) = kx(t)k2 = hx(t), x(t)i Từ(1.12)-(1.13), ta có

Đánh giá (1.14) là cơ sở đưa đến phương pháp sử dụng bất đẳng thức Halanaycho việc nghiên cứu tính tiêu hao của (1.12) [36] Để đơn giản hóa các kí hiệu,dưới đây chúng tôi xét trường hợp đơn trễ trong (1.12) (tức là m = 1).

Bổ đề 1.4.1 (Bất đẳng thức Halanay [14,36]) Giả sử hàmu(t) ≥ 0,t ∈ (−∞, ∞),thỏa mãn

Nhận xét 1.4.1 Nếu α 0 = supt≥0α(t), β 0 = supt≥0β(t) và α 0 + β 0 < 0 thì theo

Bổ đề 1.4.1, hệ (1.12) là tiêu hao toàn cục (xem [37], Định lí 3.1) Cụ thể hơn,

từ (1.13)-(1.14), với bất kì ǫ > 0 cho trước, tồn tại t∗ = t∗(kφk ∞ , ǫ) > 0 sao cho

σ + kθk ∞, t ∈ [t0 , ∞) Nếu giả thiết thêm rằng tồn tại một

số 0 < δ < 1 sao cho δα(t) + β(t) < 0, t ≥ t0, thì với mọi ǫ > 0, tồn tại một

γ∗/σ + ǫ

là một tập hấp thụcủa (1.2) (xem [36], Định lí 3.3) Các kết quả trên đây chỉ áp dụng được chotrường hợp hệ số tiêu hao α(t) xác định âm đều (α(t) ≤ −σ < 0, ∀t ≥ 0) Gầnđây, trong bài báo [19], dựa trên khái niệm mới về sự hội tụ mũ (gọi là hội tụ

mũ suy rộng), các tác giả đã mở rộng bất đẳng thức Halanay và thu được cácđiều kiện tiêu hao của hệ (1.2) mà không cần hạn chế về tính xác định âm của

hệ số tiêu hao

1.4.2 Tính tiêu hao của một lớp phương trình vi phân với trễ tỉ lệ: Cách

tiếp cận bằng phương pháp đổi biến

Xét lớp phương trình vi phân với trễ tỉ lệ dạng sau đây [43]







x′(t) = g(x(t), x(qt)), t ≥ t 0 > 0, x(t) = ϕ(t), t ∈ [qtb 0 , t 0 ],

(1.20)

ở đó q là một hằng số, 0 < q < 1, bϕ(t) là hàm xác định điều kiện đầu và hàm g

thỏa mãn điều kiện

với α, β, γ là các hằng số Để đơn giản trong việc trình bày, ta xét t0 = 1 Bằngphép đổi biến y(t) = x(et), phương trình (1.20) được chuyển về dạng phươngtrình vi phân với trễ hằng sau đây







y′(t) = f (t, y(t), y(t − τ)), t ≥ 0, y(t) = ϕ(t), t ∈ [−τ, 0],

(1.22)

Nhận xét 1.4.3 Cách tiếp cận bằng phương pháp đổi biến để chuyển về hệphương trình vi phân với trễ hằng như trong [43] không thể mở rộng được chotrường hợp hệ số biến thiên trong (1.21) Nói cách khác, các kết quả trong [43]chỉ áp dụng được cho lớp hệ nơron chứa trễ tỉ lệ với hệ số là hằng số Cho đếnnay, vấn đề nghiên cứu về tính tiêu hao của các hệ vi phân nói chung, mô hìnhmạng nơron nói riêng, với hệ số biến thiên chứa trễ tỉ lệ vẫn còn là một tháchthức Đó là động lực của kết quả nghiên cứu mà chúng tôi trình bày ở Chương

3 của luận án này

Nếu v(t) khả vi theo nghĩa thông thường tại t 0 thì D+v(t 0 ) = v′(t 0 ) Đạo hàmDini là khái niệm mở rộng của đạo hàm thường Tuy nhiên tính chất đơn điệusau đây vẫn đúng cho đạo hàm Dini.

