Lý thuyết ổn định của hệ vi phân

Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định của hệ vi phânLỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận này em đã nhận được sự giúp đỡ nhiệt tình của thầy giáo: T.S Nguyễn Văn Hùng và các thầy cô giáo t

Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định của hệ vi phân

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa luận này em đã nhận được sự giúp đỡ nhiệt

tình của thầy giáo: T.S Nguyễn Văn Hùng và các thầy cô giáo trong

khoa toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Em xin gửi lời cám ơn sâu sắc tới thầy giáo T.S Nguyễn Văn Hùng cùng các thầy cô giáo trong Khoa và trong Tổ Giải tích đã tạo điều

kiện cho em hoàn thành khóa luận này

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Đỗ Thị Nhung

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp này là kết quả của quá trình học tập, nghiêncứu của em dưới sự chỉ bảo, dìu dắt của các thầy cô giáo, đặc biệt là sự

hướng dẫn nhiệt tình của thầy giáo T.S Nguyễn Văn Hùng.

Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Lý thuyết ổn định của hệ viphân” không có sự trùng lặp với các khóa luận khác

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Đỗ Thị Nhung

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc khóa luận 2

CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

§1 CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI

PHÂN 3

§2.QUAN HỆ GIỮA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP N VÀ HỆ N PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 4

§3.PHƯƠNG PHÁP TỔ HỢP TÍCH PHÂN 10

§4.ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM 13

§5.CÁC LOẠI NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 15

§6.HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 17

§7.HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 20

KHÔNG THUẦN NHẤT 20

§8.HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ HẰNG 22

CHƯƠNG 2 : SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH 24

VI PHÂN TUYẾN TÍNH 24

§1.CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH 24

§2.TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 27

§3.TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN 32

TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 32

§4.ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 35

VỚI MA TRẬN HẰNG 35

§5.TIÊU CHUẨN HÚCVIT 36

§6.CÁC ĐIỂM KÌ DỊ ĐƠN GIẢN 42

§7.ỔN ĐỊNH THEO XẤP XỈ THỨ NHẤT 44

CHƯƠNG 3: BÀI TẬP VẬN DỤNG 49

BÀI TẬP TỰ GIẢI 59

KẾT LUẬN 61

TÀI LIỆU THAM KHẢO 62

Đỗ Thị Nhung 5 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng

1 Lí do chọn đề tài.

MỞ ĐẦU

Lý thuyết ổn định là bộ phận quan trọng của lý thuyết định tính củaphương trình vi phân Nó được ứng dụng ngày càng nhiều ở nhiều lĩnhvực khác nhau nhất là trong kinh tế và khoa học kĩ thuật, trong sinh tháihọc và môi trường học Với lí do đó nó đang được phát triển mạnh theo

cả hai hướng ứng dụng và lý thuyết, nhất là lý thuyết ổn định trongkhông gian Banach Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về tính ổnđịnh của hệ vi phân và ứng dụng của nó trong thực tế, được sự giúp đỡ

hướng dẫn tận tình của thầy giáo Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng mà em

chọn đề tài: “Lý thuyết ổn định của hệ vi phân”

2 Mục đích nghiên cứu.

Mục đích nghiên cứu của đề tài là làm rõ tính ổn định của các nghiệmđối với các hệ phương trình vi phân và những ứng dụng của lý thuyết ổnđịnh trong thực tế

3 Nhiệm vụ nghiên cứu.

Với mục đích nghiên cứu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu là:

□ Nghiên cứu tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính

□ Nghiên cứu tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất

□ Nghiên cứu tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính với ma trận hằng

□ Nghiên cứu tính ổn định của hệ dựa vào tiêu chuẩn Húcvít, nghiêncứu các điểm kì dị đơn giản

□ Nghiên cứu tính ổn định của một số hệ dạng đặc biệt dựa vào phươngpháp thứ nhất Lyapunop

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.

Đối tượng nghiên cứu là tính ổn định của hệ vi phân và các kiến thức liên quan đến hệ vi phân

5 Phương pháp nghiên cứu.

□ Dịch, đọc, nghiên cứu tài liệu

□ Phân tích, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu

6 Cấu trúc khóa luận.

Những kết quả và thành tựu đạt được của lý thuyết ổn định là rấtnhiều và sâu sắc, song do mới bước đầu làm quen với việc nghiên cứukhoa học và thời gian nghiên cứu còn ít nên trong khuôn khổ của khóaluận em xin trình bày những vấn đề sau:

Chương 1: Các kiến thức chuẩn bịTrong chương này trình bày một số kiến thức về hệ vi phân