Mệnh đề 1.5.1 Nếu D+v(t) ≥ 0, t ∈ [0, ∞) thì v(t) là hàm đơn điệu không giảmtrên khoảng [0, ∞)

Giả sử f : (a, b) →R là một hàm khả vi Hàm dấu suy rộng σ f của f đượcđịnh nghĩa như sau

Bổ đề 1.5.2 ([18]) Chou :R+ →Rn là một hàm liên tục đều Nếulim t →∞

Rt

0 u(s)ds

tồn tại và hữu hạn thì ta có lim t →∞ ku(t)k = 0

Bổ đề 1.5.3 ([18]) Cho u :R+→Rn là hàm bị chặn và liên tục đều Giả sử tồntại một số ω > 0 thỏa mãn

Chương 2

TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN CỦA LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN MÔ TẢ MẠNG NƠRON HOPFIELD VỚI HỆ SỐ BIẾN THIÊN VÀ TRỄ TỈ LỆ

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định trong khoảng thờigian hữu hạn đối với lớp hệ phương trình trình vi phân mô tả mạng nơronHopfield với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ Dựa trên một số kĩ thuật trong nguyên

lý so sánh, chúng tôi thiết lập các điều kiện thông qua tính chất phổ của M-matrận để đảm bảo mọi quỹ đạo nghiệm của hệ không vượt quá một ngưỡng chotrước trên một khoảng thời gian hữu hạn (Định lí 2.2.1) Nội dung được trìnhbày trong chương này dựa trên bài báo [1] trong Danh mục công trình công bốcủa luận án

2.1 Mô hình mạng nơron Hopfield với trễ tỉ lệ

Xét lớp hệ phương trình vi phân mô tả mạng nơron dạng Hopfield với hệ

số biến thiên chứa đa trễ tỉ lệ dạng

không có tín hiệu đầu vào, nơron i tự giải phóng năng lượng, b ij (t) và c ij (t) làcác trọng số kết nối giữa các nơron, f j (.), g j (.), j ∈ [n], là các hàm kích hoạt củanơron, q ij ∈ (0, 1), i, j ∈ [n], là các hằng số diễn tả độ trễ tín hiệu trên trạng thái

và x0 = (x01, , x0n)⊤ ∈Rn là vectơ các giá trị ban đầu

Trong mô hình (2.1), động lực của hệ được xác định bởi các trạng thái

x(t) và x(q ij t), ở đó 0 < q ij < 1 là các hằng số liên hệ giữa thời gian hiện tại t

và quá khứ q ij t Vì đại lượng thời gian quá khứ q ij t có thể biểu diễn dưới dạng

q ij t = t − τ ij (t), với τ ij (t) = (1 − q ij )t → ∞ khi t → ∞ nên trễ tỉ lệ q ij t thuộc lớphàm trễ biến thiên không bị chặn Vấn đề nghiên cứu định tính các mô hình cótrễ tỉ lệ trở nên khó khăn hơn nhiều do cách tiếp cận truyền thống với lớp trễhằng số hay trễ biến thiên bị chặn thường rất khó áp dụng Với các hệ dừng cótrễ tỉ lệ (các ma trận hệ số là hằng), phương pháp tiếp cận phổ biến là sử dụngphép biến đổi trạng thái x(ξ) = x(t) ˆ với t = e ξ (xem [44, 45]) Tuy nhiên, cáchtiếp cận này rất khó phát triển cho các mô hình không dừng (hệ số biến thiên)dạng (2.1) bởi cấu trúc tự nhiên của các ma trận hệ số biến thiên Vì vậy, trongchương này, chúng tôi phát triển các kĩ thuật trong nguyên lí so sánh để tìm cácđiều kiện ổn định cho lớp phương trình vi phân phi tuyến dạng (2.1)

Đối với mô hình (2.1), chúng tôi giả thiết các hệ sốb ij (t),c ij (t), a i (t) và đầuvào I i (t) là các hàm liên tục trên R+

(A2.1) Tồn tại các số thực l−ik, l+ik, k = 1, 2, sao cho

li1− ≤ fi(x) − fi(y)

+ i1 , l−i2 ≤ gi(x) − gi(y)

+ i2 , ∀x, y ∈R, x 6= y. (2.2)Nhận xét 2.1.1 Xét hàm F : R+×Rn ×Rn ×n → Rn xác định bởi F (t, u, v) = (F i (t, u, v)) với u = (u i ) ∈Rn, v = (v ij ) ∈Rn ×n và

2.2 Tính ổn định hữu hạn của mô hình mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ không đồng nhất

Trong mục này, chúng tôi phát triển khái niệm ổn định với thời gian hữuhạn đối với hệ (2.1) Cụ thể hơn, dựa trên một số kĩ thuật trong nguyên lý sosánh, chúng tôi thiết lập các điều kiện đảm bảo tính ổn định của hệ (2.1) trongmột khoảng thời gian hữu hạn cho trước Tương tự khái niệm ổn định hữu hạn