Chương 2: Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tínhTrong chương này trình bày một số kiến thức về lý thuyết ổn định của hệ

vi phân

Chương 3: Bài tập vận dụng Chương này gồm bài tập có lời giải và bài tập tự giải

Lần đầu tiên làm quen với việc nghiên cứu và thực hiện đề tài trongthời gian ngắn nên không thể tránh khỏi những sai sót Em rất mongnhận được những góp ý của các thầy cô và các bạn sinh viên Qua đây

em cũng xin gửi lời biết ơn sâu sắc tới thầy giáo: Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng đã nhiệt tình giúp đỡ em thực hiện khóa luận Em cũng xin gửi lời

cảm ơn tới ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô trong khoa và tổ Giảitích đã tạo điều kiện cho em thực hiện khóa luận này

CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

§1 CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI

 là các hàm liên tục của các biến x, y1, y2,…, yn

2 Khái niệm nghiệm của hệ phương trình vi phân.

Nghiệm của hệ phương trình vi phân (1.1) là tập hợp n hàm khả vi

y1  y1 (x)

, y2  y2 (x),… , y n  y n (x) trên một khoảng nào đó sao cho

chúng thỏa mãn tất cả các phương trình của hệ (1.1) hay nói cách khác khi thay chúng vào hệ (1.1) ta được các đồng nhất thức

§2.QUAN HỆ GIỮA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP N VÀ HỆ N

Và từ mọi nghiệm của phương trình vi phân (2.4) cho ta một nghiệm

x1, x2,…., xn của hệ phương trình vi phân (2.3)

Thay các hàm này vào (2.10) ta được:

j

Giả sử xj = xj(t) là một nghiệm bất kì của (2.13) thay vào (2.12) ta tìm được x1, x2, …., xj-1, xj+1,… , xn và x1, x2, … , xn sẽ là nghiệm của

Hệ (2.17) là một hệ đại số tuyến tính thuần nhất.

Do (2.11) nên hệ (2.17) chỉ có nghiệm duy nhất là nghiệm tầm thường suy ra

Vậy: x1, x2, … , xn là nghiệm của hệ (2.3)

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:

3 4

 1 2Vậy nghiệm của hệ là:  y  c e t 1

 c te t

 c e t

2 2

Đỗ Thị Nhung 10 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng

Nhận xét:

Từ việc giải hai hệ phương trình trên ta rút ra kết luận sau: Để giải

hệ phương trình vi phân (1.1) bằng phương pháp đưa về phương trình viphân cấp n ta làm như sau:

Lấy đạo hàm một phương trình bất kì của hệ từ đó đưa về một phương vi phân cấp n của một hàm phải tìm Giải phương trình vi phân cấp n có được từ nghiệm của phương trình vi phân cấp n ta sẽ tìm được nghiệm của hệ phương trình vi phân

Lấy (1) trừ (2) ta được:

dy  dz

y  z

dạng:

t, x1 , x2 , , x n   c

gọi là tích phân đầu của hệ (3.1)

Nế

u tìm được k tổ hợp khả tích thì sẽ có k tích phân đầu: (3.2)

(3.3) ta có thể biểu diễn k hàm chưa biết theo các hàm còn lại Thay vào

hệ (3.1) ta sẽ hạ thấp được k cấp của hệ đó, tức là đưa về hệ (n−k) phương trình

Nếu k  n và các tích phân đầu là độc lập thì các hàm chưa biếtđều xác định được từ hệ (3.3) Khi đó ta coi như đã tích phân xong hệ phương trình (3.1)

Chú ý: Để dễ dàng tìm các tổ hợp khả tích người ta thường viết hệ

(3.1) dưới dạng đối xứng sau:

§4.ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM

1.Bài toán Cauchy

Bài toán Cauchy của hệ phương trình vi phân:

d

2

x0 , y1 , y2 , ,

y n

ban đầu

là các giá trị cho trước tùy ý mà ta gọi là các giá trị

2.Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

nội f i  x, y1 , y2 , , y n   M ; (i  1, 2,…, n).

ii, Các hàm f1, f2,…., fn thỏa mãn điều kiện Lipsit theo y1, y2,…, yn trong miền G với hằng số Lipsit L > 0

Khi đó tồn tại duy nhất một nghiệm: y  x   y1  x, y2  x, , y n  x  của

hệ (4.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu: y 

§5.CÁC LOẠI NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Giả sử G là miền mà tại đó nghiệm của bài toán Cauchy đối với

hệ phương trình (4.1) tồn tại và duy nhất

 n 1 2 n

b, Hệ hàm (5.1) nghiệm đúng hệ phương trình (4.1) với c1, c2,…, cn xác định từ (5.2)

Phương trình thứ hai của hệ có nghiệm kì dị

Thay vào phương trình thứ nhất ta được:

Các nghiệm Y1,Y2,…, Yn của hệ (6.2) được gọi là độc lập tuyến tính

Đỗ Thị Nhung 20 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng

Nếu Y1, Y2,…, Yn là các nghiệm độc lập tuyến tính thì W # 0

 u n  x  v n  x

với ma trận thực A(x) có nghiệm phức:

2

Hệ phương trình vi phân (8.1) gọi là hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất với hệ số hằng số.