đã trình bày trong Chương 1, chúng tôi nhắc lại định nghĩa sau

Định nghĩa 2.2.1 Cho trước một thời điểm T > 0và các số dương r 1 < r 2 Mộtnghiệm x∗(t)của (2.1) được gọi là ổn định hữu hạn đối với(r 1 , r 2 , T )nếu nghiệmbất kì x(t) của (2.1) thỏa mãn nếu kx(0) − x∗ (0)k ∞ ≤ r 1 thì kx(t) − x∗ (t)k ∞ < r 2

với mọi t ∈ [0, T ]

Hệ (2.1) được gọi là ổn định hữu hạn đối với (r 1 , r 2 , T ) nếu nghiệm bất kì

x∗(t) của (2.1) là ổn định hữu hạn đối với (r 1 , r 2 , T )

Để tiện cho việc phát biểu các điều kiện ổn định, dưới giả thiết (A2.1),chúng tôi kí hiệu các hằng số không âm Lfi = max{l+i1 , −l i1−}, Lgi = max{l i2+, −l−i2 },

i ∈ [n], và các ma trận L f = diag{Lf1 , Lf2, , Lfn }, L g = diag{Lg1 , Lg2, , Lgn }.(A2.2) Giả sử các ma trận A(t) = diag{a1 (t), a 2 (t), , a n (t)}, B(t) = (b ij (t)) và

C(t) = (c ij (t)) thoả mãn các điều kiện sau

Kết quả chính của mục này được trình bày trong định lí dưới đây

Định lí 2.2.1 Giả sử các giả thiết (A2.1) và (A2.2) được thỏa mãn Cho trước

các số thực 0 < r 1 < r 2 và thời gian T > 0, hệ (2.1) là ổn định hữu hạn đối với

(r 1 , r 2 , T ) nếu tồn tại một số dương γ và một vectơ ξ ∈Rn, ξ ≻ 0, thỏa mãn cácđiều kiện sau

Chứng minh Cho ξ = (ξ i ) ∈ Rn, ξ ≻ 0, là một vectơ thỏa mãn điều kiện (2.4a).Khi đó, ta có

Giả sử x∗(t) là một nghiệm của (2.1) với điều kiện đầu x∗(0) = x0∗ và x(t)

là nghiệm bất kì của (2.1), x(0) = x0 Từ phương trình (2.1) ta có

Do đó, từ phương trình (2.6) và giả thiết (A2.1), với bất kì i ∈ [n], ta có

nên ρλi(0) < 0 với mọi i ∈ [n] Lập luận phản chứng, giả sử tồn tại i ∈ [n] và một

kx(t) − x∗(t)k ∞ ≤ C(ξ)kx0− x0∗k ∞ eγt≤ C(ξ)r 1 eγT < r 2 , ∀t ∈ [0, T ].

Kết quả này chứng tỏ hệ (2.1) là ổn định hữu hạn đối với (r 1 , r 2 , T ) Định lí đượcchứng minh.

Nhận xét 2.2.1 Điều kiện (2.4a) trong Định lí 2.2.1 không đảm bảo tính ổnđịnh tiệm cận của hệ (2.1) theo nghĩa Lyapunov Cụ thể hơn, như đã trình trongchứng minh Định lí 2.2.1, điều kiện (2.4a) cho phép nghiệm tăng trưởng khôngquá một hàm mũ với chỉ số mũ γ Tuy nhiên, trên cả đoạn [0, T ], sự tăng trưởng

ấy không vượt quá r2

r1 do ràng buộc (2.4b) Điều đó đảm bảo tính ổn định hữuhạn trên đoạn [0, T ] Cần lưu ý thêm rằng ngay cả khi các điều kiện (2.4a) và(2.4b) thỏa mãn với bất kì T > 0, r 2 > r 1 > 0, hệ (2.1) có thể vẫn không ổn địnhtiệm cận [16] (xem ví dụ ở mục sau)

Nhận xét 2.2.2 Do −Mγ ,γI − M là một M-ma trận, điều kiện (2.4a) trongĐịnh lí 2.2.1 có thể kiểm tra bằng nhiều tiêu chuẩn khác nhau, chẳng hạn nhưcác điều kiện tương đương (i)-(v) trong Mệnh đề 1.1.1

2.3 Dáng điệu tiệm cận: Sự đồng bộ nghiệm của mô hình (2.1)

Như đã chỉ ra ở Nhận xét 2.2.2 rằng nếu tồn tại một vectơ ξ ∈Rn, ξ ≻ 0,sao cho Mξ ≺ 0 (tức là −M là một M-ma trận không suy biến) thì hệ (2.1) là

ổn định hữu hạn với bất kì (r 1 , r 2 , T ) mà 0 < r 1 < r 2 và T > 0 Trong mục nàychúng tôi chỉ ra rằng nếu−M là một M-ma trận không suy biến thì các nghiệmcủa (2.1) sẽ đồng bộ với tốc độ lũy thừa khi thời gian dần tới vô hạn Cụ thể,chúng tôi có kết quả sau

Định lí 2.3.1 Giả sử các giả thiết (A2.1), (A2.2) được thỏa mãn và −M là mộtM-ma trận không suy biến Khi đó, tồn tại các hằng số β > 0 và σ 0 > 0 sao chohai nghiệm bất kì x(t) và x∗(t) của (2.1) thỏa mãn đánh giá

kx(t) − x∗(t)k ∞ ≤ βkx(0) − x∗(0)k∞

với mọi t ∈ [0, ∞)

Nhận xét 2.3.1 Xét một quỹ đạo nghiệm cố định x∗(t) của (2.1) Đánh giá(2.13) chỉ ra rằng một quỹ đạo nghiệm bất kì x(t) của (2.1) sẽ có dáng điệutương tự x∗(t) khi thời gian đủ lớn Do đó, bó các quỹ đạo nghiệm của (2.1)cũng sẽ có dáng điệu tương tựx∗(t)khitdần ra vô hạn Trong lý thuyết hệ thống

và điều khiển mạng, đặc tính này thường được gọi là tính đồng bộ nghiệm

Chứng minh Do giả thiết −M là một M-ma trận không suy biến nên, theoMệnh đề 1.1.1, tồn tại một vectơ ξ ∈Rn, ξ ≻ 0, sao cho (−M)ξ ≻ 0 Do đó,



− η

là một hàm liên tục và đơn điệu tăng ngặt trên [0, ∞), H i (0) < 0 và H i (σ) → ∞

khi σ → ∞ Do đó, phương trình H i (σ) = 0 có một nghiệm dương duy nhất σ∗i

Kí hiệu σ 0 = mini∈[n]σi∗ khi đó H i (σ 0 ) ≤ 0, ∀i ∈ [n] Hơn nữa, các đánh giá



≤ 0. (2.14)Cho x(t) và x∗(t) là hai nghiệm bất kì của (2.1) với các điều kiện đầu

x(0) = x0 và x∗(0) = x0∗ Ta xét các hàm hàm số ϕ i (t), i ∈ [n], xác định bởi

ϕ i (t) = ξl−1kx0− x0∗k ∞ ξ i e−σ ln(1+t), t ≥ 0.

Tương tự đánh giá cho ở (2.10) ta cũng có

kx(t) − x∗(t)k ∞ ≤ βkx0− x0∗k ∞ e−σ ln(1+t)

= β kx0− x0∗k ∞

(1 + t) σ 0 , t ≥ 0,

ở đó β = C(ξ) = ξ+ξ+−1 Định lí được chứng minh

Nhận xét 2.3.2 Hằng số σ 0 trong chứng minh của Định lí 2.3.1 xác định tốc

độ đồng bộ kiểu lũy thừa đối với nghiệm của (2.1) Tốc độ đồng bộ σ max đượccho bởi thuật toán sau:

bố trước đó Phần sau của mục này là các mô phỏng số cho các kết quả trìnhbày ở các Định lí 2.2.1 và 2.3.1

Trước hết, có thể thấy rằng, mô hình (2.1) là dạng tổng quát của mô hìnhmạng nơron với trễ tỉ lệ Một số dạng đặc biệt của (2.1) đã được nghiên cứutrong [42,44,45] về tính ổn định kiểu đa thức như trong phần cuối mục 2.3 Hơnnữa, vì q ij t = t − τ ij (t), ở đó τ ij (t) = (1 − q ij )t là hàm trễ truyền tải, và τ ij (t) → ∞

khi t → ∞, q ij 6= 1 Vì vậy τ ij (t), i, j ∈ [n], là các hàm trễ không bị chặn Thêmnữa, có thể thấy từ Định lí 2.3.1 rằng các điều kiện đưa ra trong Định lí 2.3.1đảm bảo tính ổn định dạng đa thức đối với lớp mạng nơron có trễ không bị chặnđược xét trong [8]

Bây giờ ta xét một lớp đặc biệt của (2.1) với hệ số hằng số cho bởi

và ổn định dạng đa thức Do đó Định lí 2.3.1 suy ra Định lí 2 trong [8] Mặtkhác, các điều kiện đưa ra trong [42] thực chất cũng chỉ đảm bảo tính ổn địnhtiệm cận với tốc độ lũy thừa của nghiệm Đối với hệ (2.18), các điều kiện đưa

ra trong [42] (Định lí 3.3) đó là, tồn tại σ > 1 và ξ ∈Rn, ξ ≻ 0, sao cho