Hệ phương trình vi phân (8.2) gọi là hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng số

CHƯƠNG 2 : SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN TUYẾN TÍNH

§1.CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH

Cho hệ phương trình vi phân:

Để hệ (1.2) thỏa mãn định lí về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bàitoán Cauchy ta giả thiết hàm F(t,Y) liên tục theo t và có các đạo hàmriêng cấp một theo các biến y1, y2,… ,yn liên tục.

Định nghĩa 1:

Nghiệm Z  Z (t);(a  t  ) của hệ (1.2) được gọi là ổn định theo Lyapunov khi t   (gọi tắt là ổn định) nếu với mọi   0 và

t0 a,  tồn tại      ,t0   0 sao cho:

1) Tất cả các nghiệm Y  Y(t) của hệ (1.2) (bao gồm cả nghiệm Z(t)) thỏa mãn điều kiện:

Y t0   Z t0   

xác định trong khoảng t0<t<∞, tức là:

(1.3)

Y(t)DY khi t t0 ,  2) Đối với các nghiệm này bất đẳng thức sau được thỏa mãn:

Y t   Z t    khi t

0 ≤ t <+∞ (1.4)Nói cách khác, nghiệm Z(t) ổn định, nếu các nghiệm Y(t) khá gần với

nó ở thời điểm ban đầu t0 bất kì sẽ hoàn toàn nằm trong ống  nhỏ tùy ýđược dựng quanh nghiệm Z(t)

Trường hợp đặc biệt, khi F(t,0) ≡ 0 Nghiệm tầm thường (còn gọi là trạng thái cân bằng) Z(t) ≡ 0 ; (a< t <∞) ổn định nếu với mọi   0 và

t0 a,  tồn tại      ,t0  sao cho bất đẳng thức:

Y t0   

kéo theo bất đẳng thức

Định nghĩa 2:

Y t    khi t0 ≤ t <+∞.

Nếu số   0 có thể chọn không phụ thuộc vào điều kiện ban đầu

t0 G , tức là       thì ổn định được gọi là ổn định đều trong miền G

Định nghĩa 3:

Nghiệm Z  Z (t);(a  t  ) được gọi là ổn định theo Lyapunov , nếu

với   0 , t a,  nào đó và với mọi   0 tồn tại nghiệm Y t  (ít

nhất là một) và thời điểm t1  t1     t0 sao cho:

Định nghĩa 4:

Y t   Z t0    và Y t1   Z t0   

Nghiệm tầm thường Z ≡ 0 không ổn định nếu với   0 , t a,  nào

đó với mọi   0 tồn tại nghiệm Y t  và thời điểm t

được gọi là ổn định tiệm cận khi t   ,

2) Với t0 a,  tồn tại   t0   0 sao cho mọi nghiệm Y(t) , (t0 ≤ t

<∞) thỏa mãn điều kiện

Giả sử hệ (1.2) xác định trong nửa không gian

  t0  t   Y   nếu nghiệm Z  Z (t) ; a  t   ổn định

tiệm cận khi t   và tất cả các nghiệm Y=Y(t), (t0 ≤ t <∞ , t0 > a)

đều có tính chất (1.3) , tức là    thì Z(t) được gọi là ổn định tiệm cận toàn cục

Nghiệm Z  Z (t) ; a  t   của hệ (1.2) được gọi là ổn định dưới

tác động của nhiễu t, ~  nếu với   0

1.Các khái niệm cơ bản

Xét hệ vi phân tuyến tính:

điều đó có nghĩa là mỗi cột của ma trận (2.3) là một nghiệm của hệ (2.4)

và các vectơ này độc lập tuyến tính

 

c n Giả sử

Định nghĩa 2:

Hệ vi phân tuyến tính (2.2) được gọi là hệ ổn định đều nếu tất cả

các nghiệm Y(t) của nó ổn định đều khi t   đối với thời điểm ban đầu t0 a,

Định nghĩa 3:

0 0

0

Đỗ Thị Nhung 30 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng

Hệ vi phân tuyến tính (2.2) được gọi là ổn định tiệm cận nếu tất cả

các nghiệm của nó ổn định khi t  

3.Các định lí tổng quát về sự ổn định của các hệ vi phân tuyến tính Định lí 1:

Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính (2.2) ổn định với số hạng

(t0  t  ) là một nghiệm ổn định nào đó của hệ vi

phân tuyến tính không thuần nhất (2.2) Điều đó có nghĩa là với mỗi

  0 tồn tại   0 sao cho với nghiệm bất kì Y = Y(t) của (2.2) khi

có thể biểu diễn dưới dạng (2.8) Như vậy các

bất đẳng thức (2.6) và (2.7) tương đương với bất đẳng thức sau:

~

Y (t)   khi t

0  t   , nếu Y (t)  ~ 

~

Đỗ Thị Nhung 31 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng

~

Từ đó suy ra rằng nghiệm tầm thường Y 0  0 của hệ vi phân tuyến

tính thuần nhất tương ứng (2.4) ổn định theo Lyapunov khi t  .

2 )Điều kiện đủ

~

Giả sử nghiệm tầm thường Y 0  0 của hệ vi phân tuyến tính thuần

~ ~

nhất (2.4) ổn định theo Lyapunov khi t   Khi đó Y  Y (t) ,

t0  t   là một nghiệm bất kì của hệ vi phân tuyến tính sao cho

Y (t)   khi t0  t   Như vậy nếu Z(t) là một

nghiệm nào đó của hệ vi phân tuyến tính không thuần nhất (2.2) và Y(t)

là nghiệm bất kì của hệ đó thì từ bất đẳng thức: Y t0   Z t0    suy ra

Hệ vi phân tuyến tính ổn định khi và chỉ khi hệ vi phân tuyến tính thuầnnhất tương ứng ổn định.

Hệ

quả 3:

Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính (2.2) với số hạng tự doF(t) bất kì ổn định tiệm cận là hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tươngứng (2.4) ổn định

§3.TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT

Xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất:

dY

 A(t)Y dt

(3.1)

trong đó A(t) liên tục trong khoảng (a, ∞)

Định lí:

Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (3.1) ổn định theo Lyapunov khi và

chỉ khi mỗi nghiệm Y = Y(t), t0  t   của hệ đó bị chặn trên nửa trục

X (t) Y (t0 )  M Y (t0 )  

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Định lí 2:

0

Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (3.1) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm Y = Y(t) của nó dần tới 0 khi t → +∞, tức là:

limY t   0

Vì trên đoạn hữu hạn t0 ,T  hàm vectơ liên tục Y(t) bị chặn, nên nghiệmY(t) bất kì giới nội trên t0 ,  và do đó hệ (3.1) ổn định, ngoài ra

nghiệm tầm thường của nó ổn định tiệm cận Từ đó suy ra tính ổn định tiệm cận của hệ (3.1)

§4.ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (4.1) với ma trận hằng A ổn định khi

và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trưng j  j  A của A đều có phần thực không dương:

Re   A  0,( j  1, 2, , n)

§5.TIÊU CHUẨN HÚCVIT

1.Một số khái niệm cần thiết

Định nghĩa:

Đa thức f(z) bậc n ≥ 1 được gọi là đa thức Húcvít nếu tất cả các nghiệm (không điểm) z1, z2,…, zn của nó đều có các phần thực âm:

Re z j  0,( j  1, 2, , n)

Chú ý: Dễ dàng chứng minh rằng đối với đa thức chuẩn bậc hai

Đa thức có nghiệm là z  3, z  1  3i, z  1  3i

Đây không là đa thức Húc vít

2.Tiêu chuẩn Húcvít

Ta xét đa thức chuẩn: f  z   a  a z  a z2

  a z n

(5.4)trong đó a0 > 0; an # 0, (n ≥ 1)

3.Ứng dụng đối với hệ vi phân

Điều kiện cần và đủ để hệ (5.7) ổn định tiệm cận là:

Nếu f(z) là đa thức chuẩn Húcvít thì đa thức



dt



Đỗ Thị Nhung 40 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng

4.Ứng dụng đối với phương tình tuyến tính thuần nhất hệ số hằng.

Không mất tính tổng quát có thể coi a0 > 0

Như ta đã biết điều kiện cần và đủ để nghiệm của hệ (5.11) có các phần thực âm là tất cả các định thức chéo chính của ma trận Húcvít:

 0 0 0 0 a n 

Vậy: Điều kiện cần và đủ để phương trình (5.10) ổn định tiệm cận

là các định thức chéo chính của ma trận Húc vít của (5.11) tương ứng đều dương, tức là đối với (5.12):

2 1

Vậy: Phương trình ổn định tiệm cận.

§6.CÁC ĐIỂM KÌ DỊ ĐƠN GIẢN

a21 a22  0 Điểm (0,0) là điểm cân bằng của hệ (6.2) Ta hãy nghiên cứu đặc tính của các quỹ đạo đối với hệ (6.2) ở lân cận điểm đó Ta tìm nghiệm dưới dạng:

; y  a e k2t

2